備考2025年高考數(shù)學一輪復習第四章考點測試21

考點測試21同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式高考概覽高考在本考點的?？碱}型為選擇題、填空題，分值為5分，低、中等難度考點研讀1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα2．能推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式一、基礎小題1．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))的值是()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．0 D.eq\f(\r(2),2)答案C解析原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝0.故選C.2．若x是第四象限角，且sinx＝－eq\f(4,5)，則cos(π－x)＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)答案D解析因為x是第四象限角，所以cosx＞0，所以cosx＝eq\r(1－sin2x)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，所以cos(π－x)＝－cosx＝－eq\f(3,5).故選D.3．已知eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,4)，sinα＝eq\f(1,3)，則cos2β＝()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)答案C解析因為2β＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq\f(π,2)－α，所以cos2β＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝eq\f(1,3).故選C.4．已知sinθ＝－eq\f(1,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則sin(θ－5π)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))的值是()A.eq\f(2\r(2),9) B．－eq\f(2\r(2),9)C．－eq\f(1,9) D.eq\f(1,9)答案B解析因為sinθ＝－eq\f(1,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，所以原式＝－sin(π－θ)(－cosθ)＝sinθcosθ＝－eq\f(1,3)×eq\f(2\r(2),3)＝－eq\f(2\r(2),9).故選B.5．若tanα＝cosα，則eq\f(1,sinα)＋cos4α的值為()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4答案B解析由題意知，tanα＝cosα，則eq\f(sinα,cosα)＝cosα，故sinα＝cos2α，故eq\f(1,sinα)＋cos4α＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋sin2α＝sinα＋eq\f(cos2α,sinα)＋1－cos2α＝sinα＋eq\f(sinα,sinα)＋1－sinα＝2.故選B.6．已知sinα＋cosα＝eq\f(\r(6),3)，0<α<π，則sinα－cosα＝()A．－eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)答案B解析因為sinα＋cosα＝eq\f(\r(6),3)，所以(sinα＋cosα)2＝eq\f(2,3)，即sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(2,3)，所以2sinαcosα＝－eq\f(1,3).因為0<α<π，所以cosα<0<sinα，所以sinα－cosα>0.因為(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，所以sinα－cosα＝eq\f(2\r(3),3).故選B.7．化簡：eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))(α是第二、三象限角)＝()A．－eq\f(2,cosα) B.eq\f(2,cosα)C．－2tanα D．2tanα答案C解析eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＝eq\r(\f(（1＋sinα）2,cos2α))－eq\r(\f(（1－sinα）2,cos2α))＝eq\f(2sinα,|cosα|).當α是第二、三象限角時，原式＝－eq\f(2sinα,cosα)＝－2tanα.故選C.8．已知2sin(π－α)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，則sin2α－eq\f(1,2)sin2α－cos2α＝()A.eq\f(5,13) B．－eq\f(1,13)C．－eq\f(5,13) D.eq\f(1,13)答案B解析由2sin(π－α)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，得2sinα＝3cosα，所以tanα＝eq\f(3,2)，從而sin2α－eq\f(1,2)sin2α－cos2α＝eq\f(sin2α－sinαcosα－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα－1,tan2α＋1)＝－eq\f(1,13).9．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則θ＝()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)答案D解析∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3)，∵|θ|<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).故選D.10．(多選)若sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，則下列結論中正確的是()A．tanα＝eq\f(4,3) B．cosα＝eq\f(3,5)C．sinα＋cosα＝eq\f(8,5) D．sinα－cosα＝－eq\f(1,5)答案AB解析∵sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，故B正確；tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq\f(4,3)，故A正確；sinα＋cosα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5)≠eq\f(8,5)，故C錯誤；sinα－cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)≠－eq\f(1,5)，故D錯誤．故選AB.11．化簡：eq\f(sin2（α＋π）cos（π＋α）cos（－α－2π）,tan（π＋α）sin3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin（－α－2π）)＝________．答案1解析原式＝eq\f(sin2α（－cosα）cosα,tanαcos3α（－sinα）)＝eq\f(sin2αcos2α,sin2αcos2α)＝1.12．已知tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，則sinθcosθ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________．答案eq\f(1,4)eq\f(7,8)解析tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝4，則sinθcosθ＝eq\f(1,4).sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×eq\f(1,16)＝eq\f(7,8).二、高考小題13．(2022·浙江高考)設x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由sin2x＋cos2x＝1可得，當sinx＝1時，cosx＝0，充分性成立；當cosx＝0時，sinx＝±1，必要性不成立．