人教A版（2019）必修第二冊期中考試測試(提升)(原卷版+解析)

期中考試測試（提升）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2023·全國·高一專題練習）若復數(shù)z滿足為純虛數(shù)，且，則z的虛部為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在平行四邊形中，點在線段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．43．（2023云南·高一云南師大附中?？计谀┰O向量，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．（2023·全國·高一專題練習）設m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①；②；③；④.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④5．（2023吉林白城·高一校考階段練習）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6．（2023·高一課時練習）空間四邊形的兩對邊，、分別是、上的點，且，，則與所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（2023·高一單元測試）已知中，，，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為棱的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．//平面C． D．//平面二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高一專題練習）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點在弧上，且，點在弧上運動（包括端點），則下列結(jié)論正確的有（

）A．在方向上的投影向量為B．若，則C．D．的最小值是11．（2023·全國·高一專題練習）下列關(guān)于復數(shù)的四個命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的共軛復數(shù)的虛部為1C．若，則的最大值為3D．若復數(shù)，滿足，，，則12．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在長方體中，，，E為棱的中點，則（

）A．面 B．C．平面截該長方體所得截面面積為 D．三棱錐的體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023·全國·高一專題練習）若四面體中，，，，則四面體的體積是________.14．（2023·高一課時練習）若，，和的夾角為30°，則在方向上的投影為______．15．（2023·高一單元測試）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是__．16．（2023·全國·高一專題練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2023·全國·高一專題練習）（10分）如圖，在△ABC中，，，，，．(1)設，求x，y的值，并求；(2)求的值．.18．（2023·全國·高一專題練習）（12分）已知復數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，．(1)當、是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根時，求實數(shù)、的值．(2)求的值域．19．（2023四川成都·高一統(tǒng)考期中）（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角B的大小．(2)若，求周長的取值范圍．20．（2023·全國·高一專題練習）（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是、的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若平面，求四棱錐的體積.21．（2022春·河南洛陽·高一?？茧A段練習）（12分）如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點是棱的中點．(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積．(3)若，當二面角的正切值為時，求直線與平面所成的角．22．（2023·全國·高一專題練習）（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，點D是邊BC上的一點，且．(1)求證：；(2)若，求．期中考試測試（提升）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2023·全國·高一專題練習）若復數(shù)z滿足為純虛數(shù)，且，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，因為為純虛數(shù)，所以所以，，因為，所以，解得，則，即z的虛部為.故選：A.2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在平行四邊形中，點在線段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】方法1：在平行四邊形中，因為，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的應用）又∵，∴，解得，故選：B.方法2：如圖，以A為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，設，，∵則，又∵，設，則即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，將其代入①得，故選：B.3．（2023云南·高一云南師大附中?？计谀┰O向量，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或或，故選：B．4．（2023·全國·高一專題練習）設m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：①；②；③；④.其中正確的命題是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④【答案】C【解析】若，，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理可得，故①正確；若，，則或與相交或在平面內(nèi)，故②不正確；因為，所以內(nèi)有一直線與平行，而，則，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，故③正確；若，，則或，故④不正確，故選：.5．（2023吉林白城·高一?？茧A段練習）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，得，化簡得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正余弦定理角化邊得，化簡得，所以，所以為等邊三角形，故選：B6．（2023·高一課時練習）空間四邊形的兩對邊，、分別是、上的點，且，，則與所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】作交于，如圖，連接，則，又，所以，所以，所以是與所成的角或其補角，，，所以，，，所以，中，，是三角形內(nèi)角，所以，所以與所成的角是，故選：C．7．（2023·高一單元測試）已知中，，，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以A為坐標原點，以兩條直角邊為坐標軸建立直角坐標系如圖所示，∵，∴，設點的坐標為，則，，∵|CP|＝1，∴，令，∴，其中，故當時，取最小值為7．故選：A．8．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為棱的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．//平面C． D．//平面【答案】B【解析】不妨設棱柱的高為，.B選項，根據(jù)棱柱性質(zhì)，//，而平面，若//平面，無論怎樣平移直線，都不會和平面只有一個交點，于是得到矛盾，故B選項錯誤；A選項，計算可得，，又為的中點，故（三線合一），A選項正確；C選項，連接，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，過，計算可得，，又為的中點，故（三線合一），結(jié)合A選項，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的側(cè)棱//，故，C選項正確；D選項，取中點，連接，結(jié)合為的中點可知，為中位線，故//，且，即//，且，故四邊形為平行四邊形，故//，由平面，平面，故//平面，D選項正確.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，，，與不垂直，A不正確；對于B，，有，B正確；對于C，，有，C不正確；對于D，，由選項C知，，D正確.故選：BD10．（2023·全國·高一專題練習）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點在弧上，且，點在弧上運動（包括端點），則下列結(jié)論正確的有（

