第17講重難點(diǎn)拓展基本不等式（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第17講重難點(diǎn)拓展：基本不等式【人教A版2019必修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01巧用“1”的代換求最值問(wèn)題 1題型02分離消元法求最值 3題型03利用基本不等式證明不等式 5分層練習(xí) 7夯實(shí)基礎(chǔ) 7能力提升 10創(chuàng)新拓展 18題型01巧用“1”的代換求最值問(wèn)題【解題策略】常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過(guò)代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時(shí)，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商．【典例分析】【例1】若x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．【變式演練】【變式1】（2324高一上·安徽·期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．6 B．16 C．20 D．18【變式2】已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值．【變式3】（2324高一上·甘肅·期末）已知.若，求的最小值.題型02分離消元法求最值【解題策略】對(duì)含有多個(gè)變量的條件最值問(wèn)題，若無(wú)法直接利用基本不等式求解，可嘗試減少變量的個(gè)數(shù)，即用其中一個(gè)變量表示另一個(gè)，再代入代數(shù)式中轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的最值問(wèn)題．【典例分析】【例2】已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值．【變式演練】【變式1】已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值．【變式2】（2324高一上·廣東東莞·期末）若、，且，則的最大值為．【變式3】已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，則a＋2b的最小值為_(kāi)_______．題型03利用基本不等式證明不等式【解題策略】利用基本不等式證明不等式的策略從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．【典例分析】【例3】已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1.求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.【變式演練】【變式1】已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1.求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.【變式2】已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.【變式3】已知a，b都是正數(shù)，求證：eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）已知，，且，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．8三．填空題（共3小題）2．（2024春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．3．（2023秋?斗門區(qū)校級(jí)月考）已知，，若，則的最小值為．4.設(shè)正數(shù)，滿足，的最小值為．5．（2023秋?深圳期末）已知，，若，則的最小值為．四．解答題（共2小題）6．（2023秋?漢壽縣校級(jí)期中）（1）已知，為正數(shù)，且滿足，求的最小值；（2）已知，求的最大值．7．（2022春?會(huì)寧縣校級(jí)期中）已知，，求證：．【能力提升】一．多選題（共4小題）1．（2023秋?岳陽(yáng)期末）已知實(shí)數(shù)，滿足且，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．的最小值為92．（2023秋?汕尾期末）已知，為正數(shù)，且，則A． B． C． D．3．（2023秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）若，，，則下列說(shuō)法正確的有A．的最小值為4 B．的最大值為 C．的最小值為 D．的最大值是4．（2023秋?河池月考）下列說(shuō)法正確的有A．若，則的最大值是 B．若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3 C．若，，，則的最小值是2 D．若，則的最小值是4二．填空題（共2小題）5．（2023秋?建鄴區(qū)期末）若，，均為正數(shù)，且，則的最小值是．6．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知正數(shù)，滿足，則取到最小值時(shí)，．三．解答題（共4小題）7．（2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期中）解答下列問(wèn)題：（1）設(shè)正數(shù)，滿足，求的最小值；（2）已知，，比較與的大小．8．（2023秋?重慶期中）（1）已知，求的最小值；（2）若、，且滿足條件，求的最小值．9．（2023秋?長(zhǎng)治期末）已知，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．10．（2023秋?西安期末）若，，且．（1）求的取值范圍；（2）求的最小值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值．【創(chuàng)新拓展】一．多選題（共1小題）1．（2023秋?渾南區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是A．若，則的最小值為 B．已知，，且，則的最小值為 C．已知，，且，則的最小值為 D．若，，則的最小值為二．填空題（共1小題）2．（2023秋?鹽城期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．三．解答題（共6小題）3．（2023秋?鎮(zhèn)江月考）已知，為正實(shí)數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若，，試判斷與的大小關(guān)系并證明．4．（2023秋?江北區(qū)校級(jí)月考）（1）已知，，求的取值范圍；（2）若實(shí)數(shù)，，滿足．試判斷與的大小并說(shuō)明理由．5．（2023秋?石河子校級(jí)月考）（1）已知，，，比較與的大?。唬?）已知，，，求的取值范圍；6．（2324高一上·貴州黔西·階段練習(xí)）已知，，且.(1)求ab的最小值；(2