全國大學生數(shù)學建模競賽A題獲獎論文VIP

我們仔細閱讀了《全國大學生數(shù)學建模競賽章程》和《全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的報名參賽隊號為（8位數(shù)字組成的編號）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T(打印并簽名)：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略摘要在進行載人登月或月面勘測時，需要使飛行器實現(xiàn)月面軟著陸以保證人員或設備的安全，但關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。本文通過物理中的力學知識以及協(xié)方差分析等方法，進行了合理的軌道設計及優(yōu)化。針對問題一，對嫦娥三號軟著陸的軌道以及六個階段進行分析，通過機械能守恒定律、開普勒三定律等力學知識，建立了動力學模型。因為嫦娥三號繞月球運行的軌道是偏心率很小的橢圓，所以可以近似看作圓周軌道運動，然后迅速減速進入橢圓軌道，由動能改變量等于重力勢能改變量及開普勒第二定律，算出著陸器在近月點與遠月點的速度大小分別是1.69km/s和1.633km/s，方向沿運行軌道切線方向。然后根據(jù)質(zhì)點運動學知識求出近月點與著陸點水平距離，進而利用坐標正反算軟件算出近月點的經(jīng)緯度為，進而由空間解析幾何知識得出了遠月點的坐標（1323.67，1216.08，627.037），并采用Matlab軟件畫出近月點和遠月點在三維空間中的示意圖。針對問題二，嫦娥三號著陸軌道近月點和遠月點的位置以及相應速度的大小與方向確定后，需要描述的是嫦娥三號軟著陸過程中在不同階段的運動狀態(tài)，進而確定出嫦娥三號著陸軌道。由于軌道的設計要以燃料消耗最優(yōu)為出發(fā)點，所以可以在Matlab的平臺上采用SFLA優(yōu)化方法，建立優(yōu)化模型。將軟著陸的動力學方程做歸一處理，經(jīng)過將軟著陸軌道離散化，從而將軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)優(yōu)化問題。通過仿真實驗，作出嫦娥三號在軟著陸過程中徑向速度、推力控制角以及月心距的變化曲線，即設計出了最優(yōu)軟著陸軌道。針對問題三，在一般的發(fā)射任務中，軟著陸軌道修正都會選取將著陸器送到滿足要求的目標軌道上（例如形成滿足條件的環(huán)月軌道）的方式，而并非送到目標點上，這是因為后者需要選擇合適的目標點使得軌道修正的能耗不會太大，且著陸器還需要在目標點進行變軌從而使得實際軌道與標稱軌道重合。考慮到軌道參數(shù)的誤差相對于軌道參數(shù)的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關系的誤差方程。因此該問題采用協(xié)方差分析的方法，將著陸器發(fā)動機的一些技術指標的誤差作為待考察的隨機誤差源，通過考慮嫦娥三號的運動軌跡進而評估位置誤差和速度誤差對飛行軌道的影響。最后，通過對變量F的敏感性分析，當F在1500N到6000N時，位移變化較小，運動軌跡影響較小，因此變量F對運動軌跡不敏感；當F在6000N到7500N時，位移變化較大，對運動軌跡影響較大，因此變量F對運動軌跡比較敏感。通過仿真計算等驗證，說明了建立的模型和計算結果都是可靠的。關鍵詞：動力學模型，軌道優(yōu)化，混合蛙跳算法，協(xié)方差分析法一、問題重述嫦娥三號將在北京時間2013年12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關注的焦點。目前，全球僅有美國、前蘇聯(lián)成功實施了13次無人月球表面軟著陸。嫦娥三號的軌道和嫦娥二號一樣，它從地球到月球的路程需要4~5天，到了月球以后，還不能直接登錄月球，先得讓月球“捕捉”嫦娥三號，使之成為月球的衛(wèi)星，然后繞行。