高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊專題2.9直線與圓的方程大題專項訓(xùn)練(30道)(原卷版+解析)

專題2.9直線與圓的方程大題專項訓(xùn)練（30道）【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C過三個點0,2,1,1,2,2，過點P2,0引圓C的切線，求：(1)圓C的一般方程；(2)圓C過點P的切線方程.2．（2023春·河北張家口·高二?？茧A段練習(xí)）已知一圓C的圓心為2,?1，且該圓被直線l:x?y?1=0截得的弦長為22(1)求該圓的方程；(2)求過點P4,33．（2023秋·高一單元測試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=?2x上，且圓M與直線x+y?1=0相切于點P2,?1(1)求圓M的方程；(2)過坐標(biāo)原點O的直線l被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程.4．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓C經(jīng)過點A(1,2)和B(5,?2)，且圓C關(guān)于直線2x+y=0對稱．(1)求圓C的方程；(2)過點D(?3,1)作直線l與圓C相切，求直線l的方程．5．（2023春·河南信陽·高二校考階段練習(xí)）已知直線l:mx?y+1?m=0和圓(1)求證：對任意實數(shù)m，直線l和圓C總有兩個不同的交點；(2)設(shè)直線l和圓C交于A，B兩點.①若|AB|=17，求l②求弦AB的中點M的軌跡方程.6．（2023秋·高一單元測試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度AB為500m，圓拱的最高點H離水面AB的高度為100m，橋面CD離水面AB的高度為

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分CD的長度.（結(jié)果精確到0.1m7．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓P過兩點M(0,2)，N(3,1)，且圓心P在直線(1)求圓P的方程；(2)過點Q(?1,2)的直線交圓P于A,B兩點，當(dāng)AB=23時，求直線8．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1:(x+3)2+(1)求圓C2(2)直線3x+4y+m?5=0與圓C2相交于M,N兩點，且△MC2N的外接圓的圓心在9．（2023秋·高一單元測試）已知以點Ct,2tt∈R,t≠0為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O、(1)試寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線y=?2x+4與圓C交于M，N兩點，若OM=ON，求圓10．（2023春·江西贛州·高二?？计谀┮阎獔AC：(1)若直線l1過定點A1，1，且與圓(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x?y+2=0上，且與圓C外切，求圓11．（2023春·重慶沙坪壩·高一?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，圓C過點A(4,0)，B(2,2)，且圓心C在x+y?2=0上．(1)求圓C的方程；(2)若已知點P(4,23)，過點P作圓12．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過A0,3，B1,2兩點，且圓心C在直線(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與直線AB平行且與圓C相切的直線方程．13．（2023秋·高一單元測試）已知直線l：y=kx+22與圓O：x2+y2=4相交于不重合的A，B兩點，O

