直線與圓學(xué)案-北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024屆北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之《直線與圓》

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.1直線的傾斜角與斜率

一、直線的傾斜角

1.傾斜角的定義：當(dāng)直線，與無(wú)軸相交時(shí)，以無(wú)軸為基準(zhǔn)，工軸正向與直線2向上的方向之間所成

的角a叫做直線I的傾斜角.當(dāng)直線與%軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),

它的傾斜角為90°.

2.直線的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況

分類討論.注意：直線傾斜角a的取值范圍是0°Wa〈180°.

二、直線的斜率

1.若直線，的傾斜角為a,則a=90°時(shí)，直線，的斜率不存在；aW90°時(shí)，直線，的斜率k=tana.

2.斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖示卜y

i\y/i\i7

-------->aa>a

0X0x0X0X

傾斜角aa=0°0°<a<90°a=90°90°<a<180°

斜率kk=0k>0k不存在k<0

3.已知直線2經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)F\(xi，%),P2(x2,y2),

若X1=x”則直線2的斜率不存在；

若x】Wx2，則直線I的斜率kB邙

X2-X1

注意：若已知兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩點(diǎn)的

橫坐標(biāo)是否相等”.

4.直線的方向向量與斜率的關(guān)系

⑴當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為(1,k)；

(2)當(dāng)直線的一個(gè)方向向量為(x,y)(xW0)時(shí)，直線的斜率kB.

X

三、兩條直線平行的判定

1.兩條直線(不重合)平行的判定如下表:

類型斜率存在斜率不存在

o

前提條件a1=a2老90°a1=a2=90

對(duì)應(yīng)關(guān)系<>

lx//Z2^k1=k2兩直線的斜率都不存在=L//k

圖示"1/

k

______、1%、R

________

0X0X

//

注意：若小。重合，則仍有k1=k2或2"4的斜率均不存在.

四、兩條直線垂直的判定

五、傾斜角與斜率的關(guān)系及應(yīng)用

1.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系

（1）當(dāng)直線的傾斜角a滿足0。Wa〈90°時(shí)，斜率非負(fù)，傾斜角越大，斜率越大;

⑵當(dāng)直線的傾斜角a滿足90°<a<180。時(shí)，斜率為負(fù)，傾斜角越大，斜率越大;

(3)k=tana(0Wa<n,a的圖象如圖所示.

由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,進(jìn)而得到傾斜角a的范圍;

----A

反過(guò)來(lái)，由傾斜角a的范圍截取函數(shù)圖象，進(jìn)而得到斜率k的范圍.O7TTTa

T

六、直線斜率的應(yīng)用

1.若點(diǎn)A,B,C都在某條斜率存在的直線上，則任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)都可以確定這條直線的斜率，即

k/kAc（或kAB=kuc或kAC=kBC）；反之若kAB=kAC（或心=1^或kAC=kBC））則直線AB與AC（或AB與BC或AC與

BC）的傾斜角相同，又過(guò)同一點(diǎn)A（或B或C）,所以點(diǎn)A,B,C在同一條直線上.

注意：若點(diǎn)A,B,C中的任意兩點(diǎn)所在直線的傾斜角都為90°,且這兩條直線有公共點(diǎn)，則A,

B,C三點(diǎn)共線.

2.形如二的范圍(最值)問(wèn)題,可以利用匯的幾何意義(過(guò)定點(diǎn)(a,b)與動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線的斜率),

x-ax-a

借助于圖形，將求范圍(最值)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率的范圍(最值)問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

七、兩條直線平行、垂直的判定

1.判斷兩條不重合的直線是否平行的方法

⑴利用直線的斜率判斷:

⑵利用直線的方向向量判斷：分別求出兩直線的方向向量，通過(guò)判斷兩向量是否共線，得到兩直

線是否平行的結(jié)論.

2.判斷兩條直線是否垂直的方法

(1)利用直線的斜率判斷：在兩條直線都有斜率的前提下，看它們的斜率之積是否等于-1即可.特

別地，當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，這兩條直線也垂直.

⑵利用直線的方向向量判斷：設(shè)直線L的方向向量為n,直線，2的方向向量為m,則，」

on?m=0.

八、兩條直線平行、垂直的應(yīng)用

1.利用平行、垂直關(guān)系求待定參數(shù)的值或范圍

⑴作出示意圖，確定問(wèn)題中的平行、垂直關(guān)系，利用斜率、方向向量等條件列出相關(guān)方程(組)并

求解.

(2)充分分析圖形特征，有多種情況的，要分類依次求解.

(3)解題時(shí)要注意考慮斜率不存在的情況.