一開始沿著繞月球的大橢圓軌道運行，接著需要調(diào)整軌道，讓它離月球越來越近，一直調(diào)整到降落軌道，再根據(jù)地面指令，在虹灣地區(qū)軟著陸。在月球上軟著陸時不能用降落傘，因為月球是真空，降落傘毫無用處，探測器系統(tǒng)原來的初速度很大，加上月球的引力作用，下降的速度會越來越快，這時必須降低它的降落速度。在嫦娥三號的著陸器下方有一些發(fā)動機，可以產(chǎn)生向上的推力，減低它的下降速度。當它距月面100米高時，地球上的測控人員看不到現(xiàn)場的情況，因此要交給嫦娥三號自己去判斷，從而選擇相對平坦的地方降落。嫦娥三號從100米高的地方慢慢下降，落到距離月面4米高的地方關閉發(fā)動機，自由落體到月球表面，實現(xiàn)軟著陸。其著陸軌道的基本要求是：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道，著陸軌道為近月點至著陸點，其軟著陸過程分為6個階段（主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降段、自由落體段），盡量減少軟著陸過程中的燃料消耗。本文嘗試解決以下問題：問題一：確定著陸軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。問題二：確定嫦娥三號著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。問題三：對于設計的著陸軌道和控制策略做出相應的誤差分析和敏感性分析。二、問題分析對嫦娥三號軟著陸軌道的設計與控制為一個最優(yōu)控制問題，要求保證準確地在月球預定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，根據(jù)軟著陸過程中給定的6個階段在關鍵點所處的狀態(tài)設計嫦娥三號軟著陸過程的運行軌道，并盡量減少燃料消耗。(一)問題一要使嫦娥三號準確地在月球預定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，首先需要解決的是近月點位置的選擇，根據(jù)附件2中嫦娥三號軟著陸過程示意圖及著陸過程中的主減速階段和快速減速階段計算出了著陸器著陸過程的水平位移，進而確定了近月點的位置，由空間解析幾何知識得出遠月點的位置，并采用Matlab軟件畫出示意圖?？紤]到嫦娥三號繞月球運行的軌道是偏心率很小的橢圓，所以可以近似看作圓周軌道運動，然后迅速減速進入橢圓軌道，又由機械能守恒定律及開普勒第二定律建立動力學模型算出在近月點與遠月點的速度和方向。(二)問題二嫦娥三號著陸軌道近月點和遠月點的位置以及相應速度的大小與方向確定后，需要描述是嫦娥三號軟著陸過程中在不同階段的運動狀態(tài)，進而確定出嫦娥三號著陸軌道。由于在整個著陸過程中力的方向和大小在不斷的變化，如何確定每個階段的運行時間和位移以及相應階段在關鍵點力的方向和大小，使每個階段燃料消耗最少是這個問題的關鍵。我們將軟著陸的動力學方程做歸一處理，經(jīng)過將軟著陸軌道離散化，從而將軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)優(yōu)化問題，最后設計了蛙跳法作為優(yōu)化方法。(三)問題三本問題需要解決的是對于問題一、問題二軌道的設計進行誤差分析和敏感性分析。由于前兩個問題中的模型比較理想化，未考慮著陸器的質(zhì)量隨時間的變化，與實際情況中嫦娥三號的速度與位移存在較大的誤差，為了減小誤差，使它與實際軌道較為相符，采用協(xié)方差的方法，通過考慮嫦娥三號的運動軌跡繼而評估位置誤差和速度誤差對飛行軌道的影響。推力為定值時，在不同數(shù)值的推力作用下，水平位移受其影響在不斷變化，因此判斷F對水平位移的敏感性。三、模型假設月球的偏心率為0；由環(huán)月圓軌道進入橢圓軌道推力做的功較小，忽略不計；忽略月球自轉(zhuǎn)和傾斜角；無窮遠處萬有引力勢能為零；月球半徑取月球平均半徑1737.013km；地球?qū)︽隙鹑柕囊雎圆挥?