河北省秦皇島新世紀高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i為虛數(shù)單位），則a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，b＝4，B＝60°（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°3．（5分）若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2．現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時樣本容量為9，方差為s2，則（）A．，s2＞2 B．，s2＜2 C．，s2＜2 D．，s2＞24．（5分）如圖在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)＝，＝，則＝（）A． B． C． D．5．（5分）若sinα＝，α∈（，π），則tan（3π﹣2α）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．6．（5分）已知＝，＝，＝，則（）A．A、B、D三點共線 B．A、B、C三點共線 C．B、C、D三點共線 D．A、C、D三點共線7．（5分）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達式為：S＝；它的特點是形式漂亮，便于記憶．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫﹣秦九韶公式．現(xiàn)在有周長為10+2，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為（）A． B． C． D．128．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣（x）的零點，x＝（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，），則ω的最大值為（）A．11 B．9 C．7 D．5二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．z的共軛復(fù)數(shù)為 C．z的實部與虛部之和為2 D．z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限（多選）10．（5分）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是（）A．y＝sin2x B．y＝sin|x| C． D．（多選）11．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．函數(shù)y＝f（x）的最小正周期為2π B．函數(shù)y＝f（x）在單調(diào)遞減 C．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線對稱 D．該圖象向右平移個單位可得y＝2sin2x的圖象（多選）12．（5分）三角形ABC的三邊a，b，c所對的角為A，B，C，1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cos2C，則下列說法正確的是（）A． B．若△ABC面積為，則△ABC周長的最小值為12 C．當(dāng)b＝5，c＝7時，a＝9 D．若b＝4，，則△ABC面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.ovD13．（5分）某校共有師生2400人，其中教師200人，男學(xué)生1200人，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80，那么n＝．14．（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°＝．15．（5分）在邊長為6的正△ABC中，若點D滿足＝2，則?＝．16．（5分）在△ABC中，，AC＝2，M為AB邊上的中點，則AB＝．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）設(shè)向量滿足?＝3，，．（1）求向量，的夾角及；（2）若，則實數(shù)k的值．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C＝60°，b＝2，求a19．（12分）2023年6月4日，神舟十五號載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員費俊龍，張陸順利出艙，神舟十五號載人飛行任務(wù)圓滿完成．為紀念中國航天事業(yè)所取得的成就，某市隨機抽取1000名學(xué)生進行了航天知識競賽并記錄得分（滿分：100分），將學(xué)生的成績整理后分成五組，60），[60，[70，80），90），[90，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．?（1）請補全頻率分布直方圖；（2）估計這1000名學(xué)生成績的眾數(shù)、平均數(shù)和計算80%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，80%分位數(shù)小數(shù)點后面保留兩位有效數(shù)字）．20．（12分）為了應(yīng)對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進行彈射實驗，D兩地相距100m，∠BCD＝60°秒，在C地測得該儀器至最高點A處的仰角為30°．（已知聲音的傳播速度為340m/s）求：（1）B，C兩地間的距離；（2）這種儀器的垂直彈射高度AB．?21．（12分）已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）記f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．22．（12分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．（1）求角B的大小和邊長b的值；（2）求△ABC面積的取值范圍．

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i為虛數(shù)單位），則a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用復(fù)數(shù)相等的定義求解即可．【解答】解：因為（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝5+i，由復(fù)數(shù)相等的定義可得，﹣a＝3．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)相等定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，b＝4，B＝60°（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【分析】由正弦定理可得sinA＝，再結(jié)合大邊對大角即可求得．【解答】解：因為a＝4，b＝4，所以由正弦定理有：，所以＝，因為b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，所以A＝30°．故選：A．【點評】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2．現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時樣本容量為9，方差為s2，則（）A．，s2＞2 B．，s2＜2 C．，s2＜2 D．，s2＞2【分析】利用平均數(shù)、方差的定義直接求解．【解答】解：∵某8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為7，此時這9個數(shù)的平均數(shù)為，方差為s2，∴＝＝5，＝．故選：B．