湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三第三次聯(lián)考綜合測評數(shù)學(xué)試卷含答案

湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三第三次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22題。滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。考試時間：2024年2月1日下午15：00—17：00注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，z的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.23.下列說法中正確的是（）A.沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線B.若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則C.若平面α，β，γ滿足，，則D.已知a，b是不同的直線，α，β是不同的平面.若，，，則4.已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為M，則切線長的最小值為（）A. B. C. D.5.在中，已知，則（）A.3 B.2 C. D.16.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，若有且僅有三個零點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（）A.有且僅有兩個零點(diǎn) B.有一個或兩個零點(diǎn)C.ω的取值范圍是 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減8.已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線距離的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某大學(xué)生做社會實(shí)踐調(diào)查，隨機(jī)抽取6名市民對生活滿意度進(jìn)行評分，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：88，89，90，90，91，92，則下列關(guān)于該樣本數(shù)據(jù)的說法中正確的是（）A.均值為90 B.中位數(shù)為90 C.方差為2 D.第80百分位數(shù)為9110.已知，，且，則（）A.， B.C.的最小值為，最大值為4 D.的最小值為1211.已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，過且傾斜角為的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），P是橢圓C上任意一點(diǎn)，則（）A.a，b滿足 B.的最大值為C.存在點(diǎn)P，使得 D.12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A.當(dāng)時， B.C.數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 D.當(dāng)時，恒有三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________（用數(shù)字填寫答案）.14.已知向量，滿足，，且，的夾角為，則的最小值是______.15.已知拋物線，直線l過C的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值是____________.16.若函數(shù)在不同兩點(diǎn)，處的切線互相平行，則這兩條平行線間距離的最大值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或清算步驟。17.（10分）已知數(shù)列滿足：，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.18.（12分）在中，已知，D為的中點(diǎn).（1）求A；（2）當(dāng)時，求的最大值.19.（12分）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.（1）求二面角的正切值；（2）點(diǎn)F為棱上一點(diǎn)，滿足，在棱上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20.（12分）“中式八球”是受群眾歡迎的臺球運(yùn)動項(xiàng)目之一.在一場“中式八球”邀請賽中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠軍，本次邀請賽采取“雙敗淘汰制”.具體賽制如下：首先，4人通過抽簽兩兩對陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的2人對陣，勝者進(jìn)入最后的決賽，“敗區(qū)”的2人對陣，敗者直接淘汰出局，獲得第四名；緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的2人進(jìn)行最后的冠亞軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.現(xiàn)假定甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.若.（I）求甲連勝三場獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的概率；（2）除“雙敗淘汰制”外，“中式八球”也經(jīng)常采用傳統(tǒng)的“單敗淘汰制”；抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.問當(dāng)p滿足什么條件時，“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請賽中奪冠?21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到點(diǎn)的距離大2，記點(diǎn)M的軌跡為曲線H.（1）若過點(diǎn)B的直線交曲線H于不同的兩點(diǎn)，求該直線斜率的取值范圍；（2）若點(diǎn)D為曲線H上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D與曲線H相切的直線與曲線交于P，Q兩點(diǎn)，求面積的最小值.22.（12分）已知函數(shù)，，a，，且曲線在處的切線方程為.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

