(完整版)醫(yī)科高等數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

1.極限存在條件limf(x)Af(x0)f(x0)Axx02.法則1(夾逼法則) 若在同一極限過程中,三個(gè)函數(shù)f1(x)、f2(x)及f(x)有如下關(guān)系:f(x1)f(x)f(x2)且limf(x1)limf(x2)A則limf(x)A3. 法則2(單調(diào)有界法則) 單調(diào)有界數(shù)列一定有極限4.無窮小定理limf(x)Alim[f(x)A]0以~-A為無窮小，則以A為極限。性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和或乘積還是無窮小性質(zhì)2 有界變量或常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)3 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.5.高階同低階無窮小，假設(shè),是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小,且0.(1)如果lim0,就說是比較高階的無窮小,記作o()(2)如果lim,就說是比較低階的無窮小,或者說是比較高階的無窮小;(3)如果limC(C0),就說與是同階的無窮小;C=1時(shí)，為等價(jià)無窮小。(4)如果lim C(C0,k0),就說是的k階的k無窮小6.若limf(x)A,limg(x)B,則有(1)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB(2)lim[f(x)?g(x)]limf(x)?g(x)A?B(3)limf(x)g(x)limf(x)A(B0)limg(x)B推論若limf(x)存在,而c為常數(shù),則limcf(x)climf(x)若limf(x)存在,而n為正整數(shù),則lim[f(x)]n[limf(x)]n x1例題limx2x1 limx1limx1limx2

x2x1 x2limx113x27.所以當(dāng)a00,b00,m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有l(wèi)ima0xma1xm1amxbxnbxn1b0 1 na

b,當(dāng)nm,

00,當(dāng)nm,,當(dāng)nm,8.例題求limx(x2x)limx(x2x)limx(x22x)(x22x)x2xxxxlim2xlim12

2

x21=1x22xxx9.兩個(gè)重要的極限limsinx1 limxsin1=1x0 x x x例題求limsinmx limsinmxlimmsinmxnxx0sinnx x0sinnx x0n mx sinnxm sinmx nx mlimlimnx0 mx x0sinnx n1 1 1 sint求limxsin 令t,則當(dāng)x時(shí),t0.所以limxsinlim1x x x x x t0 tlim(11)xe lim(1x)e

1x x x02 2 2 x 2 2 x例題求lim(1)3x lim(1)3x lim[(1)2](x)(3x) lim[(1)2]6 e6x x x x x x x x例題2求lim(x1)x lim(x1)lim(12)lim[(1

2)x2

1]2(12)

xx1 xx1 x x1 x x1 x1 e2?1e2解法2lim(11)xx 1

lim(1)xx x 1

lim[(1)x]1x x e

e1e2(11)xxx10.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是(1)f(x)在點(diǎn)x0處有定義;(2)limf(x)存在;(3)limf(x)f(x0).xx0 xx011. 函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是函數(shù)f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).12.滿足下列三個(gè)條件之一的點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).(1)f(x)在點(diǎn)x0沒有定義;(2)limf(x)不存在;(3)limf(x)存在,但limf(x)f(x0).xx0 xx0 xx0跳躍間斷點(diǎn)如果f(x)在點(diǎn)x0處左,右極限都存在,但limxx0

f(x)limxx0 f(x),則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)如果f(x)在點(diǎn)x0處的極限存在,但limf(x)Af(x0),或f(x)在點(diǎn)x0處無定義,則xx0稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的可去間斷點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)為左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)是不存在的第二類間斷點(diǎn)中包括無窮間斷點(diǎn)（有一段的極限為正或負(fù)無窮）震蕩間斷點(diǎn)（limsin1）1原式limln(1x)xlne=1xx013.例題求limln(1x) x0 x.x014.（最值定理）若函數(shù)yf(x)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則yf(x)在閉區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值．（有界性定理） 若函數(shù)yf(x)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則其在閉區(qū)間上必有界（介值定理） 若函數(shù)yf(x)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對介于f(a)和f(b)之間的任何數(shù)C，至少存在一個(gè)(a,b)，使得f()c根的存在定理兩側(cè)異號至少有一根。15.函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為：f(x0)f(x0)16.可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的連續(xù)不一定可導(dǎo)17.導(dǎo)數(shù)(C)0.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零. (xn)nxn1. (sinx)cosx (cosx)sinx(logax)xlna

