陜西省咸陽市2024年高考模擬檢測（三）數(shù)學（文科）試題【含答案解析】

咸陽市2024年高考模擬檢測（三）數(shù)學（文科）試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，務必將答題卡上密封線內的各項目填寫清楚.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)模及除法運算求得，再求出共軛復數(shù).【詳解】由，得，則，所以.故選：D2.已知全集為，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合中元素范圍，然后根據(jù)補集和交集的概念得答案.【詳解】，則或，所以.故選：C.3.數(shù)列中，，，則（）A.43 B.46 C.37 D.36【答案】C【解析】【分析】由遞推公式用累加法公式求出，再求即可.【詳解】法一：由題得，所以.法二：由題，，所以.故選：C.4.已知，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別求得為真時，，為真時，,可得結論.【詳解】為真時，可得，所以，為真時，，又所以，所以，所以為真時，,所以是的即不充分又不必要條件.故選：D.5.在中，分別為的內角的對邊，為邊上一點，滿足，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，進而求出，在中，由余弦定理即可求出詳解】由已知，，則，因為，所以，又，，代入，解得，因為為邊上一點，滿足，所以，由正弦定理，即，解得，所以，設，則在中，由余弦定理，得，解得，即.故選：A.6.隨機取實數(shù)，則關于的方程有兩個負根的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考查幾何概率，求出關于的方程有兩個負根的p的取值范圍即可求所求概率.【詳解】方程有兩個負根，則，或，所以所求概率為.故選：C.7.已知各棱長都為1的平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結合平行六面體的結構特征，利用幾何法求出異面直線與所成角.【詳解】在平行六面體中，連接，，則四邊形是平行四邊形，，于是是異面直線與所成角或其補角，由，棱兩兩的夾角均為，得都是正三角形，即，則，所以異面直線與所成角為.故選：C8.為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，是半徑上的動點，，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，在中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數(shù)關系，再求出函數(shù)最大值即得.【詳解】設，由，得，在中，由正弦定理得，即，則的面積，顯然，因此當，即時，，所以面積的最大值為.故選：A9.某校組織知識競賽，已知甲同學答對第一題的概率為，從第二題開始，甲同學回答第題時答錯的概率為，，當時，恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項，再借助單調性求出的最小值即可得解.【詳解】依題意，，當時，由，得，而，因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，即，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，當時，，而當時，恒成立，于是，所以的最大值為.故選：A10.已知一個圓錐的三視圖如圖，該圓錐的內切球也是棱長為的正四面體的外接球，則此正四面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三視圖獲取圓錐的高、底面半徑和母線的長，從而求出圓錐內切球，再結合正四面體和正方體的關系即可探究正四面體棱長和該內切球半徑的關系，進而即可求出正四面體的表面積.【詳解】由圓錐的三視圖如圖可知圓錐的高為，底面半徑為2，則母線長，由圓錐結構特征可知：圓錐的軸過其內切球（半徑設為r）球心O，所以過圓錐的軸截圓錐及其內切球得到的截面圖如下：由上可知，故有，即，，將棱長為a的正四面體補形為正方體，如圖，則正方體的棱長為，且該正四面體的外接球即為正方體的外接球，所以，即，所以正四面體的表面積為.故選：C.11.已知函數(shù)，若在區(qū)間內有且僅有4個零點和4條對稱軸，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再結合正弦函數(shù)的零點及對稱性列式求解即得.【詳解】函數(shù)，當時，，由在區(qū)間內有且僅有4個零點，得，解得，由在區(qū)間內有且僅有4條對稱軸，得，解得，所以的取值范圍是.故選：C12.已知雙曲線（，）的左右焦點分別為、，左右頂點分別為、，為（為原點）中點，為雙曲線左支上一點，且，直線的斜率為，為的內心，則下列說法正確的是（）A.的離心率為B.的漸近線方程為：C.平分D.【答案】C【解析】【分析】由題設及雙曲線性質可得且，即可判斷A、B；根據(jù)角平分線性質只需判斷、是否相等判斷C；設的內切圓的半徑為，由三角形面積公式計算即可判斷D.【詳解】由題設且，又，所以，而，故，由，則，故，所雙曲線的離心率為，故A正確；由上可得，故C的漸近線方程為，B錯誤；由，則，故，而為的中點，則，，故，由角平分線性質易知：平分，C正確；設的內切圓的半徑為，，可得，由勾股定理可得，所以，，故D不正確.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上任意一點，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】求出點的坐標，求出圓的圓心和半徑，再利用圓的性質求出最小值.【詳解】橢圓中，右焦點，圓的圓心，半徑，顯然橢圓與圓相離，由點在圓上，得，于是，當且僅當分別是線段與橢圓、圓的交點時取等號，所以的最小值為.故答案為：14.，滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】5【解析】【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標函數(shù)的幾何意義求出最大值.【詳解】約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，目標函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線經(jīng)過點時，的縱截距最大，最大，，所以的最大值為5.故答案為：515.已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關于的方程有兩解，則的值為______.【答案】49或【解析】【分析】由已知可得是以為周期的周期函數(shù)，結合已知可作出函數(shù)的圖象，關于的方程有兩解，可得與的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可求的值.