）A．在方向上的投影向量為B．若，則C．D．的最小值是【答案】ABD【解析】對于A選項，由題意可知，所以，在方向上的投影向量為，A對；對于B選項，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、，設點，其中，由可得，所以，，所以，，所以，，，則，所以，，所以，，B對；對于C選項，，所以，，C錯；對于D選項，，其中，、，，，所以，，因為，則，所以，故當時，取最小值為，D對.故選：ABD.11．（2023·全國·高一專題練習）下列關(guān)于復數(shù)的四個命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的共軛復數(shù)的虛部為1C．若，則的最大值為3D．若復數(shù)，滿足，，，則【答案】ACD【解析】設，對A，，，故正確；對B，，所以，，其虛部為，故錯誤；對C，由的幾何意義，知復數(shù)對應的動點到定點的距離為1，即動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示動點到定點的距離，由圓的性質(zhì)知，，故正確；對D，設，因為，，所以，又，所以，所以，所以，故正確.故選：ACD12．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在長方體中，，，E為棱的中點，則（

）A．面 B．C．平面截該長方體所得截面面積為 D．三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】對于選項A：連接，為長方體，，，∴四邊形是平行四邊形，，平面，平面，面，故選項A正確；對于選項B：，，平面，在平面上的投影為，，故選項B正確；對于選項C：根據(jù)長方體對稱性易知平面截該長方體所得截面面積為，，，，，，，由，可得，則，故C錯誤；對于選項D：三棱錐的底面積，高為，則三棱錐的體積為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023·全國·高一專題練習）若四面體中，，，，則四面體的體積是________.【答案】2【解析】以四面體的各棱為長方體的面對角線作出長方體，如圖所示，設，則，解得，．故答案為：2．14．（2023·高一課時練習）若，，和的夾角為30°，則在方向上的投影為______．【答案】【解析】在方向上的投影為．故答案為：．15．（2023·高一單元測試）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是__．【答案】8【解析】因為且，所以，根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，表示以為圓心，3為半徑的圓，所以，表示圓上的點和點的距離，因為圓心到點的距離為，，故答案為：16．（2023·全國·高一專題練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則△ABC面積的最大值是______．【答案】【解析】由正弦定理及，得，∵，∴,∵，∴．由余弦定理，∴，即，當且僅當時取等號，∴，當且僅當時等號成立，∴的面積的最大值為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2023·全國·高一專題練習）（10分）如圖，在△ABC中，，，，，．(1)設，求x，y的值，并求；(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【解析】（1），，，，.（2）.18．（2023·全國·高一專題練習）（12分）已知復數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，．(1)當、是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根時，求實數(shù)、的值．(2)求的值域．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）復數(shù)，，是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，所以，即，所以，所以，，.（2）.，，即.19．（2023四川成都·高一統(tǒng)考期中）（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求角B的大小．(2)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，因為sinA≠0，所以，因為，所以．（2）因為，，由正弦定理可得，于是，＝＝，因為△ABC為銳角三角形，且，所以，，所以，可得：，所以△ABC周長的取值范圍為：．20．（2023·全國·高一專題練習）（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是、的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)若平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【解析】（1）證明：如圖，取的中點為，連接.因為分別是的中點，四邊形是矩形，所以，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因為，的中點為，所以，因為平面，平面，所以，因為底面是矩形，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，所以平