湖北省高中名校聯(lián)盟2024屆高三第三次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分細(xì)則1.C【解析】，，.故選C.2.B【解析】由化簡得，代入即得.故選B.3.D【解析】對A，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線或平行直線.故A錯誤；對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則a，b可以平行、相交或異面.故B錯誤；對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直.故C錯誤；對D，兩個平面垂直等價于這兩個平面的垂線垂直.故D正確.故選D.4.A【解析】由題意有，，，則有，所以要使切線長取最小值，則有取最小值即可.當(dāng)直線與直線垂直時取最小值，則的最小值是.故選A.5.A【解析】，.，..故選A.6.C【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象向左平移1個長度單位，得到函數(shù)的圖象，設(shè)兩圖象交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.由圖象可得滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍為.對于，由，得，所以，解得或（舍去），故選C.7.D【解析】，當(dāng)時，.設(shè)，作出函數(shù)的圖象，則在有兩個最小值點(diǎn)，有一個或兩個最大值點(diǎn)，故A，B正確.由于函數(shù)在上有且只有3個零點(diǎn)，由圖象可知，解得，C正確；當(dāng)時，，由知，所以在遞減，在遞增，D錯誤.故選D.8.B【解析】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取的中點(diǎn)為H，的中點(diǎn)為N，連接，，，顯然，則平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，此圓為的內(nèi)切圓，半徑為r，與，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，易得，，，又平面平面，交線為，，平面，平面，，則中，，解得.所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為1，連接.平面，平面，，又，平面，平面，可得，所以內(nèi)切球表面上一點(diǎn)M到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，又.所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點(diǎn)M到直線的距離的最小值為.故選B.9.ABD【解析】均值，故A正確；中位數(shù)為，故B正確；方差，故C錯誤；因?yàn)椋?0百分位數(shù)為91，故D正確.故選：ABD10.BD【解析】由已知得，，則，.故A錯誤；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，得，故B正確；在上單調(diào)遞增，得，故C錯誤.設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以.故D正確.故選BD.11.ABD【解析】對A，因?yàn)镃的離心率，所以，，即，故A對；對B，，故B對；對C，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時，最大，且此時，故C錯；對D，法一：聯(lián)立直線與方程，通過韋達(dá)定理，得到，，故D對.法二：據(jù)橢圓第二定義易知：，.所以，成立，故D對.故選ABD12.ACD【解析】由已知得，，.，故A正確；，故B錯誤.由于，，從而.又，可得.所以，，其中，.計算可得，，故C正確；注：選項(xiàng)C的判斷也可以畫圖象得之.由已知得，又因?yàn)閷θ我獾模加?，所以，，故D正確.故選ACD.13.60【解析】解：，令，則，.所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為60.14.【解析】，的最小值是.15.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為G，過G作y軸的垂線，垂足為H，則H是的中點(diǎn).因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以..，.16.【解析】由題意有，設(shè)，所以函數(shù)在點(diǎn)A處的切線方程為，所以原點(diǎn)O到點(diǎn)A處切線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以這兩條平行線間的距離的最大值為.17.解：（1）由得，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.由，得.（2）由（1）可知，所以.18.解：（1），，即，，即.或，當(dāng)時，，由，有，即時.當(dāng)時，（舍）..（2）設(shè)，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由D為邊的中點(diǎn)有，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.的最大值為.19.解：（1）如圖，過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，連接，，則D，M，H三點(diǎn)共線，平面，平面，，又，平面，平面，，.為二面角的平面角.又中，，，，.又，，，H為線段的中點(diǎn).，，中，，，所以二面角的正切值為.（2）連接，為等邊三角形，H為線段的中點(diǎn)，，又平面，則，，兩兩垂直，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，，令，可得.假設(shè)棱上存在滿足要求的點(diǎn)Q，設(shè)，，.，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，，整理得：，解得或（舍去）.所以，則.所以當(dāng)時，與平面所成的角為.20.解：（1）記甲在第i場比賽獲勝的事件為，，2，3，4，則，.由不同對陣結(jié)果相互獨(dú)立，（I）甲連勝三場獲得冠軍的概率為：.（Ⅱ）甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的情況有：勝勝勝、勝敗勝勝、敗勝勝勝，故概率為：.（2）“雙敗淘汰制”下甲奪冠的概率為：.“單敗淘汰制”下甲奪冠的概率為：.令得，解得：.所以當(dāng)時，“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請賽中奪冠.21.解：（1）據(jù)雙曲線的定義：M的軌跡方程為雙曲線的右支，得，，的軌跡方程為.因?yàn)檫^點(diǎn)B的直線交曲線H于不同的兩點(diǎn)，設(shè)該直線方程為：.由，化簡整理得，顯然.由，解得或.所以，k的范圍為：或.（2）因?yàn)榈臐u近線方程為.當(dāng)過點(diǎn)D與曲線H相切的直線的斜率不存在時，此時，直線l方程為，代入漸近線方程，得到，故，又，所以的面積.過點(diǎn)D與曲線H相切的直線的斜率存在時，則斜率不為零，故可設(shè)，直線與雙曲線聯(lián)立得，化簡整理得.因?yàn)橄嗲?，所以，?又因?yàn)檫^點(diǎn)D與曲線H相切的直線l與曲線交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)為，，聯(lián)立化簡整理得.由于，所以.所以，.由直線l的方程得，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.，，即，且，時，的最小值為.綜上所述，的最小值為.22.解：（1）求導(dǎo)得，，.由已知切線方程得，