2022-2023學(xué)年安徽省宣城市高一下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2安徽省宣城市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.某單位有職工500人，青年職工300人，中年職工150人，老年職工50人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣從中抽取樣本，若抽出的中年職工為15人，則抽出的老年職工的人數(shù)為（）A.5 B.15 C.30 D.50〖答案〗A〖解析〗設(shè)抽出的樣本總?cè)藬?shù)為人，則由題意可得，解得，所以抽出的老年職工的人數(shù)為人.故選：A.2.已知點(diǎn)E為平行四邊形對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因，又，所以.故選：A.3.小明同學(xué)統(tǒng)計(jì)了他最近次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得到的數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、．則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)由小到大排序依次為：、、、、、、、、、，因?yàn)?，因此，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是.故選：B.4.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，所以由正弦定理得，得，因?yàn)?，，所以，所以或，則或．故選：D．5.盒子中有四張卡片，分別寫有“筆墨紙硯”四個(gè)字，有放回地從中任取一張卡片，直到“紙”“硯"兩個(gè)字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“筆墨紙硯”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：343432314134234132243331112324342241244342124431233214344434由此可以估計(jì)，恰好第三次結(jié)束時(shí)就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，其中恰好第三次結(jié)束時(shí)就停止的隨機(jī)數(shù)有：314，134，234，243，324，共5個(gè)，由此可以估計(jì)，恰好第三次結(jié)束時(shí)就停止的概率為．故選：C．6.《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》中將圓臺(tái)稱為“圓亭”．今有圓亭，上下底面圓直徑分別為18寸，30寸，圓亭母線長(zhǎng)為10寸(取)，則該圓亭的表面積和體積分別約為（）A.1368平方寸3528立方寸 B.1638平方寸4410立方寸C.1638平方寸3528立方寸 D.1368平方寸4410立方寸〖答案〗C〖解析〗由題意圓亭的上、下底面圓半徑分別為9寸，15寸，圓亭圓臺(tái)母線長(zhǎng)為10寸，則該圓亭的高寸，故該圓亭的表面積平方寸，體積為立方寸．故選：C．7.已知是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使得，連接DF并延長(zhǎng)到點(diǎn)N，使得，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，又點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，即，，，.故選：B.8.已知矩形，，，將沿折起到．若點(diǎn)在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則四面體的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在矩形中，，，過(guò)點(diǎn)作于，交邊于，如圖，，，所以，，，所以，，則，則，把沿折起到的過(guò)程中，，，又因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，點(diǎn)在平面上的射影在直線上，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，于是，當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最小，如圖，此時(shí)，于是，從而，而，所以，.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B.記的共軛復(fù)數(shù)為，則C.若，則D.若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則〖答案〗BC〖解析〗，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，則，故B正確；由，得，故C正確；若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則下列敘述正確的是（）A.取出的兩個(gè)球同為紅色和同為黑色是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件B.至多有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)對(duì)立的事件C.事件A＝“兩個(gè)球同色”，則D.事件B＝“至少有一個(gè)紅球”，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，兩球同時(shí)為紅球和為黑球不可能同時(shí)發(fā)生，并且除了這兩個(gè)事件，實(shí)驗(yàn)還會(huì)發(fā)生一個(gè)事件，即兩球一黑一白，所以兩球同時(shí)為紅球和為黑球的事件為互斥而不對(duì)立事件，A正確；對(duì)于B，至多有一個(gè)黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對(duì)立事件為兩黑球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，記3個(gè)紅球?yàn)閍，b，c，2個(gè)黑球?yàn)閐，e，則任取2個(gè)球的結(jié)果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個(gè)，事件A發(fā)生的結(jié)果有ab，ac，bc，de，共4個(gè)，所以，C正確；對(duì)于D，事件的對(duì)立事件的結(jié)果有de，共1個(gè)，所以，所以，D正確．故選：ACD．11.已知的內(nèi)角A，B，C所的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.是鈍角三角形 B.面積為C.外接圓面積為 D.若D為AB中點(diǎn)，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)椋?，，所以，所以，因?yàn)?