(1)求k的取值范圍；(2)△ABO的面積為S，求S的最大值，并求取得最大值時k的值．14．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知圓C的圓心在直線2x+y?4=0上，且與y軸相切于點O0,0(1)求圓C的方程；(2)已知過點P1,3的直線l被圓C截得的弦長為23，求直線15．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x?m2+y?(1)當(dāng)m=?1時，過原點O作直線l與圓C相切，求直線l的方程；(2)對于P?2,2，若圓C上存在點M，使MP=MO16．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知圓E經(jīng)過點A(0,1)，B(1,4)，且________.從下列3個條件中選取一個，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①過直線x?5y?5=0與直線x?2y?8=0的交點C；②圓E恒被直線l:(m+1)x+(m?3)y?6m?2=0(m∈R)平分；③與y軸相切.(1)求圓E的方程；(2)求過點P(10,11)的圓E的切線方程.17．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點P1,?1在下列所給的三個條件中，任選一個補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①與圓(x+1)2+y2=5相切；②傾斜角的余弦值為5(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與曲線C:x2+y2注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C:x2+(1)證明：直線l和圓C恒有兩個交點；(2)若直線l和圓C交于A,B兩點，求AB的最小值及此時直線l的方程.19．（2023秋·高二課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓與直線x?3(1)求圓O的方程；(2)若已知點P(3，2)，過點P作圓20．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C：x?32(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)設(shè)直線l：x=my+2①求證：直線l與圓C恒相交；②若直線l與圓C交于A，B兩點，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線．21．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1:x2+y2+12x?14y+60=0.設(shè)圓O2(1)求圓O2(2)設(shè)垂直于OO2的直線l與圓O1相交于B，C兩點，且BC22．（2023春·上海徐匯·高二?？计谥校┮阎獔AM方程為x2+y?22=1，直線l的方程為x?2y=0，點P在直線l上，過P作圓M的切線PA、PB(1)若P點坐標(biāo)為0,0，求(2)經(jīng)過A、P、M三點的圓是否經(jīng)過異于點M的定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．23．（2023春·廣西柳州·高二校考期中）已知圓C：x2+y?12=5(1)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點，且AB=17，求直線(2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點，求弦AB中點的軌跡方程.24．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知圓C:x(1)若直線l過點?2,0且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)從圓C外一點P向圓C引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，滿足PM=PO，求點25．（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知直線l：y=kxk≠0與圓C：x2+y2(1)若AB=13，求(2)在x軸上是否存在點M，使得當(dāng)k變化時，總有直線MA、MB的斜率之和為0，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．26．（2023春·四川內(nèi)江·高二?？奸_學(xué)考試）已知點P0,2，設(shè)直線l：y=kx+b（b，k∈R）與圓C:x2+y2(1)若PA⊥PB，求b的值；(2)若|AB|=23，且直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為233，求直線l(3)當(dāng)|PA|?|PB|=4時，是否存在一定圓M，使得直線l與圓M相切?若存在，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請說明理由.27．（2023春·安徽安慶·高二?？计谥校┮阎霃叫∮?的圓C過點A8,1，且圓C(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓C與直線l:x?y+m=0交于A,B兩點，__________，求m的值．從下列兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：∠ACB=120°；條件②：注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．28．（2023春·上海黃浦·高二?？计谥校┮阎本€l:x=my?1，圓C:x(1)證明：直線l與圓C相交；(2)設(shè)直線l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為l1，在點B處的切線為l2，l1與l2的交點為Q.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當(dāng)29．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知過點A?1,0的直線l與圓C:x2+y?32=4相交于P、Q兩點，M是弦PQ(1)當(dāng)直線l與直線m垂直時，求證：直線l經(jīng)過圓心C；(2)當(dāng)弦長PQ=23時，求直線(3)設(shè)t=AM?AN，試問t30．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期中）已知半徑為83的圓C的圓心在y軸的正半軸上，且直線12x?9y?1=0與圓C(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知A0,?1，P為圓C上任意一點，試問在y軸上是否存在定點B（異于點A），使得PBPA為定值？若存在，求點(3)在（2）的條件下，若點D4,6，試求1

專題2.9直線與圓的方程大題專項訓(xùn)練（30道）【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C過三個點0,2,1,1,2,2，過點(1)圓C的一般方程；(2)圓C過點P的切線方程.【解題思路】（1）設(shè)圓C的一般方程為x2（2）分斜率不存在和斜率存在兩種情況，再結(jié)合點線距離公式即可求解.【解答過程】（1）設(shè)圓C的一般方程為x2代入三個點0,2,1,1,2,2所以圓C的一般方程為x2（2）圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x?1)2當(dāng)切線斜率不存在時，易知切線方程x=2符合題意.當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y=kx?2，即kx?y?2k=0則依題意可得k?2?2kk2+1此時切線方程為?34x?y+綜上所述，圓C過點P的切線方程為x=2和3x+4y?6=0.2．（2023春·河北張家口·高二?？茧A段練習(xí)）已知一圓C的圓心為2,?1，且該圓被直線l:x?y?1=0截得的弦長為22(1)求該圓的方程；(2)求過點P4,3【解題思路】（1）假設(shè)圓的方程，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得圓的半徑，由此可得圓的方程；（2）分別在切線斜率不存在和存在的情況下，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑可求得切線方程.【解答過程】（1）設(shè)圓C的方程為x?22∵圓心到直線x?y?1=0的距離為d=2+1?1又圓被直線l:x?y?1=0截得的弦長為22，∴∴圓的方程為：x?22（2）當(dāng)切線斜率不存在的時候，切線方程為：x=4，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y?3=kx?4，即kx?y?4k+3=0由2k+1?4k+3k2+1=2得：k=34，綜上所述：過點P4,3的圓的切線方程為x=4或3x?4y=03．（2023秋·高一單元測試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=?2x上，且圓M與直線x+y?1=0相切于點P2,?1(1)求圓M的方程；(2)過坐標(biāo)原點O的直線l被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程.【解題思路】（1）求出過點P2,?1且與直線x+y?1=0垂直的直線方程，與y=?2x聯(lián)立求出圓心M，根據(jù)兩點間的距離求出半徑，即可得圓M（2）分類討論，利用點到直線的距離公式，結(jié)合過原點O的直線l被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程.【解答過程】（1）過點P2,?1且與直線x+y?1=0垂直的直線方程為x?y?3=0聯(lián)立x?y?3=0y=?2x，解得x=1y=?2，所以所以圓M的半徑為MP=所以圓M的方程為x?12

