數(shù)列的概念(第一課時(shí))教案高二數(shù)學(xué)(人教A版2019選擇性必修第二冊(cè))

數(shù)列的概念第一課時(shí)

1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

數(shù)列的概念

2.課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)能準(zhǔn)確說(shuō)出數(shù)列的概念及其表示方法。

(2)會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng)；對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)

給定的前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式。

3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解數(shù)列的概念，能從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式

及應(yīng)用。

難點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系的理解；根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納出數(shù)列的

通項(xiàng)公式。

4.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們觀察這兩個(gè)例子，看它們有何共同特點(diǎn)？

(1)從1984年至今，我國(guó)體育健兒共參加了八屆奧運(yùn)會(huì)，獲得的金牌數(shù)

依次排成一列數(shù)：15,5,16,16,28,32,51,38.

(2)中國(guó)體育健兒從1984年開(kāi)始共參加了七屆奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的金牌

數(shù)依次為15,5,16,16,28,32,51得到第一列數(shù)；

共同特點(diǎn)：它們均是一列數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，引入新課.以金牌數(shù)為例，調(diào)節(jié)課堂氣氛,

拉近師生間心與心的距離，增強(qiáng)了感性認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性。

問(wèn)題2：王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數(shù)：

75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168o

它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？

記王芳第i歲時(shí)的身圖為h“則有：h尸75,h2=87,h3=96,h.,=103,

hi7=1450

形成結(jié)論：不能交換位置，具有確定的順序。

追問(wèn)1：在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上就有一列依次表示一個(gè)月中從第1

天到第15天每天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)：5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240.它們之間能否交換位置嗎？具有確定的

順序嗎？

記第i天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)為Si,那么s1=5,s2=10,…，S15=240O

形成結(jié)論：不能交換位置，具有確定的順序

2

追問(wèn)2：-工的n次幕按1次嘉、2次幕、3次幕、4次嘉……依次排成一

2

列數(shù)：…你能仿照以上的敘述，說(shuō)明這也是具有確定的順序的

24,816

一列數(shù)嗎？

追問(wèn)3：上面三個(gè)例子的共同特征是什么？

1)75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,

153,158,160,162,163,165,1680

2)5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,

2222

084,40O

11l1

---_

3)4y

16

2-

共同特征：具有一定的順序的一列數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】提出問(wèn)題，思考?xì)w納，形成概念.學(xué)生可進(jìn)行自我表述、小組

討論、教師點(diǎn)撥，逐步歸納，形成共識(shí)一一這些具體例子的共同特點(diǎn)：它們均

是一列數(shù)，都有一定次序.學(xué)生嘗試歸納數(shù)列的定義，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能

力。

環(huán)節(jié)二講授新課

問(wèn)題3：數(shù)列的定義是什么？

一般的，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)

數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。（教師板書(shū)）

追問(wèn)1：按照數(shù)列定義判斷，1,3,5,7是一個(gè)數(shù)列，7,5,3,1也是一個(gè)數(shù)

列，這兩個(gè)數(shù)列是不是同一個(gè)數(shù)列？

追問(wèn)2：1,1,1,1,1,…是不是一個(gè)數(shù)列？

追問(wèn)3：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合數(shù)列的定義和上述具體實(shí)例，說(shuō)說(shuō)數(shù)列中的每一個(gè)

數(shù)和集合中的元素有什么區(qū)別？

區(qū)別：

1）數(shù)列中的數(shù)一定是“數(shù)”，而集合中的元素不一定是“數(shù)”。

2）數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相

同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；而集合中的元素是無(wú)序的。

3）數(shù)列定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)

列中可以重復(fù)出現(xiàn)；而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)。

【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)例辨別，加深概念理解.繼續(xù)利用實(shí)例，使學(xué)生把數(shù)列中

的數(shù)和集合中的元素區(qū)分開(kāi)來(lái)。

問(wèn)題4：如何用符號(hào)來(lái)表示數(shù)列？

數(shù)列的一般形式為:aba2,a3,?,,,a”，…簡(jiǎn)記為｛aj

追問(wèn)：數(shù)列中，符號(hào)｛aj與位所表示的意義相同嗎？

a”僅表示數(shù)列中的第n項(xiàng)這一個(gè)數(shù)值，

｛&,｝表示數(shù)列。

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的重點(diǎn)是數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，因?yàn)閿?shù)列的概念是

學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)的基礎(chǔ)，數(shù)列的通項(xiàng)公式又是研究后面等差數(shù)列、等比數(shù)列

的靈魂。在此教師務(wù)必要放慢速度，花足時(shí)間，向?qū)W生講清講透，不能一帶而

過(guò)。

問(wèn)題5：數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?這一關(guān)系可

否用一個(gè)公式表示？

序號(hào)123n

——undefined

項(xiàng)?1Tla2

如果數(shù)列｛aj的第n項(xiàng)a.與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這

個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

追問(wèn)：你能寫(xiě)出-LL-…數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？

24,816

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)剛才所講的概念進(jìn)行及時(shí)鞏固與消化。教師巡視指導(dǎo)。

問(wèn)題8:通過(guò)上述實(shí)例的研究，你對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式有什么樣的認(rèn)識(shí)?你又是

如何理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的？

1)并不是所有數(shù)列都能寫(xiě)出(或方便寫(xiě)出)其通項(xiàng)公式。

2)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式有時(shí)是不唯一的。

3)數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第n項(xiàng)，又是這個(gè)

數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示。它反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系

(函數(shù)關(guān)系)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在此對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式有一個(gè)比較深刻的全面的認(rèn)識(shí).

