浙江省溫州市文成縣武陽書院高一下學(xué)期數(shù)學(xué)問卷5.12

武陽書院20232024學(xué)年高一數(shù)學(xué)問卷日期：5.12姓名：___________班級：___________一、單選題1．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知一個直三棱柱的高為，如圖，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的體積為（

）

A． B．2 C．4 D．53．從1，2，3，4，5中隨機選取2個不同的數(shù)，則所選的2個數(shù)中恰好有1個數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．4．已知，為兩個不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，，則D．若，，且，，則5．養(yǎng)雞是農(nóng)業(yè)養(yǎng)殖的一個重要組成部分，隨著人們對健康飲食的重視和市場對禽肉需求的增長，養(yǎng)雞業(yè)發(fā)展迅速．如圖為某小型養(yǎng)雞場2017—2023年每年養(yǎng)雞數(shù)量（單位：百只）的統(tǒng)計圖：則該養(yǎng)雞場這7年養(yǎng)雞數(shù)量的第60百分位數(shù)是（

）A．45 B．60 C．80 D．856．已知在正四面體中，M為AB的中點，則直線CM與AD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知某人收集一個樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90，在對錯誤數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．B．C． D．8．如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點，Q為線段（包括端點）上一點，則的面積的最大值為（

）

A． B． C．2 D．二、多選題（共18分，每個小題至少有兩個選項，選對部分得部分分，有選錯得0分）9．已知，為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或10．甲、乙兩社團各有3名男黨員、3名女黨員，從甲、乙兩社團各隨機選出1名黨員參加憲法知識比賽．設(shè)事件為“從甲社團中選出的是男黨員小凡”，事件為“從乙社團中選出的是男黨員”，事件為“甲、乙兩社團選出的都是男黨員”，事件為“從甲、乙兩社團中選出的是1名男黨員和1名女黨員”，則（

）A．與相互獨立B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與互斥11．如圖所示，已知三棱錐的外接球的半徑為為球心，為的外心，為線段的中點，若，則（

）A．線段的長度為2B．球心到平面的距離為2C．球心到直線的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為三、填空題12．已知，，則向量在向量上的投影向量為.（用坐標(biāo)表示）13．已知事件與事件相互獨立，如果，，那么.14．已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為，點是的重心，且，則角的大小為．四、解答題（13+15+15+17+17=77分）15．某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.16．在①，②中任選一個作為已知條件，補充在下列問題中，并作答.問題：在中，角所對的邊分別為，已知_________.(1)求；(2)若的外接圓半徑為1，且，求.注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個解答計分.17．如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點到點的位置，連接，為的中點.(1)若平面平面，求點到平面的距離；(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.18．如圖是一個正四棱臺的鐵料，上、下底面的邊長分別為和，高．

(1)求四棱臺的表面積；(2)若要這塊鐵料最大限度打磨為一個圓臺.①求削去部分與圓臺的體積之比；②先將整個鐵料圓臺融化（不考慮損耗），再將全部鐵水凝固成一個圓柱，當(dāng)圓柱的底面半徑為何值時，圓柱的上下底面圓的周長與側(cè)面積的和最小.19．甲、乙、丙三個學(xué)校進行籃球比賽，各出一個代表隊，簡稱甲隊、乙隊、丙隊，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個隊，另一隊輪空；每場比賽的勝隊與輪空隊進行下一場比賽，負(fù)隊下一場輪空，直至有一隊被淘汰；當(dāng)一隊被淘汰后，剩余的兩隊繼續(xù)比賽，直至其中一隊被淘汰，另一隊最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊首先比賽，丙隊輪空．設(shè)甲隊與乙隊每場比賽，甲隊獲勝概率為0.5，甲隊與丙隊每場比賽，甲隊獲勝概率為0.6，乙隊與丙隊每場比賽，乙隊獲勝概率為0.4，各場比賽相互獨立，且無平局．記事件A為甲隊和乙隊比賽甲隊輸，事件B為甲隊和乙隊比賽乙隊輸，事件C為甲隊和丙隊比賽甲隊輸，事件D為乙隊和丙隊比賽乙隊輸，事件E為甲隊和丙隊比賽丙隊輸，事件F為乙隊和丙隊比賽丙隊輸．(1)求“乙隊連勝四場”的概率；(2)寫出用A，B，C，D，E，F(xiàn)表示“比賽四場結(jié)束”的事件，并求其概率；(3)求“需要進行第五場比賽”的概率．參考答案：1．B【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2．C【分析】依題意畫出底面的平面圖形，從而求出，再根據(jù)柱體的體積公式計算可得.【詳解】依題意可得底面的平面圖形如下所示：

其中，，所以此三棱柱的底面積為，因為該三棱柱的高為，所以此三棱柱的體積.故選：C.3．C【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)字1，2，3，4，5中共有3個質(zhì)數(shù)，分別是2，3，4，從1，2，3，4，5中隨機選取2個數(shù)的所有基本事件有：，共10個，其中恰好有1個數(shù)是質(zhì)數(shù)的基本事件有，，共6個，所以所求概率為.故選：C．4．A【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系中平行的有關(guān)判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，由面面平行的定義可知，若兩個平面平行，則其中一個面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面，故A正確；對于B，若則或，故B錯誤；對于C，若，，則或異面或相交，故C錯誤；對于D，若，且，則，或，故D錯誤，故選：A.5．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為44，45，60，60，80，85，110．因為，所以第60百分位數(shù)是第5個數(shù)，即80，故選：C6．C【分析】根據(jù)給定條件，作出異面直線CM與AD所成角，再在三角形中求解即得.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為2，取BD的中點N，連接MN，CN，如圖，

