2023年人教版七年級數(shù)學(xué)上冊總復(fù)習(xí)知識點(diǎn)

七年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)

第一章有理數(shù)

1.1正數(shù)與負(fù)數(shù)

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)日勺概念

①正數(shù):不小于0時數(shù)叫正數(shù)。（根據(jù)需要,有時在正數(shù)前面也加上“+”）

②負(fù)數(shù):在此前學(xué)過的0以外時數(shù)前面加上負(fù)號“一”時數(shù)叫負(fù)數(shù)。與正數(shù)具有相反意義。

③0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界,是唯一的中性數(shù)。

2.注意：①字母a可以表達(dá)任意數(shù)，當(dāng)a表達(dá)正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表達(dá)負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù)；

當(dāng)a表達(dá)0時，-a仍是Oo（假如出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說

法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡樸判斷）

3.②正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。因此省略“+”的正數(shù)的符號是正號。

4.具有相反意義的量

若正數(shù)表達(dá)某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表達(dá)具有與該正數(shù)相反意義的量，例如：

零上8℃表達(dá)為：+8℃；零下8℃表達(dá)為：-8℃

3.0表達(dá)的意義

⑴0表達(dá)“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人；

⑵0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：

（3）0表達(dá)一種確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準(zhǔn)，例如以海平面為基準(zhǔn)，則0米就表

達(dá)海平面。

注意:弄清相反意義的量:南北；東西；上下；左右；上升下降；高下；增長減少等

1.2有理數(shù)

有理數(shù)

1.有理數(shù)的概念

⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）

⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

⑶正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。

理解：只有能化成分?jǐn)?shù)時數(shù)才是有理數(shù)。①B是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理

數(shù)。②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。3,整數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)

注意：引入負(fù)數(shù)后來，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數(shù)，…也是

奇數(shù)。

2.有理數(shù)的分類

⑴按有理數(shù)的意義分類⑵按正、負(fù)來分

＜正整數(shù)Y‘正整數(shù)

正有理數(shù)〔

整數(shù)0

I負(fù)整數(shù)

I正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)I有理數(shù)’0（0不能忽視）

Y~正分?jǐn)?shù)Y負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)）

②負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)

③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)

④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)

數(shù)軸

1.數(shù)軸的概念

規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。

注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺

一不可；⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。

2.數(shù)軸上時點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上時點(diǎn)來表達(dá)，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊時點(diǎn)表達(dá)，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)

左邊時點(diǎn)表達(dá)，0用原點(diǎn)表達(dá)。

⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上時點(diǎn)表達(dá)出來，但數(shù)軸上時點(diǎn)不都表達(dá)有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)

與數(shù)軸上時點(diǎn)不是一一對應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點(diǎn)口不是有理數(shù)）

3.運(yùn)用數(shù)軸表達(dá)兩數(shù)大小

⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊時數(shù)大；

⑵正數(shù)都不小于0,負(fù)數(shù)都不不小于0,正數(shù)不小于負(fù)數(shù)；

⑶兩個負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)時數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。

4.數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)

⑴最小時自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù)；

⑵最小時正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù)；

⑶最大的負(fù)整數(shù)是T,無最小的負(fù)整數(shù)

5.a可以表達(dá)什么數(shù)

⑴a〉0表達(dá)a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；

⑵a〈0表達(dá)a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0

⑶a=0表達(dá)a是0；反之，a是0,,則a=0

相反數(shù)

1.相反數(shù)

只有符號不一樣的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一種是另一種的相反數(shù)，。的相反數(shù)是0。

注意：⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)日勺；⑵相反數(shù)只有符號不一樣，若一種為正，則另一種為負(fù)；

⑶0時相反數(shù)是它自身；相反數(shù)為自身的數(shù)是0。

2.相反數(shù)日勺性質(zhì)與鑒定

⑴任何數(shù)均有相反數(shù)，且只有一種；

⑵0的相反數(shù)是0；

⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0時兩數(shù)互為相反數(shù)，即a,b互為相反數(shù)，則a+b=0

3.相反數(shù)日勺幾何意義

在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表達(dá)的兩個數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的

對應(yīng)點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表達(dá)0的相反

數(shù)。

闡明：在數(shù)軸上，表達(dá)互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)有關(guān)原點(diǎn)對稱。

4.相反數(shù)的求法

⑴求一種數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號“-”即可求得（如：5的相反數(shù)是-5）；

