河北省邯鄲市永年區(qū)第二中學2023-2024學年高二上學期開學考試 數(shù)學試題

2023-2024學年河北省邯鄲市永年二中高二（上）開學數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知復數(shù)z=1?2i，則z?在復平面上對應的點的坐標為(

)A.(1,2) B.(?1,2) C.(1,?2) D.(?1,?2)2.已知向量a=(3,?2),b=(m,9)，若a⊥bA.?8 B.8 C.?6 D.63.某超市舉行有獎促銷活動，活動中設(shè)置一等獎、二等獎、幸運獎三個獎項，其中中幸運獎的概率為0.3，中二等獎的概率為0.2，不中獎的概率為0.38，則中一等獎的概率為(

)A.0.16 B.0.22 C.0.12 D.0.14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B=π3,b=3,a=6A.π6 B.π4 C.5π125.若l為一條直線，α，β，γ為三個互不重合的平面，則下列命題正確的是(

)A.α⊥γ，β⊥γ?α⊥β B.若l/?/α，α⊥β?l?βC.α⊥γ，β//γ?α⊥β D.若l/?/α，α⊥β?l⊥β6.在△ABC中，cosA=12，AB=2，AC=3，D是線段上BC靠近C的一個三等分點，則AD?A.229 B.?229 C.167.定義：我們把每個數(shù)字都比其左邊數(shù)字大的正整數(shù)叫做“漸升數(shù)”，比如258，123等.在二位“漸升數(shù)”中任取一數(shù)，則該數(shù)比48小的概率為(

)A.14 B.13 C.358.某鐘樓的鐘面部分是一個正方體，在該正方體的四個側(cè)面分別有四個時鐘，如果四個時鐘都是準確的，那么從零點開始到十二點的過程中，相鄰兩個面上的時針所成的角為60°的位置有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列各對向量中，共線的是(

)A.a=(2,3),b=(4,?6)C.a=(1,210.設(shè)z1，z2，z3為復數(shù)，z1A.若|z2B.若z1zC.若z1，z2互為共軛復數(shù)，則D.若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則i11.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為2、3、3、x、10、13，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的32倍，則下列說法正確的是(

)A.x=5 B.眾數(shù)為3 C.30%分位數(shù)為5 D.方差為5012.已知一圓錐的母線長為2，底面半徑為r，其側(cè)面展開圖是圓心角為3π的扇形，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則(

)A.r=B.從A點經(jīng)過圓錐的表面到達B點的最短距離為2C.該圓錐的體積為πD.過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知向量a=(1,3),b=(?2,23)14.甲、乙兩名同學進行籃球投籃練習，甲同學一次投籃命中的概率為45，乙同學一次投籃命中的概率為13，假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，恰有一人命中的概率是______．15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2，△ABC的面積為5，c=3，則b=______．16.已知在三棱錐D?ABC中，AD⊥平面ABC，且BC=AD=2，∠BAC=π4，則三棱錐D?ABC的外接球的體積為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)已知向量a=(1,3),(1)若向量a+2b與ka(2)若向量c滿足(a+b)//c且18.(本小題12.0分)某工廠在加大生產(chǎn)量的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查產(chǎn)品質(zhì)量.該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標值分成以下六組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100].得到如下頻率分布直方圖．(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和60%分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01)．19.(本小題12.0分)從條件①sinC=63(0<C<π2)，②a=10中任選一個，補充到下面的問題中并作答.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=6注：如果選擇多個條件分別解答.按第一個解答計分20.(本小題12.0分)如圖，在三棱臺DEF?ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．(1)求證：BD/?/平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求二面角F?GH?C的大?。?1.(本小題12.0分)甲、乙兩位同學參加某知識闖關(guān)訓練，最后一關(guān)只有兩道題目，已知甲同學答對每道題的概率都為p，乙同學答對每道題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知同一題甲、乙至少一人答對的概率為56，兩人都答對的概率為1(1)求p和q的值；(2)試求最后一關(guān)甲同學答對的題數(shù)小于乙同學答對的題數(shù)的概率．22.(本小題12.0分)如圖所示，在四棱錐P?ABCD中底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB=π3，面PAD⊥面ABCD，(1)證明：PB⊥BC；(2)求點A到平面PBC的距離．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由z?=1+2i，得z?故選：A．根據(jù)共軛復數(shù)的定義與復數(shù)的幾何意義求解即可．本題主要考查共軛復數(shù)的定義與復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】D

【解析】解：由a=(3,?2),b=(m,9),所以m=6．故選：D．由向量垂直的坐標運算計算可得結(jié)果．本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】解：由于獎項一等獎、二等獎，幸運獎和不中獎四個事件是相互互斥的，且構(gòu)成事件為必然事件，故中一等獎的概率為1?0.3?0.2?0.38=0.12．故選：C．根據(jù)事件間的關(guān)系，利用概率公式，可得答案．本題主要考查互斥事件的概率加法，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B