（2）由（1）可知圓M的方程為x?12因為直線l被圓M截得的弦長為6，所以M到直線l的距離為d=2?若直線l的斜率不存在，則方程為x=0，此時圓心到直線的距離為1，不符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)方程為y=kx，則d=k+2k2+1=22所以直線l的方程為x+y=0或7x+y=0.

4．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓C經(jīng)過點A(1,2)和B(5,?2)，且圓C關(guān)于直線2x+y=0對稱．(1)求圓C的方程；(2)過點D(?3,1)作直線l與圓C相切，求直線l的方程．【解題思路】（1）由題意可知圓心為AB中垂線與2x+y=0的交點，計算圓心再求半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示即可；（2）分類討論，設(shè)切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計算即可.【解答過程】（1）∵A(1,2)，B(5,?2)，故AB的中點坐標(biāo)為3,0，kAB∴AB的垂直平分線為：y?0=?1由y=x?32x+y=0解得圓心C(1,?2)，半徑故圓C的方程為(x?1)2（2）若直線l的斜率存在，方程可設(shè)為y?1=kx+3，即圓心C(1,?2)到直線l的距離為d=k+2+3k+11+k所求的一條切線為7x?24y+45=0；當(dāng)直線l的斜率不存在時，圓心C(1,?2)到x=?3的距離為4，即x=?3與圓相切，所以直線l的方程為x=?3和7x?24y+45=0．5．（2023春·河南信陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線l:mx?y+1?m=0和圓(1)求證：對任意實數(shù)m，直線l和圓C總有兩個不同的交點；(2)設(shè)直線l和圓C交于A，B兩點.①若|AB|=17，求l②求弦AB的中點M的軌跡方程.【解題思路】（1）解法1，聯(lián)立消元，根據(jù)Δ>0解法2：求出圓心到直線的距離，即可證明；解法3：求出直線過定點坐標(biāo)，判斷點與圓的位置關(guān)系，即可證明；（2）①求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式得到方程，解得即可；②聯(lián)立直線與圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出中點坐標(biāo)，消去參數(shù)m，即可得解；【解答過程】（1）解法1：將y=1+m(x?1)代入x2得1+m2x故直線l和圓C總有兩個不同的交點.解法2：圓心C(0,1)到直線l的距離d=|m|于是直線l和圓C總有兩個不同的交點.解法3：由已知，直線l:m(x?1)?(y?1)=0，令x?1=0?y?1=0所以直線l恒過定點P(1,1)，因為PC=12+(1?1)于是直線l和圓C總有兩個不同的交點.（2）①圓心C(0,1)到直線l的距離d=|m|由弦長公式AB=2r2?d即直線l的斜率為±3，于是l的傾斜角為π3或②將y=1+m(x?1)代入x2得1+m2x2?2m2所以x1+x則xM=x所以x=m消去m得x?1即x2+y6．（2023秋·高一單元測試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度AB為500m，圓拱的最高點H離水面AB的高度為100m，橋面CD離水面AB的高度為