⑵求多種數(shù)的和或差時相反數(shù)時，要用括號括起來再添，然后化簡（如；5a+b的相反數(shù)是-

（5a+b）o化簡得-5a-b）；

⑶求前面帶的單個數(shù)，也應(yīng)先用括號括起來再添，然后化簡（如：-5的相反數(shù)是-（-

5）,化簡得5）

5.相反數(shù)的表達(dá)措施

⑴一般地，數(shù)a時相反數(shù)是-a,其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。

當(dāng)a〉0時，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）

當(dāng)a〈0時，-a〉0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）

當(dāng)a=0時，-a=0,（0時相反數(shù)是0）

絕對值

1.絕對值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表達(dá)數(shù)a時點(diǎn)與原點(diǎn)時距離叫做a的絕對值，記作|a|。

2.絕對值時代數(shù)定義

⑴一種正數(shù)的絕對值是它自身；⑵一種負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；⑶0的絕對值是0.

可用字母表達(dá)為：

①假如a>0,那么|a|=a；②假如a<0,那么|a|=-a；③假如a=0,那么|a|=0。

可歸納為①：a"0,<->|a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對值等于自身；絕對值等于自身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）

②aWO,<=>|a|=-a（非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）

經(jīng)典考題

如數(shù)軸所示，化簡下列各數(shù)

al,b,c,a-b|,a-c|,b+c

解：由題懂得,由于a>0,b<0,c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0,

因止匕Ia|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b=a-b,|a-c=a-c,|b+c|=-（b+c）=-

b-c

3.絕對值的性質(zhì)

任何一種有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對值具有非負(fù)性。因此，a取任何有理

數(shù)，均有|a|20。即Q）0的絕對值是0；絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0<=>a|=0；

⑵一種數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：1a|NO；

⑶任何數(shù)的絕對值都不不不小于原數(shù)。即：|a|2a；

⑷絕對值是相似正數(shù)時數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0）,則x=±a；

⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=O,則|a|=|b|；

⑹絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：［a|=|b1,則a=b或a-b；

⑺若幾種數(shù)的絕對值的和等于0,則這幾種數(shù)就同步為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。

（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾種非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾種非負(fù)數(shù)同步為0）

經(jīng)典考題

已知|a+3|+12b-2|+1c-l=0,求a+b+c日勺值

解：由于|a+3|20,12b-21^0,c-l|>0,且|a+31+|2b-21+|c-11=0

因此|a+3|=0,2b-2|=0,c-l|=0

即a=-3,b=l,c=l

因此a+b+c=_3+l+l=-l

4.有理數(shù)大小的比較

⑴運(yùn)用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；

⑵運(yùn)用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；異號兩數(shù)比較大小，

正數(shù)不小于負(fù)數(shù)。

5.絕對值日勺化簡

①當(dāng)a"0時，|a|=a；②當(dāng)aWO時，|a|=-a

6.已知一種數(shù)的（絕對值，求這個數(shù)

一種數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表達(dá)數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對值為同一種正數(shù)的有理數(shù)

有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為0時數(shù)是0,沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。如：|a|=5,則a=±5

1.3有理數(shù)附加減法有理數(shù)的加減法

1.有理數(shù)附加法法則

⑴同號兩數(shù)相加，取相似的I符號，并把絕對值相加;

⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對

值；

⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；

⑷一種數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

⑴加法互換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在運(yùn)用運(yùn)算律時，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以到達(dá)化簡時目的，一般有下列規(guī)律：

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加一一“相反數(shù)結(jié)合法”；

②符號相似的兩個數(shù)先相加一一“同號結(jié)合法”；

③分母相似的數(shù)先相加一一“同分母結(jié)合法”；

④幾種數(shù)相加得到整數(shù)，先相加一一“湊整法”；

⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加一一“同形結(jié)合法”。

3.加法性質(zhì)

一種數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??；加0后的和等于原數(shù)。即：

⑴當(dāng)b〉0時，a+b>a⑵當(dāng)b〈0時，a+b<a⑶當(dāng)b=0時，a+b=a

4.有理數(shù)減法法則

減去一種數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表達(dá)為：a-b=a+(-b)o

5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法日勺意義

在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)

行計(jì)算。

在和式里，一般把各個加數(shù)的括號和它前面附加號省略不寫，寫成省略加號附和的形式。如:

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的讀法：①按這個式子表達(dá)的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6.正5附和”

②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”

6.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時的某些技巧：

I.把符號相似的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（將減法轉(zhuǎn)換成加法）

=-33+18-15-1+23（省略加號和括號）

=(-33-15-1)+(18+23)（把符號相似的加數(shù)相結(jié)合）

=-49+41（運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算）

=-8（運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算）

II.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉(zhuǎn)換成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號和括號）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）