1.2直線的方程

一、直線的方程形式與適用條件

名稱點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式一般式

方程形式y(tǒng)-y=k（x-xy=kx+by-yi_x-xi用Ax+By+C=0

00y2-yiX2-X1ab

）（X]WX2，y\Wy2）（aWO,bWO）（A,B不同時(shí)為0）

已知條件直線上一定斜率k,直線在直線上兩點(diǎn)直線在X軸上的非零系數(shù)A,B,C

點(diǎn)（X（）,Yo）?y軸上的截距b（X"y）,截距a,直線在y軸上

斜率k（x2,y2）的非零截距b

適用范圍不垂直于x不垂直于x軸不垂直于x軸不垂直于x軸和y軸，任何位置的直線

軸的直線的直線和y軸的直線且不過(guò)原點(diǎn)的直線

二、直線方程的斜截式、一般式與兩直線的位置關(guān)系

斜截式：一般式：

li：y=k1x+b1；hAix+B4+a=O（Ai，B］不同時(shí)為0）；

l2：y=k2x+b2l2：A2x+B2y+C2=0（A2,B?不同時(shí)為0）

k，〃相交k^k2A^-A^^O

h//kki=k?1A$2-A2B1=0,

.EWb2[A1C2-A2C1W0

1"L重合ki=kz'A$2—A?Bi=0,

.bi=b2A1C2-A2cl=0

2山2ki?k2=-lAA+BB=0

三、直線方程的選擇和求解

1.求直線方程時(shí)對(duì)方程形式的選擇一般有以下幾類：

①已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選取點(diǎn)斜式方程，求解時(shí)根據(jù)其他條件確定直線的斜率.注意斜率不存在

的情況.

②已知直線的斜率，一般選用斜截式方程，求解時(shí)根據(jù)其他條件確定直線的截距.

③已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用兩點(diǎn)式方程或點(diǎn)斜式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則用截距式方程.

2.過(guò)一點(diǎn)與已知直線平行（垂直）的直線方程的求法

（1）確定已知直線斜率，再利用平行（垂直）關(guān)系得出所求直線的斜率，最后由直線的點(diǎn)斜式求方程.

⑵利用待定系數(shù)法.已知直線Ax+By+C=O（A,B不同時(shí)為0）,則與其平行的直線方程可設(shè)為

Ax+By+a=0（A,B不同時(shí)為0,AWC）,與其垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+Cz=0（A,B不同時(shí)為0）,

再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定?；騟即可.

四、利用直線方程中系數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題

1.根據(jù)斜截式方程中k,b的幾何意義確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的大致圖象.

2.方程中含參的直線過(guò)定點(diǎn)類問(wèn)題常用的三種方法：

①將方程化為點(diǎn)斜式：y-y0=k（x-x0）,其中k為參數(shù)，從而求得直線恒過(guò)定點(diǎn)（X”y>

②分離參數(shù)法：將方程中的參數(shù)分離，把含x,y的關(guān)系式作為參數(shù)的系數(shù)，即有參數(shù)的放在一起,

沒(méi)參數(shù)的放在一起，因?yàn)榇耸阶訉?duì)任意的參數(shù)的值都成立，所以令參數(shù)的系數(shù)和不含參數(shù)的式子為

零，解方程組可得x,y的值，從而得到直線所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo).

③賦值法：因?yàn)閰?shù)取任意實(shí)數(shù)時(shí)方程都成立，所以可給參數(shù)任意賦兩個(gè)值，得到關(guān)于x,y的二

元一次方程組，解方程組可得x,y的值，從而得到直線過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo).

五、直線方程的應(yīng)用

1.實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到過(guò)定點(diǎn)的直線，此時(shí)可以先設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程，再

綜合其他知識(shí)解決問(wèn)題，需要注意直線的斜率是否存在和直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是否存在、是不

是0等特殊情況.

2.在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、線段長(zhǎng)度等問(wèn)題時(shí)，通常要先設(shè)出直線方程，再借助

其他知識(shí)（如函數(shù)、基本不等式等）解決問(wèn)題.

1.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1.兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)方程組的解

（1）利用方程組解的個(gè)數(shù)可以判斷兩直線的位置關(guān)系.

已知直線L：Ajx+B?+C尸0,l2：A2x+B2y+C2=0,其中A”B1不同時(shí)為0,A2,B2不同時(shí)為0,則

方程組卜:+Biy+Ci=0,的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解

直線L與1的公共點(diǎn)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)

直線L與1的位置關(guān)系相交重合平行

⑵兩條直線相交的判定方法：

①聯(lián)立直線方程解方程組，若有一組解，則兩直線相交；

②若兩直線斜率都存在且不相等，則兩直線相交；

③若，1：Aix+Biy+Ci=0（A”Bi不同時(shí)為0）,Z2：A2x+B2y+C2=0（A2,B2不同時(shí)為0）,

則乙與力相交oAB-AzBiWO.

