河北省唐山市高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題

唐山市2019~2020學(xué)年度高三年級(jí)摸底考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，熟記概念，即可得出結(jié)果.2.已知，，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是關(guān)于的方程的一個(gè)根，代入方程化簡(jiǎn)得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，可得，即：，所以，解得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則公差()A.6 B.5 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中條件，由求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，，所以，即，因此，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，熟記等差數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.4.已知，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性，分別求得的范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性，可得，即，，即，，即，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，合理求解得范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得到，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，排除B、C；再由函數(shù)的單調(diào)性，排除A，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，排除B、C；當(dāng)時(shí)，，則＞0，所以函數(shù)在上遞增，排除A，故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)行合理排除是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為的一條漸近線上的點(diǎn)，，則()A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程得到漸近線方程，以及右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出三角形面積.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以其漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)為的一條漸近線上的點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)在上，且點(diǎn)在第一象限；又，所以為等腰三角形，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為，因此，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線中的三角形面積問題，熟記拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.7.已知，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由題意得到，再兩邊同時(shí)平方，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因此，所以，即，所以故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換給值求值的問題，熟記公式即可，屬于?？碱}型.8.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由一個(gè)半圓和一個(gè)四分之一圓構(gòu)成，兩個(gè)陰影部分分別標(biāo)記為和.在此圖內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自區(qū)域的概率記為，取自區(qū)域的概率記為，則（）A. B.C. D.與的大小關(guān)系與半徑長(zhǎng)度有關(guān)【答案】C【解析】【分析】利用圓面積公式和扇形的面積公式，分別求得陰影部分的面積，得到陰影部分的面積＝陰影部分的面積，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)四分之一圓的半徑為，則半圓的半徑為，陰影部分的面積為，空白部分的面積為，陰影部分M的面積為：，陰影部分的面積＝陰影部分的面積，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，正確求解陰影部分的面積是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.下圖是判斷輸入的年份是否是閏年的程序框圖，若先后輸入，，則輸出的結(jié)果分別是（注：表示除以的余數(shù)）（）A.是閏年，是閏年 B.是閏年，是平年C.是平年，是閏年 D.是平年，是平年【答案】C【解析】【分析】由給定的條件分支結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)判斷條件，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，輸入時(shí)，，輸出是平年，輸入時(shí)，輸出是潤(rùn)年，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了條件分支結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算結(jié)果的輸出，其中解答中根據(jù)條件分支結(jié)構(gòu)的程序框圖，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，則下列說法正確的是()A.的最小正周期為 B.是的一個(gè)對(duì)稱中心C.是的一條對(duì)稱軸 D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】先由題意得到的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，所以，所以的最小正周期為，A錯(cuò)；由得，因此的對(duì)稱中心為，B正確；由得，因此的對(duì)稱軸為，C錯(cuò)；由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，D錯(cuò).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷平移后的函數(shù)性質(zhì)，熟記余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可，屬于常考題型.11.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列()A.有最大項(xiàng)也有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng)有最小項(xiàng) D.無最大項(xiàng)也無最小項(xiàng)【答案】A【解析】【分析】先由，得到，兩式作差，得到數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；求出，分別討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，，所以，兩式作差，得，設(shè)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；又，所以，,所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，有最大值；且；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，有最小值；且；因此，數(shù)列有最大值；有最小值.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問題，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.12.已知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為的球面上，且，，若該三棱錐體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可知，從而求得；根據(jù)棱錐體積公式可知，若三棱錐體積最大,則可得點(diǎn)到平面的最大距離，在中利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于球的半徑的方程，解方程求得半徑，代入球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】，如下圖所示：若三棱錐體積最大值為，則點(diǎn)到平面最大距離：即：設(shè)球的半徑為，則在中：，解得：球的表面積：故選【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過體積的最值確定頂點(diǎn)到底面的距離，根據(jù)外接球的性質(zhì)可確定球心的大致位置，通過勾股定理構(gòu)造關(guān)于半徑的方程求得外接球半徑.二、填空題。13.已知，且，則向量的坐標(biāo)是____.