云南省紅河州紅河縣中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量檢測試題文含解析

PAGE21-云南省紅河州紅河縣中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量檢測試題文（含解析）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合，再求集合交集即可.【詳解】解：解不等式得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查集合的交集運算，是基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則可將復(fù)數(shù)化為一般形式，進(jìn)而可得出，由此能得出結(jié)果.【詳解】,，因此，的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，同時也考查了復(fù)數(shù)的除法以及共軛復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.3.若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入如圖所示的長方形中，且點為的中點，，，則質(zhì)點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出矩形以及陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】矩形的面積為，陰影部分區(qū)域的面積為.因此，質(zhì)點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是.故選：A.【點睛】本題考查利用幾何概型的概率公式計算事務(wù)的概率，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.4.某地區(qū)年至年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表所示：年份年份代碼人均收入由表中數(shù)據(jù)得到線性回來方程，依據(jù)回來方程預(yù)料年人均純收入約為（）千元.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出、，將點代入回來直線方程，可求得的值，再將代入回來直線方程可得出結(jié)果.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回來直線過樣本的中心點，則，可得，所以，回來直線方程為，當(dāng)時，.因此，預(yù)料年人均純收入約為千元.故選：D.【點睛】本題考查利用回來直線方程對總體數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，同時也考查了利用樣本的中心點求參數(shù)，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.5.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是由一個三棱柱和長方體拼接而成的幾何體，利用柱體的體積公式結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)可求得該幾何體的體積.【詳解】由三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體是由一個三棱柱和長方體拼接而成的幾何體，由三視圖中的數(shù)據(jù)可知，該幾何體的體積為.故選：B.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，一般要求作出幾何體的直觀圖，考查空間想象實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題.6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，輸出的，并計算得出，且有，由此可得出輸出的值.【詳解】由于，則，且，，第一次循環(huán)，，，不成立，；其次次循環(huán)，，，不成立，；第三次循環(huán)，，，不成立，；以此類推，執(zhí)行最終一次循環(huán)，，，不成立，，所以，輸出的.故選：B.【點睛】本題利用算法程序框圖計算輸出結(jié)果，考查了正弦函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查計算實力，屬于中等題.7.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的一條漸近線與直線垂直可求得的值，再由可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線斜率求離心率，利用公式較為便利，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知直線和圓交于、兩點，為坐標(biāo)原點，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出圓心到直線的距離，利用點到直線的距離可得出關(guān)于實數(shù)的等式，進(jìn)而可解得實數(shù)的值.【詳解】由于，則圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.故選：A.【點睛】本題考查利用弦所對的圓心角求參數(shù)，解答的關(guān)鍵就是將問題轉(zhuǎn)化為弦心距來計算，考查計算實力，屬于中等題.9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為C.的圖像關(guān)于直線對稱D.將的圖像向左平移個單位長度，可得到一個偶函數(shù)的圖像【答案】D【解析】分析】把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)推斷各選項．【詳解】，∴，A錯誤；最大值為，B錯誤；時，，不是的對稱軸，C錯誤；將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)解析式是是偶函數(shù)，D正確．故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角函數(shù)恒等變換把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.， B.函數(shù)的圖像是中心對稱圖形C.是函數(shù)的極大值點 D.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】由推斷A，計算可推斷B，利用導(dǎo)數(shù)可推斷C，D．【詳解】，∴A正確；，∴，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B正確；，或時，，時，，∴在和上遞增，在上遞減，是微小值點，C錯誤，D正確．故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的零點，函數(shù)圖象的對稱性，考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間，駕馭極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解題基礎(chǔ)，函數(shù)滿意，則的圖象關(guān)于點對稱．11.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若的面積S滿意，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)余弦定理與面積公式得，化簡再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程即可得到.【詳解】解：因為的面積S滿意，故依據(jù)三角形面積公式和余弦定理得：，所以，又因為，所以有，整理得：，解得或，又因為，故.故選：D.【點睛】本題考查三角形面積公式與余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運算實力，是中檔題.12.已知函數(shù)，，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析出函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求得，，進(jìn)而可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，又，且，，，，故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，考查推理實力，屬于中等題.二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.已知平面對量，，若，則實數(shù)k的值為__________.【答案】【解析】【分析】由向量的數(shù)量積為0可求得．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，駕馭平面對量數(shù)量積的性質(zhì)是解題關(guān)鍵、14.