初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：幾何模型正方形的存在性問(wèn)題

正方形的存在性問(wèn)題

一、方法突破

作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問(wèn)

題變化更加多樣，從判定的角度來(lái)說(shuō)，可以有如下：

（1）有一個(gè)角為直角的菱形；

（2）有一組鄰邊相等的矩形；

（3）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形.

依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點(diǎn)坐標(biāo).

從未知量的角度來(lái)說(shuō)，正方形可以有4個(gè)“未知量”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4個(gè)等量關(guān)系，考慮對(duì)

角線性質(zhì)，互相平分（2個(gè)）垂直（1個(gè)）且相等（1個(gè)）.

比如在平面中若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個(gè)點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如果

要求在某條線上確定點(diǎn)，則可能會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說(shuō)的未知量小于方程個(gè)數(shù)，

可能無(wú)解.

從動(dòng)點(diǎn)角度來(lái)說(shuō)，關(guān)于正方形存在性問(wèn)題可分為：

（1）2個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；

（2）1個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；

甚至可以有：（3）4個(gè)半動(dòng)點(diǎn).

不管是哪一種類(lèi)型，要明確的是一點(diǎn)，我們肯定不會(huì)列一個(gè)四元一次方程組求點(diǎn)坐標(biāo)！

常用處理方法：

思路1：從判定出發(fā)

若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；

若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；

若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.

思路2：構(gòu)造三垂直全等

若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，

必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4

個(gè)點(diǎn).

總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮從矩

形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.

正方形的存在性問(wèn)題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主.

例：在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,1）,B（4,3）,在平面中求C、。使得以A、B、C、。為頂

點(diǎn)的四邊形是正方形.

H

y

?B

A

x

如圖，一共6個(gè)這樣的點(diǎn)C使得以A、3、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.

至于具體求點(diǎn)坐標(biāo)，以C］為例，構(gòu)造注△GN4,即可求得C1坐標(biāo).至于像C5、C6

這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，C5是47,或BG的中點(diǎn)，Cf是BC?或AC4的中點(diǎn).

題無(wú)定法，具體問(wèn)題還需具體分析，如上僅僅是大致思路.

二、典例精析

例一：兩動(dòng)點(diǎn)：構(gòu)造等腰直角定第3點(diǎn)

如圖，拋物線y=f+fct+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,使得四邊形APBQ

為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

M

【分析】

（1）拋物線：y=x2-2^-3；

（2）已知A（-1,0）、B（3,0）,故構(gòu)造以AB為斜邊的等腰直角aAPB,如下:

若四邊形APBQ是正方形，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）或（1,-2）,

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）時(shí)，易得拋物線解析式為>=一;（無(wú)一丁+2；

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-2）時(shí)，易得拋物線解析式為y=g（x-l）2—2.

綜上所述，拋物線解析式為>=-；（無(wú)一1）2+2或y=!（》一1）2-2.

【小結(jié)】看到兩個(gè)定點(diǎn)，不管題目如何描述第3個(gè)點(diǎn)的位置，均可通過(guò)構(gòu)造等腰直角三角

形確定第3個(gè)點(diǎn)，再求得第4個(gè)點(diǎn).

例二：兩定兩動(dòng)：拋物線+拋物線

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)

A(0,2)、點(diǎn)B(1,0),拋物線y=o?-依-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P與點(diǎn)Q(點(diǎn)C、D除外)使四邊形ABPQ為正方形？若存在

求出點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由.

【分析】

(1)C(3,1)；

(2)拋物線：-L-2；

22

(3)考慮A、B、P構(gòu)成等腰直角三角形且/B為直角，故可作出點(diǎn)P如下:

構(gòu)造三垂直全等：△AMBgZkBNP,

即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1),將點(diǎn)P代入拋物線解析式，成立，

即點(diǎn)P在拋物線上.

根據(jù)點(diǎn)P構(gòu)造點(diǎn)Q,通過(guò)點(diǎn)的平移易得點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-2,1),

代入拋物線解析式，成立，即點(diǎn)Q也在拋物線上，

故存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,-1),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-2,1).

【小結(jié)】本題數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)得巧妙，由A、B確定的點(diǎn)P恰好在拋物線上，由A、B、P確定的

點(diǎn)D恰好也在拋物線上，故存在這樣的一組P、Q,當(dāng)然若適當(dāng)調(diào)整數(shù)據(jù)，則答案完全可以

變成不存在.

三、中考真題對(duì)決

1.(2017?雅安)如圖，已知拋物線>=尤2+法+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(-3,0),與

y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，作PFLx軸于F,點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為直線PF上一動(dòng)

點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F、N、G、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【分析】

(1)拋物線：y=x2+2x-3；

(2)求CE的直線解析式或設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)表示PE=PC,

可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2).

(3)考慮FN_LFM,故四邊形為MFNG,

若要成為正方形，則GN〃FM,GMJLx軸，即四邊形MFNG為矩形.

設(shè)FN長(zhǎng)度為m,貝1]NG=FN=m,故G點(diǎn)橫坐標(biāo)為m-2,

代入解析式得：G^n-Zm2-2m-3),

故GAf=|毋—2m—3|=m,

Agxg3+y/213—\/21,仝、1+^/131—^/13/

解得：班=——-——,m,=——-——(舍)，m,=——--,m4=——--(舍).