1 (lnx)1x

(cotx)cscx. (tanx)secx.(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx. (ax)axlna (ex)ex(arcsinx) 1. (arccosx) 1. (arctanx)1;1x2 1x2 1x2(cotx)1.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)1x2(1)[u(x)v(x)]u(x)v(x);(2)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x);(3)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x) (v(x)0)(1) (u1u2un)u1 u2un (2) (Cu)Cu(3) (u1u2un)u1 u2unu1u2unu1u2un因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鎖鏈法則)yf(u)(v)(x)x2 y2隱函數(shù)求導(dǎo)法則兩邊對X求導(dǎo)例題已知函數(shù)y是由橢圓方程a2b21所確定的求y方程兩邊分別關(guān)于 x求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運(yùn)算法則有2xa2

2yb2y0解得yb2x 例題2eyxye eyyyxy yyay ex對數(shù)求導(dǎo)法 先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).例 題 y3 (x3)(x4) (x1)(x2) lny13

[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]1 1 1 1 1 1y()y 3x1 x2 x3 x4y133 (x3)(x4)x1

(x1)(x2)(1x2

1x3

1x4

1) 高階導(dǎo)數(shù)ysinx y(n) sin(xn) (cosx)(n)cos(xn)2 218. 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的充要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且Af(x0).即可導(dǎo)可微. Af(x0).19. 基本初等函數(shù)的微分公式1 1d(arctanx)1x2dx d(arccotx)1x2dxd(C)0 d(x)x1dxd(sinx)cosxdx d(cosx)sinxdxd(tanx)secxdx d(cotx)cscxdxd(secx)secxtanxdx d(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadx d(ex)exdxd(logax) xlnadx 1 d(lnx)1x

dx1 1d(arcsinx) dx d(arccosx) dx1x2 1x220. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則d(uv)dudv d(Cu)Cdud(uv)vduudv d()vduudvv v2例題設(shè)ye13xcosx,求dy. dycosxd(e13x)e13xd(cosx)(e13x)3e13x (cosx)sinx dycosx(3e13x)dxe13x(sinx)dxe13x(3cosxsinx)dx微分形式不變性微分形式始終為dyf(x)dx21. Lagrange中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使下面等式成立 f(b)f(a)f()(ba)推論 如果對于任意x(a,b),有f(x)0,則f(x)c(c為常數(shù))如果對于任意x(a,b),有f(x)g(x),則f(x)g(x)c(c為常數(shù))例題證明arcsinxarccosx 設(shè)f(x)arcsinxarccosx2f(x) 1(

1)0f(x)C 又f(0)arcsin0arccos01x2 1x2 0 22

即C2

arcsinxarccosx20 22. 型及型未定式解法:洛必達(dá)法則0 如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足下列三個(gè)條件0／0∞／∞，導(dǎo)數(shù)都存在且g(x)0，limf(x) g(x)存在或者無窮大則當(dāng)xx0或x則有l(wèi)img(x)limf(x)0,,00,1,0型未定式解法01或001.1100001lnxx00000 0ln01ln10.例題求lim(x) 0 0ln x1x 1

limxlimexx1 1

lim xx lnxlnxlim xx0lim(x)xexx 1 lim1lnxe01lim xx1x洛必達(dá)法則不是萬能的求lim exex.洛必達(dá)不能求解xeex exexlim xeex 1e2xlim x1e2x1(兩邊同乘以ex)23.可導(dǎo)函數(shù)的的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（駐點(diǎn)為可導(dǎo)但是導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)） 函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).判斷是否為極值點(diǎn)要計(jì)算駐點(diǎn)兩側(cè)倒數(shù)的符號是否不同求駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)若二階導(dǎo)數(shù)為正值則為極小值負(fù)值則為極大值為零則不能判斷24.二階導(dǎo)數(shù)為正值則為凹的負(fù)值則為凸的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)階導(dǎo)數(shù)不存在在拐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)為零或二函數(shù)作圖 求定義域函數(shù)的奇偶性和周期性求一階和二階導(dǎo)數(shù)討論極值點(diǎn)和拐點(diǎn)漸近線 列表25.kf(x)dxkf(x)dx基本積分公式[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx(1)xdxx1C(1);(2)dxxlnxC3adxlnaC14edxeC(5)cosxdxsinxC(6)sinxdxcosxC(7)