，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，所以A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，角為鈍角，所以，所以面積為，所以B正確；對(duì)于C，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，所以外接圓面積為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Р為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.兩條異面直線和所成的角為 B.不存在點(diǎn)P，使得平面BEPC.對(duì)任意點(diǎn)Р，平面平面BEP D.點(diǎn)到直線的距離為4〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對(duì)任意點(diǎn)，平面平面，所以C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，又，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．故選：ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程()的一個(gè)根，則__________．〖答案〗4〖解析〗將代入方程，得，即，所以，得，，所以．故〖答案〗為：4．14.已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)3，5，7，則此時(shí)方差_________．〖答案〗2.9〖解析〗設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以，當(dāng)加入新數(shù)據(jù)3，5，7后，平均數(shù)，方差．故〖答案〗為：2.9．15.在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故〖答案〗為：．16.已知中，，，，M是AB的中點(diǎn)，P為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________；延長(zhǎng)DC至，使，若T為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立．則的最大值為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：中，2，，所以，即，，設(shè)，則，所以，由，得，所以的取值范圍是；設(shè)，則，所以，所以不等式化為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取“＝”，所以的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知平面向量滿足，，且．（1）求在方向上的投影向量；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.（2）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，解得.18.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.8，客場(chǎng)取勝的概率為0.4，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求前2場(chǎng)比賽，甲至少贏得一場(chǎng)的概率；（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時(shí)，求甲獲勝的概率．解：（1）設(shè)前2場(chǎng)比賽，甲至少贏一場(chǎng)為事件A，，或者.（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時(shí)，設(shè)甲獲勝為事件B，甲獲勝的比分可以是4∶2或者4∶3，若是4∶2，第五場(chǎng)和第六場(chǎng)，甲連贏兩場(chǎng)，則甲獲勝概率為：，若是4∶3，第五場(chǎng)和第六場(chǎng)，甲乙各贏一次，第七場(chǎng)甲贏了，則甲獲勝概率為：，所以，當(dāng)雙方總比分為2∶2時(shí)，甲獲勝的概率.19.某校舉行了一次高一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，筆試成績(jī)?cè)诜忠陨希òǚ?，滿分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績(jī)低于分的學(xué)生中，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．解：（1）由，解得，這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數(shù)為．（2）分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分?jǐn)?shù)都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分?jǐn)?shù)都在的概率為.20.如圖，在正四棱柱中，，∥平面MAC．（1）證明：M是的中點(diǎn)；（2）若正四棱柱的外接球的體積是，求該正四棱柱的表面積．解：（1）連接BD，交AC于N，連接MN，因?yàn)椤蚊鍹AC，面，且面MAC∩面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，，在正四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，所以N是BD的中點(diǎn)，所以M是的中點(diǎn)．（2）設(shè)，正四棱柱的外接球的半徑為，因?yàn)檎睦庵耐饨忧虻捏w積，解得，由題意為正四棱柱的外接球的直徑，由，得，解得或(舍)，即，所以正四棱柱的表面積為．21.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，且，且滿足．（1）求角A大小；（2）求周長(zhǎng)的取值范圍．解：（1）由可得，即，由正弦定理得，故，整理得到，因?yàn)镃是的內(nèi)角，所以，，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)榍?，，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，所以，，，即，故周長(zhǎng)的取值范圍為．22.如圖，在三棱錐中，平面ABD平面BCD，，O為BD的中點(diǎn)，△OCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．（1）若，求直線AB和CD所成角余弦值；（2）若點(diǎn)E在棱AD上，且三棱錐的體積為4，求二面角平面角大小的正弦值．解：（1）分別取BC、AC的中點(diǎn)M、N，連接OM，ON，MN，因?yàn)椐盀锽D中點(diǎn)，所以MO∥CD，MN∥AB且，所以異面直線AB和CD所成角(或?yàn)猷徰a(bǔ)角)即為∠OMN，因?yàn)?