2.求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，其關(guān)鍵是解方程組，解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和

加減消元法.

注意：若一條直線的方程是斜截式或易化為斜截式，則常常應(yīng)用代入消元法解方程組；若直線

的方程都是一般式，則常常應(yīng)用加減消元法解方程組.

3.設(shè)直線"：A|X+B]y+C『0（Ai，不同時(shí)為0）,l2：A2x+B2y+C2=0（A2,不同時(shí)為0）,則過(guò)小l交

點(diǎn)的直線方程可設(shè)為Ap+Biy+3+入（AzX+B^y+CjRl其中人為參數(shù)），然后根據(jù)條件求待定系數(shù).

二、距離公式

1.兩點(diǎn)間的距離：已知F\（X1，y）,P2（x2,y2）,則|PF』=J（X2-X1）2+（y2二yi）2.

①此公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān).

②原點(diǎn)0（0,0）與任一點(diǎn)P（X,y）的距離點(diǎn)P[=Jx2+y2

2.點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)P0（x。，％）到直線Ax+By+C=0（A,B不同時(shí)為0）的距離01=增要愛(ài).

3.兩條平行線間的距離:

兩條平行直線hAx+By+C尸。與小Ax+By+CE（A,B不同時(shí)為。，CK）間的距離d—

三、利用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題

1.利用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的步驟

(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將已知元素放在坐標(biāo)軸上；

(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；

(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；

(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.

四、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用

1.利用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，一般先分析確定相應(yīng)的點(diǎn)和直線，再利用公式計(jì)算求解.

2.當(dāng)所給條件不能明顯確定所需的點(diǎn)和直線時(shí)，可考慮應(yīng)用待定系數(shù)法，有時(shí)要結(jié)合幾何圖形的

直觀性，綜合分析解決問(wèn)題.

五、平行線間距離公式的應(yīng)用

1.兩條平行線間距離的求法

(1)直接利用公式求解，代入公式時(shí)注意兩直線方程中x,y的系數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等.

(2)利用“轉(zhuǎn)化與化歸”思想將求兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)

到另一條直線的距離.

2.兩條平行直線間距離公式的應(yīng)用

已知兩平行直線間的距離及其中一條直線的方程求另一條直線的方程，一般先設(shè)出直線方程，

再利用兩平行直線間的距離公式求解.

六、常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題及應(yīng)用

1.對(duì)稱點(diǎn)的求法

⑴求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)

若點(diǎn)MG%)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為N(x,y),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得卜二%一句,

(y=2b-yr

(2)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)點(diǎn)M(x0,%)關(guān)于直線2：Ax+By+C=O(A,B均不為0)的對(duì)稱點(diǎn)為N(x,y),則可根據(jù)M,N連線垂

直于直線，，以及線段MN的中點(diǎn)在直線1上列方程組

\x-xoIB7求得.

A也+B-4+C=0

|k-22

(3)幾個(gè)常用結(jié)論

①點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,y).

②點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,-x).

③點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b-y).

2.對(duì)稱直線的求法

(1)求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線

求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線時(shí)，可在已知直線上任取兩點(diǎn)，求其對(duì)稱點(diǎn)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)關(guān)于

點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)求出的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)確定對(duì)稱直線的方程；也可以利用關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩

直線平行且已知點(diǎn)到兩直線的距離相等來(lái)求解.

(2)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線

求直線心關(guān)于直線，對(duì)稱的直線4時(shí)，若心與，無(wú)交點(diǎn)，則可以利用"，。兩直線平行且它們與直線

，的距離相等來(lái)求解；若L與，有交點(diǎn)，則可以求直線L上任一點(diǎn)(L與1的交點(diǎn)除外)關(guān)于直線2的

對(duì)稱點(diǎn)，那么該對(duì)稱點(diǎn)以及，?與2的交點(diǎn)在直線。上，由此可確定，2的方程.

3.在直線2上求一點(diǎn)P,使P到兩定點(diǎn)的距離之和最小的求法

(1)若兩定點(diǎn)A,B在直線，的異側(cè)，則當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與2的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和最

小，最小值為|AB|.

如圖①，在直線2上任取一點(diǎn)P',則1P'A|+pB|N|AB|=|PA|+|PB|*

⑵若兩定點(diǎn)A,B在直線2的同側(cè)，

如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,交直線，于點(diǎn)P,

此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A,B的距離之和最小.

4.在直線2上求一點(diǎn)P,使P到兩定點(diǎn)的距離之差最大的求法

類比3中方法，利用“三角形任意兩邊之差小于第三邊”解決，必要時(shí)進(jìn)行點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化.