則M點(diǎn)坐標(biāo)為歷或.

【小結(jié)】根據(jù)題目描述可知四邊形是矩形，考慮四邊形的邊均與坐標(biāo)軸平行或垂直，故構(gòu)

造一組鄰邊相等求得點(diǎn)坐標(biāo).

2.(2017?棗莊)如圖，拋物線y=-gd+6x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂

線，垂足為E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN〃x軸與拋物線交于點(diǎn)N,點(diǎn)P在x軸上,

點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ,請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【分析】

(1)拋物線：y=——x1+2x+6^

2

(2)考慮MN〃x軸且MN為對(duì)角線，故MN與PQ互相垂直平分且相等，

根據(jù)垂直可知：PQJ_x軸;

根據(jù)平分可知：辱=9±配=2；

2

根據(jù)相等可知：設(shè)MN與PQ交于H點(diǎn)，則MN=2PH.

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為卜,-：療+2〃z+6）,則N點(diǎn)坐標(biāo)為14-肛-+2m+6j,

MN=|4-,PH=-+2m+6,

由MN=2PH,nTW|4-2w|=2-1m2+2m+6,

解得：m=1±A/F/或7〃=3土A/17.

當(dāng)〃?=l+g或3-后時(shí)，yM=s/n-l,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2萬(wàn)-2）；

當(dāng)根=1-如或3+g時(shí)，=-#7-1,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-2萬(wàn)-2）.

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2而■-2）或（2,2/萬(wàn)-2）.

【小結(jié)】考慮到本題對(duì)角線是與坐標(biāo)軸平行或垂直，故構(gòu)造對(duì)角線垂直平分且相等，

3.（2018?南充刪減）如圖，拋物線頂點(diǎn)P（1,4）,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,與無(wú)軸交于點(diǎn)

A,B.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若M、N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、

E.是否存在點(diǎn)M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】

（1）拋物線：y=-x2+2x+3；

（2）由題意可得：MN〃BC,四邊形MNED是矩形，若要變?yōu)檎叫?，可考慮①對(duì)角線

互相垂直；②有一組鄰邊相等.

思路1：考慮對(duì)角線

連接ME,則△MDN為等腰直角三角形，ZMED=45°,

即ME_Lx軸，

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（辦-/+2加+3）,

則E點(diǎn)坐標(biāo)為（丸-根+3）,

①當(dāng)M點(diǎn)在E點(diǎn)上方時(shí)，可推得N點(diǎn)坐標(biāo)為（出力

將點(diǎn)N坐標(biāo)代入拋物線：>=-（尤+1）（尤-3）,

-nV+5m+2\（-m2+5m-6|-m2+m+6

得：-22=2

化簡(jiǎn)得：—5;77——3）=（m—3）（m+2）

—7m2+8〃？+4）=機(jī)+2,

解得：班=1,1nl=6（舍）

此時(shí)ME=2,正方形邊長(zhǎng)為血；

②當(dāng)M點(diǎn)在E點(diǎn)下方時(shí)，同理可解：m=6.

此時(shí)ME=18,正方形邊長(zhǎng)為90.

綜上，正方形邊長(zhǎng)為四或9忘.

思路2：考慮鄰邊相等

考慮M、N兩點(diǎn)均未知，但MN〃:BC,

故可設(shè)直線MN解析式為y=-x+b,

聯(lián)立方程：-x1+2x+3=-x+b,

化簡(jiǎn)為：x2-3x+(/?-3)=0,

=

MN=夜|%—x2|=應(yīng)+%2丫一4%入2,42-8b

MD=^ME=^\b-3\

VMN=MD,

解得：=5,b2=—15

代入得邊長(zhǎng)為近或90.

【小結(jié)】其實(shí)只要能將計(jì)算進(jìn)行下去，在已知矩形的前提下，無(wú)論選邊還是選對(duì)角線，都

能解決問(wèn)題.

4.(2021?撫順)直線>=-尤+3與無(wú)軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)5,拋物線

>=依2+2彳+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE//y軸交AB于點(diǎn)E,

。尸_LAB于點(diǎn)尸，PG_Lx軸于點(diǎn)G.當(dāng)DE=FG時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，直線CD與AB相交于點(diǎn)M,點(diǎn)〃在拋物線上，過(guò)H作“K//y

軸，交直線8于點(diǎn)K.尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)H,K,尸為頂點(diǎn)的四邊形是正方

形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

:

<<

圖1圖2圖3

解：(1)令％=0,則y=3,

3(0,3),

令y=0,貝！Ix=3,

A(3,0),

拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,

9〃+6+c=0

c=3

..”=T,

[c=3

???拋物線解析式為y=-爐+2x+3；

(2)設(shè)0(%-蘇+2加+3),

O￡//y軸交AB于點(diǎn)石，

/.E(m,—m+3)，

OA=OB,

「.NQ4B=45。，

:.AG=FG,

DE=FG,

:.DE=AG,

連接GE,延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)T,

二.四邊形FGED是平行四邊形，

DF±AB,

,\EG±AB,

「.AAEG為等腰直角三角形，

,\AT=ET=GT=3-mf

,\AG=FG=6-2mf

OG=3-(6-2m)=2m—3,

F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2m-3,

/.FG=—2m+6,

/.DT=—2m+6+3—m=—3m+9,

/.—m2+2m+3=—3m+9，

解得根=2或