高二數(shù)學同步備課(人教A版2019選修第一冊)1.4.1空間中直線、平面的平行(第2課時)(分層作業(yè))(原卷版+解析)

1.4.1空間中直線、平面的平行（第2課時）（分層作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、多選題1．（2022·江蘇·濱海縣五汛中學高二階段練習）已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項中，正確的是（

）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥βC．∥?l∥α D．⊥?l∥α2．（2021·全國·高二課時練習）（多選題）若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則不可能使lα的是（

）A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)二、填空題3．（2020·廣東順德德勝學校高二期中）設向量分別是平面的法向量，向量，若平行，則實數(shù)___________4．（2021·全國·高二專題練習）平面的法向量，平面的法向量，已知，則__________.三、解答題5．（2022·全國·高二課時練習）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．6．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.7．（2022·全國·高二專題練習）如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面.8．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在正方體中，棱長為2，M，N分別為，AC的中點，證明：.9．（2021·江蘇·高二課時練習）證明“平面與平面平行的判定定理”：同一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．已知：，，，，．求證：．10．（2021·吉林·長春市第二十中學高二階段練習）如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【能力提升】一、解答題1．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點M在棱PD上，點N為BC中點.(1)若，證明：直線平面PAB：(2)線段PD上是否存在點M，使NM與平面PCD所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說明理由2．（2022·全國·高二課時練習）已知正方體中，棱長為2a，M是棱的中點.求證：平面.3．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個面的中心，求證：平面平面HMN．4．（2020·山東淄博·高二期末）已知三棱柱中，平面，于點，點在棱上，滿足.若，求證:平面;設平面與平面所成的銳二面角的大小為，若，試判斷命題“”的真假，并說明理由.5．（2021·福建福州·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，，．是棱的中點．（1）求證：面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點使得與平面所成角的正弦值為若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.1.4.1空間中直線、平面的平行（第2課時）（分層作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、多選題1．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學高二階段練習）已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列選項中，正確的是（

）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥βC．∥?l∥α D．⊥?l∥α【答案】AB【解析】根據(jù)線面直線的位置關系逐一判斷即可.【詳解】解：為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則∥?α∥β，⊥?α⊥β，∥?l⊥α，⊥?l∥α或l?α.因此AB正確.故選：AB.2．（2021·全國·高二課時練習）（多選題）若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則不可能使lα的是（

