全國名校高考數(shù)學試題分類匯編（12月 第一期）D3 等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和（含解析）

D3等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和【數(shù)學理卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（11）】19．（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足且 （Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式： （Ⅱ）設(shè)，設(shè)為的前n項和，求.【知識點】等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列求和D2D3D4【答案解析】(1),.（2）（1）∵數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．

當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化為bn=3bn-1．

∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．

∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．綜上可得：an=2n-1，bn=3n．

（2）cn=an?bn=（2n-1）?3n．

∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3n-1+（2n-1）?3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1．

∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）?3n+1=-（2n-1）?3n+1-3=（2-2n）?3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路點撥】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【數(shù)學理卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（11）】8．已知等比數(shù)列滿足＞0，＝1,2，…，且，則當≥1時，＝（）A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和D3【答案解析】C由等比數(shù)列的性質(zhì)可得an2=a5?a2n-5=22n，=（2n）2，

∵an＞0，∴an=2n，故數(shù)列首項a1=2，公比q=2，

故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1?a3?…?a2n-1=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2

=log22n?2=log22n+n2-n=log22n2=n【思路點撥】由題意可得an=2n，可得數(shù)列首項a1=2，公比q=2，進而可得原式=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2，代入由對數(shù)的性質(zhì)化簡可得答案．【數(shù)學理卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（11）】4.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（）A.27 B.3C. 或3 D.1或27【知識點】等差數(shù)列等比數(shù)列D2D3【答案解析】A∵成等差數(shù)列∴3a1+2a2=a3，∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0

∵q＞0∴q=3∴=q3=27故選A【思路點撥】由已知可得，3a1+2a2=a3，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求公比q，而=q3，代入即可求解.【數(shù)學理卷·屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（11）】21.（本題滿分13分）已知函數(shù)，各項均不相等的有限項數(shù)列的各項滿足.令，且，例如：.(Ⅰ)若，數(shù)列的前n項和為Sn，求S19的值；(Ⅱ)試判斷下列給出的三個命題的真假，并說明理由。①存在數(shù)列使得；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，則；③如果數(shù)列是等比數(shù)列，則?！局R點】數(shù)列求和；數(shù)列性質(zhì)得研究.D2D3D4【答案】【解析】(Ⅰ)；（Ⅱ）①③是真命題，②是假命題.理由：見解析.解析：………1分………3分………5分（Ⅱ）①顯然是對的，只需滿足………7分②顯然是錯的，若，………9分③也是對的，理由如下：……10分首先是奇函數(shù)，因此只需考查時的性質(zhì)，此時都是增函數(shù)，從而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增。若，則，所以，即，所以.同理若，可得，所以時，.由此可知，數(shù)列是等比數(shù)列，各項符號一致的情況顯然符合；若各項符號不一致，則公比且，，若是偶數(shù)，符號一致，又符號一致，所以符合；若是奇數(shù)，可證明總和符號一致”，同理可證符合；……………12分綜上所述，①③是真命題；②是假命題……………13分【思路點撥】(Ⅰ)、由取值得周期性，尋找前n項和的求和規(guī)律；（Ⅱ）、①當時，.所以①是對的；②當數(shù)列是等差數(shù)列，且時，.所以②是錯的；③當數(shù)列是等比數(shù)列時，根據(jù)已知條件得公比q，分q>0,q<0兩種情況討論得.所以③是對的.【數(shù)學理卷·屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（11）】11、已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則?！局R點】等比數(shù)列.D3【答案】【解析】27解析：（負值舍去），所以.【思路點撥】由已知條件求出首項和公比即可.【數(shù)學理卷·屆湖南省岳陽一中高三上學期第三次月考（11）】16.（本小題滿分12分）在正項等比數(shù)列中，公比，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，當取最大值時，求的值.【知識點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式．D3D4【答案】【解析】（1）;（2）解析：，，是正項等比數(shù)列，，，..（2），且為遞減數(shù)列當當取最大值時，【思路點撥】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式即可得出；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【數(shù)學理卷·屆湖南省岳陽一中高三上學期第三次月考（11）】9.已知,且成等比數(shù)列，則的最小值是A.1B.C.D.【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)．D3【答案】【解析】C解析：因為成等比數(shù)列,則由,則所以當且僅當時取等號,所以,的最小值是,故選C.【思路點撥】依題意成等比數(shù)列，可得，再利用對數(shù)的運算法則結(jié)合基本不等式，即可求出xy的最小值．【數(shù)學理卷·屆湖南省岳陽一中高三上學期第三次月考（11）】6.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若則=（）A.2B.C.D.3【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)．D3【答案】【解析】B解析：,,故選B.【思路點撥】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比列出關(guān)系式，又表示出S3，代入到列出的關(guān)系式中即可求出的值．【數(shù)學理卷·屆河南省實驗中學高三上學期期中考試（11）】15設(shè)x、、、y成等差數(shù)列，x、、、y成等比數(shù)列，則的取值范圍是．【知識點】等差數(shù)列等比數(shù)列D3D4【答案解析】[4，+∞）或（-∞，0]在等差數(shù)列中，a1+a2=x+y；在等比數(shù)列中，xy=b1?b2．