【點評】本題考查平均數(shù)、方差的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．4．（5分）如圖在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)＝，＝，則＝（）A． B． C． D．【分析】取BC中點F，由BC＝2AD可知AD＝FC，從而可得四邊形AFCD為平行四邊形，結(jié)合向量的基本運算即可求解【解答】解：取BC中點F，由BC＝2AD可知AD＝FC，∴四邊形AFCD為平行四邊形，則＝＝＝＝＝．故選：D．【點評】本題主要考查了平面向量的基本運算，屬于基礎(chǔ)基礎(chǔ)試題．5．（5分）若sinα＝，α∈（，π），則tan（3π﹣2α）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanα的值，進而利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)公式即可計算得解．【解答】解：因為sinα＝，α∈（，所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，所以tan（3π﹣7α）＝﹣tan2α＝﹣＝﹣．故選：B．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知＝，＝，＝，則（）A．A、B、D三點共線 B．A、B、C三點共線 C．B、C、D三點共線 D．A、C、D三點共線【分析】利用三角形法則可求得，由向量共線條件可得與共線，從而可得結(jié)論．【解答】解：＝（）＝，又＝，所以，則與，又與有公共點B，所以A、B、D三點共線．故選：A．【點評】本題考查向量共線的條件，屬基礎(chǔ)題，熟記向量共線的充要條件是解決問題的關(guān)鍵．7．（5分）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達式為：S＝；它的特點是形式漂亮，便于記憶．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫﹣秦九韶公式．現(xiàn)在有周長為10+2，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為（）A． B． C． D．12【分析】由正弦定理得三角形三邊之比，由周長求出三邊，代入公式即可．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：，∴a：b：c＝2：3：，∵△ABC周長為10+2，即a+b+c＝10+3，∴a＝4，b＝6，∴p＝，∴△ABC的面積S＝＝6．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)學(xué)文化，考查了正弦定理、三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣（x）的零點，x＝（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，），則ω的最大值為（）A．11 B．9 C．7 D．5【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x＝﹣為f（x）的零點，x＝為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（，）上單調(diào)，可得ω的最大值．【解答】解：∵x＝﹣為f（x）的零點為y＝f（x）圖象的對稱軸，∴，即（n∈N）即ω＝3n+1（n∈N）即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在（，）上單調(diào)，則﹣＝≤，即T＝≥，解得：ω≤12，當(dāng)ω＝11時，﹣+φ＝kπ，∵|φ|≤，∴φ＝﹣，此時f（x）在（，）不單調(diào)；當(dāng)ω＝9時，﹣+φ＝kπ，∵|φ|≤，∴φ＝，此時f（x）在（，）單調(diào)；故ω的最大值為9，故選：B．【點評】本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較大．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．z的共軛復(fù)數(shù)為 C．z的實部與虛部之和為2 D．z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限【分析】根據(jù)已知條件，先對z化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，共軛復(fù)數(shù)的定義，實部和虛部的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：＝＝，對于A，，故A錯誤，對于B，z的共軛復(fù)數(shù)為，對于C，z的實部與虛部之和為，對于D，z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點（，故D正確．故選：CD．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，共軛復(fù)數(shù)的定義，實部和虛部的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是（）A．y＝sin2x B．y＝sin|x| C． D．【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性和周期性判斷結(jié)果．【解答】解：對于A，函數(shù)y＝sin2x既是奇函數(shù)，故A正確；對于B：函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)，故B錯誤；對于C：既是奇函數(shù)，故C正確；對于D：函數(shù)為偶函數(shù)．故選：AC．【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的奇偶性和周期性，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．函數(shù)y＝f（x）的最小正周期為2π B．函數(shù)y＝f（x）在單調(diào)遞減 C．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線對稱 D．該圖象向右平移個單位可得y＝2sin2x的圖象【分析】先根據(jù)圖象求出y＝f（x）的解析式，再分別驗證A、B、C、D是否正確，根據(jù)圖象得到的周期進行判定A；求得的取值范圍，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則判定B；計算，看是否經(jīng)過頂點從而判定是否為對稱軸從而判定C；利用“左加右減”求得平移后的函數(shù)解析式即可判斷D．【解答】解：由圖象可知：A＝2，周期，∴；由，解得：，故函數(shù)．對于A：T＝π，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，因為[﹣π，不單調(diào)上不單調(diào)；對于C：當(dāng)時，即直線，故C正確；對于D：y＝f（x）的圖像向右平移個單位得到，故D正確．故選：CD．【點評】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．（多選）12．（5分）三角形ABC的三邊a，b，c所對的角為A，B，C，1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cos2C，則下列說法正確的是（）A． B．若△ABC面積為，則△ABC周長的最小值為12 C．當(dāng)b＝5，c＝7時，a＝9 D．若b＝4，，則△ABC面積為【分析】由正弦定理可得b2+a2﹣c2＝ab，再由余弦定理可得cosC，可求C可判斷A；由面積可得ab，進而由余弦定理可得c＝，進而可得周長的最小值可判斷B；由余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，可求a判斷C；由正弦定理可求c，進而可求面積判斷D．