2024年新教材高中數(shù)學課時檢測41概率的基本性質(zhì)含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE9概率的基本性質(zhì)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)給出以下結(jié)論:①互斥事務肯定對立;②對立事務肯定互斥;③互斥事務不肯定對立;④事務A與B的和事務的概率肯定大于事務A的概率;⑤事務A與B互斥,則有P(A)=1-P(B).其中不正確的是 ()A.①B.②C.③D.④⑤【解析】選AD.對立必互斥,互斥不肯定對立,所以②③正確,①錯;又當A+B=A時,P(A+B)=P(A),所以④錯;只有A與B為對立事務時,才有P(A)=1-P(B),所以⑤錯.2.擲一枚骰子的試驗中,出現(xiàn)各點的概率均為.事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事務B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗中,事務A+發(fā)生的概率為 ()A. B. C. D.【解析】選C.由題意可知表示“大于或等于5的點數(shù)出現(xiàn)”,事務A與事務互斥.由概率的加法公式可得P(A+)=P(A)+P()=+==.3.國際羽聯(lián)規(guī)定,標準羽毛球的質(zhì)量應在[4.74,5.50]內(nèi)(單位:克).現(xiàn)從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個,已知其質(zhì)量小于4.74的概率為0.1,質(zhì)量大于5.50的概率為0.2,則其質(zhì)量符合規(guī)定標準的概率是 ()A.0.3 B.0.7 C.0.8 【解析】選B.因為事務“羽毛球的質(zhì)量在[4.74,5.50]內(nèi)”(質(zhì)量符合規(guī)定標準)的對立事務為“質(zhì)量小于4.74或質(zhì)量大于5.50”,而“質(zhì)量小于4.74”和“質(zhì)量大于5.50”互斥,所以由互斥事務概率公式和對立事務概率公式可得質(zhì)量符合規(guī)定標準的概率為1-(0.1+0.2)=0.7.4.若事務A與B是互斥事務,且事務A∪B的概率是0.8,事務A的概率是事務B的概率的3倍,則事務A的概率為 ()A.0.2 B.0.4 C.0.6 【解析】選C.由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.5.如圖所示,靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為0.15,0.20,0.45,則不中靶的概率是 ()A.0.20 B.0.25 C.0.15 【解析】選A.設射手“命中圓面Ⅰ”為事務A,“命中圓環(huán)Ⅱ”為事務B,“命中圓環(huán)Ⅲ”為事務C,“不中靶”為事務D,則A,B,C互斥,故射手中靶的概率為P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因為中靶和不中靶是對立事務,故不中靶的概率為P(D)=1-P(A+B+C)=1-0.80=0.20.6.在5件產(chǎn)品中,有3件一級品和2件二級品,從中任取2件,下列事務中概率為的是 ()A.都是一級品B.都是二級品C.一級品和二級品各1件D.至少有1件二級品【解析】選D.設A1,A2,A3分別表示3件一級品,B1,B2分別表示2件二級品.任取2件,則樣本空間Ω={A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1事務A表示“2件都是一級品”,包含3個樣本點,則P(A)=,事務B表示“2件都是二級品”,包含1個樣本點,則P(B)=,事務C表示“2件中一件一級品、一件二級品”,包含6個樣本點,則P(C)==.事務A,B,C互斥,P(B)+P(C)=,B∪C表示“至少有1件二級品”,故選D.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子的試驗中,事務A表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”,事務B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”,則事務A∪發(fā)生的概率為________.(表示B的對立事務)

【解析】隨機擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子一次共有六種不同的結(jié)果,且每種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的.其中事務A“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”包括2,4兩種結(jié)果,P(A)==.事務B“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”包括1,2,3,4四種結(jié)果,P(B)==,P()=.且事務A和事務是互斥事務,所以P(A∪)=+=.答案:8.袋中有12個小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,已知得到紅球的概率是,得到黑球或黃球的概率是,得到黃球或綠球的概率也是,則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是________,________,________.