=4-10+3.8（運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算）

=7.8-10（把符號相似的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算）

=-2.2（得出結(jié)論）

III.把分母相似或便于通分附加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）

313217

++

524528

>^=(-3---2)+(-1-+11)+(+3--7-)

552248

1

=-1+0—

8

1

=T—

8

IV.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合）

312

(+0.125)-(-3-)+(-3-)-(-10-)-(+1.25)

483

13121

原式=(+—)+(+3—)+(-3—)+(+10—)+(-1—)

84834

13121

--+3--3—+10--1—

84834

(3--1-)+(--3-)+10-

44883

12

=2--3+10-

23

=-3+13-

6

1

=10-

6

V.把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合（先拆分后結(jié)合）

1617

-3-+10--12—+4——

5112215

原式=(-3+10-12+4)+(-工+7、，61、

—)+(--一)

5151122

—+U

1522

一+a+”

3030

7

30

VI.分組結(jié)合

2-3-4+5+6-7-8+9—1-66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+???+(66-67-68+69)

=0

vn.先拆項(xiàng)后結(jié)合

(1+3+5+7-+99)-(2+4+6+8-+100)

①有理數(shù)加法法則：

1.同號兩數(shù)相加,取相似的符號,并把絕對值相加。

2.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕

對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。

3、一種數(shù)同0相加,仍得這個數(shù)。

加法的互換律和結(jié)合律

②有理數(shù)減法法則：減去一種數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。

1.4有理數(shù)的乘除法

1.有理數(shù)的乘法法則

法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；(“同號得正，異號得負(fù)”專指“兩

數(shù)相乘”的狀況，假如因數(shù)超過兩個，就必須運(yùn)使用方法則三)

法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；

法則三：幾種不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是

負(fù)數(shù)；

法則四：幾種數(shù)相乘，假如其中有因數(shù)為0,則積等于0.

2.倒數(shù)

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一種數(shù)叫做另一種數(shù)的倒數(shù)，用式子表達(dá)為a-=1(aWO),

就是說a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。

注意：①0沒有倒數(shù)；

②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時,

先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)日勺倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一種數(shù)的倒數(shù)，不變化這個數(shù)的性質(zhì))；

④倒數(shù)等于它自身時數(shù)是1或T,不包括0。

3.有理數(shù)日勺乘法運(yùn)算律

⑴乘法互換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，互換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba

⑵乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即

(ab)c=a(be).

⑶乘法分派律：一般地，一種數(shù)同兩個數(shù)日勺和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相

加。即a(b+c)=ab+ac

4.有理數(shù)的除法法則

(1)除以一種不等0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一種不等于。的數(shù)，都得0

5.有理數(shù)時乘除混合運(yùn)算

(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號,最終求出成果。

(2)有理數(shù)附加減乘除混合運(yùn)算，如無括號指出先做什么運(yùn)算，則按照'先乘除,后加減'的次序進(jìn)

行。

有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念

求n個相似因數(shù)的積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的成果叫做暴。在中,a叫做底數(shù),n叫做指數(shù)。

2.乘方的性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次塞都是正數(shù),0的任何正整多次塞都是0。

有理數(shù)的混合運(yùn)算

做有理數(shù)日勺混合運(yùn)算時,應(yīng)注意如下運(yùn)算次序：

1.先乘方,再乘除,最終加減；

2.同級運(yùn)算,從左到右進(jìn)行；

3.如有括號,先做括號內(nèi)的運(yùn)算,按小括號，中括號,大括號依次進(jìn)行。

科學(xué)記數(shù)法

把一種不小于10時數(shù)表達(dá)成的形式（其中，n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法。

從一種數(shù)的左邊第一種非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。四舍五入

遵從精確到哪一位就從這一位時下一位開始，而不是從數(shù)字的末尾往前四舍五入。例如：3.5449精

確到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章整式附加減

2.1整式

1.單項(xiàng)式：由數(shù)字和字母乘積構(gòu)成的式子。系數(shù)，單項(xiàng)式的次數(shù).單項(xiàng)式指的是數(shù)或字母的積時代數(shù)式.

單獨(dú)一種數(shù)或一種字母也是單項(xiàng)式.因此，判斷代數(shù)式與否是單項(xiàng)式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中數(shù)與字母與

否是乘積關(guān)系，即分母中不具有字母,若式子中具有加、減運(yùn)算關(guān)系,其也不是單項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù):是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)；

3、單項(xiàng)數(shù)的次數(shù):是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)附和.