，O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD，因?yàn)椤鱋CD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以BODO2，MNAB，MOCD1，又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD平面BCD，平面ABD，所以AO平面BCD，因?yàn)槠矫鍮CD，所以AO⊥OC，由OCOD，得△AOC≌△AOD，得ACADAB，在直角三角形△AOC中，則ONAC，在△MON中，根據(jù)余弦定理得，，或，所以直線AB和CD所成角的余弦值為．（2）過(guò)點(diǎn)E作EN∥AO交BD于N．過(guò)點(diǎn)N作NM∥CD交BC于點(diǎn)M，連接ME，因?yàn)镋N∥AO且AO⊥BD，所以EN⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD，平面ABD，所以EN⊥平面BCD，因?yàn)锽C平面BCD，所以EN⊥BC，在△BCD中，因?yàn)镺BODOC，所以BC⊥CD，因?yàn)镹M∥CD，所以MN⊥BC，因?yàn)?，平面，所以BC⊥平面MNE，因?yàn)槠矫鍹NE，所以BC⊥ME，所以∠EMN為所求的二面角的平面角，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，又因AE=AD，EN∥AO，所以，得，因?yàn)镹M∥CD，所以，因?yàn)镃D2，所以MN，又，所以MNEN．所以，所以，得，因?yàn)椋?，所以解得，所以二面角平面角大小的正弦值?安徽省宣城市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.某單位有職工500人，青年職工300人，中年職工150人，老年職工50人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣從中抽取樣本，若抽出的中年職工為15人，則抽出的老年職工的人數(shù)為（）A.5 B.15 C.30 D.50〖答案〗A〖解析〗設(shè)抽出的樣本總?cè)藬?shù)為人，則由題意可得，解得，所以抽出的老年職工的人數(shù)為人.故選：A.2.已知點(diǎn)E為平行四邊形對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因，又，所以.故選：A.3.小明同學(xué)統(tǒng)計(jì)了他最近次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得到的數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、．則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)由小到大排序依次為：、、、、、、、、、，因?yàn)椋虼?，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是.故選：B.4.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，所以由正弦定理得，得，因?yàn)?，，所以，所以或，則或．故選：D．5.盒子中有四張卡片，分別寫有“筆墨紙硯”四個(gè)字，有放回地從中任取一張卡片，直到“紙”“硯"兩個(gè)字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“筆墨紙硯”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：343432314134234132243331112324342241244342124431233214344434由此可以估計(jì)，恰好第三次結(jié)束時(shí)就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，其中恰好第三次結(jié)束時(shí)就停止的隨機(jī)數(shù)有：314，134，234，243，324，共5個(gè)，由此可以估計(jì)，恰好第三次結(jié)束時(shí)就停止的概率為．故選：C．6.《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》中將圓臺(tái)稱為“圓亭”．今有圓亭，上下底面圓直徑分別為18寸，30寸，圓亭母線長(zhǎng)為10寸(取)，則該圓亭的表面積和體積分別約為（）A.1368平方寸3528立方寸 B.1638平方寸4410立方寸C.1638平方寸3528立方寸 D.1368平方寸4410立方寸〖答案〗C〖解析〗由題意圓亭的上、下底面圓半徑分別為9寸，15寸，圓亭圓臺(tái)母線長(zhǎng)為10寸，則該圓亭的高寸，故該圓亭的表面積平方寸，體積為立方寸．故選：C．7.已知是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使得，連接DF并延長(zhǎng)到點(diǎn)N，使得，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，又點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，即，，，.故選：B.8.已知矩形，，，將沿折起到．若點(diǎn)在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則四面體的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在矩形中，，，過(guò)點(diǎn)作于，交邊于，如圖，，，所以，，，所以，，則，則，把沿折起到的過(guò)程中，，，又因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，平面平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，點(diǎn)在平面上的射影在直線上，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影落在的內(nèi)部（不包括邊界），則當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，于是，當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最小，如圖，此時(shí)，于是，從而，而，所以，.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B.記的共軛復(fù)數(shù)為，則C.若，則D.若，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則〖答案〗BC〖解析〗，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，則，故B正確；由，得，故C正確；若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，故，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則下列敘述正確的是（）A.取出的兩個(gè)球同為紅色和同為黑色是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件B.