所以當x∈R時，“sinx＝1”是“cosx＝0”的充分不必要條件．故選A.14．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，則eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝()A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(6,5)答案C解析解法一：因為tanθ＝－2，所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5).故選C.解法二：eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ）,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)．由tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝eq\f(1,5)，所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)＝eq\f(1,5)×(4－2)＝eq\f(2,5).故選C.15．(2020·全國Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，則sinα＝()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(5),9)答案A解析由3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，解得cosα＝－eq\f(2,3)或cosα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3).故選A.16．(2023·全國乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，則sinθ－cosθ＝________．答案－eq\f(\r(5),5)解析因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinθ>0，cosθ>0，又因為tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2)，則cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(\r(5),5)或sinθ＝－eq\f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq\f(\r(5),5).三、模擬小題17．(2024·廣東六校高三第二次聯(lián)考)已知sin(α＋π)＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案A解析因為sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(1,2)，所以sinα＝－eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(1,2).故選A.18．(2023·陜西省西安市六區(qū)聯(lián)考)已知x∈(0，π)，則“sinx＝eq\f(3,5)”是“cosx＝eq\f(4,5)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由x∈(0，π)可得，當sinx＝eq\f(3,5)時，cosx＝±eq\f(4,5)，充分性不成立；當cosx＝eq\f(4,5)時，sinx＝eq\f(3,5)，必要性成立．所以“sinx＝eq\f(3,5)”是“cosx＝eq\f(4,5)”的必要不充分條件．故選B.19．(2023·河北省級聯(lián)測高三第一次考試)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,7)))＝eq\f(4\r(3),7)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,14)))＝()A．－eq\f(1,7) B.eq\f(1,7)C．－eq\f(4\r(3),7) D.eq\f(4\r(3),7)答案D解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(5π,14)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,7)＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,7)))＝eq\f(4\r(3),7).故選D.20．(2023·湖北宜昌二模)若sin10°＝asin100°，則sin20°＝()A.eq\f(a,a2＋1) B．－eq\f(a,a2＋1)C.eq\f(2a,a2＋1) D．－eq\f(2a,a2＋1)答案C解析由題意可得a＞0，因為sin10°＝asin100°＝asin(90°＋10°)＝acos10°，又因為sin210°＋cos210°＝1，解得sin10°＝eq\f(a,\r(a2＋1))，cos10°＝eq\f(1,\r(a2＋1))，所以sin20°＝2sin10°cos10°＝2·eq\f(a,\r(a2＋1))·eq\f(1,\r(a2＋1))＝eq\f(2a,a2＋1).故選C.21．(2023·四川宜賓期末)若tanα＝－eq\f(3,4)，0<α<π，則sinα＋cosα＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(1,3)答案C解析因為tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，0<α<π，所以sinα>0，cosα<0，所以sin2α＋cos2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)cosα))eq\s\up12(2)＋cos2α＝1，解得cosα＝－eq\f(4,5)或cosα＝eq\f(4,5)(舍去)，可得sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝eq\f(3,5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(1,5).故選C.22．(2024·湖南三湘創(chuàng)新聯(lián)合體高三月考)已知α是第四象限角，且2tan2α－tanα－1＝0，則eq\f(cos（2π－α）－sin（π－α）,3cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos（－α）)＝()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3) C．－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)答案D解析由2tan2α－tanα－1＝0，解得tanα＝－eq\f(1,2)或tanα＝1.因為α是第四象限角，所以tanα＝－eq\f(1,2)，故eq\f(cos（2π－α）－sin（π－α）,3cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos（－α）)＝eq\f(cosα－sinα,－3sinα＋cosα)＝eq\f(1－tanα,－3tanα＋1)＝eq\f(3,5).23．(多選)(2023·湖北武漢武昌區(qū)期末)已知θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，則下列結論正確的是()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．eq\f(tanθ,1＋tan2θ)＝－eq\f(12,25)答案AD解析由θ∈(0，π)，sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)>1，得sinθ>0，cosθ<0，則θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A正確．由sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，兩邊平方可得，1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，則2sinθcosθ＝－eq\f(24,25).∵sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))