人教A版2019必修第一冊(cè)專(zhuān)題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)【十大題型】(原卷版+解析)

專(zhuān)題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 3【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 3【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 4【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 4【題型5求函數(shù)的最值】 6【題型6由函數(shù)的最值求參數(shù)】 7【題型7函數(shù)奇偶性的判斷】 8【題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】 8【題型9函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷】 9【題型10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱(chēng)定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時(shí),我們就稱(chēng)它是增(減)函數(shù).

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b

(a≠0)a>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

a<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減.

反比例函數(shù)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(0,)；

a<0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)和(0,).二次函數(shù)y=a(x-m)2+n(a≠0)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,)；

a<0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,m].(4)單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：

①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

②若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.

③若f(x)恒為正值或恒為負(fù)值，a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與具有相同的單調(diào)性.

④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調(diào)性.

⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減⑥當(dāng)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定：對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，設(shè)t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)在0,+∞上不是增函數(shù)的是（

）A．yB．yC．yD．y【變式1-1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)f(x)=3+2x?x2A．-∞，1 B．1，+∞ C．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函數(shù) B．y=f(x)+x是減函數(shù)C．y=f(x)是增函數(shù) D．y=f(x)是減函數(shù)【變式1-3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù) B．函數(shù)y=1C．函數(shù)y=x2和函數(shù)y=x的單調(diào)性相同 D．函數(shù)y=【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023秋·湖南常德·高一?？计谀┤艉瘮?shù)f(x)=ax2+x+a在[1,+∞)A．(0,+∞) B．(0,1] C．[1,+∞【變式2-1】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知a∈R，則“0<a<1”是“函數(shù)fx=ax2?2x?5A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-2】（2023春·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f1?x=x+xa+x，若對(duì)于任意x1，x2∈A．?∞,?1∪C．?∞,?3∪【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2?ax?9,x≤1aA．?5,0 B．(?C．?5,?2 D．(?【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知對(duì)fx定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1，x2，且x1≠x2，fA．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上是增函數(shù)，則f1，fA．f1<f5C．f52<f【變式3-2】（2023秋·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=12對(duì)稱(chēng)，且在(－∞，12]上單調(diào)遞增，a=f?12，b=f(1)，c=f(2)，則aA．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【變式3-3】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：f?x+fx=0,f2?x=fA．fB．fC．fD．f【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例4】（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足對(duì)任意的x1,x2∈0,+∞，且x1A．?1,1 B．[?1,0]∪[1,+∞) C．?1,0∪【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x?1)<f13的A．13,23 B．[13【變式4-2】（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┒x在R上的函數(shù)f（x）滿足f2?x=fx，且當(dāng)x≥1時(shí)，A．12,+∞ B．0,12 【變式4-3】（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若?x∈(?∞,0]，且x1≠x2，A．(?1?52C．(?1?52【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的最值】1．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（?。┲担好Q(chēng)定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我們稱(chēng)m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.【題型5求函數(shù)的最值】【例5】（2023春·天津東麗·高二期末）已知函數(shù)f(x)=2x+1x?1，其定義域是[?8，?4)，則下列說(shuō)法正確的是(A．f(x)有最大值53，無(wú)最小值 B．f(x)有最大值53C．f(x)有最大值75，無(wú)最小值 D．f(x)有最大值2，最小值【變式5-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y=f(x)(?2≤x≤2)的圖象如圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為（

）A．f(2)，f(?2)B．f(12C．f(12D．f(12【變式5-2】（2022春·重慶沙坪壩·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù)fx=x?22x2+4的最大值為MA．0 B．1 C．2 D．4【變式5-3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）a,b∈R，記maxa,b=aa≥bba<bA．3?52 B．3+52 C．【題型6由函數(shù)的最值求參數(shù)】【例6】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)fx=2x+mx+1在區(qū)間0,1上的最大值為52A．3 B．52 C．2 D．52【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(a?1)x+2a,x<0x2?2x,x≥0有最小值，則A．?12,1C．?12,1【變式6-2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y=a?x?3xx>0在x=m時(shí)有最大值為3，則a?mA．43 B．33 C．23【變式6-3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=2x2?1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的較大者，記為M(x)=max{f(x),g(x)}A．0 B．±1 C．±2 D．【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性】1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).非奇非

偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù).定義域

特征定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間.等價(jià)

形式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，則有f(x)是偶函數(shù)?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函數(shù)?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).(3)奇、偶函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).【題型7函數(shù)奇偶性的判斷】【例7】（2023·天津·高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A．y=x?1 B．y=?2x2+3 C．y=【變式7-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx=1+xA．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【變式7-2】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2+xA．fx?2?2 B．fx?2+1 C．【變式7-3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)f(x)和g(x)在它們的公共定義域內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)?g(x)是奇函數(shù)B．若f(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)C．若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)D．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)+g(x)不一定是奇函數(shù)【題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】【例8】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）已知定義在R上的函數(shù)fx在?∞,3單調(diào)遞增，且fx+3是偶函數(shù)，則不等式A．1,35 B．?∞,1∪5【變式8-1】（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在R上的偶函數(shù)fx滿足f?x+2=fx+2，且f1A．?2 B．?1 C．?13 【變式8-2】（2023春·北京東城·高二校考期末）已知函數(shù)fx+1是偶函數(shù)，當(dāng)1<x1<x2時(shí)，fxA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【變式8-3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠xA．m<43或m>2 C．m<23或m>4 【知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的圖象】1．函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性(1)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).(2)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)為偶函數(shù).2．函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷(1)排除法：利用特殊點(diǎn)的值來(lái)排除；(2)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來(lái)判斷.【題型9函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷】【例9】（2023春·陜西延安·高二?？计谀┖瘮?shù)y=x22A． B．C． D．【變式9-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax2+bx+c，若a>b>cA．

B．

C．

D．

【變式9-2】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列函數(shù)圖象，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A．

B．

C．

D．

【變式9-3】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)fx=2A． B．C． D．【題型10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例10】（2023春·安徽六安·高二校考期末）已知函數(shù)fx=ax+b1+x(1)求函數(shù)fx的解析式，判斷fx在(2)解不等式ft?1【變式10-1】（2023·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知fx是定義在?2,2上的奇函數(shù)，且f?2=?4，若對(duì)任意的m，n∈?2,2，(1)若f2a?1+f?a(2)若不等式fx≤a?3【變式10-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0時(shí)，f(x)<0(1)求證：f(x)在R上是奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)若f(1)=?23，求f(x)在區(qū)間【變式10-3】（2023春·天津河?xùn)|·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷當(dāng)x∈?1,1時(shí)，函數(shù)f(3)若ft2?1

專(zhuān)題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 3【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 4【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 6【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 8【題型5求函數(shù)的最值】 10【題型6由函數(shù)的最值求參數(shù)】 12【題型7函數(shù)奇偶性的判斷】 15【題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】 17【題型9函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷】 19【題型10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 21【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱(chēng)定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時(shí),我們就稱(chēng)它是增(減)函數(shù).

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b

(a≠0)a>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

a<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減.

反比例函數(shù)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(0,)；

a<0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)和(0,).二次函數(shù)y=a(x-m)2+n(a≠0)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,)；

a<0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,m].(4)單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：

①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

②若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.

③若f(x)恒為正值或恒為負(fù)值，a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與具有相同的單調(diào)性.

④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調(diào)性.

⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減⑥當(dāng)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定：對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，設(shè)t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)在0,+∞上不是增函數(shù)的是（

A．yB．yC．yD．y【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【解答過(guò)程】解：對(duì)于A：y=3x+5對(duì)于B：y=x2+4在對(duì)于C：y=3?x在定義域?qū)τ贒：y=x2+2x故選：C.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)f(x)=3+2x?x2A．-∞，1 B．1，+∞ C．【解題思路】先求出f(x)定義域，在利用二次函數(shù)單調(diào)性判斷出結(jié)果.【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)=3+2x?x2的定義域需要滿足3+2x?x2因?yàn)閥=3+2x?x2在?1，1上單調(diào)遞增，所以故選：D.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函數(shù) B．y=f(x)+x是減函數(shù)C．y=f(x)是增函數(shù) D．y=f(x)是減函數(shù)【解題思路】對(duì)題中條件fx1?f【解答過(guò)程】不妨令x1<∵f令g(x)=f(x)+x，∴g(x1又x1<x故選:A.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù) B．函數(shù)y=1C．函數(shù)y=x2和函數(shù)y=x的單調(diào)性相同 D．函數(shù)y=【解題思路】分別判斷出y=x2，y=1x，【解答過(guò)程】對(duì)于A：y=x2定義域?yàn)镽，由二次函數(shù)y=x2的圖像可知，y=x對(duì)于B：y=1x的定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函數(shù)y=1對(duì)于C：y=x2在(0,+∞y=x，當(dāng)x≥0時(shí)，y=x，易知為增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，y=?x，易知為減函數(shù)，所以函數(shù)y=x2對(duì)于D：y=1x定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函數(shù)y=1設(shè)y=f(x)=x+1x定義域?yàn)??∞則f(x當(dāng)0<x1<x2<1時(shí)，當(dāng)1<x1<x2，f(同理可證，f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞減，在(?∞故選：C．【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023秋·湖南常德·高一?？计谀┤艉瘮?shù)f(x)=ax2+x+a在[1,+∞)A．(0,+∞) B．(0,1] C．[1,+∞【解題思路】分a=0和a≠0兩種情況進(jìn)行討論即可【解答過(guò)程】當(dāng)a=0時(shí)，則f(x)=x，在[1,+∞當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)=ax2+x+a要使函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，只需?綜上，a的取值范圍是[0,+故選：D.【變式2-1】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知a∈R，則“0<a<1”是“函數(shù)fx=ax2?2x?5A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】求得“函數(shù)fx=ax2?2x?5【解答過(guò)程】若函數(shù)fx=ax當(dāng)a=0時(shí)，fx=?2x?5在當(dāng)a>0時(shí)，fx=ax則1a≥1，解得當(dāng)a<0時(shí)，fx=a則1a≤?1，解得綜上所述，若函數(shù)fx=ax2?2x?5所以“0<a<1”是“函數(shù)fx=ax故選：A.【變式2-2】（2023春·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f1?x=x+xa+x，若對(duì)于任意x1，x2∈A．?∞,?1∪C．?∞,?3∪【解題思路】根據(jù)題意，利用換元法分析求出f(x)的解析式，對(duì)fx1一fx【解答過(guò)程】根據(jù)題意，已知函數(shù)f(1?x)=x+x設(shè)t=1?x，則x=1?t，有f(t)=(2?t)+at?1?a，故不妨設(shè)x1<x2，則?2<x變形可得f(x設(shè)g(x)=f(x)+x=2+ax?1?a，則g(x)在區(qū)間當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在1+a,+∞和?∞,a+1當(dāng)a<0時(shí)，g(x)在1+a,+∞和?∞,a+1上單調(diào)遞增，要使g(x)在區(qū)間?2,?1上為增函數(shù)，則必有1+a≤?2或?1≤1+a，解可得a≤?3當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=f(x)+x=2為常函數(shù)，不符合要求，綜上，a的取值范圍為?故選：C．【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2?ax?9,x≤1aA．?5,0 B．(?C．?5,?2 D．(?【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過(guò)程】由題意，x∈R在fx∴??a2×?1故選：C.【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知對(duì)fx定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1，x2，且x1≠x2，fA．