七、與距離有關(guān)的最值問(wèn)題

1.與距離有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略

⑴利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.

(2)利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離或者兩平行線間的距離問(wèn)題.

一般地，形如J(x-a)2+(y-b)2的式子可視為點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)之間的距離，所以解決相

關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離或兩平行線之間的距離問(wèn)題.

(3)利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)配方求最值.

1.4圓的方程

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a），（y-b）2=r2,其中圓心為（a,b）,半徑為r.

2.圓的一般方程：當(dāng)D2+E2-4F〉。時(shí)，方程x'y'+Dx+Ey+FR為圓的一般方程，表示以（-會(huì)-勻?yàn)?/p>

圓心，［VD2+E2-4F為半徑的圓.

說(shuō)明：對(duì)于方程x'yZ+Dx+Ey+FR,

①當(dāng)D2+E2-4F〈0時(shí)，它不表示任何圖形;

②當(dāng)D2+E2-4FR時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)（,，

【注意】二元二次方程Ax'+By'+Cxy+Dx+Ey+FR表示的圖形為圓時(shí)，需滿足A=BWO,C=0,且

針+（步”

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)M（x（）,y。）與圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2（或x2+y2+Dx+Ey+F=0）的位置關(guān)系及判斷方法：

位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷

222

點(diǎn)M在圓上CM=r(x0-a)+(y0-b)=rxj+y計(jì)Dxo+Ey°+F=O

222

點(diǎn)M在圓外CM>r(x0-a)+(y0-b)>rxj+y計(jì)Dxo+Eyo+F〉O

222

點(diǎn)M在圓內(nèi)CM<r(x0-a)+(y0-b)<rxj+y計(jì)Dxo+Eyo+F〈O

三、圓的方程的求解

1.幾何法

利用相關(guān)幾何性質(zhì)確定圓心和半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

相關(guān)幾何性質(zhì)如下：

①圓心與切點(diǎn)的連線垂直于圓的切線；

②圓心到切線的距離等于圓的半徑；

③圓的半徑r,弦長(zhǎng)的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2；

④圓的弦的垂直平分線過(guò)圓心；

⑤已知圓心所在的直線I及圓上兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)連線（圓的弦）的垂直平分線m（m與，不重合）與I的交

點(diǎn)即為圓心.

2.待定系數(shù)法

（1）根據(jù)題意設(shè)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；

（2）根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程（組）；

⑶解方程（組），求出參數(shù)的值；

(4)將求得的參數(shù)的值代入所設(shè)的方程中，即可得到所求圓的方程.

1.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.5.1直線與圓的位置關(guān)系

一、直線與圓的位置關(guān)系

1.設(shè)圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線2：Ax+By+C=O(A,B不同時(shí)為0).

圓心C(a,b)到直線1的距離d田.由仁f於

消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為△.

位置關(guān)系相交相切相離

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210

幾何法d<rd=rd>r

代數(shù)法A>0A二0A<0

二、直線與圓的位置關(guān)系

1.判斷直線和圓的位置關(guān)系主要有幾何法和代數(shù)法兩種方法.幾何法側(cè)重圖形的幾何性質(zhì)，較代

數(shù)法步驟簡(jiǎn)捷，所以一般選用幾何法.

2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面，一是點(diǎn)到直線的距離與圓半徑大小的關(guān)系；二是直線與圓的

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).因此，若給出圖形，可直接根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷；若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法求解，幾何法計(jì)算量小，代數(shù)法可一同求

出交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)已知條件做出恰當(dāng)?shù)倪x擇.

三、與圓有關(guān)的切線問(wèn)題

1.過(guò)點(diǎn)P(x。，%)的圓的切線方程的求法

過(guò)定點(diǎn)P作已知圓的切線，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，無(wú)切線；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，有且只有一條切線；

當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，有兩條切線.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，求點(diǎn)P與圓心連線的斜率，若斜率存在且不為0,記其為k,則切線斜率為一；

若斜率為0,則切線斜率不存在；若斜率不存在，則切線斜率為0.

⑵當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，設(shè)切線斜率為k,由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑r

解出k即可(若僅求出一個(gè)k值，則還有一條斜率不存在的切線).

2.切線長(zhǎng)的求法

過(guò)圓外一點(diǎn)P可作圓的兩條切線，我們把點(diǎn)P與切點(diǎn)之間的距離稱為切線長(zhǎng).切線長(zhǎng)可由勾股

定理來(lái)計(jì)算.如圖，從圓外一點(diǎn)P(x”y。)作圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r〉0)的切線，則切線長(zhǎng)為

3.過(guò)圓上一點(diǎn)的切線僅有一條，可熟記下列結(jié)論

⑴若點(diǎn)P(x(),y。)在圓x'+ygYr>。)上，則過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為XoX+yoy"；

⑵若點(diǎn)P(x”%)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為

2

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r；

(3)若點(diǎn)P(x。,%)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)±,則過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為

xox+yoy+D?竽+E?竽+F=0.