∴===++2．．

當x?y＞0時，+≥2，故≥4；當x?y＜0時，+≤-2，故≤0．

故答案為：[4，+∞）或（-∞，0]【思路點撥】由題意可知===++2．由此可知的取值范圍．【數(shù)學理卷·屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（11）】2、已知實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A．B．2C．或2D．或【知識點】等比數(shù)列；圓錐曲線.D3,H8【答案】【解析】C解析：解：∵1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，

∴m=±3．

當m=3時，圓錐曲線是橢圓，它的離心率是當m=-3時，圓錐曲線是雙曲線，它的離心率是2．

故答案為：或2．【思路點撥】由1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，得到m=±3．當m=3時，圓錐曲線是橢圓；當m=-3時，圓錐曲線是雙曲線，由此入手能求出離心率．【典例剖析】主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及圓錐曲線的概念.【數(shù)學理卷·屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學期期中聯(lián)考（11）】20.（本小題滿分13分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，已知，且對于任意的有，，成等差數(shù)列；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知（），記，若對于恒成立，求實數(shù)的范圍。【知識點】等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和；數(shù)列與函數(shù)的綜合.D3D4D5【答案】【解析】(1)；(2)解析：（1）…………4分（2），………10分若對于恒成立，則，，，令，所以為減函數(shù)，…………13分【思路點撥】(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用對于任意的有，，成等差得代入首項和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首項，則數(shù)列{an}的通項公式可求；(2)把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用錯位相減法求Tn，把Tn代入后分離變量m，使問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，分析函數(shù)的單調(diào)性時可用作差法．【數(shù)學理卷·屆四川省成都外國語學校高三11月月考（11）(1)】5.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A．B．C．D．【知識點】等比數(shù)列.D3【答案】【解析】D解析：由，得，所以，故選D.【思路點撥】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式求解.【數(shù)學文卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（11）】19．（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足且 （Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式： （Ⅱ）設(shè)，設(shè)為的前n項和，求.【知識點】等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列求和D2D3D4【答案解析】(1),.（2）（1）∵數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．

當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化為bn=3bn-1．

∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．

∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．綜上可得：an=2n-1，bn=3n．

（2）cn=an?bn=（2n-1）?3n．

∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3n-1+（2n-1）?3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1．

∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）?3n+1=-（2n-1）?3n+1-3=（2-2n）?3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路點撥】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【數(shù)學文卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（11）】8．已知等比數(shù)列滿足＞0，＝1,2，…，且，則當≥1時，＝（）A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和D3【答案解析】C由等比數(shù)列的性質(zhì)可得an2=a5?a2n-5=22n，=（2n）2，

∵an＞0，∴an=2n，故數(shù)列首項a1=2，公比q=2，

故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1?a3?…?a2n-1=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2

=log22n?2=log22n+n2-n=log22n2=n【思路點撥】由題意可得an=2n，可得數(shù)列首項a1=2，公比q=2，進而可得原式=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2，代入由對數(shù)的性質(zhì)化簡可得答案．【數(shù)學文卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（11）】4.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（）A.27 B.3C. 或3 D.1或27【知識點】等差數(shù)列等比數(shù)列D2D3【答案解析】A∵成等差數(shù)列∴3a1+2a2=a3，∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0

∵q＞0∴q=3∴=q3=27故選A【思路點撥】由已知可得，3a1+2a2=a3，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求公比q，而=q3，代入即可求解.【數(shù)學文卷·屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（11）】5、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝()A．31B．32C．63D．64【知識點】等比數(shù)列D3【答案】【解析】C解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a，公比為q，易知q≠1，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a（1－q2）,1－q)＝3，,\f(a（1－q4）,1－q)＝15，))解得q2＝4，eq\f(a,1－q)＝－1，所以S6＝eq\f(a（1－q6）,1－q)＝(－1)(1－43)＝63.【思路點撥】由已知條件可求出公比，再利用求和公式直接求出數(shù)值.【數(shù)學文卷·屆河南省實驗中學高三上學期期中考試（11）】20．（本小題滿分12分）數(shù)列滿足：，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和D3【答案解析】(Ⅰ)（Ⅱ）(Ⅰ)又, 數(shù)列是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.既所以（Ⅱ）.由(Ⅰ)知：令賦值累加得,∴【思路點撥】求出等比數(shù)列的公比首相求出通項公式，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求和?！緮?shù)學文卷·屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學期期中聯(lián)考（11）】.【知識點】等比數(shù)列的通項公式．D3【答案】【解析】16解析：因為已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則，所以=16；故答案為：16．【思路點撥】因為已知數(shù)列為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，利用等比中項可求。【數(shù)學文卷·屆江西省師大附中高三上學期期中考試（11）】3．已知等比數(shù)列{}的前