4.多項(xiàng)式：幾種單項(xiàng)式的和。判斷代數(shù)式與否是多項(xiàng)式，關(guān)鍵要看代數(shù)式中的每一項(xiàng)與否是單項(xiàng)

式.每個單項(xiàng)式稱項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，多項(xiàng)式的次數(shù)就是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的次數(shù)。多項(xiàng)式日勺次數(shù)是指多項(xiàng)

式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，這里是次數(shù)最高項(xiàng)，另一方面數(shù)是6；多項(xiàng)式的項(xiàng)是指在多項(xiàng)式中，每一種

單項(xiàng)式.尤其注意多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的性質(zhì)符號.常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0。

5.它們都是用字母表達(dá)數(shù)或列式表達(dá)數(shù)量關(guān)系。注意單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符

號。

①6、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。注意:分母上具有字母的不是整式。

②代數(shù)式書寫規(guī)范：

③數(shù)與字母、字母與字母中的乘號可以省略不寫或用“?”表達(dá)，并把數(shù)字放到字母前；

④出現(xiàn)除式時,用分?jǐn)?shù)表達(dá)；

⑤帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時,帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)；

若運(yùn)算成果為加減的式子,當(dāng)背面有單位時,要用括號把整個式子括起來。

2.2整式附加減

1.同類項(xiàng):所含字母相似，并且相似字母的指數(shù)也相似的項(xiàng)。與字母前面的系數(shù)（wo）無關(guān)。

2.同類項(xiàng)必須同步滿足兩個條件：（1）所含字母相似；（2）相似字母的次數(shù)相似，兩者缺一不可.

同類項(xiàng)與系數(shù)大小、字母的排列次序無關(guān)

3.合并同類項(xiàng):把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)?？梢赃\(yùn)用互換律,結(jié)合律和分派律。

合并同類項(xiàng)的環(huán)節(jié)：（1）精確的找出同類項(xiàng)；（2）運(yùn)用加法互換律，把同類項(xiàng)互換位置后結(jié)合在

一起；（3）利使用方法則，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變；（4）寫出合并后的成

果。

4.合并同類項(xiàng)法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)

附和,且字母部分不變；

5、去括號法則：去括號，看符號：是正號，不變號；是負(fù)號，全變號。

6、整式加減的一般環(huán)節(jié)：

一去、二找、三合

（1）假如碰到括號按去括號法則先去括號.（2）結(jié)協(xié)議類項(xiàng).（3）合并同類項(xiàng)

第三章一元一次方程

3.1一元一次方程

1.方程是具有未知數(shù)的等式。

2.方程都只具有一種未知數(shù)（元）x,未知數(shù)x的指

數(shù)都是1（次），這樣日勺方程叫做一元一次方程。

注意：判斷一種方程與否是一元一次方程要抓住三點(diǎn):

1）未知數(shù)所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化簡后方程中只具有一種未知數(shù)；

3）經(jīng)整頓后方程中未知數(shù)的次數(shù)是1.

一般形式：ax+b=O（a#O）

注意：未知數(shù)在分母中時,它的次數(shù)不能當(dāng)作是1次。如，它不是一元一次方程。

3.解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的

解。

4.等式的性質(zhì)：1）等式兩邊同步加（或減）同一種數(shù)（或式子），成果仍相等；

2）等式兩邊同步乘同一種數(shù),或除以同一種不為0時數(shù),成果仍相等。

注意：運(yùn)用性質(zhì)時,一定要注意等號兩邊都要同步變；運(yùn)用性質(zhì)2時,一定要注意0這個數(shù).

3.2、3.3解一元一次方程

在實(shí)際解方程的過程中，如下環(huán)節(jié)不一定完全用上，有些環(huán)節(jié)還需反復(fù)使用.因此在解方程時還要注

意如下幾點(diǎn)：

①去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)；分子是一種整體，去分

母后應(yīng)加上括號；去分母與分母化整是兩個概念,不能混淆；

②去括號:遵從先去小括號，再去中括號，最終去大括號；不要漏乘括號的項(xiàng)；不要弄錯符號；

③移項(xiàng)：把具有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊（移項(xiàng)要變符號）移項(xiàng)要

變號；注意：移項(xiàng)時要跨越“=”號，移過的項(xiàng)一定要變號。

④合并同類項(xiàng)：不要丟項(xiàng),解方程是同解變形,每一步都是一種方程，不能像計(jì)算或化簡題那樣寫能連

等的形式；

⑤系數(shù)化為1：:字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1,在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解。