結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系，回顧函數(shù)概念，揭示數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。這是一個(gè)難點(diǎn)，講解

必須清楚、透徹，樹(shù)立從函數(shù)觀點(diǎn)看待數(shù)列問(wèn)題的意識(shí)。

問(wèn)題9：數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系？

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,????，n｝)

為定義域的函數(shù)akf(n),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)可得到對(duì)應(yīng)的一列

函數(shù)值.反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)v=f(x),如果f(i)(i=l,2,3,…，n,??-)

有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(4),…，f(n)…

因此，數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項(xiàng)數(shù)是其自變量，其定義域是正整數(shù)集

或正整數(shù)集的有限子集，其解析式就是數(shù)列的通項(xiàng)公式。

問(wèn)題10：數(shù)列有哪些表示方法

通項(xiàng)公式法、列表法、圖象法。(結(jié)合實(shí)例總結(jié))

問(wèn)題11:數(shù)列有哪些分類(lèi)？

(1)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少劃分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列。

無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列。

(2)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小劃分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即an>an-|,

(n22)o

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即anT<an,

(n22)o

常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列，即an+l=am或an=c,(neN*,c為常數(shù))。

擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)

的數(shù)列。

環(huán)節(jié)三例題練習(xí)，鞏固知識(shí)

例1根據(jù)下面數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出其前5項(xiàng)，并畫(huà)出它們的圖像。

(1)Z(2)a.=cos?"史

n2

解答:(1)1,3,6,10,15(2)1,0,-1,0,1

追問(wèn)：你能判斷兩個(gè)數(shù)列的單調(diào)性嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】以上兩道習(xí)題體現(xiàn)的是數(shù)列的函數(shù)思想。

例2根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。

(1)1,—I，]—]...;(2)2,0,2,0,...;

234

解答：⑴勺=旦二(2)%,=(-1嚴(yán)+1

n

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式.這是本節(jié)課

的重點(diǎn).教師適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生先自己解決，然后教師重點(diǎn)講解.重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)常用

的思考方法，寫(xiě)通項(xiàng)公式時(shí)，就是要去發(fā)現(xiàn)項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系，對(duì)各

項(xiàng)進(jìn)行多角度、多層次觀察，找出這些項(xiàng)與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必要時(shí)

還需對(duì)給定的表達(dá)式作適當(dāng)變形。

環(huán)節(jié)四課堂小結(jié)

問(wèn)題12：回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，思考一下問(wèn)題

1)什么是數(shù)列？數(shù)列的本質(zhì)是什么？

2)我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的哪些知識(shí)？

本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有：數(shù)列的定義；數(shù)列的通項(xiàng)公式。

通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)要求是：會(huì)由通項(xiàng)公式求數(shù)列的特定項(xiàng)；會(huì)由數(shù)列

的前幾項(xiàng)求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。

對(duì)通項(xiàng)公式的理解：不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；同一個(gè)數(shù)列可

以有不同的通項(xiàng)公式；給我們數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，答

案可能不唯一。

環(huán)節(jié)五作業(yè)

第5頁(yè)練習(xí)第1,2,3,4題。

【鞏固練習(xí)】

1+(-1)

1.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為為=---2---------，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.；,0,0D.2,0,2,0

答案A

2.若數(shù)列｛4｝滿足的=3",則數(shù)列｛喇是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

答案A

3.數(shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

n（〃一1）

A.a”="—〃+1B.Q〃--2

n（H+1）

2

.afi2D.an=n+1

答案c

4.給出以下通項(xiàng)公式：

、巨.----------------[J2,〃為奇數(shù)，

①斯=個(gè)”一（一Di②為=3—（一1）”；③?！?彳3田%其中可以

210,〃為偶數(shù)，

作為數(shù)列吸，0,y/2,0,&0,…的通項(xiàng)公式的是（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

答案D

1719319^42

5.已知數(shù)列La7,5余7,p泉i，…,則㈱該數(shù)列的（）

A.第127項(xiàng)B.第128項(xiàng)

C.第129項(xiàng)D.第130項(xiàng)

答案B

二'填空題

6.323是數(shù)列｛〃（〃+2）｝的第項(xiàng).

答案17

7.觀察數(shù)列的特點(diǎn)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填：1,小，小，巾，

y[Tl,

答