蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊-第6章-章末復(fù)習(xí)課【教學(xué)課件】

章末復(fù)習(xí)課第6章空間向量與立體幾何一、空間向量的線性運算與數(shù)量積二、利用空間向量證明位置關(guān)系三、利用空間向量求空間角內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡(luò)隨堂演練四、利用空間向量計算距離知識網(wǎng)絡(luò)一、空間向量的線性運算與數(shù)量積1.向量的線性運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義.2.利用數(shù)量積可以解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題，解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義；二是利用坐標(biāo)運算.(1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；3.空間的運算，應(yīng)注重提高邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).1(2)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點.①求證：MN⊥AB，MN⊥CD；由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量兩兩夾角均為60°.即MN⊥AB.同理可證MN⊥CD.②求異面直線AN與CM所成角的余弦值.反思感悟

空間向量的數(shù)乘運算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，二、利用空間向量證明位置關(guān)系1.用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量、利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明.2.將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.例2

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點.(1)求證：BM∥平面ADEF；證明

∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,2).∵M(jìn)為EC的中點，∴M(0,2,1)，又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(2)求證：BC⊥平面BDE.又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.延伸探究

本例條件不變，如何證明平面BCE⊥平面BDE.證明由本例(2)知BC⊥平面BDE，又BC?平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.反思感悟

利用空間向量證明或求解立體幾何問題時，首先要轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運算，再借助于坐標(biāo)的有關(guān)性質(zhì)求解(證).跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在正三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面GEF⊥平面PBC.證明方法一如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.方法二同方法一，建立空間直角坐標(biāo)系，則E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0).設(shè)平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，即n＝(0,1，－1).即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.三、利用空間向量求空間角1.空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)設(shè)n1，n2分別是兩個平面α，β的法向量，則二面角的平面角與這兩個平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ).2.通過利用向量計算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.例3

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝

，點E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.試用向量方法解決下列問題：(1)求異面直線AF和BE所成的角；∴直線AF和BE所成的角為90°.(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值.反思感悟

(1)在建立空間直角坐標(biāo)系的過程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，這樣才會容易求得解題時需要的坐標(biāo).(2)求直線和平面所成的角、二面角類問題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點.則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0).所以m為平面PAC的一個法向量.取x＝a，可得n＝(a，－a，－2)，依題意得，則a＝1(負(fù)值舍去).設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為θ，四、利用空間向量計算距離1.空間距離的計算2.通過利用向量計算空間距離，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.例4

在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點D到平面ABC的距離.解如圖所示，以AD的中點O為原點，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的一個法向量，反思感悟

利用向量法求點面距，只需求出平面的一個法向量和該點與平面內(nèi)任一點連線表示的向量，代入公式求解即可.跟蹤訓(xùn)練4

(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點D1到直線AC的距離為√解析方法一連接BD，AC交于點O(圖略)，方法二如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，則點D1到直線AC的距離為(2)在三棱錐P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，則點C到平面PAB的距離是√解析方法一建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(4,0,0)，設(shè)平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)，方法二∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC＝AB＝4，令點C到平面PAB的距離為d，∵VP－ABC＝VC－PAB，1.知識清單：(1)空間向量的概念及運算.(2)利用空間向量證明位置關(guān)系.(3)利用空間向量求空間角.(4)利用空間向量求距離.2.方法歸納：坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：(1)數(shù)量積運算時注意向量的夾角.(2)注意直線所成的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.課堂小結(jié)隨堂演練1.已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，則使a⊥b成立的x與使a∥b成立的x分別為1234√12342.已知向量n＝(2,0,1)為平面α的法向量，點A(－1,2,1)在α內(nèi)，則點P(1,2,2)到平面α的距離為√1234√1234解析因為點D在平面Oyz內(nèi)，所以點D的橫坐標(biāo)為0，又BC＝4，原點O是BC的中點，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，縱坐標(biāo)y＝－(2－4·sin30°·cos60°)＝－1，12344.已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1