【解析】解：因為B=π所以由正弦定理有：asinA即6所以sinA=又因為a<b，所以0<A<B=π故A=π故選：B．根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形邊角性質(zhì)求解即可．本題考查正弦定理的應用，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】C

【解析】解：對A，若α⊥γ，β⊥γ，α，β可能相交也可能平行，故A項不正確；對BD，l/?/α，α⊥β，則可能有l(wèi)/?/β，故B，D項不正確；對C，α⊥γ，β/?/γ，則必有α⊥β，故C項正確．故選：C．根據(jù)線面，面面的平行及垂直的性質(zhì)與判定判斷即可．本題考查了線面，面面的平行及垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題．6.【答案】A

【解析】解：建立如圖坐標系，cosA=12，AB=2，AC=3，所以A=60°則A(0,0)，B(2,0)，C(32,D是線段上BC靠近C的一個三等分點，BD=(?13所以AD=22故選：A．通過建系，求解B，C的坐標，然后利用向量的數(shù)量積公式求解即可．本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題．7.【答案】D

【解析】解：十位是1的“漸升數(shù)”有12，13，…，19，共8個，十位是2的“漸升數(shù)”有23，24，…，29，共7個，…，十位是7的“漸升數(shù)”有78，79，共2個，十位是8的“漸升數(shù)”有89，共1個．故二位“漸升數(shù)”共有8+7+…+1=36個，比48小的共有3+8+7+6=24個，所以由古典概率的計算公式得所求的概率為23故選：D．根據(jù)古典概型公式求解概率即可．本題主要考查了古典概率公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】D

【解析】解：在正方體中，相鄰兩個面的對角線所成的角為60°，如圖所示：所以這樣的位置有4個．故選：D．根據(jù)題意，由正方體相鄰兩個面的對角線夾角為60°，即可得到結(jié)果．本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征應用問題，也考查了空間中直線的位置關(guān)系應用問題，是基礎(chǔ)題．9.【答案】BC

【解析】解：設(shè)a=(x1選項A中，2×(?6)≠3×4；選項B中，2×(?3選項C中，1×2=2×2；選項D中，故選：BC．利用平面向量共線的條件即可解決．本題考查的知識要點：向量的坐標運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．10.【答案】BC

【解析】解：對于A項，取z2=1，z3=i，滿足|z對于B項，當z1z2=z1z3時，有對于C項，z1=a+bi，z2即z1z2對于D項，i4n+3=i故選：BC．根據(jù)復數(shù)的模、復數(shù)乘法、共軛復數(shù)、復數(shù)的乘方等知識對選項進行分析，從而確定正確答案．本題主要考查了復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】ABD

【解析】解：因為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的32所以16解得x=5，故A項正確；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，故B項正確；由6×30%=1.8不是整數(shù)，故30%分位數(shù)為該組數(shù)據(jù)的第2個數(shù)字，即為3，故C項錯誤；平均數(shù)為16方差為16[(2?6)故選：ABD．利用中位數(shù)的定義求出x的值，可判斷A選項；利用眾數(shù)的定義可判斷B選項；利用百分位數(shù)的定義可判斷C選項；利用方差公式可判斷D選項．本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)、方差和百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．12.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，一圓錐的母線長為2，底面半徑為r，其側(cè)面展開圖是圓心角為3π的扇形，由2πr2=對于B，假設(shè)該圓錐的軸截面將該圓錐分成兩部分，將其中的一部分展開，則其側(cè)面展開圖是一個圓心角為3所以從A點經(jīng)過圓錐的表面到達B點的最短距離為2×2×sin3對于C，因為r=3，母線長為2，所以該圓錐的高為1，所以其體積為13對于D，過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面為腰長為2的等腰三角形，設(shè)其頂角為θ，則該三角形的面積為S=1故當θ=π2時，Smax故選：AC．根據(jù)題意，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)逐項分析即可．本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及圓錐的體積、表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】(?1【解析】解：由題意，|a故向量a在向量b上的投影向量為(?1故答案為：(?1由投影向量的定義，結(jié)合向量夾角公式計算可求結(jié)果．本題主要考查投影向量的定義，基礎(chǔ)題．14.【答案】35【解析】解：設(shè)A，B分別表示事件“一次投籃中甲命中”和“一次投籃中乙命中”所以P(A)=則恰有一人命中的概率為P(AB故答案為：35根據(jù)互斥事件與獨立事件的概率運算公式求解即可得所求事件的概率．本題考查互斥事件與獨立事件的概率運算公式，屬于基礎(chǔ)題．15.【答案】21或【解析】解：因為a=2，△ABC的面積為5，c=3所以△ABC的面積S=1可得sinB=可得cosB=±由余弦定理可得b2則b=21或所以b=21或故答案為：21或由已知利用三角形面積公式可得sinB=53本題考查了三角形的面積公式，余弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應用，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】4【解析】解：底面三角形ABC的外接圓的半徑為r，可得2r=2sinπ外接球的半徑為R，R=三棱錐D?ABC的外接球的體積為：4π3故答案為：4求解外接球的半徑，然后求解外接球的體積．本題考查空間幾何體的外接球的體積的求法，是中檔題．17.【答案】解：(1)因為向量a=(1,3),所以a+2又因為向量a+2b與ka所以5k+10+3k?1=0，解得k=?9(2)設(shè)c=(m,n)，由a+b=(3,2)，且又|c|=26，所以m2所以c=(32,2【解析】(1)根據(jù)平面向量坐標運算求得a+2b與ka(2)設(shè)c=(m,n)，根據(jù)平面向量平行的坐標運算及模長公式列方程即可得設(shè)m，n的值，從而得向量c本題考查了平面向量坐標運算應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)由10×(0.01+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030．(2)平均數(shù)x?設(shè)60%分位數(shù)為n，則由0.1+0.15+0.15=0.4<0.6，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.6，可得n在[70,80)上，由0.1+0.15+0.15+(n?70)×0.03=0.6，得n≈76.67．故可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為71，60%分位數(shù)為76.67．

