人教A版（2019）必修第二冊8.5空間直線、平面的平行(精講)(原卷版+解析)

8.5空間直線、平面的平行（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一線線平行【例1-1】（2022廣西）若，且，與方向相同，則下列結論正確的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB與不平行 D．OB與不一定平行【例1-2】（2022云南）如圖所示，在長方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【一隅三反】1．（2022山東）如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號).2（2022黑龍江）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點，求證：,,,四點共面.3．（2022甘肅）如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．考點二等角性質【例2-1】（2022北京）已知，，，則（

）A． B．或C． D．或【例2-2】（2022廣東省連平縣）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【一隅三反】1．（2022湖南）下列結論，其中正確的是________(填序號).①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等.②如果兩個角的兩邊都平行于一個平面，那么這兩角相等或互補.③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補.④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.2．（2022浙江）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.3．（2022江蘇）長方體中，分別為棱的中點.（1）求證：；（2）求證：.考點三線面平行【例3-1】（2022四川）如圖，四棱錐中，底面為邊長為2的菱形且對角線與交于點O，底面，點E是的中點．(1)求證：∥平面；(2)若三棱錐的體積為，求的長．【例3-2】（2022河北）如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分別為棱AD、、AB的中點．證明：直線平面．【例3-3】（2022山東?。┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點.(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面，并給出必要的證明.【一隅三反】1．（2022吉林）在正方體中，分別是的中點，則下列說法中錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面2．（2022上海）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A．B．C．D．3.（2022山東?。┤鐖D所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M為PA上的點，且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請說明理由；(2)假設存在滿足條件（1）的N點，求線段MN的長.4．（2022山東?。┤鐖D，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點，當點滿足條件：________時，平面.考點四面面平行【例4-1】（2022陜西?。┤鐖D，在三棱柱中，分別為的中點，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【例4-2】．（2022海南）（多選）在正方體中，下列四組面中彼此平行的有（

）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面【一隅三反】1．（2022北京）如圖，在長方體中，寫出滿足條件的一個平面：（1）與平面平行的平面為______；（2）與平面平行的平面為______；（3）與平面平行的平面為______．2．（2022山東?。┤鐖D：在正方體中，為的中點.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求證：平面平面.3（2022山東?。┯伤睦庵厝ト忮F后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設平面與底面的交線為l，求證：．考點五判斷定理與性質定理辨析【例5-1】（2022廣東）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（

）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．C．直線，且 D．內任何直線都與平行【例5-2】（2022山東?。┮阎獮槿龡l不重合的直線，是兩個不重合的平面，給出下列四個說法：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【一隅三反】1．（2022陜西?。┫铝袟l件中能推出平面平面的是（

）A．存在一條直線，，B．存在一條直線，，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，2．（2022湖北省）已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤3．（2022天津）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面．給出下列四個命題：①；

②③；

④．其中真命題是．A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④考點六距離相關問題【例6】（2022山西）已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動，若平面，則線段的長度范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023安徽）已知正方體的棱長為1，點是平面的中心，點是平面的對角線上一點，且平面，則線段的長為（

）A． B． C． D．2（2022甘肅）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內運動．若平面AMN，則PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．3（2023黑龍江）已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動，若面，則線段的長度范圍是（