(9)sec2xtanxC(8)csc2xcotxC 1

1x2dxarctanxCarccotxC(10)1dxarcsinxCarccosxC1x226.第一類換元法(湊微分法)設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u(x)可導(dǎo)則有f[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)F[(x)]Csecxdxln(secxtanx)C湊微分的集中常見形式cscxdxln(cscxcotx)C1.f(xn1)xdxf(xn1)d(xn1)n12.f(x) xdx2f(x)d(x)3.f(lnx)dxf(lnx)d(lnx)4. 1

f()xdxf(1)d(1)、x2 x xx5.f(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)6.f(ex)exdxf(ex)dex7.f(tanx)sec2xdxf(tanx)dtanx 8. f(arctanx)dxf(arctanx)d(arctanx)1x227.第二類換元積分法f(x)dxf[(t)](t)dt（根式代換）例題求 1dx.令xtdx6tdt 1dx 6t5dtx(13x) x(13 x) t(1t)6t2dt6t2dt6t211dt6dt6 1dt6(tarctant)C1t2 1t2 1t2 1t26(6xarctan6x)C三角代換的形式 (1) a2x2 xasint;(2) a2x2 xatant;(3) x2a2 xasect. 倒數(shù)代換x1也為常用的形式u28.分部積分法udvuvvdu 使用時(shí)應(yīng)注意的問題（1）v要容易求得；（2）vdu要比udv容易積出. 例題xarctanxdx. 令uarctanx,xdxd2x2dvxarctanxdx x22

arctanxx22

d(arctanx)x22

arctanx x221x2dx1x2arctanx1(1 1

1x2)dxx2arctanx1(xarctanx)C2222例題2lnxxdx.uxdx2udulnxxdx2lnudu2(ulnudu)2u(lnu1)C2x(lnx1)CA2

(xa)k1Ak

xaA1,A2,,Ak待定29.有理函數(shù)的積分待定系數(shù)法分母中若有因式(xa)，則分解后為A1

(xa)k的常數(shù)分母中有(xpxq)分解后為M1xN1 M2xN2 MkxNk(xpxq)k (xpxq)k1 xpxq其中p4q0 Mi,Ni待定的常數(shù)例題 x26x13dx.分母實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解則用湊分法 2x2 2x2 dx 2x64dx d(x26x13) dx4 dxx26x13 x26x13 x26x13 (x3)222ln(x26x13)2arctan x3C230.定積分b f(x)dxlimf(i)xia 0i1相關(guān)性質(zhì)bkf(x)dxkf(x)dxk為常數(shù)a a.[f(x)g(x)]dxb f(x)dxg(x)dx b f(x)dxf(x)dxf(x)dxa a a a a c[a,b]上f(x)g(x)f(x)dxg(x)dxa a設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值,則m(ba)f(x)dxM(ba)a定積分中值定理b f(x)dxf()(ba)(ab)a積分上限函數(shù)G(x)x f(t)dtx[a,b]有G(x)[f(t)dt]f(x)(axb)a a例題y1t1dt求導(dǎo)數(shù)先化為積分上限函數(shù)yx3t123 t 1 23 tdtx3視為yut1dtux的復(fù)合函數(shù)dydydududxd(ut11 23 tdt)(x)23tdxdu13x2(1x3)2x例題2[xx32et2dt][xx32et2dt][xa2et2dt][et2dt][et2dt][et2dt]aaaex4(x)ex(x3)2xex3x2ex6微積分基本定理bf(x)dxF(x)abF(b)F(a)a定積分的換元法bf(x)dxf[(t)](t)dta例題1x(x21)3dx設(shè)x21tx0t1;x1t20所以有1x(x21)3dx121(x1)d(x1)12tdt1t42115288001不換新變量就不要改變積分上下限1x(x1)dx(x1)3d(x21)12 0 8(x21)4101580例題21x21x2dx.設(shè)xsint,dxcostdt0x0t0;x1t1

x21xdx2sin2t1sin2tcostdt162002sintcostdt24 0sin2tdt1

2(1cos4t)dt1(t1sin4t)2 088400定積分的分部積分法budvuvbvduaaa例題xedx.xedxxdexxex10edxee0x10e(e1)1000e e