；月球表面無大氣層；四、符號說明符號符號說明符號符號說明嫦娥三號在遠地點的速度近月點與著陸的點的方位角嫦娥三號在近地點的速度經(jīng)度月球的平均半徑緯度近地點到月心的距離快速調(diào)整階段的末速度遠地點到月心的距離粗避障階段的位移嫦娥三號在遠月點的勢能粗避障階段的加速度嫦娥三號的質(zhì)量粗避障階段的時間水平方向速度的大小精避障階段的位移完成主減速階段后豎直方向的速度精避障階段的時間完成主減速階段后豎直方向位移變化量精避障階段的末速度完成主減速階段后豎直方向加速度自由落體階段位移完成主減速a段后的時間自由落體階段時間完成快速調(diào)整階段的時間水平位移月球的重力加速度引力常數(shù)精避障階段推力和重力合力作用下的加速度緩速下降階段推力和重力合力作用下的加速度著陸器沿半徑方向上的速度角速度月球引力常數(shù)制動發(fā)動機推力方向角比沖水平方向的加速度豎直方向的加速度t類平拋運動時間五、模型建立與求解（一）問題一1問題分析嫦娥三號在進入橢圓軌道前在距月面100的環(huán)月軌道做勻速圓周運動，然后迅速減速進入近月點高度約15公里，遠月點高度約為100公里的橢圓軌道，由于繞月球運行的軌道是偏心率很小的橢圓，可以近似看作圓周軌道運動，由能量守恒定律及開普勒第二定律，算出著陸器在近月點與遠月點的速度，其方向沿運行軌道切線方向。對嫦娥三號軟著陸過程進行分析，將嫦娥三號在軟著陸過程中受到的推力分解為豎直方向與水平方向，大小視為恒定的平均值，通過質(zhì)點運動學的公式算出主減速階段的時間，代入到水平方向的運動方程中算出水平位移并利用坐標正反算軟件算出近月點的經(jīng)緯度，進而由空間解析幾何知識得出了遠月點的位置，并采用Matlab軟件畫出近月點和遠月點在三維空間中的示意圖。2動力學模型的建立與求解模型一在環(huán)圓軌道進入橢圓軌道時，運用能量守恒定律及開普勒第二定律可知：飛船在向心力的作用下沿軌道運行時，其掠面速度是恒定的，可列出兩個方程：（1）（2）若取無窮遠處為萬有引力勢能的零點，則嫦娥三號在橢圓軌道上運行的勢能為：（3）又因（4）故有（5）由此解得，，其方向分別與運行軌道相切。在嫦娥三號衛(wèi)星軟著陸過程中，可以將主減速階段看作類平拋運動，水平方向初速度為近月點速度，即，豎直方向速度為0，完成主減速階段后進入快速調(diào)整階段，此時的速度可近似看作為豎直方向的速度，故豎直方向的速度為，主減速階段豎直方向距離變化量，對豎直方向進行分析，因為飛船的推力大小和方向隨時間在不斷變化，豎直方向的分力大小也在改變，為了方便計算，將嫦娥三號在軟著陸過程中受到的推力分解為豎直方向與水平方向，大小視為恒定的平均值，于是豎直方向的力大小恒定。由機械能守恒定律和牛頓第二定律，列出下式：（6）（7）（8）由式（6）、（7）、（8）得出。查閱相關資料知嫦娥三號著陸過程的快速調(diào)整階段時間。在水平階段，推力的水平分力可以看作一平均值且大小恒定。在主減速階段和快速調(diào)整階段，水平方向可以近似看作勻減速直線運動，末速度。由運動學公式，得：(10)求得。近月點投影在月球表面的點B的經(jīng)緯度即為近月點的經(jīng)緯度。已知著陸點A的經(jīng)緯度，將其代入到坐標正反算和經(jīng)緯度與XY轉(zhuǎn)化軟件，結合余弦定理(11)得近月點B點的經(jīng)緯度為(18.63W,40.83N)，故近月點的位置為距月球表面15公里處，經(jīng)緯度為18.63W，40.83N。軟件部分實現(xiàn)過程見如下圖1、圖2、圖3。圖1圖2圖3以月球的球心為坐標原點，即球心O坐標為（0，0，0），以赤道平面為XOY平面，垂直赤道平面過球心的軸為Z軸，建立空間直角坐標系，將著陸點所在的象限為第一象限，并由式（11）寫出球面上各點對應點在空間直角坐標系下的坐標(12)則有B(1167.34，1076.18，554.90)，如圖4，設遠月點C的坐標為(x，y，z)。