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分CD的長度.（結(jié)果精確到0.1m【解題思路】（1）先找到合適的垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)圓的幾何關(guān)系列出方程求解半徑并寫出方程即可；（2）根據(jù)圓的方程，代入縱坐標(biāo)求解橫坐標(biāo)即可.【解答過程】（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為G，以H為原點，AB方向為x軸正方向，AB中垂線向上為y軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)CD與y軸交于E點，AB與y軸交于F點，連接GA設(shè)圓的半徑為r，則AF=250，GF=r?100，在直角△AFG中，AF2所以2502+r?100所以G0,?所以圓拱方程為x2+y+（2）由題意得，HE=50令y=?50，得x2所以x2所以x=±756，所以CD所以橋面在圓拱內(nèi)部分CD的長度約為367.4m.7．（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓P過兩點M(0,2)，N(3,1)，且圓心P在直線(1)求圓P的方程；(2)過點Q(?1,2)的直線交圓P于A,B兩點，當(dāng)AB=23時，求直線【解題思路】（1）依題意可設(shè)圓P的方程為(x?a)2+(y?a)2=r2(r>0)，圓（2）由弦長AB=23，可得圓心P(0,0)到直線AB的距離為1，當(dāng)直線AB的斜率不存在時驗證即可，當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)出直線【解答過程】（1）依題意圓心P在直線y=x上，可設(shè)圓P的方程為(x?a)2因為圓P過兩點M(0,2)，N(3所以(0?a)2+(2?a)所以圓P的方程為x2（2）由（1）可知，圓心P(0,0)，半徑r=2，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，其方程為x=?1，圓心P(0,0)此時AB=2當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y?2=k(x+1)，即kx?y+k+2=0，當(dāng)AB=23時，圓心P(0,0)到直線AB的距離即有d=k+2k2此時直線AB的方程為y?2=?34(x+1)綜上，直線AB的方程為x=?18．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1:(x+3)2+(1)求圓C2(2)直線3x+4y+m?5=0與圓C2相交于M,N兩點，且△MC2N的外接圓的圓心在【解題思路】（1）設(shè)C2m,n，由題意可得（2）由題意可得△MC2N是銳角三角形，令C2到MN的距離為【解答過程】（1）設(shè)C2m,n，則解得m=3,所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)（2）因為△MC2N所以△MC又∵△MC2N∴∠MC∴令C2到MN的距離為d，則r?∴2<m解得：m∈?10

9．（2023秋·高一單元測試）已知以點Ct,2tt∈R,t≠0為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O、(1)試寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線y=?2x+4與圓C交于M，N兩點，若OM=ON，求圓【解題思路】（1）先設(shè)出圓的方程，根據(jù)圓所過點可得方程；（2）由OM=ON可得【解答過程】（1）設(shè)圓的方程為x?t2因為圓經(jīng)過原點，所以r2即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x?t2（2）設(shè)線段MN的中點為P，因為OM=ON，所以由圓的性質(zhì)可得CP⊥MN，所以O(shè)C⊥MN.所以2t?0t?0當(dāng)t=?2時，顯然直線和圓不相交，不合題意；當(dāng)t=2時，符合題意；所以圓的方程為：x?22

10．（2023春·江西贛州·高二?？计谀┮阎獔AC：(1)若直線l1過定點A1，1，且與圓(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x?y+2=0上，且與圓C外切，求圓【解題思路】（1）由點到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.【解答過程】（1）圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?3)2所以圓C的圓心為3，4①若直線l1的斜率不存在，即直線為x=1②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y?1=k(x?1)．由題意知，圓心3，4到已知直線所以|3k?4?k+1|k2+1解得k=512綜上，所求直線l1的方程為x=1或（2）依題意，設(shè)D(a,a+2)．又已知圓C的圓心為3，由兩圓外切，可知CD=3+2=5所以(a?3)解得a=?1或a=6．所以D(?1,1)或D(6,8)所以所求圓D的方程為(x+1)211．（2023春·重慶沙坪壩·高一校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C過點A(4,0)，B(2,2)，且圓心C在x+y?2=0上．(1)求圓C的方程；(2)若已知點P(4,23)，過點P作圓【解題思路】（1）根據(jù)題意，求出AB的中垂線方程，與直線2x?y?4=0聯(lián)立，可得圓心C的坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．【解答過程】（1）因為圓C過A(4,0),B(2,2)，則AB的中垂線過圓心C，設(shè)AB的中點為M，則M(3,1)，因為kAB=4?20?2=?1，所以AB又圓心在x+y?2=0，聯(lián)立x+y?2=0y=x?2，解得x=2因此圓心C(2,0)，半徑r=OA所以圓C的方程為(x?2)2

