高考數(shù)學一輪復習高頻考點精講精練(新高考專用)第07講拓展二：三角形中線角平分線方法技巧篇(高頻精講)(原卷版+解析)

第07講拓展二：三角形中線，角平分線方法技巧篇(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：中線長問題 2方法一：中線向量形式 2方法二：中線分第三條邊所成兩角互余 8高頻考點二：已知角平分線問題 12方法一：內(nèi)角平分線定理 12方法二：等面積法（核心方法） 17方法三：角平分線分第三條邊所成兩角互余 26溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、中線：在中，設(shè)是的中點角,,所對的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）核心技巧：結(jié)論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，2.1內(nèi)角平分線定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：中線長問題方法一：中線向量形式典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在中，是邊上的點，，，平分，的面積是的面積的兩倍．(1)求的面積；(2)求的邊上的中線的長．例題2．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習）已知內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，且，求：(1)求角的大?。?2)求邊中線長的最小值.例題3．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市八中?？茧A段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.例題4．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)，，分別是的三個內(nèi)角，,，所對的邊，且邊上的中線，求面積的最大值．練透核心考點1．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）在中，角所對的邊分別為.(1)求；(2)若，求的中線的最小值.2．（2023·全國·模擬預測）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且滿足______．請從以下三個條件中選擇一個作為已知條件補充在題目上，并完成下面問題：①外接圓半徑；②；③．(1)求銳角；(2)求的BC邊上的中線的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．3．（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考開學考試）設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角A的大?。?2)若，邊上的中線，求的面積．方法二：中線分第三條邊所成兩角互余核心技巧：典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3例題2．（2023春·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習）如圖,已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.(1)求；(2)若邊上的中線，且，求的周長．例題3．（2023春·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大小.（2）若邊上的中線，且,求的周長.練透核心考點1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中學?？茧A段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且滿足．(1)求角B．(2)若邊上的中線長為，求的面積和周長．2．（2023春·全國·高一專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若BC邊上的中線長為，且，求的面積.高頻考點二：已知角平分線問題方法一：內(nèi)角平分線定理典型例題例題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）在中，，的角平分線交于點，的面積是面積的3倍，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·全國·高一專題練習）在中，是的角平分線，且交于.已知，則__________.例題3．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．(1)求及線段的長；(2)求的面積．練透核心考點1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角所對的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點D，則______.2．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習）在中，，是的角平分線交于點，且滿足，則______.3．（2022秋·江蘇徐州·高三徐州市第三中學校考階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.方法二：等面積法（核心方法）典型例題例題1．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中校考期中）在中，角,，的對邊分別為，，，已知，若角的內(nèi)角平分線的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36例題2．（2023·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，分別以，，，為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．(1)求；(2)若外接圓面積為，求的最大值；(3)若，且的角平分線，求．例題3．（2023·山東濟南·一模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)中內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，求的內(nèi)角平分線的長．例題4．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知(1)求角.(2)的角平分線交于點，且，求的最小值.例題5．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）條件①，