圖4近月點與著陸點位置則由利用空間解析幾何知識得方程組(13)(14)解方程組求出遠月點C點的坐標為（1323.67，1216.08，627.037）。（二）問題二1問題分析假設不考慮質(zhì)量隨時間的變化，對每個階段進行分析：在第一階段和第二階段嫦娥三號做類平拋運動；第三階段做勻減速運動，使速度減小為零；第四階段做自由落體并通過其四周的發(fā)動機選擇適宜方位；第五階段打開主發(fā)動機，做勻減速運動；第六階段自由落體到預定著陸點。由于以上模型都是在假設條件下的理想化模型，不符合實際情況，應對著陸的運行軌道進行優(yōu)化。在橢圓軌道的近月點制動發(fā)動機點火，以抵消登月器的初始動能和勢能，從而使得著陸器在水平速度被基本抵消之后相對月面速度降為0，以垂直姿態(tài)降落到月面，實現(xiàn)所謂的軟著陸。著陸器的大部分燃料消耗在制動發(fā)動上，所以月球軟著陸軌道的優(yōu)化控制應以燃耗最優(yōu)性為出發(fā)點，同時要兼顧降落到月面時的安全性。2動態(tài)優(yōu)化模型的建立模型二在模型一中已得出主減速階段和快速調(diào)整階段的水平位移x=372.8km，時間，快速調(diào)整后速度為。在粗避障階段，嫦娥三號做勻減速運動，初速度為，末速度為零，高度，有，，求解得出結果。在精避障階段，在豎直方向受到推力和重力合力作用下的自由落體運動，初速度為0m/s，降落高度，水平方向周圍小發(fā)動機調(diào)整位置，粗步避開大隕石坑。得求解方程組得。緩速下降階段，推力向上，做勻減速運動，末速度為零，高度。求解方程組得算出自由落體階段，高度。有，得出。模型三、混合蛙跳模型假設著陸軌道在縱向平面內(nèi)，建立圖5所示的平面極坐標系圖5其中，坐標原點在月心O，y軸指向初始軌道近月點，x軸指向登月器開始運動方向。軟著陸的動力學方程描述如式（15）：（15）月球軟著陸軌道是一個服從兩點邊值約束條件問題，由于起點處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近月點，故滿足的初始條件為：，，，，終端約束條件為軟著陸，即需滿足：，，，其中R=1737.013km。待優(yōu)化變量為制動發(fā)動機的推力方向角和終端時刻，優(yōu)化的性能指標為在滿足上述初始條件和終端約束條件的前提下，著陸過程中消耗的燃料最少，即：因為在發(fā)動機推力大小可調(diào)變的前提下得出的月球探測器軟著陸最優(yōu)制動方案，實際上是一個發(fā)動機推力大小恒定、推力與速度夾角變化的制動過程，因此式（16）描述的性能指標也相當于令終端時刻最短?；旌贤芴惴M青蛙在尋找食物時，按族群分類進行思想傳遞的過程，將全局信息交換和局部深度搜索相結合，局部搜索使得思想在局部個體間傳遞，混合策略使得局部間的思想得到交換。通過這種全局信息交換和局部深度探索，算法能夠跳出局部極值點，朝著全局最優(yōu)的方向進行?；旌贤芴惴ǖ乃阉鲀?yōu)化過程如下：對于N維組合優(yōu)化問題，可將每只青蛙表示為,其中為第i維的可能解；在進入迭優(yōu)化之前，隨機產(chǎn)生m只青蛙組成初始種群，以后在每次進化迭代過程中，首先根據(jù)青蛙的適應值大小將所有青蛙按降序排列；然后再將重新排列后的青蛙分到n個群體中，分配的方法為：第一只青蛙進入第一個蛙群，第二只青蛙進入第二個蛙群，第n只青蛙進入第n個群體，第n+1只青蛙進入到第一個蛙群，第n+2只青蛙進入到第二個蛙群，依此類推，只到所有青蛙分配完畢；當蛙群分好之后，針對每個種群中的最差青蛙，分別提高它們的適應值；最后將所有青蛙混合，進入下一次迭代循環(huán)。3模型求解將青蛙代入軌道動力學方程中解算得到終端時刻著陸器的狀態(tài)，最后將末端狀態(tài)代入式（16）（16）其中，為懲罰因子。計算性能指標，由于SFLA的適應度取大值，而式（16）取小值為優(yōu)，所以最終需對式（16）的計算值取負號。在得到每個青蛙的適應度后就可以按照上述的SFLA優(yōu)化迭代步驟進行迭代優(yōu)化了。