至多有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)對(duì)立的事件C.事件A＝“兩個(gè)球同色”，則D.事件B＝“至少有一個(gè)紅球”，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，兩球同時(shí)為紅球和為黑球不可能同時(shí)發(fā)生，并且除了這兩個(gè)事件，實(shí)驗(yàn)還會(huì)發(fā)生一個(gè)事件，即兩球一黑一白，所以兩球同時(shí)為紅球和為黑球的事件為互斥而不對(duì)立事件，A正確；對(duì)于B，至多有一個(gè)黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對(duì)立事件為兩黑球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，記3個(gè)紅球?yàn)閍，b，c，2個(gè)黑球?yàn)閐，e，則任取2個(gè)球的結(jié)果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個(gè)，事件A發(fā)生的結(jié)果有ab，ac，bc，de，共4個(gè)，所以，C正確；對(duì)于D，事件的對(duì)立事件的結(jié)果有de，共1個(gè)，所以，所以，D正確．故選：ACD．11.已知的內(nèi)角A，B，C所的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.是鈍角三角形 B.面積為C.外接圓面積為 D.若D為AB中點(diǎn)，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，所以A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，角為鈍角，所以，所以面積為，所以B正確；對(duì)于C，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，所以外接圓面積為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Р為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.兩條異面直線和所成的角為 B.不存在點(diǎn)P，使得平面BEPC.對(duì)任意點(diǎn)Р，平面平面BEP D.點(diǎn)到直線的距離為4〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對(duì)任意點(diǎn)，平面平面，所以C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，又，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．故選：ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程()的一個(gè)根，則__________．〖答案〗4〖解析〗將代入方程，得，即，所以，得，，所以．故〖答案〗為：4．14.已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)3，5，7，則此時(shí)方差_________．〖答案〗2.9〖解析〗設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以，當(dāng)加入新數(shù)據(jù)3，5，7后，平均數(shù)，方差．故〖答案〗為：2.9．15.在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，側(cè)棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)已知，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，的外接圓半徑為，，所以球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故〖答案〗為：．16.已知中，，，，M是AB的中點(diǎn)，P為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________；延長(zhǎng)DC至，使，若T為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立．則的最大值為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：中，2，，所以，即，，設(shè)，則，所以，由，得，所以的取值范圍是；設(shè)，則，所以，所以不等式化為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取“＝”，所以的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知平面向量滿足，，且．（1）求在方向上的投影向量；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.（2）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，解得.18.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.8，客場(chǎng)取勝的概率為0.4，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求前2場(chǎng)比賽，甲至少贏得一場(chǎng)的概率；（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時(shí)，求甲獲勝的概率．解：（1）設(shè)前2場(chǎng)比賽，甲至少贏一場(chǎng)為事件A，，或者.（2）當(dāng)雙方總比分為2∶2時(shí)，設(shè)甲獲勝為事件B，甲獲勝的比分可以是4∶2或者4∶3，若是4∶2，第五場(chǎng)和第六場(chǎng)，甲連贏兩場(chǎng)，則甲獲勝概率為：，若是4∶3，第五場(chǎng)和第六場(chǎng)，甲乙各贏一次，第七場(chǎng)甲贏了，則甲獲勝概率為：，所以，當(dāng)雙方總比分為2∶2時(shí)，甲獲勝的概率.19.某校舉行了一次高一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，筆試成績(jī)?cè)诜忠陨希òǚ?，滿分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績(jī)低于分的學(xué)生中，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．解：（1）由，解得，這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數(shù)為．（2）分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分?jǐn)?shù)都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分