條件②，條件③．請從上述三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且滿足________，(1)求；(2)若是的角平分線，且，求的最小值．練透核心考點1．（多選）（2023春·山東濟南·高一?？茧A段練習）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，B的角平分線交AC于D，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考模擬預測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.3．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中?？寄M預測）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，邊上的高為，(1)求c的值；(2)設(shè)是的角平分線，求的長.4．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在中，角所對的邊分別為．，角的角平分線交于點，且，．(1)求角的大小；(2)求線段的長．5．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求C；(2)若角C的內(nèi)角平分線與AB邊交于點D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.方法三：角平分線分第三條邊所成兩角互余核心技巧：典型例題例題1．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，，點滿足.(1)若為的角平分線，求的周長；(2)求的取值范圍.例題2．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中學?？迹┮阎校?，，所對的邊分別為，，，點D在邊上，為的角平分線．．(1)求；(2)若，求的大?。毻负诵目键c1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，，若為上一點，且滿足____________，求的面積.請從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個條件中任意選一個補充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）第07講拓展二：三角形中線，角平分線方法技巧篇(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：中線長問題 2方法一：中線向量形式 2方法二：中線分第三條邊所成兩角互余 8高頻考點二：已知角平分線問題 12方法一：內(nèi)角平分線定理 12方法二：等面積法（核心方法） 17方法三：角平分線分第三條邊所成兩角互余 26溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、中線：在中，設(shè)是的中點角,,所對的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）核心技巧：結(jié)論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，2.1內(nèi)角平分線定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：中線長問題方法一：中線向量形式典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在中，是邊上的點，，，平分，的面積是的面積的兩倍．(1)求的面積；(2)求的邊上的中線的長．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：，化簡得：．又因為：，所以，所以，所以△ACD的面積為．（2）由（1）可知，因為AE是△ABC的邊BC上的中線，所以，所以，所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為．例題2．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習）已知內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，且，求：(1)求角的大??；(2)求邊中線長的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，.，即，又，所以.（2）由（1）知，，的面積為，所以，解得.由平面向量可知，所以，當且僅當時取等號，故邊中線的最小值為.例題3．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市八中?？茧A段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以；（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.例題4．（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)，，分別是的三個內(nèi)角，,，所對的邊，且邊上的中線，求面積的最大值．【答案】(1)(2)．【詳解】（1），令，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知得，所以，即，又，得，而由是邊上的中線可得，故，所以，所以當且僅當時等號成立，所以的面積為．所以的面積的最大值為．練透核心考點1．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）在中，角所對的邊分別為.(1)求；(2)若，求的中線的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為所以，由正弦定理可得，所以，因為，則；（2）由題意，則，則，即的中線的最小值為（當且僅當取最小值）；綜上，的最小值為.2．（2023·全國·模擬預測）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且滿足______．請從以下三個條件中選擇一個作為已知條件補充在題目上，并完成下面問題：①外接圓半徑；②；③．(1)求銳角；(2)求的BC邊上的中線的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）解：若選①，由，解得，又A為銳角，故；若選②，由正弦定理得，即，又，所以，則，又A為銳角，故；若選③，由，則有，即，又A為銳角，所以，所以，故；綜上所述；（2）解：由余弦定理可得，所以，因為，當且僅當時等號成立，所以．設(shè)BC的中點為M，則，等式兩邊平方可得：，當且僅當時等號成立，所以，即BC邊上的中線的最大值為．3．（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學?？奸_學考試）設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角A的大?。?2)若，邊上的中線，求的面積．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）由題意利用正弦定理可得．．，，即．（2）．由中線，得，．方法二：中線分第三條邊所成兩角互余核心技巧：典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3【答案】C【詳解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），當時，（*）式可解得，；當時，（*）式可解得，；故選：C例題2．（2023春·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習）如圖,已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.(1)求；(2)若邊上的中線，且，求的周長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，由余弦定理可得，∴，∴，由，∴.（2）如圖，由（1）得，，①由余弦定理知，即，②

在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因為，所以③

由①②③，得，所以，

所以的周長．例題3．（2023春·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大小.（2）若邊上的中線，且,求的周長.【答案】（1）（2）【詳解】解：（1）由已知