.（2）因為(4?2)2+232過P(4,23)作圓若切線斜率不存在時，則切線方程為x=4，滿足與圓C相切，若切線斜率存在時，設(shè)切線方程y?23=k(x?4)，即則23?2k1+所以切線方程為33x?y?4×3綜上：切線方程為x=4或x?312．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過A0,3，B1,2兩點，且圓心C在直線(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與直線AB平行且與圓C相切的直線方程．【解題思路】（1）求出線段AB的中垂線方程與直線l的方程聯(lián)立方程組求得圓心坐標(biāo)，再求出半徑即得圓標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用一般方程求解．（2）設(shè)出直線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求得參數(shù)值，得切線方程．【解答過程】（1）A,B的中點為12,52，kAB由垂徑定理可知，圓心C在線段AB的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組x+y=0,x?y+2=0的解，解之得所以圓心C的坐標(biāo)是?1,1，圓的半徑r=AC所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x+12（2）設(shè)所求直線方程為x+y+b=0，圓心C到直線x+y+b=0的距離d=b所以b=10，即b=±1013．（2023秋·高一單元測試）已知直線l：y=kx+22與圓O：x2+y2=4相交于不重合的A，B兩點，O

(1)求k的取值范圍；(2)△ABO的面積為S，求S的最大值，并求取得最大值時k的值．【解題思路】（1）解法一：通過圓心到直線的距離小于半徑且k≠0列出不等式求解即可；解法二：聯(lián)立方程，令Δ＞0得到不等式求解，結(jié)合k≠0（2）先求出高和弦長，通過三角形面積公式直接代入求解面積，通過換元，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.【解答過程】（1）解法一：由題意知：圓心到直線的距離d=2因為直線l與圓O相交于不重合的A，B兩點，且A，B，O三點構(gòu)成三角形，所以0＜22kk2+1所以k的取值范圍為?1,0∪解法二：聯(lián)立y=kx+22Δ=32k4因為A，B，O三點構(gòu)成三角形，所以k≠0所以k的取值范圍為?1,0∪（2）直線l：y=k(x+22)，即點O到直線l距離：d=2所以AB所以S=12AB?d=1設(shè)k2+1=tt≥1所以S=42所以當(dāng)1t=34，即t=所以S的最大值為2，取得最大值時k=±314．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知圓C的圓心在直線2x+y?4=0上，且與y軸相切于點O0,0(1)求圓C的方程；(2)已知過點P1,3的直線l被圓C截得的弦長為23，求直線【解題思路】（1）分析可知圓心C在直線y=0上，將直線2x+y?4=0與直線y=0的方程聯(lián)立，可求得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得圓C的半徑，由此可得出圓C的方程；（2）求出圓心到直線l的距離，對直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線l的斜率不存在的情況下，直接檢驗即可；在直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)圓心到直線l的距離求出直線l的斜率，綜合可得出直線l的方程.【解答過程】（1）解：因為圓C與y軸相切于點O0,0，所以圓心C在直線y=0又因為圓C的圓心在直線2x+y?4=0上，由2x+y?4=0y=0，解得x=2y=0，即C2,0，圓C所以，圓C的方程為x?22（2）解：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則d=r當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，此時d=1，滿足條件；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y?3=kx?1即kx?y+3?k=0．因為圓心為C2,0，所以圓心C到直線l的距離為d=整理可得k2+6k+9=k所以，直線l的方程為4x+3y?13=0．綜上所述，直線l的方程為x=1或4x+3y?13=0.15．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x?m2+y?(1)當(dāng)m=?1時，過原點O作直線l與圓C相切，求直線l的方程；(2)對于P?2,2，若圓C上存在點M，使MP=MO【解題思路】（1）分直線l的斜率不存在和存在兩種情況討論，結(jié)合點到直線得距離公式即可得解；（2）要使得MP=MO，則M在線段OP的中垂線上，從而可得線段OP的中垂線與圓【解答過程】（1）當(dāng)m=?1時，圓C的方程為x+12圓心C?1,?5，半徑r=1①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0，滿足條件；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx，由直線l與圓C相切，則?k+5k2+1所以l的方程為y=125x綜上得，直線l的方程為x=0或12x?5y=0；（2）圓心Cm,2m?3，k則線段OP的中垂線的方程為y?1=x+1，即y=x+2，要使得MP=MO，則M在線段所以存在點M既要在y=x+2上，又要在圓C上，所以直線y=x+2與圓C有公共點，所以m?2m+3+22≤1，解得所以m∈5?