不要分子、分母搞顛倒。

3.4實(shí)際問題與一元一次方程

一.概念梳理

⑴列一元一次方程處理實(shí)際問題的一般環(huán)節(jié)是：①審題，尤其注意關(guān)鍵的字和詞的意義，弄清有關(guān)數(shù)

量關(guān)系；②設(shè)出未知數(shù)（注意單位）；③根據(jù)相等關(guān)系列出方程；④解這個方程；⑤檢查并寫出答

案（包括單位名稱）。

⑵某些固定模型中的等量關(guān)系及經(jīng)典例題參照一元一次方程應(yīng)用題專練學(xué)案。

二、思想措施（本單元常用到的數(shù)學(xué)思想措施小結(jié)）

⑴建模思想:通過對實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系的分析，抽象成數(shù)學(xué)模型,建立一元一次方程的思想.

⑵方程思想:用方程處理實(shí)際問題的思想就是方程思想.

⑶化歸思想：解一元一次方程的過程，實(shí)質(zhì)上就是運(yùn)用去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知

數(shù)的系數(shù)化為1等多種同解變形，不停地用新的更簡樸的方程來替代本來的方程，最終

逐漸把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.體現(xiàn)了化“未知”為“已知”的化歸思想.

⑷數(shù)形結(jié)合思想：在列方程處理問題時，借助于線段示意圖和圖表等來分析數(shù)量關(guān)系，使問題中的

數(shù)量關(guān)系很直觀地展示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

⑸分類思想：在解含字母系數(shù)的方程和含絕對值符號的方程過程中往往需要分類討論，在解有關(guān)方

案設(shè)計(jì)的實(shí)際問題的過程中往往也要注意分類思想在過程中的運(yùn)用.

三、數(shù)學(xué)思想措施的學(xué)習(xí)

1.解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，應(yīng)當(dāng)注意什么問題.

2.尋找實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時，要善于借助直觀分析法,

如表格法，直線分析法和圖示分析法等.

3.列方程解應(yīng)用題的檢查包括兩個方面：⑴檢查求得的

成果是不是方程的解；

⑵是要判斷方程的解與否符合題目中的實(shí)際意義.

實(shí)際問題的常見類型：

行程問題：旅程=時間X速度，時間=，速度=

（單位:旅程一一米、千米；時間一一秒、分、時；速度一一米/秒、米/分、千米/小時）

工程問題:工作總量=工作時間X工作效率,工作總量=各部分工作量的和

利潤問題：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=，售價(jià)=標(biāo)價(jià)義（1-折扣）

等積變形問題：長方體的體積=長乂寬X高；圓柱的體積=底面積X高；鑄造前的體積=鑄造后的體

積

利息問題:本息和=本金+利息；利息=本金X利率

四、一元一次方程經(jīng)典例題

例1.已知方程2xm—3+3x=5是一元一次方程,則m=.

解：由一元一次方程的（定義可知m—3=1,解得m=4.或m—3=0,解得m=3

因止匕m=4或m=3

警示：諸多同學(xué)做到這種題型時就想到指數(shù)是1,從而寫成m=l,這里一定要注意x的指數(shù)是（m

—3）.

例2.已知是方程ax2—（2a—3）x+5=0的解，求a時值.

解：；x=-2是方程ax2—（2a-3）x+5=0的解

.?.將x=-2代入方程，

得a-(-2)2—(2a-3)?(-2)+5=0

化簡，得4a+4a-6+5=0

a=—

8

點(diǎn)撥：要想處理這道題目，應(yīng)當(dāng)從方程的解的定義入手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的

未知數(shù)的值,這樣把x=-2代入方程,然后再解有關(guān)a的一元一次方程就可以了.

例3.解方程2(x+1)—3(4x—3)=9(1—x).

解：去括號,得2x+2-12x+9=9—9x,

移項(xiàng),得2+9-9=12x-2x-9x.

合并同類項(xiàng),得2=x,即x=2.

點(diǎn)撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項(xiàng)移到方程的左邊，已知項(xiàng)移到方程的右邊，其

實(shí),我們在去括號后發(fā)現(xiàn)所有的未知項(xiàng)移到方程的左邊合并同類項(xiàng)后系數(shù)不為正,為了減少計(jì)算的難

度，我們可以根據(jù)等式的對稱性，把所有的未知項(xiàng)移到右邊去，已知項(xiàng)移到方程的左邊，最終再寫成

x=a的|形式.