4.過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條，可熟記下列結(jié)論

(1)若點(diǎn)P(x。，y。)為圓x'yJrYr〉。)外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,如圖1,

2

則直線AB的方程為x0x+y0y=r.

⑵若點(diǎn)P(x”y。)為圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r〉0)外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

2

如圖2,則直線AB的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

⑶若點(diǎn)P(x0,y。)為圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,

B,則直線AB的方程為xox+yoy+D?竽+E?竽+F=0.

四、直線與圓相交的弦長(zhǎng)及圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題

1.直線與圓相交的弦長(zhǎng)的求法

2

幾何法利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長(zhǎng)2之間的關(guān)系d=d2+G)求解

代數(shù)法若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，則求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)

弦長(zhǎng)設(shè)直線，：y=kx+b與圓的兩交點(diǎn)分別為(%,%),(X2,y2),將直線方程代入圓的方程，

公式法消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長(zhǎng)

1=1X1-X21=+k2)[(X1+X2)2-4X1X21

=J(1+專)[(yi+y2)2-4丫而(kWO)

2.解決與中點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的方法

(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在圓上得到兩個(gè)方程，通過(guò)作差求出弦所在直線的斜率，此

法即為點(diǎn)差法；

(3)利用圓本身的幾何性質(zhì)，即圓心與非直徑的弦中點(diǎn)的連線與弦垂直解決問(wèn)題.

五、與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

1.利用圓的方程解決最值問(wèn)題的方法

⑴由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識(shí)并

結(jié)合圖形的直觀性來(lái)分析并解決問(wèn)題，常涉及的幾何量有直線的斜率、截距，兩點(diǎn)間的距離等.

⑵轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)解決.

X=+vcos0

(y=b+rsin9

(。為參數(shù))，代入目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)求最值.

六、解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟

(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.

(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.

(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知.

(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中去.

1.5.2圓與圓的位置關(guān)系

一、圓與圓的位置關(guān)系

1.圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為n，Q,兩圓圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系如下:

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示

00o

vvyJ

d與n，口的關(guān)系d>r+rd=rj+rrrr<d<rj+rd=1

122221d<rrr2

(2)代數(shù)法:設(shè)圓c：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(D：+E>4Fi>0),

圓C2：x'y'+Dzx+Ezy+FzRM+E>4F2>0),

聯(lián)立兩圓方程得1+D1X+E/+Fi=o,

則方程組解的情況與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下：

方程組的解2組1組0組

兩圓的公共點(diǎn)2個(gè)1個(gè)0個(gè)

兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含

二、兩圓公切線條數(shù)和兩圓的位置關(guān)系

1.兩圓公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下:

位置關(guān)系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含

圖示

?(7)?CD

公切線條數(shù)43210

三、兩圓的位置關(guān)系

1.一般利用幾何法解決兩圓位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其關(guān)鍵是正確找出圓心和半徑，分析兩圓圓心

之間的距離與兩圓半徑的和(或差的絕對(duì)值)的大小關(guān)系.

四、兩圓的公共弦問(wèn)題

1.兩圓的公共弦所在直線方程的求法

22

設(shè)圓Cl：x2+y2+DiX+Eiy+F]=0(D泗-4F，0),0C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(D2+E2-4F2>0).

叱-Rp<2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,①

聯(lián)“，得|

22X

<x+y+D2+E2y+F2=0,②

①-②,得(D[D2)x+(E「E2)y+F「F2=0.③

若兩圓的交點(diǎn)分別為A(X"y),B(X2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②，也適合方程③，因

此方程③就是經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程.

有以下結(jié)論：

i.當(dāng)兩圓相交時(shí)，(D[D?)x+(E廠Ejy+FrFkO是經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程，即公共弦所在直線

的方程.

ii.當(dāng)兩圓外離時(shí)，(Di-D2)x+(Ei-E2)y+F「F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.

iii.當(dāng)兩圓相切時(shí)，(D「D2)x+(E「E，y+F「F2=0是兩圓的一條公切線方程.

iv.若兩圓(不重合)是等圓，則(DrD)x+(E-E2)y+F-F2=0是以兩圓圓心為端點(diǎn)的線段的垂直平

分線的方程.

2.兩圓公共弦的長(zhǎng)度的求法

⑴代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).

⑵幾何法：

①將兩圓的方程作差，求出公共弦所在直線的方程；

②求出其中一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離；

③利用勾股定理求出公共弦的長(zhǎng)度.

