第25講-等比數(shù)列及其前n項和-2021年新高考數(shù)學(xué)一輪專題訓(xùn)練含真題及解析

第25講-等比數(shù)列及其前n項和考情分析1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；3.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項，其中G＝±eq\r(xy).2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.[微點提醒]1.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.經(jīng)典例題考點一等比數(shù)列基本量的運算【例1-1】（2020·湖南省高三三模（理））已知數(shù)列的前項和滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，可得.兩式相減得，即.∵，∴∴是首項為6，公比為3的等比數(shù)列從而.【例1-2】（2020·黑龍江省黑龍江實驗中學(xué)高三三模（文））等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前8項的和為（）A．64 B．22 C．-48 D．-6【答案】C【解析】等差數(shù)列的首項為，設(shè)公差（）．若，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以的前8項和為．【例1-3】（2020·陜西省高三二模（文））等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，所以，所以，則，故選：B.規(guī)律方法1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).考點二等比數(shù)列的判定與證明【例2-1】（2020·上海高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)證明：.【解析】（1）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因為當(dāng)時，，所以，于是=，所以.【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正項數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等差中項.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若是數(shù)列的前n項和，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，故，所以；所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，因為是的等差中項，所以，所以，解得；數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）可知，故數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，，因為恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.規(guī)律方法1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3-1】（2020·黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高三三模（理））在等比數(shù)列中，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)公比為，因為，故，所以，故選：D.【例3-2】（2020·定遠縣育才學(xué)校高三其他（理））已知正項等比數(shù)列{an}，若向量，，，則＝（）A．12 B． C．5 D．18【答案】D【解析】由題意，向量，，，則，即，根據(jù)等比中項的知識，可得，∵，故，∴【例3-3】（2020·陜西省高三三模（理））若數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足：，，函數(shù)滿足且，，則（）A．e B． C． D．【答案】A【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以；又為等比數(shù)列，且，所以，所以；又，所以，所以函數(shù)的最小正周期為4，又，所以，即.【例3-1】（2020·東北育才學(xué)校高三其他（文））已知正項等比數(shù)列的前項和為，，則公比的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，．，化為：，解得．規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形.此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.[方法技巧]1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比數(shù)列中的基本量.(2)分類討論思想：如求和時要分q＝1和q≠1兩種情況討論，判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.3.特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況.4.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1時且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立.課時作業(yè)1．（2020·黑龍江省哈師大附中高三其他（文））數(shù)列的前項和為，首項，若，則()A． B． C． D．2．（2020·海東市教育研究室高三其他（文））設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．1023 B．511 C． D．3．（2020·寧夏回族自治區(qū)寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（文））等比數(shù)列不具有單調(diào)性，且是和的等差中項，則數(shù)列的公比（）A． B． C．1 D．4．（2020·貴州銅仁偉才學(xué)校高一期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“諸葛亮領(lǐng)八員將，每將又分八個營，每營里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個，每個旗頭八隊成，每隊更該八個甲，每個甲頭八個兵.”則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有（）A．人 B．人C．人 D．人5．（2020·全國高三（文））在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則等于（）A．1 B．-1 C． D．不能確定6．（2020·全國高三（文））已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前項的和()A． B． C． D．7．（2020·海南省海南中學(xué)高三月考）已知正項等比數(shù)列，滿足，則（）A． B． C． D．8．（2020·廣西壯族自治區(qū)高三二模（文））若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則為（）A． B． C． D．9．（2020·四川省瀘縣第四中學(xué)高三二模（文））已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或10．（2020·黑龍江省鐵人中學(xué)高三其他（理））元代數(shù)學(xué)家朱世杰在“算學(xué)啟蒙”中提及如下問題：今有銀一秤一斤十兩,1秤=10斤，1斤=10兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之，問：各得幾何？其意思是：“現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，現(xiàn)將銀分給甲、乙、丙三人，他們?nèi)嗣恳粋€人所得是前一個人所得的一半”若銀的數(shù)量不變，按此法將銀依次分給5個人，則得銀最少的3個人一共得銀（）A．兩 B．兩 C．兩 D．兩11．（2020·全國高三其他（理））已知等比數(shù)列滿足，，則（）A．-48 B．48 C．48或-6 D．-48或612．（2020·黑龍江省哈師大附中高三月考（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則（）A． B．48 C．192 D．76813．（2020·江西省新余一中高一月考）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則A．144 B．81 C．45 D．6314．（2020·海東市教育研究室高三其他（理））在等比數(shù)列中，，且、、成等差數(shù)列，則公比（）A． B．或 C． D．或15．（2020·黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)高一期中）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若S2=3，S4=15，則S6=（）A．31 B．32 C．63 D．6416．