若實數(shù)、滿意約束條件，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出訪得該直線在軸上截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，可得點，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故答案為：.【點睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線找出最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”，已知某鱉臑的全部頂點都在球O的球面上，且平面BCD，，，，，則球O的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】由勾股定理可求出的長，可得，進(jìn)而可確定外接球球心為中點，即可得球的半徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】如圖，因為平面BCD，所以在中，，在中，，所以，即，在直角三角形中，斜邊上的中點到各個頂點距離相等，可知中點O到的距離相等，所以此鱉臑的外接球的球心為O，所以半徑，所以球的表面積,故答案為：【點睛】本題考查了三棱錐外接球的半徑，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題16.過拋物線的焦點作斜率為的直線交拋物線于、兩點，則以線段為直徑的圓的方程為__________.【答案】【解析】【分析】可得直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可求得線段的中點坐標(biāo)，利用拋物線的焦點弦長公式可求得，進(jìn)而可得出所求圓的方程.【詳解】拋物線的焦點為，由題意可知直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，消去可得，，由韋達(dá)定理得，則，，線段的中點為，由拋物線的焦點弦長公式可得，因此，以線段為直徑的圓的方程為.故答案為：.【點睛】本題考查圓的方程的求解，考查拋物線焦點弦長以及線段中點坐標(biāo)的求解，考查計算實力，屬于中等題.三、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿意：，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由即可證明，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求得；（2）由，利用裂項求和即可【詳解】解：（1）∵，∴（），∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴.（2）由于，∴【點睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，裂項相消法求和，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算變形實力，屬于基礎(chǔ)題型.18.某公司為了調(diào)查每天手機(jī)用戶運用手機(jī)的時間，在一廣場隨機(jī)采訪男性、女性用戶各名，其中每天玩手機(jī)超過小時的用戶稱為“手機(jī)控”，否則稱為“非手機(jī)控”.調(diào)查結(jié)果如下：性別與手機(jī)控列聯(lián)表（單位：人）手機(jī)控非手機(jī)控合計男性女性合計（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與“性別”有關(guān)？（2）現(xiàn)從調(diào)查女性用戶中按分層抽樣的方法選出人，再從這人中隨機(jī)抽取人贈送紀(jì)念品，求至少有一人是“手機(jī)控”的概率.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）沒有的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與“性別”有關(guān)，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求得的觀測值，利用臨界值表可得出結(jié)論；（2）由題意可知，抽取的名女性用戶中是“手機(jī)控”的有人，分別記為、、，“非手機(jī)控”的有人，分別記為、，列舉出全部的基本領(lǐng)件，確定事務(wù)“從這人中隨機(jī)抽取人贈送紀(jì)念品，至少有一人是“手機(jī)控””所包含的基本領(lǐng)件，利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得，因此，沒有的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與“性別”有關(guān)；（2）由題意可知，抽取的名女性用戶中是“手機(jī)控”的有人，分別記為、、，“非手機(jī)控”的有人，分別記為、，從這人中隨機(jī)抽取人，全部的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事務(wù)“所抽取的人中至少有一人是“手機(jī)控””所包含的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、，共個.因此，所求概率為.【點睛】本題考查利用獨立性檢驗的基本思想解決實際問題，同時也考查了利用古典概型的概率公式計算事務(wù)的概率，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在三棱錐中，已知平面平面BCD，，，，，.（1）求證：平面ABC；（2）若點E是線段CD的中點，求C到平面ABE的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由可求得C到平面ABE的距離．【詳解】（1）∵，∴，又平面平面BCD，平面平面BCD，平面，∴平面ABC；（2）取中點，連接，中由余弦定理得，，是等腰直角三角形．，是中點，則，，又平面平面BCD，平面平面BCD，平面，∴平面，平面，∴，又是中點，∴，，∴，，是等腰三角形，，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得．∴到平面的距離為．【點睛】本題考查證明線面垂直，求點到平面的距離．證明線面垂直，駕馭面面垂直的性質(zhì)定理是關(guān)鍵，求點到平面的距離實行的方法是等體積法．20.已知橢圓上隨意一點P，由點P向x軸作垂直線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線與曲線C交于A，B兩點，且，求k的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先設(shè)出點，，求出，再結(jié)合，即可把點的坐標(biāo)用點的坐標(biāo)表示出來，最終把點的坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出曲線C的方程；（2）由直線方程與曲線C的方程聯(lián)立成方程組，消元后得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)直線方程得到，，從而可求出，所以，從而求出k的值.【詳解】解：（1）設(shè)，點為橢圓上任一點，則，，因為，所以，得，所以點的坐標(biāo)為，因為點在橢圓上，所以，即，故曲線C的方程為，（2）設(shè)，由，得，則，所以，，所以，因為，直線與軸交于點，所以，化簡得，解得或（舍去），所以【點睛】此題考查了求曲線的軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了計算實力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）對，成立，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的最小值；（2）對實數(shù)分和兩種狀況探討，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，然后解不等式，即可得出實數(shù)的值.【詳解】（1）當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，且.當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即；（2），且.當(dāng)時，對隨意的，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，不合乎題意；當(dāng)時，令，可得.當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，函數(shù)取最小值，即，由題意可得，令，其中，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，即，又，因此，.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立問題，考查計算實力，屬于中等題.22.已知在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為