由正弦定理得：由余弦定理得：在中，因為,所以（2）由，得①由（1）知，即②在中，由余弦定理得：在中，由余弦定理得：因為，所以③由①②③，得所以所以的周長.練透核心考點1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中學校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且滿足．(1)求角B．(2)若邊上的中線長為，求的面積和周長．【答案】(1)(2)，周長為．【詳解】（1）由外接圓半徑為得，由，得，利用正弦定理得：，即，化簡得，由C為的內(nèi)角，得，可得，又B為的內(nèi)角，所以．（2）由正弦定理得：，設(shè)D為邊上的中點，則，在中，，在中，，因為，所以，可得，由余弦定理，即，，由三角形面積公式得：，由，得，得，所以周長為．2．（2023春·全國·高一專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若BC邊上的中線長為，且，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以，化簡得，因為，所以，因為,所以；（2）設(shè)中線交于，則，由余弦定理得，即，化簡得，因為，所以，所以.高頻考點二：已知角平分線問題方法一：內(nèi)角平分線定理典型例題例題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）在中，，的角平分線交于點，的面積是面積的3倍，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，即，在中，作邊上高，垂足為，則，故選:A.例題2．（2023春·全國·高一專題練習）在中，是的角平分線，且交于.已知，則__________.【答案】【詳解】由題意是的角平分線，，由角平分線的性質(zhì)知：，設(shè)，因為，則，則,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案為：例題3．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．(1)求及線段的長；(2)求的面積．【答案】(1)，BC＝6(2)【詳解】（1）由題意在中，，∴，∴，而，，∴，由余弦定理得（舍去），即.（2）在中，，，，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，則,,∵AD為BC邊的中線，∴，∴.練透核心考點1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角所對的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點D，則______.【答案】##【詳解】由題設(shè)，則，又，則，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案為：2．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習）在中，，是的角平分線交于點，且滿足，則______.【答案】【詳解】解：如圖所示：因為是的角平分線，所以，設(shè)，又因為，設(shè)，又因為，，所以，在中，由正弦定理可得：，即①,在中，由正弦定理可得：，即②,由①②可得即,又因為，所以.故答案為：3．（2022秋·江蘇徐州·高三徐州市第三中學?？茧A段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【答案】(1)；(2)條件正確，(i)；(ii).【詳解】（1），，，，得Z，由，得；（2）若條件①正確，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因為，所以，由正弦定理，得，即；(ii)由正弦定理，得，即，因為平方，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述兩式相除，得，解得，所以.方法二：等面積法（核心方法）典型例題例題1．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？计谥校┰谥?，角,，的對邊分別為，，，已知，若角的內(nèi)角平分線的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【詳解】因為，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故選：A.例題2．（2023·全國·高三專題練習）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，分別以，，，為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．(1)求；(2)若外接圓面積為，求的最大值；(3)若，且的角平分線，求．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題知，即，由，解得．（2）由外接圓面積為得外接圓半徑，由（1），所以，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，即，化簡得，當且僅當a＝c時等號成立．所以ac的最大值為．（3）因為BD是的角平分線，則，所以的面積，所以，則，由，所以，解得（負值舍去），綜上，．例題3．（2023·山東濟南·一模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)中內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，求的內(nèi)角平分線的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為所以，,解得，,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因為，所以．因為，所以，所以，所以，故，由題意知，，所以，即，所以．例題4．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知(1)求角.(2)的角平分線交于點，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），故，即，，，故，，，故，，.（2），的平分線交于點，故，由三角形的面積公式可得，化簡得，又，所以，則，當且僅當時取等號，故的最小值為.例題5．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）條件①，

條件②，條件③．請從上述三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且滿足________，(1)求；(2)若是的角平分線，且，求的最小值．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）解：選①：因為，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因為，所以；選②：因為，由正弦定理，即，由余弦定理，因為，所以；選③：因為，正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可得，即，因為、，則，所以，，，所以，所以，即.（2）解：由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，

化簡得，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最小值為．練透核心考點1．（多選）（2023春·山東濟南·高一校考階段練習）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，B的角平分線交AC于D，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因為是角的平分線，所以.由題意可知，,即,所以，即，因為為銳角三角形，所以,所以，所以，所以，即，所以，即,故A錯誤；在中，,即，因為為銳角三角形，所以，解得，故B正確；由正弦定理得,即,因為，所以，即，所以，故C正確；由正弦定理，所以所以，因為，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.2．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考模擬預測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,∴，即，又，∴,又，∴，即角B的大小為.（2）∵.是的角平分線，而，∴，即，∴.∵，∴，∵，∴，即,當且僅當時取等號，則，即的面積的最小值為.3．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中?？寄M預測）內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，邊上的高為，(1)求c的值；(2)設(shè)是的角平分線，求的長.【答案】(1)3(2)【詳解】（1）由的面積，則，且，解得，故c的值為3.（2）由（1）可得：，由題意可得：，∵，則，即，解得，故的長.4．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在中，角所對的邊分別為．，角的角平分線交于點，且，．(1)求角的大?。?2)求線段的長．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）在中，由已知，可得：則有：，即又