3.求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程的方法

一般地，過(guò)圓CMx2+y2+D|X+E?+F尸0(Dj+E》F>0)與

22

圓C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(Df+Ef-4F2>0)交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為

2222

x+y+D1x+E1y+F1+入(x+y+D2x+E2y+F2)=0(AGR,XWT),

22

或者x+y+D1x+Eiy+F1+入[(DJ-D2)x+(EJ-E2)y+置

再由其他條件求出入即得圓的方程.

二、典型例題訓(xùn)練

1.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模）已知圓卜-2）2+3-3）2=/卜＞0）與y軸相切，貝什=（）

A.V2B.V3C.2D.3

丫2

2.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考二模）已知圓Uf+j?—6X+8=0,若雙曲線/一三=叫加＞0）的一條漸近線與圓。

m

相切，則機(jī)=（）

]/?

A.-B.—C.2亞D.8

84

3.（2023秋?北京海淀?高三統(tǒng)考期末）若圓x2+y2-2x-2ay+a2=0截直線x-2y+l=0得弦長(zhǎng)為2,則。=（

A.-1B.0C.1D.2

4.（2023?北京房山?統(tǒng)考一模）已知直線y+l=w（x-2）與圓（x-l）2+（y-l）2=9相交于M的最小值為

（）

A.V5B.2加C.4D.6

5.（2023?北京房山?統(tǒng)考一模）在AABC中，NC=90°,AC=BC=?,P為^ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則|西+麗|的最大值為（）

A.16B.10C.8D.4

6.（2023秋?北京通州?高三統(tǒng)考期末）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）,貝U其圓心至I]直線3x-4y-4=0距離的

最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2023?北京順義?統(tǒng)考一模）若圓=4與y軸交于/,8兩點(diǎn)，貝（）

A.2B.4C.2A/2D.273

8.（2023?北京延慶?統(tǒng)考一模）若直線x-y+l=0與圓￡+「一2%+1—。=0相切，貝心等于（）

A.2B.1C.V2D.4

9.（2023?北京海淀?一模）設(shè)尸為直線/：無(wú)+了+1=0的動(dòng)點(diǎn)，尸/為圓C:（x-2）?+y2=1的一條切線，A為切

點(diǎn)，則的面積的最小值為（）

A.叵B.V10C.恒D.714

24

10.（2023秋?北京石景山?高三統(tǒng)考期末）已知直線/：龍+2y-3=0與圓C:x2+『-4x=0交于/,B兩點(diǎn),則

線段的垂直平分線方程為（）

A.2x—y—4—0B.2x+y—4—0C.%—2y—2—0D.2x—y—2—0

11.（2023秋?北京朝陽(yáng)?高三統(tǒng)考期末）過(guò)直線2上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓；？+y2=i相切，則左

的最大值為（）

A.V3B.V2

12.（2023秋?北京東城?高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P（a,6）在直線辦+〃y+4a+3=0上,

則當(dāng)。，b變化時(shí)，直線OP的斜率的取值范圍是（）

13.（2023?北京東城?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)"（L百）在圓C:/+V=比上，過(guò)“作圓C切線/，貝I"的傾斜角為（）

A.30°B.60C.120°D.150

14.（2022春?北京密云?高三校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線4的方向向量為/=（l,a）,4的法向量為I=（。-1,2）,則

“4=2”是％J[2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2023?北京通州?統(tǒng)考三模）過(guò)直線了=》上的一點(diǎn)尸作圓（》-5）2+。-1）2=2的兩條切線心/2,切點(diǎn)分

別為42,當(dāng)直線34關(guān)于了=%對(duì)稱時(shí)，線段尸/的長(zhǎng)為（）

A.4B.272C.V6D.2

16.（2023?北京海淀?統(tǒng)考二模）已知?jiǎng)又本€/與圓。小+/=4交于A,B兩點(diǎn)，且乙408=120。.若/與圓

。-2）2+/=25相交所得的弦長(zhǎng)為乙則/的最大值與最小值之差為（）

A.10-4V6B.1C.476-8D.2

17.（2023?北京門(mén)頭溝?統(tǒng)考一模）若點(diǎn)W是圓。：公+「-4》=0上的任一點(diǎn)，直線/：x+y+2=0與x軸、y

軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，則NM48的最小值為（）

7171-兀兀

A.—B.-C.-D.一

12436

18.（2023?北京順義?高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)/,8在圓0:爐+/=16上，且|48|=4,尸為圓。上任意一點(diǎn),

則萬(wàn)?麗的最小值為（）

A.0B.-12C.-18D.-24

19.（2023?北京昌平?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)尸在直線瓜7-10=0上，點(diǎn)0（2cose,2sin4eeR）,則|尸。|的最