例4.解方程.

解析:方程兩邊乘以8,再移項(xiàng)合并同類項(xiàng),得

同樣,方程兩邊乘以6,再移項(xiàng)合并同類項(xiàng),得

方程兩邊乘以4,再移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得

方程兩邊乘以2,再移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得x=3.

闡明：解方程時，碰到多重括號，一般的措施是從里往外或從外往里運(yùn)用乘法的分派律逐層去特

號，而本題最簡捷的措施卻不是這樣，是通過方程兩邊分別乘以一種數(shù)，到達(dá)去分母和去括號的目

嘰

例5.解方程.

解析:方程可以化為

整頓,得

去括號移項(xiàng)合并同類項(xiàng),得一7x=ll,因此x=.

闡明：一見到此方程，許多同學(xué)立即想到老師簡介的措施，那就是把分母化成整數(shù)，即各分?jǐn)?shù)分

子分母都乘以10,再設(shè)法去分母，其實(shí)，仔細(xì)觀測這個方程，我們可以將分母化成整數(shù)與去分母兩步

一步到位,第一種分?jǐn)?shù)分子分母都乘以2,第二個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以5,第三個分?jǐn)?shù)分子分母都乘以

10.

例6.解方程

解析：原方程可化為

-fc-mgnsrXXXXXXXX.

萬桂即為------1---------------1-------------1-----------=1.

23344556

因此有=

26

再來解之,就能很快得到答案：x=3.

知識鏈接：此題假如直接報(bào)銷率

去分母，或者通分，數(shù)字較大，（%）

運(yùn)算啰嗦，發(fā)現(xiàn)分母6=2X3,

12=3X4,20=4X5,30=5X6,

聯(lián)絡(luò)到我們小學(xué)曾做過這樣的

分式化簡題，故采用拆項(xiàng)法解

之比較簡便.

例7.參與某保險(xiǎn)企業(yè)的醫(yī)

療保險(xiǎn)，住院治療的病人可享

有分段報(bào)銷，?保險(xiǎn)企業(yè)制度

的報(bào)銷細(xì)則如下表，某人今年

住院治療后得到保險(xiǎn)企業(yè)報(bào)銷

的金額是1260元，那么此人

的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)是（）

住院醫(yī)療費(fèi)（元）

不超過500的部分0

超過500?1000的部分60

超過1000~3000的部分80

.......

A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元

解析：設(shè)此人的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)為x元,根據(jù)題意列方程,得

500X0+500X60%+(x—500—500)X80%=1260.

解之,得x=2200,即此人的實(shí)際醫(yī)療費(fèi)是2200元.故選B.

點(diǎn)撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應(yīng)理解醫(yī)療費(fèi)是分段計(jì)算累加求和而得的.由于

500X60%V1260<2023X80%,因此可知判斷此人的醫(yī)療費(fèi)用應(yīng)按第一檔至第三檔累加計(jì)算.

例8.本市某縣城為鼓勵居民節(jié)省用水，對自來水顧客按分段計(jì)費(fèi)方式收取水費(fèi)：若每月用水不超

過7立方米，則按每立方米1元收費(fèi)；若每月用水超過7立方米，則超過部分按每立方米2元收費(fèi).

假如某戶居民今年5月繳納了17元水費(fèi),那么這戶居民今年5月的用水量為_________立方米.

解析：由于1X7C17,因此該戶居民今年5月的用水量超標(biāo).

設(shè)這戶居民5月的用水量為x立方米,可得方程:7X1+2(x-7)=17,解得x=12.

因此,這戶居民5月的用水量為12立方米.

例9.足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分，一支足球隊(duì)在某

個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了1場，得17分，請問：

⑴前8場比賽中，這支球隊(duì)共勝了多少場？

⑵這支球隊(duì)打滿14場比賽,最高能得多少分？

⑶通過對比賽狀況的分析,這支球隊(duì)打滿14場比賽,得分不低于29分,就可以到達(dá)預(yù)期

的目的,請你分析一下,在背面的6場比賽中，這支球隊(duì)至少要勝幾場,才能到達(dá)預(yù)期目的？

解析:⑴設(shè)這個球隊(duì)勝了x場,則平了(8-1-x)場，根據(jù)題意，得：

3x+(8-1-x)=17.

解得x=5.

因此,前8場比賽中，這個球隊(duì)共勝了5場.

⑵打滿14場比賽最高能得17+(14-8)X3=35分.

⑶由題意知,后來的6場比賽中，只要得分不低于12分即可.