由M是AB的中點，得，則是CM與AD所成的角或其補角，顯然，取MN的中點E，連接CE，則，在中，，因此，所以直線CM與AD所成角的余弦值為.故選：C7．C【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的定義判斷．【詳解】因為，因此平均數(shù)不變，即，設(shè)其他48個數(shù)據(jù)依次為，因此，，，所以，故選：C．8．A【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，確定的最大值，即可求解△BCQ面積的最大值.【詳解】取AB的中點E，連接CE，過Q作，垂足為M，過M作，垂足為N，連接QN，PE，

則，且，點E到BC的距離為.由直三棱柱的性質(zhì)知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，則，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，則，可知，當(dāng)且僅當(dāng)點Q與點P重合時，等號成立，所以面積的最大值為.故選：A.9．AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的運算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)減法的運算法則逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，本選項正確；B：取，，滿足，但，故本選項錯誤；C：設(shè)，，，由，得，即，，所以，即，故本選項正確；D：取，，則，，此時且，故D不正確．故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的定義判斷即可.【詳解】由題意可得，，，.因為，所以與相互獨立，故A正確；因為，所以與不相互獨立，故B錯誤；因為，所以與相互獨立，故C正確；因為，所以與互斥，故D正確.故選：ACD11．ACD【分析】對于ABC，根據(jù)三棱錐外接球的概念、結(jié)構(gòu)特征和球的截面性質(zhì)以及已知條件研究判斷即可；對于D，根據(jù)球的截面性質(zhì)找到直線與平面所成的角即可計算求解.【詳解】對于A，在中，為的外心，，則，故A正確；對于B、C，連接，，，則由三棱錐的外接球的半徑為3以及球的截面性質(zhì)可得：球心到平面的距離為，故B錯誤；由為的中點，知，，所以，故正確；由球的截面性質(zhì)平面平面，所以，且為在面DAB上的射影，所以為直線與平面所成角，且中，，故D正確.故選：ACD.12．【分析】根據(jù)投影向量的公式計算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為：.13．/【分析】根據(jù)事件獨立可得概率之間的關(guān)系，從而可求.【詳解】由題意知：，因為事件與事件相互獨立，故，又，故，.故答案為：14．【分析】根據(jù)重心性質(zhì)可得，代入已知，結(jié)合平面向量基本定理可得，然后由余弦定理可解.【詳解】記的中點分別為，則，由重心性質(zhì)可知，，所以，所以，即，由平面向量基本定理可知，即，所以，，因為，所以.故答案為：

15．(1)14.5(2)0.38【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和總體百分位數(shù)的定義直接求解即可.（2）設(shè)任取的會員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，先求出對應(yīng)概率，即可求解體檢為“健康”的概率.【詳解】（1）解：（1）由于在的樣本數(shù)據(jù)比例為：∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在內(nèi)∴估計為：.（2）（2）設(shè)任取的會員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，∴，，設(shè)事件在該地區(qū)工會會員中任取一人體檢為“健康”.16．(1)；(2).【分析】（1）選擇條件①根據(jù)余弦定理邊角互化可求解，選擇條件②根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換求解；（2）根據(jù)余弦的和差角公式可得，進而利用正弦定理可得，，由余弦定理即可求解.【詳解】（1）選擇條件①：因為，在中，由余弦定理可得，化簡得，由余弦定理可得，因為，所以.選擇條件②：因為，由正弦定理得，.即，則，因為，，所以，因為，所以.（2）因為，所以，即，即，又因為，所以.由于的外接圓半徑為，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以.17．(1)；(2)【分析】（1）利用等體積法求解點到平面的距離；（2）根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，結(jié)合余弦值得出，利用勾股定理可得答案.【詳解】（1）連接，則，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的邊長為，，，設(shè)點到平面的距離為，則，，，即點到平面的距離；（2）取的中點，連接，，，，，為二面角的平面角，，由題可知與全等，在中，，，，，，.18．(1)(2)①；②【分析】（1）求出側(cè)面的斜高，得到側(cè)面積，再與上下底面積求和得到表面積；（2）①最大的圓臺是上底面圓與棱臺上底面正方形相切，高為棱臺的高時，求出圓臺的體積，再求出正四棱臺的體積，即可得到削去部分，從而得到體積之比；②設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，根據(jù)體積相等得到，即，再表示出底面周長與側(cè)面積，最后利用基本不等式計算可得.【詳解】（1）如下圖，正四棱臺側(cè)面是全等的等腰梯形，分別取中點，連接，過點作，交于點.則，所以，所以四棱臺的表面積.

（2）①若要這塊鐵料最大限度打磨為一個圓臺，則圓臺的上、下底面圓與正四棱臺的上下底面正方形相切，高為正四棱臺的高.則圓臺上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，高，則圓臺的體積為．又正四棱臺的體積，所以削去部分的體積，所以削去部分與圓臺的體積之比為；②設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，即，所以，所以圓柱的底面周長，側(cè)面積，則圓柱的上下底面圓的周長與側(cè)面積的和為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)圓柱的底面半徑為時，圓柱的上下底面圓的周長與側(cè)面積的和最小.19．(1)0.04(2)BEBE，AFAF，ADCD和BCDC；(3)【分析】（1）確定“乙隊連勝四場”的事件為，根據(jù)相互獨立事件的概率計