【詳解】由，可得，所以是以為周期的周期函數(shù)，又為偶函數(shù)，且，故可作出函數(shù)的圖象如圖所示：若關于的方程有兩解，則與的圖象有兩個交點，當，則過點,所以，解得，當，則過點,所以，解得，綜上所述：的值為或.故答案為：或.16.關于的不等式恒成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由，得，利用導數(shù)證明，則問題轉化為恒成立，即可得解.【詳解】令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實數(shù)根，即，由，得，即，當時，，即，又，，所以，所以不成立，即當時，不恒成立，綜上所述，最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）變形給定等式，利用等差數(shù)列求出通項即得.（2）利用（1）的結論，求出，按為奇數(shù)和偶數(shù)并結合并項求和法分別求和.【小問1詳解】數(shù)列中，，，顯然，則，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，所以數(shù)列通項公式.【小問2詳解】由（1）知，，當時，，，當時，，所以.18.閱讀是人類獲取知識、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.1995年，聯(lián)合國教科文組織宣布4月23日為“世界讀書日”，致力于向全世界推廣閱讀、出版和對知識產權的保護.某學校為了打造“書香校園”，使學生養(yǎng)成好的閱讀習慣，健康成長，從學校內隨機抽取了200名學生一周的課外閱讀時間進行調查，了解學生的課外閱讀情況，收集了他們閱讀時間（單位：小時）等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值及200名學生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；（2）為進一步了解這200名學生一周課外閱讀時間的情況，從課外閱讀時間在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，選取其中兩人組成小組，現(xiàn)求其中兩名組員全在內的概率.【答案】（1），小時；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定的頻率分布直方圖，結合各小矩形面積和為1求出，再估計一周課外閱讀時間的平均數(shù).（2）求出指定的兩組內各抽取的人數(shù)，利用列舉法、結合古典概率求解即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，平均數(shù)（小時），所以，200名學生一周課外閱讀時間的平均數(shù)為小時.【小問2詳解】在這兩組采用分層抽樣的方法抽取6人，則從課外閱讀時間在內的學生中抽取5人，記為，課外閱讀時間在內的學生中抽取1人，記為，于是有，共15種，且每種結果的發(fā)生是等可能的，而滿足兩名組員都在內的情況有，共10種，所以兩名組員全在內的概率為.19.已知平行四邊形中，，，且.若為邊上一點，滿足，若將三角形沿著折起，使得二面角為.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在平行四邊形中結合余弦定理證明，在幾何體中，由二面角結合余弦定理證明，再利用線面垂直的判定推理即得.（2）在線段DE上取一點，使得，證明平面ABED，再利用錐體體積公式計算即得.【小問1詳解】在中，連接BE，，且，在中，，又，則，由余弦定理得：，解得，因為，則，即，在折疊后的幾何體中，由，且平面CDE，則平面CDE，又平面CDE，則，由，及二面角為，得為二面角的平面角，即，在中，，由余弦定理得，于是，則，即，因為平面BCE，所以平面BCE.【小問2詳解】如圖，在線段DE上取一點，使得，連接CO，在中，，由余弦定理得，于是，則，即，由（1）知平面平面DCE，則，又，且平面ABED，則平面ABED，即四棱錐的高為OC，又，則，所以四棱錐的體積為.20.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)極值；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值，無極小值；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，并求出函數(shù)，再利用導數(shù)探討極值即可得解.（2）變形給定不等式，證明并分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出最小值即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，求導得，由，得，由，得，由，得，因此在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，無極小值.【小問2詳解】函數(shù)，，，設，，求導得，函數(shù)在上單調遞減，則，即，因此，令，，求導得，令，，求導得，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，利用導數(shù)探求函數(shù)單調性、最值是解決問題的關鍵.21.已知直線過定點，動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，設動圓圓心軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）點，，為上的兩個動點，若，，恰好為平行四邊形的其中三個頂點，且該平行四邊形對角線的交點在上，記平行四邊形的面積為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設出點的坐標，利用圓的弦長公式列式化簡即得.（2）設出點的坐標，結合給定條件，探討直線的斜率，表示出該直線方程，再與拋物線方程聯(lián)立，建立四邊形的面積的函數(shù)關系，利用導數(shù)求出最大值即得.【小問1詳解】設圓心坐標為過定點，依題意，，化簡得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】顯然點不在曲線上，設，直線PQ的斜率為，線段PQ的中點為，由平行四邊形PAQB對角線的交點在上，得線段PQ的中點在直線上，設，顯然，兩式相減得，又，即，設直線PQ的方程為，即，由消去x并整理得，，則，解得，則，又點到直線PQ的距離為，所以，，記，由，得，則，令，求導得，令，得，當時，在區(qū)間內單調遞增，所以當，即時，取得最大值，即，所以.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目條件和