）A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)【答案】ABC【分析】由題可知，要使直線與平面平行，即求直線和平面的法向量垂直即可，結合向量垂直的數(shù)量積公式即可求解【詳解】若l∥α，則需，即，根據(jù)選擇項驗證可知：A中，；B中，；C中，；D中，；綜上所述，選項A，B，C符合題意故選：ABC.【點睛】本題考查利用空間向量判斷直線與平面的平行關系，屬于基礎題二、填空題3．（2020·廣東順德德勝學校高二期中）設向量分別是平面的法向量，向量，若平行，則實數(shù)___________【答案】4【分析】據(jù)時，它們的法向量共線，列出方程求出的值．【詳解】∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，∴，2，，，，且；解得，．故答案為：44．（2021·全國·高二專題練習）平面的法向量，平面的法向量，已知，則__________.【答案】0【分析】由可得，可設，可得出關于、、的方程組，解出這幾個未知數(shù)的值，進而可求得的值.【詳解】，則，設，則，解得，因此，.故答案為：.三、解答題5．（2022·全國·高二課時練習）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．【分析】利用坐標法，利用向量共線定理即得.【詳解】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.6．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.【分析】根據(jù)題意得出，利用空間向量共線定理證明即可.【詳解】證明：連接.點E，H分別是邊，的中點，且，，，且.又不在上，四邊形是梯形.7．（2022·全國·高二專題練習）如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面.【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系，分別寫出，求出平面與平面.的法向量，根據(jù)法向量與法向量的關系即可證明.【詳解】由正方體的棱長為4，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，,,,,,設平面的一個法向量為，則即，令，解得所以設平面的一個法向量為，則即，令，解得所以所以∴平面∥平面.8．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在正方體中，棱長為2，M，N分別為，AC的中點，證明：.【分析】連接，由中位線定理即可證明.【詳解】連接,如圖，由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點，所以，即是的中點，又N是AC的中點，所以.9．（2021·江蘇·高二課時練習）證明“平面與平面平行的判定定理”：同一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．已知：，，，，．求證：．【分析】通過證明兩個平面的法向量相同來證得結論成立.【詳解】取平面的法向量，直線a，b的方向向量，．因為，，所以，．因為，，，所以對任意點，存在x，，使得．從而．所以，向量也是平面的法向量．故．10．（2021·吉林·長春市第二十中學高二階段練習）如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【分析】（1）建立空間直角坐標系，設出相關點的坐標，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0進行證明；（2）證明兩個平面有相同的一個法向量即可..【詳解】（1）證明：以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方體的性質，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個法向量.由于＝(0，1，－1)，則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）證明：因為＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，則，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.【能力提升】一、解答題1．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點M在棱PD上，點N為BC中點.(1)若，證明：直線平面PAB：(2)線段PD上是否存在點M，使NM與平面PCD所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說明理由【分析】（1）以點A為坐標原點，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，用向量法證明；（2）利用向量法計算，判斷出點M不存在.(1)如圖所示，以點A為坐標原點，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，則若，則，因為平面ABCD，所以又因為所以平面PAB平面PAB的其中一個法向量為所以，即又因為平面所以平面(2)不存在符合題意的點M，理由如下：設平面PCD的法向量則不妨令，則設，即則解得或，不滿足，故不存在符合題意的點M.2．（2022·全國·高二課時練習）已知正方體中，棱長為2a，M是棱的中點.求證：平面.【分析】以點D為原點，分別以?與的方向為x?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別求出面的一個法向量和直線的方向向量，根據(jù)直線與平面平行的定義即可證明.【詳解】以點D為原點，分別以?與的方向為x?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系.則???????，M是棱的中點得，.設面的一個法向量為，，，則令，則.又，因為平面，所以平面.3．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是該正方體六個面的中心，求證：平面平面HMN．【分析】建立如圖空間直角坐標系，利用向量法證明，進而利用面面平行的判定定理即可證明.【詳解】由題意知，建立如圖空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，得，所以，即，又平面HMN，平面HMN，所以平面HMN，平面HMN，又平面EFG，平面EFG，，所以平面EFG平面HMN.4．（2020·山東淄博·高二期末）已知三棱柱中，平面，于點，點在棱上，滿足.若，求證:平面;設平面與平面所成的銳二面角的大小為，若，試判斷命題“”的真假，并說明理由.【答案】證明見解析

假命題，理由見解析【解析】根據(jù)題意，設，以點為坐標原點，以所在的直線為軸，過和平行的直線為軸，以所在的直線為建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量，只需證明，即可得出結論成立；根據(jù)中建立的坐標系，分別求出平面與平面的法向量，表示出兩向量的夾角，根據(jù)題意，即可求出結果.【詳解】因為，設，則，所以，，以點為坐標原點，以所在的直線為軸，過和平行的直線為軸，以所在的直線為建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，所以，，所以，所以，，設為平面的法向量，則即，取，則，所以，而，所以，又因為直線在平面外，所以平面.由可知，，因為，所以.所以，所以，所以，，設為平面的法向量.則，即，取，則，，因為平面，所以，因為，所以與的法向量平行，取，設平面與平面所成銳二面角為，所以對于，若把看作的函數(shù).則此函數(shù)在上是單調遞增的，在是單調遞減的，所以，所以，所以不存在，使得，命題“”是假命題.【點睛】本題主要考查證明線面平行，以及由二面角的范圍求其它量，靈活運用空間向量的方法證明和求解即可，屬于?？碱}型.5．（2021·福建福州·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，，．是棱的中點．（1）求證：面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點使得與平面所成角的正弦值為若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；

(3)答案見解析.【分析】（1）通過建立空間直角坐標系，利用平面的法向量即可證明平面；（2）分別求出平面與平面的法向量，利用法向量的夾角即可得出；（3）假設存在，利用線面角的夾角公式即可得出表達式，解方程即可?！驹斀狻拷猓海?）以點為原點建立如圖所示