蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊6.1.2空間向量的數(shù)量積【教學(xué)課件】

6.1.2空間向量的數(shù)量積第6章§6.1

空間向量及其運算1.了解空間向量的夾角及有關(guān)概念.2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計算方法.3.了解空間向量投影的概念及投影向量的意義.4.會用投影向量計算空間兩個向量的數(shù)量積.學(xué)習(xí)目標(biāo)在平面向量中已經(jīng)學(xué)過兩個平面向量的數(shù)量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、空間向量的夾角二、空間向量的數(shù)量積三、空間向量的投影向量內(nèi)容索引一、空間向量的夾角問題1平面中兩個非零向量的夾角是如何定義的？知識梳理定義a，b是空間兩個非零向量，過空間任一點O，作

＝a，

＝b，

＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉范圍__________________特殊夾角(1)如果〈a，b〉＝0，a與b

；(2)如果〈a，b〉＝π，a與b

；(3)如果〈a，b〉＝___，a與b互相垂直，記作a

b.∠AOB0≤〈a，b〉≤π同向反向⊥例1

(1)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件√解析顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件.解連接BD(圖略)，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，反思感悟

(1)空間任意兩個向量可平移到共同起點形成夾角.(2)對空間任意兩個非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.√二、空間向量的數(shù)量積知識梳理1.定義設(shè)a，b是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量

叫作向量a，b的數(shù)量積，記作a·b.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

.2.數(shù)量積的運算律|a||b|cos〈a，b〉0交換律a·b＝_____分配律(a＋b)·c＝________結(jié)合律(λa)·b＝

(λ∈R)b·aa·c＋b·cλ(a·b)3.數(shù)量積的性質(zhì)a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?________②若a與b同向，則a·b＝

；若反向，則a·b＝

.特別地，a·a＝

或|a|＝_____③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝_____注意點：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，其符號由夾角θ的范圍決定.①當(dāng)θ為銳角時，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.②當(dāng)θ為鈍角時，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時，θ不一定為鈍角，因為θ也可能為π.(3)空間向量的數(shù)量積運算不滿足消去律和結(jié)合律.例2

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，計算：反思感悟由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數(shù)k的值為A.－6 B.6

C.3

D.－3√解析由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.A.60° B.150°C.90° D.120°√三、空間向量的投影向量問題2

平面向量中向量a同向量b的投影是如何定義的？知識梳理2.空間向量數(shù)量積的幾何意義空間向量m，n(n在平面α內(nèi))的數(shù)量積就是向量m在平面α上的________與向量n的數(shù)量積.投影向量例3

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點.解因為A1B1⊥平面BCC1，

PC1⊥平面BCC1，解因為A1B1⊥B1C1,PC1⊥B1C1，反思感悟利用空間向量的數(shù)量積的幾何意義求兩個向量的數(shù)量積時，準(zhǔn)確探尋某一向量在平面(或直線)上的投影向量是解題的關(guān)鍵所在.解方法一∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∴AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，∴E為BC的中點，∴A1C＝2.方法二∵A1A⊥平面ABC，1.知識清單：(1)空間向量的夾角.(2)空間向量的數(shù)量積.(3)空間向量的投影向量.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：(1)數(shù)量積的符號由夾角的余弦值決定.(2)當(dāng)a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是1234√√√123412343.已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則向量e1＋e2在向量e1上的投影向量為____.∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量為1234解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415A.30°

B.60°

C.120°

D.150°16√2.已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a等于12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b等于A.1B.2C.3

D.4√解析

∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.123456789101112131415164.(多選)如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是√√5.平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都為1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，則BD1等于12345678910111213141516√123456789101112131415166.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題是真命題的是√√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知向量a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝6，則2a－b在a方向上的投影向量為_____.解析

∵a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝6，∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b123456789101112131415168.已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝___.60°解析由條件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，所以〈a，b〉＝60°.123456789101112131415169.如圖，已知一個60°的二面角的棱上有兩點A，B，AC，BD分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于AB的線段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長.解因為CA⊥AB，BD⊥AB，123456789101112131415161234567891011121314151610.已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點，試計算：12345678910111213141516綜合運用11.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是√123456789101112131415161234567891011121314151612.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC＝___.7解析

∵OA，OB，OC兩兩垂直，1234567891011121314151612345678910111213141516[0,1]拓廣探究12345678910111213141516A.8 B.4C.2 D.1√123456789101112131415161234567891011121