【答案】或【解析】【分析】先設(shè)，根據(jù)題中條件，列出方程組，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，且，所以，解得或，因此向量的坐?biāo)是或.故答案為或【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.14.若滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，即，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知直線過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，則該橢圓的離心率是____.【答案】【解析】【分析】先由題意求出，再設(shè)，根據(jù)，結(jié)合題意求出點(diǎn)，代入橢圓方程，求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€過橢圓的左焦點(diǎn)，所以，設(shè)，因?yàn)?，由題意可得，所以，又在直線上，所以，即，由題意可得，解得，所以離心率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.16.已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是____.【答案】【解析】【分析】先由的圖像與的圖像可得，恒成立；原問題即可轉(zhuǎn)化為直線介于與之間，作出其大致圖像，由圖像得到只需；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出，所在直線斜率，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由的圖像與的圖像可得，恒成立；所以若恒成立，只需，即直線介于與之間，作出其大致圖像如下：由圖像可得，只需；設(shè)，由得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，又該切線過點(diǎn)，所以，解得，所以；設(shè)，由得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，又該切線過點(diǎn)，所以，解得，所以；所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式恒成立的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某音樂院校舉行“校園之星”評(píng)選活動(dòng)，評(píng)委由本校全體學(xué)生組成，對(duì)兩位選手，隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的評(píng)分，得到下面的莖葉圖：所得分?jǐn)?shù)低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局復(fù)賽待選直接晉級(jí)（1）通過莖葉圖比較兩位選手所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；（2）舉辦方將會(huì)根據(jù)評(píng)分結(jié)果對(duì)選手進(jìn)行三向分流，根據(jù)所得分?jǐn)?shù)，估計(jì)兩位選手中哪位選手直接晉級(jí)的概率更大，并說明理由.【答案】(1)選手所得分?jǐn)?shù)的平均值高于選手所得分?jǐn)?shù)的平均值；選手所得分?jǐn)?shù)比較集中，選手所得分?jǐn)?shù)比較分散．(2)選手直接晉級(jí)的概率更大．理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布特征，可直接得出結(jié)論；（2）用表示事件“選手直接晉級(jí)”，表示事件“選手直接晉級(jí)”，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算概率，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）通過莖葉圖可以看出，選手所得分?jǐn)?shù)的平均值高于選手所得分?jǐn)?shù)的平均值；選手所得分?jǐn)?shù)比較集中，選手所得分?jǐn)?shù)比較分散．（2）選手直接晉級(jí)的概率更大．用表示事件“選手直接晉級(jí)”，表示事件“選手直接晉級(jí)”．由莖葉圖得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，所以，選手直接晉級(jí)的概率更大．【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的特征，以及古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積（1）證明：；（2）若，求.【答案】(1)證明見解析；(2)2【解析】【分析】（1）由三角形面積公式，結(jié)合題意，得到，化簡(jiǎn)整理即可得出結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合（2）中數(shù)據(jù)，得到，再由余弦定理得到，解方程，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因此．?）由（1）得，所以由余弦定理得，所以，解得因此，即由（1）得，所以，故．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以及余弦定理即可，屬于?？碱}型.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）連接交于，連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先由線面垂直的判定定理得到平面，再得到平面，從而可得即為直線與平面所成的角，設(shè)，在中，列式求出，再由棱錐的體積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接交于，連接．由題意可知，，，又平面，平面，平面．（2）由底面，得，又由題意可知，且平面，則．由，則，且，平面，所以即為直線與平面所成的角設(shè)，在中，，則，解得∴四棱錐體積【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定，以及由線面角求其它量的問題，熟記線面平行、線面垂直的判定定理，以及棱錐的體積公式即可，屬于?？碱}型.20.已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn)。（1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，求；（2）為上一點(diǎn)，為的重心（三邊中線的交點(diǎn)），求?！敬鸢浮?1)32；(2)或．【解析】【分析】（1）先設(shè)，將的方程代入拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可得出結(jié)果；（2）先由題意得到，設(shè)，根據(jù)為的重心，得到，由（1）的結(jié)果表示出，再代入拋物線方程，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，將的方程代入得：，所以，即，從而（2）依題意得，設(shè)，因?yàn)闉榈闹匦模?，從而，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，即．故或．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線中的定值問題，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，以及拋物線的方程求解，屬于?？碱}型.21.已知函數(shù)，且曲線與直線相切于點(diǎn)，（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先由題意得到，求出，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求出，從而可得到解析式；（2）先令，先由題意確定，再由函數(shù)奇偶性的概念，易得到為偶函數(shù)，因此只需時(shí)，；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，兩種情況，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，最值等，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，解得，由得．所以．（2）令，由得，所以．顯然為偶函數(shù)，所以只需時(shí)，．，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，從而時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又時(shí)，；時(shí)，，所以存在，使得，因此時(shí)，，，即在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，與矛盾，因此時(shí)不成立．綜上，滿足題設(shè)的的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等即可，屬于?？碱}型.22.在極坐標(biāo)系中，圓.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為.求圓的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；已知直線與圓交與，，滿足為的中點(diǎn)，求.【答案】（1），，(為參數(shù)，).（2）【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式，可求解圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方