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【解題思路】由增函數(shù)的定義知，fx在R上是增函數(shù)，即可得出a,b,c【解答過(guò)程】由fx1?fx2所以f?故選：D.【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上是增函數(shù)，則f1，fA．f1<f5C．f52<f【解題思路】先利用f2?x=fx+2，將自變量轉(zhuǎn)化到0,2上，再利用f【解答過(guò)程】因?yàn)閒2?x所以f5f7因?yàn)閒x在0,2上是增函數(shù)，且0<所以f12<f故選：B.【變式3-2】（2023秋·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=12對(duì)稱(chēng)，且在(－∞，12]上單調(diào)遞增，a=f?12，b=f(1)，c=f(2)，則aA．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【解題思路】由f(x)的圖象關(guān)于x=12對(duì)稱(chēng)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較f(1)，f(3【解答過(guò)程】f(x)的圖象關(guān)于x=12對(duì)稱(chēng)，所以又因?yàn)閒(x)在?∞,12上單調(diào)遞增，所以所以f(1)>f(3故選：B.【變式3-3】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：f?x+fx=0,f2?x=fA．fB．fC．fD．f【解題思路】根據(jù)題意可得函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，且在?1,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,3內(nèi)單調(diào)遞減，然后利用周期和單調(diào)性即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，函數(shù)fx滿足f?x+f則有f2?x=?f?x則有fx+4=fx對(duì)稱(chēng)軸為x=1，fx在?1,1內(nèi)單調(diào)遞增，所以fx在1,3內(nèi)單調(diào)遞減，f1.5=f5.5∴f(1.5)>f(2)>f2.7，即f故選：B.【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例4】（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足對(duì)任意的x1,x2∈0,+∞，且x1A．?1,1 B．[?1,0]∪[1,+∞) C．?1,0∪【解題思路】根據(jù)條件可知函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可得出函數(shù)fx的單調(diào)性，結(jié)合條件xf【解答過(guò)程】對(duì)任意的x1,x2∈即fx在0,+∞上是減函數(shù)，因?yàn)閤∈R，所以fxy=fx為奇函數(shù)，可得f0=0，f因?yàn)閤fx所以當(dāng)x=0時(shí)，xfx當(dāng)x>0時(shí)，fx>0=f1，根據(jù)fx在當(dāng)x<0時(shí)，fx<0=f?1，根據(jù)fx在綜上可知，不等式xfx<0的解集為故選：A.【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x?1)<f13的A．13,23 B．[13【解題思路】由已知有0≤2x?1<1【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的增函數(shù)，滿足所以0≤2x?1<13，解得故選：D.【變式4-2】（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┒x在R上的函數(shù)f（x）滿足f2?x=fx，且當(dāng)x≥1時(shí)，A．12,+∞ B．0,12 【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性即可.【解答過(guò)程】由f2?x=f(x)，得f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1，故2?x?1≥x+1故選：D.【變式4-3】（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若?x∈(?∞,0]，且x1≠x2，A．(?1?52C．(?1?52【解題思路】由x1f(x1)?x2f(x2)【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以xf(x)是定義在R上的偶函數(shù)函數(shù)，由題意可知xf(x)在(?∞,0]單調(diào)遞增，則xf(x)在設(shè)gx=xf(x)所以a2<a?1，展開(kāi)絕對(duì)值得a?1>故選：A.【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的最值】1．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（?。┲担好Q(chēng)定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我們稱(chēng)m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.【題型5求函數(shù)的最值】【例5】（2023春·天津東麗·高二期末）已知函數(shù)f(x)=2x+1x?1，其定義域是[?8，?4)，則下列說(shuō)法正確的是(A．f(x)有最大值53，無(wú)最小值 B．f(x)有最大值53C．f(x)有最大值75，無(wú)最小值 D．f(x)有最大值2，最小值【解題思路】將f(x)化為fx=2+3x?1，判斷在【解答過(guò)程】解：函數(shù)f(x)=即有f(x)在[?8，?4)遞減，則x=?8處取得最大值，且為53由x=?4取不到，即最小值取不到．故選：A．【變式5-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y=f(x)(?2≤x≤2)的圖象如圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為（