lnxdxxlnx1ex1dxex1e1x1131.用定積分求面積和旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積V[f(x)]2dxy2dx（繞x軸形成的）a aVd[(y)]2dyx2dx(繞y軸形成的)c c例題yx2 x0 y1繞y軸形成的體積4用公式ba

x2dy Vx2dy4ydy2y20 0 10

232.無窮區(qū)間的廣義積分a

f(x)dxlimbabf(x)dx極限存在則為廣義積分存在或收斂 極限不存在則為廣義積分不存在或發(fā)散相應(yīng)的有形式b

f(x)dxlimaaf(x)dx b f(x)dxlimaaf(x)dx牛頓公式a

f(x)dxlimF(b)F(a)F(x)b a f(x)dxF(x)0F(x) b

f(x)dxF(b)limF(a)F(x)a

b例題(3)dx. dx0dxdx（原函數(shù)為正切函數(shù)） 1x2 1x2 1x2 0 1x2無界函數(shù)的廣義積分a

b f(x)dxlim0a b f(x)dxba

f(x)dxf(x)dxf(x)dxlima c 10a c1 f(x)dxlim20c2 b f(x)dx(10,20) 若limf(x)只有當(dāng)上式右端兩個(gè)極限都存在時(shí)則稱xc a

b f(x)dx收斂否則為發(fā)散。例題求1dx.lim

x11x1是無窮間斷點(diǎn)21x21x201dxlim001dxlimarcsinx01 0limarcsin(1)001x21x20計(jì)算1 1dx.？

2x33.平面的一般方程AxByCzD0圓柱面xyR2橢圓拋物面zxy2雙曲拋物面zx2

a2y2(a0,b0)b2圓錐面zxy（二元函數(shù)的圖像通常為一張曲面）34.二元函數(shù)的相關(guān)定義及性質(zhì)同一元函數(shù)相近35.偏導(dǎo)數(shù)同全微分fx(x0,y0)limx0f(x0x,yx

0)f(x0,y0)fy(x0,y0)limy0f(x0,y0y)f(xy

0,y0)二階偏導(dǎo)數(shù)xx

z 2zx2fxx (x,y) yyzy2z2fyy(x,y)yx

z xy

2z

fxy(x,y), xy z yxf

2zyx

(x,y)（混合偏導(dǎo)數(shù)）混合偏導(dǎo)數(shù)并不都是都相等的.定理如果zf(x,y)得兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)2z2z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么有該區(qū)域xyyx內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。全微分dzAxBy如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)必存在。且函數(shù)在該點(diǎn)處的全微分為dzzxzyx y一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存=微分存在 多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在有偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，全微分才存在偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)則在該點(diǎn)處可微(可微的充分條件)若函數(shù)在某點(diǎn)可微分則在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)必定存在(可微的必要條件)例題zarctany的全微分zyzxdzydxxdyxxy2yx2y2x2y2x36.u(x,y)v(x,y)(x,y)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，zf(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)可微，則復(fù)合函數(shù)在(x,y)存在對xy的偏導(dǎo)數(shù)。z zu

zvz

zu

zvx ux vx y uy vy x z z

例題zulnvu v3x2y求 y x yx

z

u

z

ux

v

z v2ulnvx1y

u2v

32xy2ln(3x2y)y(3x2y)

3x2zzuzv2ulnv(yx

y2)u2(2)2x2

y2ln(3x2y)2x2yuyvy(3x2y)v中間變量既有一元函數(shù)又有二元函數(shù)的情形zf(u,x,y)u(x,y)即zf[u(x,y),x,y]則有zxf uuxf,xzf uuyf.例題zu23xy,u2xy求zzyyxyzf uuxf2u23y4(2xy)3y8x7yxxzf uuyf2u13x2(2xy)3x7x2yyy中間變量均為一元函數(shù)設(shè)zf(u,v)可微且有uu(x),vv(x)有zf[u(x),v(x)]為x的一元函數(shù)有dzdxzduzdv例題zeu2vusinxvx3求dzudxvdxdx有dzdxzduzdveu2vcosx2eu2v3x2esinx2x(cosx6x2)udxvdx37.隱函數(shù)微分法一元隱函數(shù)求導(dǎo)設(shè)F(x,y)0確定的一元隱函數(shù)為yf(x)則有F[x,f(x)]0F Fdy F dy F則有x

y

dx

0若y 0則有dx Fxz例題yxex0所確定的函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy.dxF F則有F(x,y)yxex0 x ey1,y1xey0dy ey1 ey1所以有dx 1xey