...勝不少于4場，一定能到達(dá)預(yù)期目的.而勝了3場，平3場，恰好到達(dá)預(yù)期目的.因此在后來的比

賽中，這個球隊(duì)至少要勝3場.

例10.國家為了鼓勵青少年成才，尤其是貧困家庭的孩子能上得起大學(xué)，設(shè)置了教育儲蓄，其

優(yōu)惠在于，目前暫不征收利息稅.為了準(zhǔn)備小雷5年后上大學(xué)的學(xué)費(fèi)6000元，他的父母目前就參與

了教育儲蓄，小雷和他父母討論了如下兩種方案:

⑴先存一種2年期,2年后將本息和再轉(zhuǎn)存一種3年期；

⑵直接存入一種5年期.

你認(rèn)為以上兩種方案,哪種開始存入的本金較少？

[教育儲蓄(整存整取)年利率一年:2.25%；二年:2.27%；三年:3.24%；五年:3.60%.]

解析：理解儲蓄的有關(guān)知識，掌握利息的計(jì)算措施，是處理此類問題的關(guān)鍵，對于此題，我們可以

設(shè)小雷父母開始存入x元.然后分別計(jì)算兩種方案哪種開始存入的本金較少.

⑴2年后，本息和為x(1+2.70%X2)=1.054x;

再存3年后,本息和要到達(dá)6000元，則1.054x(1+3.24%X3)=6000.

解得x^5188.

⑵按第二種方案，可得方程x(1+3.60%義5)=6000.

解得x^5085.

因此,按他們討論的第二種方案,開始存入的本金比較少.

例11.揚(yáng)子江藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥物包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示.假如長方體盒子的長比寬

多4,求這種藥物包裝盒的體積.

分析：從展開圖上的數(shù)據(jù)可以看出，展開圖中兩高與兩寬和為14cm,因此一種寬與一種高的和為

7cm,假如設(shè)這種藥物包裝盒的寬為xcm,則高為(7—x)cm,由于長比寬多4cm,因此長為(x+4)

cm,根據(jù)展開圖可知一種長與兩個高附和為13cm,由此可列出方程.

解:設(shè)這種藥物包裝盒的寬為xcm,則高為(7—x)cm,長為(x+4)cm.

根據(jù)題意，得(x+4)+2(7—x)=13,

解得x=5,因此7—x=2,x+4=9.

故長為9cm,寬為5cm,高為2cm.

因此這種藥物包裝盒的體積為：9X5X2=90(cm3).

例12.某石油進(jìn)口國這個月的石油進(jìn)口量比上個月減少了5%,由于國際油價(jià)上漲,這個月進(jìn)

口石油的費(fèi)用反而比上個月增長了14%.求這個月的石油價(jià)格相對上個月的增長率.

解：設(shè)這個月的石油價(jià)格相對上個月的增長率為x.根據(jù)題意得

(1+x)(1-5%)=1+14%

解得x=20%

答:這個月的石油價(jià)格相對上個月的增長率為20%.

點(diǎn)評:本題是一道增長率的應(yīng)用題.本月的進(jìn)口石油的費(fèi)用等于上個月的費(fèi)用加上增長的費(fèi)用，也

就是本月的石油進(jìn)口量乘以本月的價(jià)格.設(shè)出未知數(shù)，分別表達(dá)出每一種數(shù)量，列出方程進(jìn)行求解.列

方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找對等量關(guān)系,然用代數(shù)式表達(dá)出其中的量,列方程解答.

例13.某市參與省初中數(shù)學(xué)競賽的選手平均分?jǐn)?shù)為78分,其中參賽的男選手比女選手多50%,而女

選手的平均分比男選手時平均分?jǐn)?shù)高10%,那么女選手的平均分?jǐn)?shù)為.

解析：總平均分?jǐn)?shù)和參賽選手的人數(shù)及其得分有關(guān).因此，必須增設(shè)男選手或女選手的人數(shù)為輔助

未知數(shù).不妨設(shè)男選手的平均分?jǐn)?shù)為x分，女選手的人數(shù)為a人,那么女選手的平均分?jǐn)?shù)為l.lx

分，男選手的人數(shù)為1.5a人，從而可列出方程，解得x=75,因此l.lx=82.5.即女選手的平均分?jǐn)?shù)

為82.5分.