（2020·全國高三其他（文））等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．17．（2020·江蘇省淮陰中學(xué)高一期中）等比數(shù)列的前項和為，若，則公比（）A． B． C． D．18．（2020·全國高三其他（文））在等比數(shù)列中，，則的值是（）A．8 B．16 C．32 D．6419．（2020·全國高三其他（文））已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．220．（2020·全國高三其他（理））已知公比不為的等比數(shù)列滿足，若，則（）A．9 B．10 C．11 D．1221．（2020·全國高三其他（文））已知數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，則的前6項和為A． B． C．63 D．12622．（2020·廣東省湛江二十一中高三月考（文））已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．23．（2020·天津一中高三月考）已知是各項均為正的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則（）A． B． C． D．24．（2020·黑龍江省高三其他（理））等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，，則滿足的最小的n值為（）A．3 B．4 C．5 D．625．（2020·黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高三一模（理））設(shè)為正項遞增等比數(shù)列的前項和，且，則的值為（）A．63 B．64 C．127 D．12826．（2020·新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第70中高一期末）已知為等比數(shù)列,,,則（）A． B． C． D．27．（2020·四川省成都市郫都區(qū)第四中學(xué)高一期末）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝（）A． B． C． D．28．（多選題）（2020·海南省高三其他）已知正項等比數(shù)列滿足，，若設(shè)其公比為q，前n項和為，則（）A． B． C． D．29．（多選題）（2020·山東省曲阜一中高三月考）在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則下列說法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路30．（多選題）（2020·山東省高二期末）若為數(shù)列的前項和，且，則下列說法正確的是（）A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列31．（2020·眉山市東坡區(qū)永壽高級中學(xué)高一期中）等比數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）記為的前項和．若，求．32．（2020·山東省嘉祥縣萌山高級中學(xué)高三其他）已知等比數(shù)列的公比，且的等差中項為10，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.33．（2020·全國高三其他（理））設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項和為.若，求的取值范圍.34．（2020·海南省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.35．（2020·全國高三其他（理））已知數(shù)列的前n項和滿足，其中.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.第25講-等比數(shù)列及其前n項和考情分析1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；3.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)如果三個數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項，其中G＝±eq\r(xy).2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.[微點提醒]1.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.經(jīng)典例題考點一等比數(shù)列基本量的運算【例1-1】（2020·湖南省高三三模（理））已知數(shù)列的前項和滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，可得.兩式相減得，即.∵，∴∴是首項為6，公比為3的等比數(shù)列從而.【例1-2】（2020·黑龍江省黑龍江實驗中學(xué)高三三模（文））等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前8項的和為（）A．64 B．22 C．-48 D．-6【答案】C【解析】等差數(shù)列的首項為，設(shè)公差（）．若，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以的前8項和為．【例1-3】（2020·陜西省高三二模（文））等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，所以，所以，則，故選：B.規(guī)律方法1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).考點二等比數(shù)列的判定與證明【例2-1】（2020·上海高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)證明：.【解析】（1）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因為當(dāng)時，，所以，于是=，所以.【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正項數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等差中項.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若是數(shù)列的前n項和，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，故，所以；所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，因為是的等差中項，所以，所以，解得；數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）可知，故數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，，因為恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.規(guī)律方法1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3-1】（2020·黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高三三模（理））在等比數(shù)列中，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)公比為，因為，故，所以，故選：D.【例3-2】（2020·定遠縣育才學(xué)校高三其他（理））已知正項等比數(shù)列{an}，若向量，，，則＝（）A．12 B． C．5 D．18【答案】D【解析】由題意，向量，，，則，即，根據(jù)等比中項的知識，可得，∵，故，∴【例3-3】（2020·陜西省高三三模（理））若數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足：，，函數(shù)滿足且，，則（）A．e B． C． D．【答案】A【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以；又為等比數(shù)列，且，所以，所以；又，所以，所以函數(shù)的最小正周期為4，又，所以，即.【例3-1】（2020·東北育才學(xué)校高三其他（文））已知正項等比數(shù)列的前項和為，，則公比的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，．，化為：，解得．規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形.此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.[方法技巧]1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比數(shù)列中的基本量.(2)分類討論思想：如求和時要分q＝1和q≠1兩種情況討論，判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.3.特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況.4.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1時且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立.課時作業(yè)1．