1xey二元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法F(x,y,z)0所確定的函數(shù)為zf(x,y)（二元隱函數(shù)）F[x,y,z(x,y)]0兩側(cè)分別求導(dǎo)FxFzz x0,FFzz y0若F0則有yyzxFx

FzzFyFzy例題exyz0所確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)F(x,y,z)exyzFxyz,Fyxz,Fzezxy0所以有x

zFF

xz

exy

yzy

z

FF

yz

exy

xz38.設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極值且在改點(diǎn)處兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在則必有fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0（極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn).）設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某臨域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。又有fx(x0,y0)0fy(x0,y0)0令fxx(x0,y0)Afxy(x0,y0)Bfyy(x0,y0)C當(dāng)BAC0時(shí)該點(diǎn)為極值點(diǎn)（A<0則為極大值點(diǎn)A>0則為極小值點(diǎn)） BAC0時(shí)不為極值點(diǎn)39.條件極值BAC0時(shí)不能確定求zfx,y在約束條件gx,y0下的極值構(gòu)造輔助函數(shù)(lagrange函數(shù))Fx,y,fx,ygx,y（為常數(shù)）Fxfxx,ygxx,y0求F yfFgx,y0

yx,ygyx,y0解方程組若(x0,y0,0)為一解則(x0,y0)是可能的條件極值點(diǎn)（用題中所給條件判定）40.二重積分f(x,y)df(x,y)dxdyD D二重積分的相關(guān)性質(zhì)kf(x,y)dkf(x,y)d[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)df(x,y)df(x,y)df(x,y)d（區(qū)域可加性）D D1 D2

1dd(為D的面積)若D上有f(x,y)g(x,y),則有f(x,y)dg(x,y)d.D Dmf(x,y)dM（Mm分別為最大值和最小值，為D的面積)f(x,y)df(,)（至少存在一點(diǎn)滿足此式） D

二重積分可化為二次定積分計(jì)算dx2(x)f(x,y)dyddy2(y)f(x,y)dx(x-型先y后x，y-型先x后y) a

例題 1(x)

(xy)dxdyc1(y)xy為區(qū)域求面積yx2Dyx2(0,0),(1,1)（求兩曲線的交點(diǎn)）xy2y3) 3x2dx 0x1X-型2xyx(x2y)dxdy[x0 x2(xy)dy]dx(xyD0(x2x(x)3xx6)dx( 32 7

x2 5

xx5x7)2110671535350積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分時(shí)通常用極坐標(biāo)積分

f(x,y)dxdyf(cos,sin)ddDexD例題2y2dxdy區(qū)域Dx2y2a2,x0,y0.D有02，0a所以有ex2y2dxdy2ded

2ed00D4ed()2

4(1ea)41.微分方程例題一曲線經(jīng)過(1,2)，該曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率為2x，求該曲線方程。 設(shè)曲線為yf(x) dy2x（根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義）即dy2xdx dx

兩邊積分dy 2xdx得yxC（C為任意常數(shù)）根據(jù)點(diǎn)有yx1一階微分方程yF(x,y)或dyF(x,y).高階微分方程y(n)F(x,y,y,y(n1)) dx

微分方程的實(shí)質(zhì) 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.42.可分離變量的微分方程dyf(x)g(y)（等式右端的函數(shù)可分解成x的函數(shù)與y的函數(shù) dx

相乘的形式.）一階線性微分方程 dyP(x)yQ(x) 當(dāng)Q(x)0,為其次的。不衡為零時(shí)，為非其次的。 dx

（線性指為微分方程僅有y得一階導(dǎo)數(shù)，且y和y’都是一次冪dyP(x)y0的通解為yCeP(x)dxdxdydxP(x)yQ(x)的通解為y[Q(x)eP(x)dxdxC]eP(x)dxCeP(x)dxeP(x)dx