16．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知圓E經(jīng)過點A(0,1)，B(1,4)，且________.從下列3個條件中選取一個，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①過直線x?5y?5=0與直線x?2y?8=0的交點C；②圓E恒被直線l:(m+1)x+(m?3)y?6m?2=0(m∈R)平分；③與y軸相切.(1)求圓E的方程；(2)求過點P(10,11)的圓E的切線方程.【解題思路】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對①②③逐個分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先判斷點P在圓外，知切線有兩條，分情況討論求解即可.【解答過程】（1）選擇①：聯(lián)立x?5y?5=0x?2y?8=0，解得x=10y=1，所以設(shè)圓E的方程為x2+y因為A，B，C三點均在圓上，所以1+E+F=017+D+4E+F=0101+10D+E+F=0，解得所以圓E的方程為x2+y選擇②：直線l的方程可化為m(x+y?6)+(x?3y?2)=0，因為m∈R上式恒成立，所以x+y?6=0x?3y?2=0，解得x=5所以直線l恒過定點(5,1)，且(5,1)為圓心E，所以r=|EA|=(5?0)所以圓E的方程為(x?5)2選擇③：設(shè)圓E的方程為(x?a)2由題可得a2+(1?b)故圓E的方程為(x?5)2（2）因為(10?5)2+(11?1)2=125>25①若直線斜率不存在，直線方程為x=10，圓心E5,1到直線x=10②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y?11=k(x?10)，即kx?y?10k+11=0，因為直線與圓E相切，所以圓心E到直線的距離d=|5k?1?10k+11|所以k=34，所以直線的方程為綜上可得：過點P(10,11)的圓E的切線方程為x=10或3x?4y+14=0.

17．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點P1,?1在下列所給的三個條件中，任選一個補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①與圓(x+1)2+y2=5相切；②傾斜角的余弦值為5(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與曲線C:x2+y2注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解題思路】（1）選①，先得到點P在圓(x+1)2+y2=5上，從而根據(jù)垂直關(guān)系求出直線l的斜率，得到直線l的一般式方程；選②，求出tanα=2，從而得到直線l的一般式方程；選③，根據(jù)直線（2）求出圓心C到直線l的距離，利用垂徑定理求出弦長.【解答過程】（1）若選①：因為(1+1)2+?12=5且圓心?1,0與P連線的斜率為?1?01?因為直線l與圓(x+1)2+y所以直線l的一般式方程為2x?y?3=0；若選②：設(shè)直線l的傾斜角為α(0≤α<π)，由cosα=故直線l的斜率k=tan所以直線l的一般式方程為2x?y?3=0；若選③：因為直線l的一個方向向量為a=?2,?4，所以l的斜率所以直線l的一般式方程為2x?y?3=0;（2）曲線C:x2+故C為圓，圓心為C3,1，半徑為r=2則圓心C到直線l的距離為d=6?1?3所以弦長MN=218．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C:x2+(1)證明：直線l和圓C恒有兩個交點；(2)若直線l和圓C交于A,B兩點，求AB的最小值及此時直線l的方程.【解題思路】（1）先求直線所過定點，然后判斷定點在圓內(nèi)即可得證；（2）根據(jù)直線垂直于l⊥CP時，AB有最小值可解.【解答過程】（1）直線2+kx+1+ky+k=0聯(lián)立x+y+1=02x+y=0解得x=1y=?2所以不論k取何值，直線l必過定點圓C:x2+y2因為PC=(1?0)2+(?2?0)則直線l與圓C恒有兩個交點.（2）直線l經(jīng)過圓C內(nèi)定點P1,?2，圓心C記圓心到直線l的距離為d.因為AB=2r2?d所以當(dāng)直線l⊥CP時，被圓C截得的弦AB最短，此時AB=2因為kCP=?2?01?0=?2，所以直線l的斜率為1所以當(dāng)AB取得最小值時，直線l的方程為y+2=12x?1綜上：AB最小值為211，此時直線l方程為x?2y?5=0