（2020·黑龍江省哈師大附中高三其他（文））數(shù)列的前項和為，首項，若，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，得當(dāng)時，由得，所以，即，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，所以，所以，故選：B2．（2020·海東市教育研究室高三其他（文））設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．1023 B．511 C． D．【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由題意可得，所以，由題得.故.3．（2020·寧夏回族自治區(qū)寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（文））等比數(shù)列不具有單調(diào)性，且是和的等差中項，則數(shù)列的公比（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】等比數(shù)列不具有單調(diào)性，或，是和的等差中項，所以，或（舍去）.4．（2020·貴州銅仁偉才學(xué)校高一期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“諸葛亮領(lǐng)八員將，每將又分八個營，每營里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個，每個旗頭八隊成，每隊更該八個甲，每個甲頭八個兵.”則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有（）A．人 B．人C．人 D．人【答案】D【解析】由題意可得將官、營、陣、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項為8，公比也是8，所以將官、先鋒、旗頭、隊長、甲頭、士兵共有：,故選D.5．（2020·全國高三（文））在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則等于（）A．1 B．-1 C． D．不能確定【答案】B【解析】∵，是方程的兩根，∴，，∴，又是等比數(shù)列，∴，而等比數(shù)列中所有偶數(shù)項同號，∴。6．（2020·全國高三（文））已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前項的和()A． B． C． D．【答案】A【解析】由等比數(shù)列滿足，，則等比數(shù)列，即，代入可得，則數(shù)列前8項的和，故選：A.7．（2020·海南省海南中學(xué)高三月考）已知正項等比數(shù)列，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以，，所以.8．（2020·廣西壯族自治區(qū)高三二模（文））若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得，∴，∴．選A．9．（2020·四川省瀘縣第四中學(xué)高三二模（文））已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=10．（2020·黑龍江省鐵人中學(xué)高三其他（理））元代數(shù)學(xué)家朱世杰在“算學(xué)啟蒙”中提及如下問題：今有銀一秤一斤十兩,1秤=10斤，1斤=10兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之，問：各得幾何？其意思是：“現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，現(xiàn)將銀分給甲、乙、丙三人，他們?nèi)嗣恳粋€人所得是前一個人所得的一半”若銀的數(shù)量不變，按此法將銀依次分給5個人，則得銀最少的3個人一共得銀（）A．兩 B．兩 C．兩 D．兩【答案】C【解析】一秤一斤十兩共120兩，將這5人所得銀兩數(shù)量由小到大記為數(shù)列，則是公比的等比數(shù)列，于是得，解得，故得銀最少的3個人一共得銀數(shù)為（兩）.11．（2020·全國高三其他（理））已知等比數(shù)列滿足，，則（）A．-48 B．48 C．48或-6 D．-48或6【答案】D【解析】由題意，，得或1，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選D。12．（2020·黑龍江省哈師大附中高三月考（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則（）A． B．48 C．192 D．768【答案】B【解析】，，即，解得，，.13．（2020·江西省新余一中高一月考）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則A．144 B．81 C．45 D．63【答案】B【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知：，，，……成等比數(shù)列，設(shè)公比為由題意得：14．（2020·海東市教育研究室高三其他（理））在等比數(shù)列中，，且、、成等差數(shù)列，則公比（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，，則其公比，由題意可得，即，則，即，解得或（舍去）.15．（2020·黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)高一期中）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若S2=3，S4=15，則S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【解析】S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數(shù)列，即3，12，S6﹣15成等比數(shù)列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=6316．（2020·全國高三其他（文））等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】17．（2020·江蘇省淮陰中學(xué)高一期中）等比數(shù)列的前項和為，若，則公比（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴．18．（2020·全國高三其他（文））在等比數(shù)列中，，則的值是（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，則，兩式相除可得，所以，所以.19．（2020·全國高三其他（文））已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q，且，由，得，化簡得，解得或（舍去）.因為，所以，則，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時解得所以的最小值為2.20．（2020·全國高三其他（理））已知公比不為的等比數(shù)列滿足，若，則（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)得：21．（2020·全國高三其他（文））已知數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，則的前6項和為A． B． C．63 D．126【答案】D【解析】因為，所以，則，，等比數(shù)列的首項為2，公比為2，則的前6項和，故選D.22．（2020·廣東省湛江二十一中高三月考（文））已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】正項等比數(shù)列的前項和為，，，，，且，解得，．23．（2020·天津一中高三月考）已知是各項均為正的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知，，即，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，解得，所以24．（2020·黑龍江省高三其他（理））等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，，則滿足的最小的n值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由已知，由，得，解得，又.∴，，∴，，∴化為，∵，∴，n的最小值為5.25．（2020·黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高三一模（理））設(shè)為正項遞增等比數(shù)列的前項和，且，則的值為（）A．63 B．64 C．127 D．128【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，即，解得或（舍去），所以，所以.26．（2020·新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第70中高一期末）已知為等比數(shù)列,,,則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】或.由等比數(shù)列性質(zhì)可知或27．（2020·四川省成都市郫都區(qū)第四中學(xué)高一期末）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，設(shè){an}的公比為q，則q＞0，∴S31＝7，解得q或q（舍去），∴a14，∴S528．（多選題