）A．f(2)，f(?2)B．f(12C．f(12D．f(12【解題思路】由函數(shù)最值定義，結(jié)合函數(shù)圖象可得出答案.【解答過(guò)程】根據(jù)函數(shù)最值定義，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=?32時(shí)，f(x)取得最小值f(?32)；當(dāng)x=故選：C.【變式5-2】（2022春·重慶沙坪壩·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù)fx=x?22x2+4的最大值為MA．0 B．1 C．2 D．4【解題思路】根據(jù)基本不等式，結(jié)合分離常數(shù)法，可得答案.【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=x2?4x+4x2當(dāng)x>0時(shí)，x+4x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=2當(dāng)x<0時(shí)，x+4x≤?4，當(dāng)且僅當(dāng)x=4x，即x=?2綜上可得，M=2，m=0，則M+m=2.故選：C.【變式5-3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）a,b∈R，記maxa,b=aa≥bba<bA．3?52 B．3+52 C．【解題思路】討論x+1≥x2【解答過(guò)程】當(dāng)x+1≥x2，即x+1≥x2fx所以fx當(dāng)x<1?52fx當(dāng)x>1+52fx綜上，fx故選：A.【題型6由函數(shù)的最值求參數(shù)】【例6】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)fx=2x+mx+1在區(qū)間0,1上的最大值為52A．3 B．52 C．2 D．52【解題思路】函數(shù)fx化為fx=2+m?2x+1，討論m=2【解答過(guò)程】函數(shù)fx=2x+mx+1，即當(dāng)m=2時(shí)，fx當(dāng)m?2>0，即m>2時(shí)，fx在0,1遞減，可得f即f0=0+m當(dāng)m?2<0，即m<2時(shí)，fx在0,1遞增，可得f即f1=2+m綜上可得m=5故選：B．【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(a?1)x+2a,x<0x2?2x,x≥0有最小值，則A．?12,1C．?12,1【解題思路】先求出x≥0時(shí)的最小值，然后對(duì)于x<0時(shí)，討論fx=a?1【解答過(guò)程】當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x?1當(dāng)x<0時(shí)，fx①a=1時(shí)，fx=2為常函數(shù)，此時(shí)在R上滿足函數(shù)f(x)有最小值為②a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）此時(shí)為單調(diào)的一次函數(shù)，要滿足在R上有最小值，需a?1<0(a?1)×0+2a≥?1解得?綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為：?1故選：C．【變式6-2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y=a?x?3xx>0在x=m時(shí)有最大值為3，則a?mA．43 B．33 C．23【解題思路】利用基本不等式求出x+3x≥23，得出函數(shù)y=a?x?3x的最大值為【解答過(guò)程】解：因?yàn)閤>0時(shí)，x+3x≥2x?3x=2所以函數(shù)y=a?x?3x=a?x+3所以a?m=33故選：C．【變式6-3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=2x2?1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的較大者，記為M(x)=max{f(x),g(x)}A．0 B．±1 C．±2 D．【解題思路】先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，得到Mx的圖象，根據(jù)最小值為?12【解答過(guò)程】依題意，先作兩個(gè)函數(shù)f(x)=2x因?yàn)镸(x)=max{f(x),g(x)}，故草圖如下：可知在交點(diǎn)A出取得最小值令2x2?1=?12，得x=±12故a=±1.故選：B.【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性】1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).非奇非

偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù).定義域

特征定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間.等價(jià)

形式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，則有f(x)是偶函數(shù)?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函數(shù)?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).(3)奇、偶函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).【題型7函數(shù)奇偶性的判斷】【例7】（2023·天津·高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A．y=x?1 B．y=?2x2+3 C．y=【解題思路】分別判斷出各個(gè)選項(xiàng)的奇偶性即可得到正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：令f(x)=x?1，則f(x)定義域?yàn)閯tf(?x)=?x?1=?選項(xiàng)B：令?(x)=?2x2+3則?(?x)=?2?x2+3=?2選項(xiàng)C：y=x選項(xiàng)D：y=x2，故選：B.【變式7-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx=1+xA．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【解題思路】求出fx的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可判斷f【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=1+x則1+x1?x由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故fx故選：C.【變式7-2】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2+xA．fx?2?2 B．fx?2+1 C．【解題思路】先求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心，然后根據(jù)函數(shù)圖像的變換求出過(guò)原點(diǎn)時(shí)函數(shù)的解析式即可．【解答過(guò)程】f(x)=?(2?x)+42?x=?1?4x?2，該函數(shù)是由y=?4x故將f(x)的圖像向左平移2個(gè)單位，然后再沿y軸向上平移1個(gè)單位得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的奇函數(shù)y=?4可知g(x)=f(x+2)+1．故選：D．【變式7-3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)f(x)和g(x)在它們的公共定義域內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)?g(x)是奇函數(shù)B．若f(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)C．若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)D．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)+g(x)不一定是奇函數(shù)【解題思路】由函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)閒(x)和g(x)都是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，g(?x)=?g(x)，令?(x)=f(x)?g(x)，則?(?x)=f(?x)?g(?x)=f(x)?g(x)=?(x)，所以f(x)?g(x)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)和g(x)都是偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，g(?x)=g(x)，令?(x)=f(x)?g(x)，則?(?x)=f(?x)?g(?x)=f(x)?g(x)=?(x)，所以f(x)?g(x)是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，g(?x)=g(x)，令?(x)=f(x)?g(x)，則?(?x)=f(?x)?g(?x)=?f(x)?g(x)=??(x)，所以f(x)?g(x)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(x)和g(x)都是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，g(?x)=?g(x)，令?(x)=f(x)+g(x)，則?(?x)=f(?x)+g(?x)=?f(x)?g(x)=??(x)，所以f(x)+g(x)是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.【題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】【例8】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎x在R上的函數(shù)fx在?∞,3單調(diào)遞增，且fx+3是偶函數(shù)，則不等式A．1,35 B．?∞,1∪5【解題思路】由可得函數(shù)fx關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，fx在3,+∞【解答過(guò)程】∵fx+3∴f?x+3=fx+3，即函數(shù)f又函數(shù)fx在?∴函數(shù)fx在3,+由fx+1>f2x整理得3x2?8x+5>0，解得x<1即不等式fx+1>f2x故選：B.【變式8-1】（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在R上的偶函數(shù)fx滿足f?x+2=fx+2，且f1A．?2 B．?1 C．?13 【解題思路】根據(jù)題意可判斷fx【解答過(guò)程】由fx為偶函數(shù)且f?x+2=f所以fx是以4為周期的周期函數(shù)，所以f故選：D.【變式8-2】（2023春·北京東城·高二?？计谀┮阎瘮?shù)fx+1是偶函數(shù)，當(dāng)1<x1<x2時(shí)，fxA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性及偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)楫?dāng)1<x1<x2所以f(x)在(1,+∞因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閍=f?12=f5因?yàn)?<5所以f2<f5所以b<a<c．故選：D．【變式8-3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠xA．m<43或m>2 C．m<23或m>4 【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可轉(zhuǎn)化為m?1<【解答過(guò)程】由任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠由于fx是定義在R上的偶函數(shù)，所以fx在由fm?1>f2m?3得m?1<2m?3，平方可得3故選：A.【知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的圖象】1．函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性(1)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).(2)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)為偶函數(shù).2．函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷(1)排除法：利用特殊點(diǎn)的值來(lái)排除；(2)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來(lái)判斷.【題型9函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷】【例9】（2023春·陜西延安·高二?？计谀┖瘮?shù)y=x22A． B．C． D．【解題思路】由函數(shù)奇偶性和值域，用排除法得到結(jié)論.【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)=xf(?x)=?x由x2≥0，2x故選：A.【變式9-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax2+bx+c，若a>b>cA．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)條件得到a>0,c<0，由開(kāi)口方向和特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到答案.【解答過(guò)程】由a>b>c且a+b+c=0，得a>0,c<0，所以函數(shù)圖象開(kāi)口向上，排除A，C；又f0故選：D.【變式9-2