人教A版新教材高中數(shù)學第二冊學案3：6.1 平面向量的概念

6.1平面向量的概念

『知識導學』

知識點一向量與數(shù)量

（1）向量：叫做向量.

（2）數(shù)量：稱為數(shù)量.

知識點二向量的表示

具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素:、、.

幾何表示：用畫有向線段來表示向量，匾］有向

線段的長度表示向量的大小，場有向線段的

方電表示向量的方向，即用有向線段的起點、

表示法終點字母表示，如瓦2,…

字母表示：用小寫字母a，氏c,…表示（手寫時

必須加箭頭）

稱為向量的長度（或稱模）.

知識點三向量的有關(guān)概念

向量名稱定義

零向量畫長度為0的向量，記作0

單位向量一長度等于1個單位長度的向量

國方向相同或相反的非零向量；向量

平行向量

a北平行，記作a〃兒規(guī)定：回零向量

（共線向量）

與任意向量平行

向量名稱定義

蚓長度相等且方向相同的向量；向量a.b

相等向量

相等，記作a=b

「新知拓展」

1.向量與數(shù)量的區(qū)別

(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一個代數(shù)量，沒有方向；

(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小，即使間>|臼，也不能說a>b：

(3)0與0不同.0表示數(shù)量，但0表示零向量，其中|0|=0.

2.向量與有向線段

區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩要素，而有向線段有起點、方向、終點三要素，因

此這是兩個不同的量.

聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但這并不是說向量就是有向線段.

3.共線向量與相等向量

(1)共線向量的定義指的是非零向量的共線問題；

(2)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的''共線”“平行”

不同；

(3)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量.共線向量僅僅指向量的方向

相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.

特別注意：(1)判斷兩個向量的關(guān)系：一要判斷大小，二要判斷方向，如遇上零向量，必須

注意其方向的任意性.

(2)定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向.我們規(guī)定零向量的方向是

任意的：單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同.

「基礎自測J

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)兩個向量能比較大小.()

(2)向量的模是一個正實數(shù).()

(3)單位向量的模都相等.()

—?—?

(4)向量AB與向量54是相等向量.()

2.做一做

(I)下列說法正確的是()

A.若|a|>|方則a>b

B.若|a|=|切，則

C.若a=b,則a與》共線

D.若aWb,則a一定不與b共線

(2)如圖，四邊形43co中，AB=DCf則必有()

A.AD=CBB.OA=OC

―>>-A—?-?

C.AC=DBD.DO=OB

(3)Z\ABC是等腰三角形，則兩腰上的向量AB與AC的關(guān)系是

(4)如圖所示，四邊形ABC。為正方形，為等腰直角三角形，

①圖中與A3共線的向量有；

—?

②圖中與A3相等的向量有；

―?

③圖中與A8模相等的向量有；

—?

④圖中與EC相等的向量有.

［題型探究』

題型一向量的有關(guān)概念

例1下列說法正確的是()

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小

C.向量的大小與方向有關(guān)

D.向量的模可以比較大小

『規(guī)律方法」解決與向量概念有關(guān)問題的方法

解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度,：共線向量的核心是

方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心

是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0;規(guī)

定零向量與任意向量共線.只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.

［跟蹤訓練1J

給出下列命題：

-?-A

①若向量Q=A8,b=BA,則⑷=|)|；

②若〃是單位向量，力也是單位向量，則標與方的方向相同或相反；

-?-A

③若向量4B是單位向量，貝UBA也是單位向量；

④以坐標平面上的定點A為起點，所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓.

其中正確的個數(shù)是.

題型二向量的幾何表示

例2某人從A點出發(fā)向東走了5米到達8點，然后改變方向按東北方向走了1即米到達

C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達。點.

—?―?—?

⑴作出向量AB,BC,CD；

―?

(2)求AD的模.

『規(guī)律方法」向量的兩種表示方法

(1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量的

終點.

(2)字母表示法：為了便于運算可用字母a,b,C,…表示，為了聯(lián)系平面兒何中的圖形性質(zhì)，

—?—?—?

可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如AB,CD,EF等.

『跟蹤訓練2J

某次軍事演習中，紅方一支裝甲分隊為完成對藍軍的穿插包圍，先從4處出發(fā)向西迂回了

100km到達3地，然后又改變方向向北偏西40。走了200km到達C地，最后又改變方向，

向東突進100km到達D處，完成了對藍軍的包圍.

(1)作出向量48,BC,CD；

(2)求|AD|.

題型三相等向量與共線向量

例3⑴①若|。|=步|,則。=①

②若A,B,C,。是不共線的四點，則A8=DC是四邊形A8C。是平行四邊形的充要條件;

③若b=c,則a=c；

他|=|外

④兩向量e8相等的充要條件是,一

[a//b\

⑤⑷=也是向量的必要不充分條件；

-?―*■

⑥AB=C￡＞的充要條件是A與C重合、8與￡＞重合.

其中真命題的個數(shù)是.

—?―?—?

(2)如圖所示，。是正六邊形ABCQEF的中心，且OA=a,OB=b,OC=c.

①與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？

②與a共線的向量有哪些？

③請---列出與a,6,c相等的向量.

「結(jié)論探究」本例(2)條件不變，試寫出與向量BC相等的向量.

「綜合探究J在本例(2)中，若⑷=1,則正六邊形的邊長如何?