）A． B． C． D．8.5空間直線、平面的平行（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一線線平行【例1-1】（2022廣西）若，且，與方向相同，則下列結論正確的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB與不平行 D．OB與不一定平行【答案】D【解析】如圖，；當∠AOB=∠A1O1B1時，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1是不一定平行．故選：D．【例1-2】（2022云南）如圖所示，在長方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【答案】B【解析】由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，因為與棱B1C1平行的棱還有3條：AD,BC，A1D1，所以共有4條.故選：B.【一隅三反】1．（2022山東）如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號).【答案】①②【解析】根據(jù)正方體的結構特征，可得①②中RS與PQ均是平行直線，④中RS和PQ是相交直線，③中RS和PQ是是異面直線.故答案為：①②.2（2022黑龍江）如圖所示，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點，求證：,,,四點共面.【答案】證明見解析【解析】證明：∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是A1B1C1的中位線，∴GHB1C1，又∵B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點共面.3．（2022甘肅）如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】由于分別是長方體的中點，設是的中點，連接，根據(jù)長方體的性質可知且，所以四邊形是平行四邊形.考點二等角性質【例2-1】（2022北京）已知，，，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】的兩邊與的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知或.故選：B.【例2-2】（2022廣東省連平縣）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)∵為正方體．∴，且，又，分別為棱，的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形．(2)法一：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．∵和方向相同，∴．法二：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．又∵，∴，∴．【一隅三反】1．（2022湖南）下列結論，其中正確的是________(填序號).①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等.②如果兩個角的兩邊都平行于一個平面，那么這兩角相等或互補.③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補.④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.【答案】④【解析】根據(jù)等角定理可知：對于①：這兩個角相等或互補，①錯誤；對于②、③：無法判定這兩個角的兩邊分別平行，所以無法確定這兩角的大小關系，②、③錯誤；對于④：根據(jù)平行線的傳遞性，④正確；故答案為：④．2．（2022浙江）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：因為，分別是，的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，又與方向相同，所以.3．（2022江蘇）長方體中，分別為棱的中點.（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）如圖，取的中點，連接.在矩形中，易得，因為，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.在矩形中，易得，.所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.（2）因為，，又與的對應邊方向相同，所以.考點三線面平行【例3-1】（2022四川）如圖，四棱錐中，底面為邊長為2的菱形且對角線與交于點O，底面，點E是的中點．(1)求證：∥平面；(2)若三棱錐的體積為，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：連接．∵點O，E分別為的中點，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中點F，連接．∵E為中點，∴為的中位線，∴，且．由菱形的性質知，為邊長為2的等邊三角形．又平面，∴平面，，點E是的中點，∴，∴．【例3-2】（2022河北）如圖，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分別為棱AD、、AB的中點．證明：直線平面．【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，取的中點，連接，，因為，所以平面，因此，平面即為平面．連接，，因為，所以四邊形為平行四邊形，因此，又，所以，而平面，平面，故平面．【例3-3】（2022山東?。┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點.(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面，并給出必要的證明.【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【解析】（1）證明：取中點，連接，在中，為的中點，.為的中點，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設，取中點，連接，則在中，分別是的中點，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點.在點位置時滿足平面.即點在線段靠近端的三等分點時符合題意.【一隅三反】1．（2022吉林）在正方體中，分別是的中點，則下列說法中錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【解析】如圖所示，連接和相交于點O，則O為，的中點.對于A，連接，則,因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，易知,因為平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，因為,所以與平面相交，故C錯誤；對于D，易知,因為平面,平面，所以平面，故D正確.故選:C.2．（2022上海）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于選項B，如圖1，連接CD，因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因為平面，平面，所以AB平面MNQ，B選項不滿足題意；對于選項C，如圖2，連接CD，因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因為平面，平面，所以AB平面MNQ，C選項不滿足題意；對于選項D，如圖3，連接CD，因為M，N，Q為所在棱的中點，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因為平面，平面，所以AB平面MNQ，可知D不滿足題意；如圖4，取BC的中點D，連接QD，因為Q是AC的中點，所以QDAB，由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，A正確.故選：A3.（2022山東省）如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M為PA上的點，且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請說明理由；(2)假設存在滿足條件（1）的N點，求線段MN的長.【答案】(1)存在，(2)7【解析】（1）存在，；理由如下：連接并延長，交于，連接.因為正方形中，，所以;又因為，所以；平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，所以；中，，所以；因為，所以所以.4．（2022山東?。┤鐖D，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點，當點滿足條件：________時，平面.【答案】答案表述不唯一)【解析】連接交于O，連接OE，平面平面，平面平面，.又底面為平行四邊形，為對角線與的交點，故為的中點,為的中點，故當滿足條件:時，面.故答案為:答案表述不唯一)考點四面面平行【例4-1】（2022陜西?。┤鐖D，在三棱柱中，分別為的中點，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）在三棱柱中，分別為的中點，，平面平面，平面．（2）平面，平面，平面．分別為的中點，，，且．四邊形是平行四邊形．．又平面平面，平面．又平面，平面平面．【例4-2】．（2022海南）（多選）在正方體中，下列四組面中彼此平行的有（

）A．平面與平面 B．平面與平面C．平面與平面 D．平面與平面【答案】ABC【解析】對于A選項，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，因為，平面，平面，所以平面平面，故A正確；對于B選項，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，因為，平面，平面，所以平面平面，故B正確；對于C選項，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，因為，平面，平面，所以平面平面，故C正確；對于D選項，設，則平面且平面，設，則平面且平面，所以平面平面，故兩個平面相交，故D錯誤.故選：ABC.【一隅三反】1．（2022北京）如圖，在長方體中，寫出滿足條件的一個平面：（1）與平面平行的平面為______；（2）與平面平行的平面為______；（3）與平面平行的平面為______．【答案】（1）平面

（2）平面

（3）平面【解析】因為為長方體，所以平面∥平面，平面∥平面，同時∥，∥，又因為平面，平面，所以∥面，∥平面，因為，所以平面∥平面.故答案為：①平面；②平面；③平面.2．（2022山東?。┤鐖D：在正方體中，為的中點.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求證：平面平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】（1）證明：設，接，在正方體中，四邊形是正方形，是中點，是的中點，，平面平面平面；（2）證明：為的中點，為的中點，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面平面，由（1）知平面平面平面，平面平面.3（2022山東?。┯伤睦庵厝ト忮F后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設平面與底面的交線為l，求證：．【答案】證明見解析【解析】（1）取的中點，連接，∵是四棱柱，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．考點五判斷定理與性質定理辨析【例5-1】（2022廣東）已知為不同的平面，a，b為不同的直線，那么下列條件中能推出與平行的是（

）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．C．直線，且 D．內任何直線都與平行【答案】D【解析】對于A，內有無數(shù)條直線與平行，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，若直線，且，則與相交或平行，故C錯誤；對于D，若內任何直線都與平行，則與平行，故D正確.故選：D.【例5-2】（2022山東?。┮阎獮槿龡l不重合的直線，是兩個不重合的平面，給出下列四個說法：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【解析】對①，，則，可以平行、相交或異面，故①不正確；對②，根據(jù)平行線的傳遞性，可知②正確；對③，，則或，故③不正確；對④，根據(jù)線面平行的判定定理，可知④正確．故選：C【一隅三反】1．（2022陜西省）下列條件中能推出平面平面的是（

）A．存在一條直線，，B．存在一條直線，，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，【答案】D【解析】A.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；B.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；C.如圖所示：，存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯誤；D.如圖所示：，在平面內過b上一點作，則，又，且，所以，故正確；故選：D2．（2022湖北省）已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】①，，由平行公理4得，正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯誤；③，則或，故錯誤；④，；則或，故錯誤；⑤，，，由線面平行的判定定理可得．故選：A.3．（2022天津）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個