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，建立方程即可得答案；(2)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與百分位數(shù)的計算方法即可得答案．本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、分位數(shù)，考查學生的運算能力，屬中檔題．19.【答案】解：選條件①：由A+3C=π，得B=2C，又sinC=所以cosC=故sinB=sin2C=2sinCcosC=2×所以由正弦定理得：b=csinB選條件②：由A+3C=π，得B=2C，因為c=6，a=10，所以由正弦定理asinA得3sinA=5sinC，因為A+B+C=π，所以3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+3cosBsinC=5sinC，因為B=2C，所以3sin2CcosC+3cos2CsinC=5sinC，因為0<C<π，所以sinC≠0，所以6cos解得cos2由于0<B=2C<π，故0<C<π所以sinC=所以sinB=2sinCcosC=2由正弦定理得：b=csinBsinC【解析】選擇條件后，根據(jù)三角恒等變換、正弦定理等知識求得b．本題考查三角恒等變換和正弦定理，屬于中檔題．20.【答案】解：(1)證明：在三棱臺DEF?ABC中，由AB=2DE，知BC=2EF，又H為BC的中點，可得BH//EF，BH=EF，故四邊形BHFE為平行四邊形，則BE//HF，因為BE?平面GHF，F(xiàn)H?平面GHF，故BE/?/平面GHF．在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH/?/AB，因為AB?平面GHF，GH?平面GHF，故AB/?/平面GHF．又GH∩HF=H，AB，BE?平面ABED，所以平面FGH//平面ABED．因為BD?平面ABED，所以BD/?/平面FGH．(2)由FC⊥平面ABC，GH?平面ABC，得GH⊥FC，又AB⊥BC，GH/?/AB，則GH⊥BC，又FC?BC=C，F(xiàn)C，BC?平面HCF，所以GH⊥平面HCF，又FH，HC?平面HCF，故GH⊥FH，GH⊥HC．又平面GHC?平面GHF=GH，故∠FHC為二面角F?GH?C的平面角．又AB⊥BC，∠BAC=45°，所以CH=GH=12AB，又AB=2DE，CF=DE故tan∠FHC=1，即二面角F?GH?C的大小為45°．【解析】(1)根據(jù)題意可得BH//EF，BH=EF，進而可得BE//HF，再根據(jù)面面垂直的判定可得平面FGH//平面ABED，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明即可；(2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定可得∠FHC為二面角F?GH?C的平面角，再根據(jù)幾何關(guān)系可得CF=CH即可得．本題考查空間中直線與平面的平行的證明，考查二面角大小的求法，解題中需要理清思路，屬于中檔題．21.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)A={甲同學答對第一題}，B={乙同學答對第一題}，則P(A)=p，P(B)=q．由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨立，所以1?P(A?B即1?(1?q)(1?p)=56pq=(2)設(shè)m，n分別表示最后一關(guān)甲、乙兩位同學答對的題目數(shù)，由題意得，P(m<n)=P(m=0,n=1)+P(m=0,n=2)+P(m=1,n=2)=(1?23【解析】(1)根據(jù)設(shè)A={甲同學答對第一題}