「規(guī)律方法」共線向量與相等向量的區(qū)別與聯(lián)系

相等向量是指大小相等且方向相同的向量.共線向量是方向相同或相反的非零向量，共線向

量也叫平行向量.相等向量一定是共線向量,而共線向量不一定相等.向量相等具備傳遞性，

而向量的共線不具備傳遞性.

『跟蹤訓練3J

（1）下列命題：

①兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同；

—?-?

②若非零向量AB與8是共線向量，則4,B,C,。四點共線；

③若a//b且b//c,則a//c\

-A-A

④若四邊形ABCD是平行四邊形，則一定有4B=OC.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

（2）如圖所示，四邊形ABCD與A8DE是平行四邊形.

①找出與向量48共線的向量;

—?

②找出與向量相等的向量.

「隨堂達標』

1.有下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.在下列判斷中，正確的是（）

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等；

④單位向量都是同方向；

⑤任意向量與零向量都共線.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

—?―?—?

3.如圖，在圓。中，向量OB,0C,A。是()

A.有相同起點的向量

B.共線向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

4.如圖所示，以1X2方格紙中的格點(各線段的交點)為始點和終點的向量中，與AF相等的

向量有.

5.如圖，。是正方形ABCD的中心.

(1)寫出與向量AB相等的向量;

(2)寫出與0A的模相等的向量.

★參*考*答*案★

「知識導學』

知識點一向量與數(shù)量

(1)既有大小又有方向的量

(2)只有大小沒有方向的量

知識點二向量的表示

起點方向長度

向量的大小

『基礎自測』

1.r答案」(1)X(2)X(3)7(4)X

2.「答案」(1)C(2)D⑶模相等

―?―?—?―?—?―?—?—?-?

(4)①。C,CD,BE,EB,AE,EA,BA②DC,BE

―?—?—?—?―?—?—?—?—?—?

③DC,CD,BA,BE,EB,DA,AD,CB,BC@BD

『題型探究』

題型一向量的有關(guān)概念

例1【r解析」」A項，不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，不正確；B項，

方向相同的向量也不能比較大小，不正確；c項，向量的大小即向量的模，指的是有向線段

的長度，與方向無關(guān)，不正確；D項，向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，正確.

「「答案」」D

『跟蹤訓練1J

「答案」3

「解析」①正確，由于⑷=|4B|=AB,|》|=|BA|=8A=A8,因此有同=|回.

②不正確，由單位向量的定義知，凡長度為1個單位長度的向量均稱為單位向量，但是對方

向沒有任何要求，因此說法②不正確.

-A-A-A-?

③正確，因為|A8|=|BA|,所以當AB是單位向量時，54也是單位向量.

-A

④正確，由于向量|AP|=1,所以點P是以點A為圓心的單位圓上的一點.反過來，若點P

—?-?

是以點A為圓心，1為半徑的單位圓上的任一點，則由于HP|=1,所以向量AP是單位向量，

因此說法④正確.

題型二向量的幾何表示

—?—?—?

例2『解」（1）作出向量AB,BC,CD如圖所示.

（2）由題意得，/XBCD是直角三角形，其中NBOC=90。，BC=1（S米，CD=10米，所以

8。=10米.△43。是直角三角形，其中NA8D=90。，A8=5米，8。=10米，所以A￡）=

-A

452+（10）2=5?。祝?所以依。|=5小米.

「跟蹤訓練2J

—?—?—?

解（1）向量力B,BC,CD,如圖所示.

（2）由題意，易知AB與CD方向相反，故AB與C￡>共線.

?—?-?

又兇B|=|C￡>|,...在四邊形ABC。中，ABCD,

：.四邊形ABCD為平行四邊形.

―?-?-A-?

AD=BC,\AD\=\BC\=200km.

題型三相等向量與共線向量

例3「『解析J」（1）①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，因此

由⑷=|可推不出a=b.

—?—?—*—?—?

②正確.，|AB|=|DC|且4B〃DC.又B,C,。是不共線的四點，二四邊形

ABC。是平行四邊形.反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB^OC,且AB與0c方向

相同，因止匕1B=OC.

③正確〃的長度相等且方向相同.又,：b=c,：.b,c的長度相等且方向相

同，c的長度相等且方向相同.故。=c.

[\a\=\b\,

④不正確.當a//b,但方向相反時，即使間=|臼，也不能得到a=b,故彳不是a

[a//b

=b的充要條件.

⑤正確.這是因為|a|=|b|；a=b,但a=方今同=|臼，所以|a|=|臼是a=Z?的必要不充分條件.

—?—?—?—?

⑥不正確.這是因為AB=CD時，應有|A8|=|C￡)|及由A到8與C到D的方向相同，但不一

定要有A與C重合、B與。重合.

-A—A-A-*

(2)①與a的長度相等、方向相反的向量有。。，BC,AO,FE.

—?—?—?―?—?—?—?—?-?

②與a共線的向量有EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.

-??-?-A->?-A

③與a相等的向量有EF,DO,CB；與b相等的向量有QC,EO,FA；與c相等的向量有FO,

―?-?

ED,AB.

『『答案」」(1)3(2)見『解析』

—?—?-?

「結(jié)論探究」解OD,AO,FE.

「綜合探究J解因為A8CQEF是正六邊形，⑷=1,所以正六邊形的邊長也是1.

「跟蹤訓練3J

「答案」(1)B⑵見『解析』

「解析」(1)相等向量起點相同時，終點必相同，故①錯誤；向量的共線不同于點共線,

—?—?

故當AB與CD共線時，四點A,