小值為（）

A.1B.3C.5D.7

20.（2023?北京平谷?統(tǒng)考一模）點(diǎn)M、N在圓C:x2+/+2丘+2加了_4=0上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y+1=0

對(duì)稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為"B.最小值為正C.最小值為述D.最大值為逑

2222

21.（2023秋?北京房山?高三統(tǒng)考期末）已知半徑為1的動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心P到直線

加丫+了-2=0（機(jī)€尺）的總巨離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

22.（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）已知直線>=式+加與圓。:/+/=4交于4,3兩點(diǎn)，且“03為等邊三角形,

則m的值為（）

A.+^2B.±6C.±2D.+y/6

23.（2023?北京石景山?統(tǒng)考一模）已知直線/:b->-2左+2=0被圓C：f+（y+i『=25所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，

則滿足條件的直線/有（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

24.（2023?北京密云?統(tǒng)考三模）已知〃是圓。:一+必=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線（：必-町-3加+〃=0與直線

4："尤+叼-3〃?-〃=0（〃?,〃eR,加2H0）相交于點(diǎn)尸，則|尸閭的取值范圍是（）

A.[V3-1,2V3+1]B.[72-1,372+1]C.[V2-1,272+1]D.[72-1,373+1]

25.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)~0,2）,直線/:x+2y-1=0,則過(guò)點(diǎn)尸且與直線/相交的一條直線的

方程是.

26.（2023城?期末）設(shè)拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸,準(zhǔn)線為/.則以尸為圓心，且與/相切的圓的方程為.

27.（2023昌平統(tǒng)考期末）若直線、=區(qū)+2與圓（1-1）2+/=。有公共點(diǎn)，則。的最小值為.

28.（2023?順義?高三統(tǒng)考期末）已知圓亂：/+必一2工-8=0,點(diǎn)48在圓M上，且尸（0,2）為48的中點(diǎn)，

則直線的方程為.

29.（2023豐臺(tái)?高三統(tǒng)考期末）已知集合/={（x,y）|x—y-〃?=0,x,yeR},

5={（“）卜2+/-2x+2y=0,x,yeR},若NcB為2個(gè)元素組成的集合，則實(shí)數(shù)%的取值范圍

是.

30.（2023?北京昌平?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)4民。在圓/+/=4上運(yùn)動(dòng)，且若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,0）,

則|強(qiáng)+方+正|的取值范圍是.

參考答案

1【解】圓（尸2）2+（尸3）2=>”0）的圓心為（2,3）,半徑為丁

因?yàn)閳A與V軸相切，所以r=2.故選：C

2.【解】。:尤2+/一6》+8=0變形為（x-3f+/=i,故圓心為（3,0）,半徑為1,

丫2X

/一三=1（加〉0）的漸近線方程為了=土土,

mm

3_

丫vn

不妨取產(chǎn)土，由點(diǎn)到直線距離公式可得〒^=1,解得加=20,負(fù)值舍去.故選：C

m"

Vm

3.【解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-iy+（y-a）2=l,圓心為C（l,a）,圓的半徑為廠=1,

因?yàn)槿魣A/+/一2工一2町+。2=0截直線》一2〉+1=0所得弦長(zhǎng)為2,

所以，直線x-2y+l=0過(guò)圓心C,貝iJl-2a+l=0,解得。=1.故選：C.

4.【解】由圓的方程（尤-I）?+（了-1）2=9,可知圓心4（1,1）,半徑7?=3,

直線y+「加（x-2）過(guò)定點(diǎn)8（2,-1）,

因?yàn)椋?-1）2+（-1-1）2=5<9,則定點(diǎn)3（2,-1）在圓內(nèi)，

則點(diǎn)8（2,-1）和圓心連線的長(zhǎng)度為d=J（2_l）2+（_i_i『=6,

當(dāng)圓心到直線MN距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)MN最小，此時(shí)48,血W,

由圓的弦長(zhǎng)公式可得|MV|=2A/R2一相=2^3?-能。=4,故選：c

5.【解】由題意，PC=1可得，點(diǎn)P的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

取48的中點(diǎn)。，則強(qiáng)+麗=2而，

所以同+網(wǎng)=2\PD\=2（|CD|+1）=2X||72+2+1^4,故選：D

IImaxIImaxv7I2）

6.【解】由于半徑為1的圓（設(shè)為圓A）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）,

所以圓A的圓心的軌跡是以（2,3）為圓心，半徑為1的圓，

64

（2,3）到直線3x-4y-4=0距離為\-^~\=2,

所以圓A的圓心到直線3x-4.v-4=0距離的最大值為2+1=3.故選：C

7.【解】聯(lián)立（二1）=4得>=±6故48坐標(biāo)為（0,6）、他,-6）,即網(wǎng)=2?故選：D

8.【解】圓￡+/—Zc+l—。=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-l『+y2=a,則0>0且圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑為五,