19．（2023秋·高二課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓與直線x?3(1)求圓O的方程；(2)若已知點P(3，2)，過點P作圓【解題思路】（1）根據(jù)圓與直線x?3（2）判斷切線斜率存在，設(shè)切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑可求得切線斜率，即得答案.【解答過程】（1）由題意知以原點O為圓心的圓與直線x?3故圓的半徑為r=|?4|故圓的方程為x2（2）當(dāng)過點P(3，2)的直線斜率不存在時，為x=3與圓故過點P(3，2)作圓O的切線，斜率一定存在，設(shè)方程為即kx?y?3k+2=0，則|?3k+2|k2+12故切線方程為12x?5y?26=0或y?2=0．20．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C：x?32(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)設(shè)直線l：x=my+2①求證：直線l與圓C恒相交；②若直線l與圓C交于A，B兩點，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線．【解題思路】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得解；（2）①易知直線l恒過點N(2,0)，計算|CN|的長，并與圓C的半徑比較大小，即可得證；②設(shè)M(x,y)，其中y≠0，由CM⊥MN，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可得解．【解答過程】（1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x?32+y2=4知，圓C（2）①證明：直線l:x=my+2恒過點N(2,0)，因為|CN|2=(2?3)2+02=1<4②解：設(shè)M(x,y)，其中y≠0，則CM=(x?3,y)，MN由垂徑定理知，CM⊥MN，

所以CM?MN=(x?3)(2?x)?y2所以點M的軌跡方程為x?522+y2=21．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1:x2+y2+12x?14y+60=0.設(shè)圓O2(1)求圓O2(2)設(shè)垂直于OO2的直線l與圓O1相交于B，C兩點，且BC【解題思路】（1）由題意求出圓O1，圓O2的圓心和半徑，由兩圓外切，可得（2）由BC=37，可求出圓心O1到直線【解答過程】（1）圓O1：x則圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+6即圓O1的圓心坐標(biāo)為?6,7，半徑為5因為圓O2與x軸相切，與圓O1外切，則圓心O2?6,n，則圓O2的半徑為n則7?n=5+n，解得n=1，即圓O2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+6（2）由（1）知O2（﹣6，1），則kO所以直線l的斜率為6，設(shè)直線l的方程為y=6x+m，因為BC=37，則圓心O1到直線l的距離所以?6×6?7+m36+1=372，解得所以直線l的方程為y=6x+1232或22．（2023春·上海徐匯·高二校考期中）已知圓M方程為x2+y?22=1，直線l的方程為x?2y=0，點P在直線l上，過P作圓M的切線PA、PB(1)若P點坐標(biāo)為0,0，求(2)經(jīng)過A、P、M三點的圓是否經(jīng)過異于點M的定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．【解題思路】（1）利用特殊角的三角函數(shù)和對稱性即可得到答案；（2）設(shè)P2m,m【解答過程】（1）因為點P坐標(biāo)為0,0，所以又因為MA=MB=1，所以∠MPA=∠MPA=30°,故（2）設(shè)P2m,m,MP的中點Qm所以經(jīng)過A、P、M三點的圓是以Q為圓心，MQ為半徑的圓，故其方程為x?m化簡得x2由x2+y2所以經(jīng)過A、P、M三點的圓經(jīng)過異于點M的定點45

23．（2023春·廣西柳州·高二?？计谥校┮阎獔AC：x2+y?12=5(1)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點，且AB=17，求直線(2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點，求弦AB中點的軌跡方程.【解題思路】（1）由弦長得圓心到直線l的距離，利用點到直線的距離公式求出m的值，得直線方程；（2）設(shè)動點Mx,y【解答過程】（1）圓C的圓心為C0,1,半徑為5設(shè)圓心到直線l的距離為d，因為AB=17，則25?所以mm2+1故直線l方程為3x?y+1?3=0（2）直線l：y=m(x?1)+1，過定點P1,1設(shè)弦AB的中點Mx,y，則PM所以(x?1)x+(y?1)2=0所以弦AB的中點的軌跡方程為x?1