【解答】解：對于A：∵1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cos3C，∴1﹣sin2A+5sinAsinB﹣sin2B＝sinAsinB+1﹣sin7C，sin2A+sin2B﹣sin6C＝sinAsinB，由正弦定理可得b2+a2﹣c7＝ab，由余弦定理得cosC＝＝，∵0＜C＜π，∴C＝；對于B：absinC＝，∴ab＝16，由余弦定理可得c2＝a6+b2﹣2abcosC＝a8+b2﹣ab，∴c＝＝，a+b+c＝a+b+≥6+＝12，等號成立，故△ABC周長的最小值為12，故B正確．對于C：由余弦定理可得c4＝a2+b2﹣6abcosC，∴49＝a2+25﹣5a，a6﹣5a﹣24＝0，解得a＝6或a＝﹣3（舍去）；對于D：由正弦定理得＝，∴c＝＝，∴△ABC面積S＝×3×2＝4×＝5+2；故選：ABD．【點評】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形的面積，考查運算求解能力，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.ovD13．（5分）某校共有師生2400人，其中教師200人，男學(xué)生1200人，已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80，那么n＝192．【分析】先求三層的比例，然后求得女學(xué)生中抽取總?cè)藬?shù)的比例，從而求出抽取樣本容量．【解答】解：由題意，因為200：1200：1000＝1：6：4，所以女學(xué)生中抽取總?cè)藬?shù)的，故N＝80÷＝192．故答案為：192．【點評】本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正弦的兩角和公式，即可求解．【解答】解：sin21°cos9°+sin69°sin9°＝sin21°cos2°+cos21sin9°＝．故答案為：．【點評】本題主要考查正弦的兩角和公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）在邊長為6的正△ABC中，若點D滿足＝2，則?＝6．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的線性運算，以及平面向量的數(shù)量積公式，即可求解．【解答】解：＝2，則?＝＝＝．故答案為：8．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算，以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）在△ABC中，，AC＝2，M為AB邊上的中點，則AB＝．【分析】根據(jù)cos∠AMC＝﹣cos∠BMC，結(jié)合余弦定理，列方程組可求得AB．【解答】解：在△AMC中，；在△BCM中，；∵∠AMC+∠BMC＝π，∴cos∠AMC＝﹣cos∠BMC，∴，整理，可得AC2+BC5＝2（CM2+AM3），即4+BC2＝4（7+AM2），∴，∴6BC2﹣20＝AB2，在△ABC中，AB2＝AC2+BC2﹣7AC?BCcosC＝4+BC2﹣5BC＝AB2，∴4+BC5﹣2BC＝2BC5﹣20，解得BC＝﹣6（舍）或BC＝4，∴．故答案為：．【點評】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）設(shè)向量滿足?＝3，，．（1）求向量，的夾角及；（2）若，則實數(shù)k的值．【分析】（1）由夾角公式及模長計算公式計算即可；（2）由向量垂直的性質(zhì)，利用數(shù)量積為0建立方程，求得k值．【解答】解：（1）由＝（）|＝2，又，||＝3，則cos＜＞＝＝＝，又＜＞∈[0，所以＜，||＝＝＝；（2）由，可得（﹣）＝2，即k+（2k﹣5）＝0，由（1）可得：3k+6k﹣3﹣2＝0，解得k＝．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，考查向量垂直的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C＝60°，b＝2，求a【分析】（Ⅰ）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式可得cosB＝，進而可求B的值；（Ⅱ）由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求A的值，進而利用正弦定理即可求解a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）因為，由正弦定理可得cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝sinB，所以cosBsin（A+C）＝，因為B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，所以cosB＝，所以B＝45°；（Ⅱ）因為B＝45°，C＝60°，所以A＝180°﹣B﹣C＝75°，由正弦定理，可得＝＝＝，所以a＝2sin75°＝7（×+×）＝，c＝7sin60°＝2＝．【點評】本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（12分）2023年6月4日，神舟十五號載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員費俊龍，張陸順利出艙，神舟十五號載人飛行任務(wù)圓滿完成．為紀念中國航天事業(yè)所取得的成就，某市隨機抽取1000名學(xué)生進行了航天知識競賽并記錄得分（滿分：100分），將學(xué)生的成績整理后分成五組，60），[60，[70，80），90），[90，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．?（1）請補全頻率分布直方圖；（2）估計這1000名學(xué)生成績的眾數(shù)、平均數(shù)和計算80%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，80%分位數(shù)小數(shù)點后面保留兩位有效數(shù)字）．【分析】（1）由頻率和為1，求出成績落在[60，70）的頻率；（2）由頻率分布直方圖計算樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和百分位數(shù)．【解答】解：（1）成績落在[60，70）的頻率為1﹣（0.030+5.015+0.010+0.005）×10＝2.40，補全的頻率分布直方圖，如圖所示：（2）估計這1000名學(xué)生成績的眾數(shù)是×（60+70）＝65，平均數(shù)是＝55×3.30+65×0.40+75×0.15+85×5.10+95×0.05＝67（分），設(shè)80%分位數(shù)為x，則0.03×10+8.04×10+（x﹣70）×0.015＝0.3，解得x＝≈67.67（分）．【點評】本題考查百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．（12分）為了應(yīng)對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進行彈射實驗，D兩地相距100m，∠BCD＝60°秒，在C地測得該儀器至最高點A處的仰角為30°．（已知聲音的傳播速度為340m/s）求：（1）B，C兩地間的距離；（2）這種儀器的垂直彈射高度AB．?【分析】（1）設(shè)BC＝x，利用在C地聽到彈射聲音的時間比D地晚秒，表示出BD，再由余弦定理，即可得解；（2）在△ABC中，由正切函數(shù)的定義，即可得解．【解答】解：（1）設(shè)BC＝x，∵在C地聽到彈射聲音的時間比D地晚秒，∴BD＝x﹣×340＝x﹣40，在△BCD中，由余弦定理8＝BC2+CD2﹣4BC?CD?cos∠BCD，∴（x﹣40）2＝x2+10000﹣100x，解得x＝420，故B，C兩地間的距離為420米．（2）在△ABC中，BC＝420，∴AB＝BC?tan∠ACB＝420×＝140米．故該儀器的垂直彈射高度AB為140米．【點評】本題