第四章幾何圖形初步

4.1幾何圖形

1.幾何圖形:從形形色色的物體外形中得到的圖形叫做幾何圖形。

2.立體圖形:這些幾何圖形的各部分不都在同一種平面內(nèi)。

3、平面圖形:這些幾何圖形的各部分都在同一種平面內(nèi)。

4、雖然立體圖形與平面圖形是兩類不一樣的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)絡(luò)的。

立體圖形中某些部分是平面圖形。

5.三視圖：從左面看,從正面看,從上面看

6.展開圖：有些立體圖形是由某些平面圖形圍成的，將它們的表面合適剪開，可以展開成平面圖

形。這樣的平面圖形稱為對應(yīng)立體圖形的展開圖。

3.生活中的立體圖形圓柱

柱體廠

棱柱:三棱柱、四百土(長方體、正方體)、五棱柱、

生活中的立體圖形球體

椎體

棱錐

、⑴幾何體簡稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線；線線相交形成點(diǎn)；

⑵點(diǎn)無大小，線、面有曲直；

⑶幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體構(gòu)成的；

⑷點(diǎn)動成線,線動成面,面動成體；

⑸點(diǎn):是構(gòu)成幾何圖形的基本元素。

4.棱柱及其有關(guān)概念：

棱:在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線,都叫做棱。

側(cè)棱:相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱。

n棱柱有兩個底面,n個側(cè)面，共(n+2)個面；3n條棱,n條側(cè)棱；2n個頂點(diǎn)。

棱柱的所有側(cè)棱長都相等，棱柱的上下兩個底面是相似的多邊形，直棱柱的側(cè)面是長方形。

棱柱的側(cè)面有也許是長方形,也有也許是平行四邊形。

5、正方體的平面展開圖：11種

6.截一種正方體：用一種平面去截一種正方體，截出的面也許是三角形，四邊形，五邊形，六邊

形。

7、三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的I圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

平面圖形的認(rèn)識

線段，射線，直線不一樣點(diǎn)

聯(lián)絡(luò)共同點(diǎn)

名稱延伸性端點(diǎn)數(shù)

線段不能延伸2線段向一方延長就

射線只能向一方延伸1成射線，向兩方延

都是直的線

長就成直線

直線可向兩方無限延伸無

點(diǎn)、直線、射線和線段的表達(dá)

在幾何里,我們常用字母表達(dá)圖形。

一種點(diǎn)可以用一種大寫字母表達(dá),如點(diǎn)A

一條直線可以用一種小寫字母表達(dá)或用直線上兩個點(diǎn)的大寫字母表達(dá),如直線1,或者直線AB

一條射線可以用一種小寫字母表達(dá)或用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表達(dá)（端點(diǎn)字母寫在前面），如射線1,

射線AB

一條線段可以用一種小寫字母表達(dá)或用它的端點(diǎn)的兩個大寫字母來表達(dá),如線段1,線段AB

點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種:

①點(diǎn)在直線上,或者說直線通過這個點(diǎn)。

②點(diǎn)在直線外,或者說直線不通過這個點(diǎn)。

線段的性質(zhì)

(1)線段公理:兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。

(2)兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長度,叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

(3)線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

(4)線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。

(5)線段的比較：1.目測法2.疊合法3.度量法

線段的中點(diǎn)：

點(diǎn)M把線段AB提成相等的兩條相等的線段AM與BM,點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)。

I__________.__________I：M是線段AB的中點(diǎn)

人NA口

AM=BM=-AB（或者AB=2AM=2BM）

2

直線的性質(zhì)

(1)直線公理:通過兩個點(diǎn)有且只有一條直線。

(2)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條。

(3)直線是是向兩方面無限延伸時,無端點(diǎn),不可度量,不能比較大小。

(4)直線上有無窮多種點(diǎn)。

(5)兩條不一樣的直線至多有一種公共點(diǎn)。

角：有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個角的頂點(diǎn)，這兩條

射線叫做這個角的邊?；颍航且部梢援?dāng)作是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平

角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)它又和始邊重疊時,所形成的角叫做周角。

角的表達(dá)：

①用數(shù)字表達(dá)單獨(dú)的角，如/I,N2,/3等。

②用小寫的希臘字母表達(dá)單獨(dú)的一種角，如/a,/B,/丫，/9等。

③用一種大寫英文字母表達(dá)一種獨(dú)立（在一種頂點(diǎn)處只有一種角）的角，如/B,/C等。

④用三個大寫英文字母表達(dá)任一種角，如/BAD,ZBAE,/CAE等。

注意：用三個大寫英文字母表達(dá)角時,一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間,邊上的字母寫在兩側(cè)。

用一副三角板，可以畫出15°,