24．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知圓C:x(1)若直線l過點?2,0且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)從圓C外一點P向圓C引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，滿足PM=PO，求點【解題思路】（1）討論直線l是否存在斜率，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，利用弦長公式，即可求得直線斜率，則直線方程得解；（2）根據(jù)題意以及幾何關(guān)系，求得點P的軌跡方程，【解答過程】（1）根據(jù)題意，圓C的方程為：x+12+y?22=2當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x=?2，此時直線l與圓C的交點為A?2,1，B?2,3，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+2，即kx?y+2k=0則圓心C到直線l的距離d=?k?2+2kk2所以直線l的方程為3x?4y+6=0，綜上，直線l的方程為x=?2或3x?4y+6=0；（2）如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，所以△PMC為直角三角形，即PM2設(shè)Px,y，由（1）知C?1,2，因為PM=PO，所以化簡得點P的軌跡方程為2x?4y+3=0.25．（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知直線l：y=kxk≠0與圓C：x2+y2(1)若AB=13，求(2)在x軸上是否存在點M，使得當(dāng)k變化時，總有直線MA、MB的斜率之和為0，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解題思路】（1）由圓的方程確定圓心和半徑，利用幾何法求弦長公式和點到直線的距離公式計算即可求解；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y【解答過程】（1）因為圓C：x?12所以圓心坐標(biāo)為C1,0，半徑為r=2，因為AB所以C到AB的距離為d=r由點C到直線y=kx的距離為：d=kk2（2）設(shè)Ax1,y1，B則y=kxx2+因為Δ=4+121+k2>0設(shè)存在點Mm,0滿足題意，即k所以kAM+k因為k≠0，所以x1所以?61+k所以存在點M?3,026．（2023春·四川內(nèi)江·高二?？奸_學(xué)考試）已知點P0,2，設(shè)直線l：y=kx+b（b，k∈R）與圓C:x2+y2(1)若PA⊥PB，求b的值；(2)若|AB|=23，且直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為233，求直線l(3)當(dāng)|PA|?|PB|=4時，是否存在一定圓M，使得直線l與圓M相切?若存在，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）根據(jù)PA⊥PB可知直線l過圓x2+y2=4（2）由|AB|=23得原點O(0,0)到直線l的距離為1，得b2=1+k2，再根據(jù)面積得b（3）聯(lián)立直線與圓x2+y2=4，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+【解答過程】（1）因為PA⊥PB，又P(0,2)在圓x2所以直線l過圓x2+y2=4（2）因為|AB|=23，圓x2+所以圓心(0,0)到直線l的距離d=4?由點到直線的距離公式可得d=|b|1+k當(dāng)k=0時，直線l與坐標(biāo)軸不能圍成三角形，故k≠0，在y=kx+b中，令x=0，得y=b；令y=0，得x=?b所以12|b|?|?b所以1+k2=43所以k=±3或k=±（3）聯(lián)立x2+y2=4Δ=4k2設(shè)A(x1,則x1+x所以y1+yy1y=b所以|PA|?|PB|=x所以4?y所以(8?4y所以(2?y所以y1所以b2?4k所以點P(0,2)到直線y=kx+b的距離為|?2+b|k2+1=所以直線y=kx+b與以P(0,2)為圓心，1為半徑的圓相切，所以存在一個定圓M:x2+(y?2)227．（2023春·安徽安慶·高二校考期中）已知半徑小于6的圓C過點A8,1，且圓C(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓C與直線l:x?y+m=0交于A,B兩點，__________，求m的值．從下列兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：∠ACB=120°；條件②：注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．【解題思路】（1）設(shè)圓C:(x?a)2+(y?b)2=r2(0<r<6)，由圓C過點A8,1代入方程，再根據(jù)圓C與兩坐標(biāo)軸均相切得出（2）選①：過點C作CD⊥AB于點D，由∠ACB=120°得出∠CAB=30°，則CD=12AC=52，得出圓心C到直線l的距離d=52，由點到直線距離公式列出方程求解即可；選②：在△ABC中，由余弦定理得出∠ACB=120°，則∠CAB=30°，過點C作CD⊥AB【解答過程】（1）設(shè)圓C:(x?a)因為圓C過點A8,1所以(8?a)2又因為圓C兩坐標(biāo)軸均相切，所以得a>0，b>0且a=b=r，則(8?r)2+(1?r)2=因為圓C的半徑小于6，所以r=5，即a=b=5，所以C:(x?5)（2）如果選擇條件①：由∠ACB=120°，CA=CB=5過點C作CD⊥AB于點D，則CD=所以圓心C到直線l的距離d=5則d=5?5+m解得m=±5如果選擇條件②：AB=5在△ABC中，CA=由余弦定