直線x-y+l=0與圓f+j7-Zc+1—。=0相切，則圓心到直線距離等于半徑，

即：d=2=方=必,解得。.故選：

#I,+（,T、）"=2A

9.【解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（尤-2）2+必=1,

則圓心坐標(biāo)為C（2,0）,半徑R=l,

則APAC的面積S=^\PA\-\AC\=^\PA\,

???要使AP4c的面積的最小,則|取|最小,又戶4=1附「=^PCf-1,

即|尸。最小即可，此時(shí)最小值為圓心C到直線的距離d￥2L容，

I尸/京=、陌=限，即△尸/C的面積的最小值為S='x近=恒?故選：C.

ranV22224

10..【解】由\+/-4=0=（工-2）2+尸=4,圓心坐標(biāo)為（2,0）,

131

由/:x+2y-3=0nv=-：x+：,所以直線/的斜率為一彳，

222

因此直線I的垂直垂直平分線的斜率為2,

所以直線/的垂直垂直平分線方程為：y-0=2（x-2）=>2x-y-4=0,故選：A

11.【解】設(shè)尸為直線夕=丘-2上任意一點(diǎn)

因?yàn)檫^(guò)直線>=履-2上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓/+/=1相切

所以點(diǎn)P在圓外或圓上,

即直線》=米一2與圓/+r=1相離或相切,

即上2+144,解得壯[-6,6],故左的最大值為百.故選：A.

12.【解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(。,6)在直線狽+勿+4°+3=0上，

所以。?a+6?6+4a+3=0,BPa2+Z>2+4a+3=0o(a+2)-+b2=1,

則P(a,b)表示圓心為(-2,0),半徑為1的圓上的點(diǎn)，

如圖：

由圖可知當(dāng)直線O尸與圓相切時(shí)，直線OP的斜率得到最值,

設(shè)L：y=Ax,

由圓與直線相切，故有圓心(-2,0)到直線的距離為半徑1,即d=d=1,解得：k=土￡,

由圖分析得：直線。尸的斜率的取值范圍是-事，?.故選：B.

13.【解】由題意得加=1+3=4,

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為X=l,與圓。:—+/=4相交，不合題意，

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)切線/的方程為夕-百=心(》-1),

則上二g=2,解得上=-且，

設(shè)/的傾斜角為0°46<180。，故/的傾斜角為150。.故選：D

14.【解】設(shè)直線4的方向向量為7=(1,a),4的法向量為2),

則當(dāng)a=2時(shí)，"=v=(1,2),v=(1,2),所以4_L4；

當(dāng)/［，力，則丁)=—1，解得。=2或〃=一1,

???“4=2”是“4U”的充分不必要條件.故選：A.

15.【解】如圖所示，圓心為C(5,l),連接CP,

因?yàn)橹本€4，4關(guān)于y=x對(duì)稱，所以CP垂直于直線y=x,

故|CP卜甲=2逝，而|/C卜亞，所以戶N|=Jc/f_|/C『=

卡.故選:C

v2

16.【解】由題意可知圓(x-2)z+/=25的圓心(2,0)在圓。：/+y2=4上，

則當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)圓心，即點(diǎn)A或B與圓心(2,0)重合時(shí)，如圖1,

此時(shí)弦長(zhǎng)f取得最大值，且最大值為蜃密=2x5=10；

設(shè)線段的中點(diǎn)為C,

在“05中，由。1=08=2,且乙408=120。，則OC=1,

則動(dòng)直線/在圓/+/=1上做切線運(yùn)動(dòng)，

所以當(dāng)動(dòng)直線/與x軸垂直，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-L0)時(shí)，如圖2,

此時(shí)弦長(zhǎng)t取得最小值，且最小值為fmm=2x5/52-32=8，

所以f的最大值與最小值之差為2.

17.【解】如下圖所示:

37r

直線/的斜率為T(mén),傾斜角為彳，故

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為卜-2)2+必=4,圓心為C(2,0),半徑為r=2,

易知直線/交x軸于點(diǎn)/(-2,0),所以，|/C|=4,

由圖可知，當(dāng)直線/W與圓C相切，且切點(diǎn)位于x軸下方時(shí)，NM4B取最小值，

1jr

由圓的幾何性質(zhì)可知CM#|CA/|=2=-|^C|,則/C4W=k，

故=色-色='.故選：A.

64612

18.【解】因?yàn)辄c(diǎn)/,3在圓。:/+/=16上，且|/B|=4,P為圓O上任意一點(diǎn),

則N/OB=W，設(shè)/卜2,2@,3(2,2⑹，P(4cosa,4sina),