【解析】設事務A,B,C,D分別表示事務“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”,且事務A,B,C,D兩兩互斥,依據(jù)題意,得解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.黃種人群中各種血型的人所占的比例如表所示.血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人相互可以輸血,O型血可以輸給任一種血型的人,其他不同血型的人不能相互輸血.小明是B型血,若小明因病須要輸血,則:(1)任找一個人,其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一個人,其血不能輸給小明的概率是多少?【解析】(1)對任一個人,其血型為A,B,AB,O的事務分別為A′,B′,C′,D′,它們彼此互斥.由已知得P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.由于B,O型血可以輸給B型血的人,因此“可以輸血給小明的人”為事務B′+D′,依據(jù)互斥事務的概率加法公式,得:P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,因此“不能輸血給小明的人”為事務A′+C′,所以P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.【補償訓練】某戰(zhàn)士在一次射擊訓練中,擊中環(huán)數(shù)大于7的概率為0.6,擊中環(huán)數(shù)是6或7或8的概率為0.3,則該戰(zhàn)士擊中環(huán)數(shù)大于5的概率為0.6+0.3=0.9.上述說法是否正確?請說明理由.【解析】不正確.因為該戰(zhàn)士擊中環(huán)數(shù)大于7和擊中環(huán)數(shù)為6或7或8不是互斥事務,所以不能用互斥事務的概率加法公式計算.10.甲、乙兩人玩一種嬉戲,每次甲、乙各出1到5根手指頭,若和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.(1)若事務A表示“和為6”,求P(A);(2)現(xiàn)連玩三次,若事務B表示“甲至少贏一次”,事務C表示“乙至少贏兩次”,試問B與C是否為互斥事務?為什么?(3)這種嬉戲規(guī)則公允嗎?試說明理由.【解析】(1)易知樣本點總數(shù)n=25,且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.事務A包含的樣本點共5個:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以P(A)==.(2)B與C不是互斥事務.因為事務B與C可以同時發(fā)生,如甲贏一次,乙贏兩次.(3)這種嬉戲規(guī)則不公允.和為偶數(shù)的樣本點有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).共13個,所以甲贏的概率為,乙贏的概率為1-=,所以這種嬉戲規(guī)則不公允.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)下列四個命題中的錯誤命題是 ()A.對立事務肯定是互斥事務B.若A,B為兩個事務,則P(A+B)=P(A)+P(B)C.若事務A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1D.事務A,B滿意P(A)+P(B)=1,則A,B是對立事務【解析】選BCD.對立事務首先是互斥事務,故A正確;只有互斥事務的和事務的概率才適合概率加法公式,故B不正確;概率加法公式可以適合多個互斥事務的和事務,但和事務不肯定是必定事務,故C不正確;對立事務和的概率公式逆用不正確.比如在擲骰子試驗中,設事務A={正面為奇數(shù)},B={正面為1,2,3},則P(A)+P(B)=1.而A,B不互斥,故D不正確.2.某市派出甲、乙兩支球隊參與全省足球冠軍賽.甲、乙兩隊奪取冠軍的概率分別是和,則該市球隊奪得全省足球冠軍的概率為 ()A.B.C.D.【解析】選D.設事務A,B分別表示該市的甲、乙隊奪取冠軍,則P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.該市球隊奪得冠軍即事務A∪B發(fā)生.于是P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.3.在第3,6,16路公共汽車的同一個停靠站(假定這個車站只能?？恳惠v公共汽車),有一位乘客需在5min之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里.他可乘3路或6路公共汽車到廠里,已知3路車、6路車在5min之內(nèi)到此車站的概率分別為0.20和0.60,則該乘客在5min內(nèi)能乘上所需車的概率為 ()A.0.20 B.0.60 C.0.80 【解析】選C.因為乘客上3路車和上6路車這兩個事務是彼此互斥的,所以所求的概率為0.20+0.60=0.80.4.對一批產(chǎn)品的長度(單位:mm)進行抽樣檢測,如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.依據(jù)標準,產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品,在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品.用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件,則其為二等品的概率是 ()A.0.09 B.0.20 C.0.25 【解析】選D.用頻率估計概率,由圖可知,抽得一等品的概率為0.3,抽得三等品的概率為0.25,則抽得二等品的概率為1-0.3-0.25=0.45.二、填空題(每小題5分,共20分)5.在一次老師聯(lián)歡會上,到會的女老師比男老師多12人,從這些老師中隨機選擇一人表演節(jié)目,若選中男老師的概率為,則參與聯(lián)歡會的老師共有________人.

【解析】可設參與聯(lián)歡會的老師共有n人,由于從這些老師中選一人,“選中男老師”和“選中女老師”兩個事務是對立事務,所以選中女老師的概率為1-=.再由題意,知n-n=12,解得n=120.答案:1206.從幾個數(shù)中任取實數(shù)x,若x∈(-∞,-1]的概率是0.3,x是負數(shù)的概率是0.5,則x∈(-1,0)的概率是________.

【解析】設“x∈(-∞,-1]”為事務A,“x是負數(shù)”為事務B,“x∈(-1,0)”為事務C,由題意知,A,C為互斥事務,B=A+C,所以P(B)=P(A)+P(C),P(C)=P(B)-P(A)=0.5-0.3=0.2.答案:0.27.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級,其中丙級為次品.若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,丙級品的概率為0.01,則對該產(chǎn)品抽查一件抽到正品的概率為________.

【解析】因為抽到次品的概率為0.01,所以抽到正品的概率是1-0.01=0.99.答案:0.998.甲射擊一次,中靶的概率是P1,乙射擊一次,中靶的概率是P2,已知,是方程x2-5x+6=0的根,且P1滿意方程x2-x+=0.則甲射擊一次,不中靶的概率為________;乙射擊一次,不中靶的概率為______.

【解析】由P1滿意方程x2-x+=0知,-P1+=0,解得P1=;因為,是方程x2-5x+6=0的根,所以·=6,解得P2=.因此甲射擊一次,不中靶的概率為1-=,乙射擊一次,不中靶的概率為1-=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.一個袋中裝有四個形態(tài)、大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.先從袋中隨機取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機取一個球,該球的編號為n,求n<m+2的概率.【解析】取球一切可能的結(jié)果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個,這16個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的.又滿意條件n≥m+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3個.所以滿意條件n≥m+2的事務的概率為,故滿意條件n<m+2的事務的概率為1-=.【補償訓練】玻璃盒里裝有紅球、黑球、白球、綠球共12個,從中任取1球,設事務A為“取出1個紅球”,事務B為“取出1個黑球”,事務C為“取出1個白球”,事務D為“取出1個綠球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.(1)求“取出1個球為紅球或黑球”的概率.(2)求“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率.【解析】方法一(1)因為事務A,B,C,D彼此為互斥事務,所以“取出1個球為紅球或黑球”的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率為P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.方法二(1)“取出1個球為紅球或黑球”的對立事務為“取出1個球為白球或綠球”,即A+B的對立事務為C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1--=,即“取出1個球為紅球或黑球”的概率為.(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的對立事務為“取出1個球為綠球”,即A+B+C的對立事務為D,所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-=,即“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率為.10.某停車場臨時停車按時段收費,收費標準如下:每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元,超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該地停車,兩人停車都不超過4小時.(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為,停車費多于14元的概率為,求甲的停車費為6元的概率;(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率.【解析】(1)記“一次停車不超過1小時”為事務A,“一次停車超過1小時,不