本文在Matlab平臺上采用SFLA優(yōu)化月球軟著陸軌道做了仿真實驗，以驗證和分析此方法的應用可行性和優(yōu)化效果。為了更方便地看出優(yōu)化效果，本文采用文獻[2]仿真的著陸器參數(shù)為：推力F=1350N，比沖I=3009.8m/s,初始質(zhì)量=600kg。軌道離散化段數(shù)取N=15,則待優(yōu)化量為16個控制方向角和一個終端時刻共17維參數(shù)。SFLA的參數(shù)值設置為：青蛙總數(shù)m=260，蛙群數(shù)n=20，外循環(huán)次數(shù)=100，內(nèi)循環(huán)次數(shù)，每只青蛙由17維待優(yōu)化參數(shù)組成。懲罰因子，，懲罰因子設計成時變的目的主要是在迭代后期加強對不滿足終端速度和終端位置的懲罰力度。擬合函數(shù)的階數(shù)取n=4,求解微分方程采用龍格—庫塔4階法，計算步長取為1s。表1將本文的平均優(yōu)化結果和文獻[2]的優(yōu)化結果做了對比，然后給出了某次仿真的優(yōu)化結果圖：本文優(yōu)化結果文獻[2]優(yōu)化結果約束要求終端徑向速度（m/s）0終端月心距（km）1738終端角速度（rad/s）0消耗燃料（kg）最少噴氣時間（s）無表1優(yōu)化結果圖6徑向速度變化曲線圖7推力控制角變化曲線圖8月心距變化曲線（三）問題三1問題三的分析相比發(fā)射地球衛(wèi)星而言，著陸器在地月空間飛行距離較大、飛行時間較長，由于力學模型和測控誤差等的影響，實際轉(zhuǎn)移軌道相對目標軌道會存在一些偏離，而且隨著著陸器在軌運行，這些偏差還會被不同程度的放大。實際上，在一般的發(fā)射任務中，軌道修正都會選取將著陸器送到滿足要求的目標軌道上（例如形成滿足條件的環(huán)月軌道）的方式，而并非送到目標點上，這是因為后者需要選擇合適的目標點使得軌道修正的能耗不會太大，且著陸器還需要在目標點進行變軌從而使得實際軌道在相空間中與標稱軌道重合?？紤]到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關系的誤差方程。2雙二體模型建立誤差分析：反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下（17）其中，且（18）寫成狀態(tài)方程形式：（19）其中。3模型求解令（20）則式（18）變?yōu)椋?1）下面推導矩陣F的表達式：（22）式中是嫦娥三號在月心慣性坐標系里的軌道位置坐標。則（23）（24）將式（23），（24）代入（19），得：對式（20）積分，得到：式中取前6階截斷，即：得到計算誤差方程的迭代方程：相當于P陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計算P陣需要利用標稱軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。進而得到協(xié)方差矩陣迭代方程：求出結果，并畫出圖像，如表2，圖9，圖10，然后進行分析。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由嫦娥三號的發(fā)射入軌精度決定，若著陸器在飛行中進行軌道修正，則經(jīng)過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導誤差決定。上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計算初始條件，表2給出了在不進行中途軌道修正情況下，在地心慣性坐標系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點的位置和速度誤差的影響。圖9和圖10給出了著陸器從近月軌道入軌點開始至進入月球軌道為止的相應軌道位置和速度的總誤差的時間歷程。表2初始軌道位置和速度誤差對軌道終點誤差的影響圖9軌道位置總誤差時間歷程圖10速度總誤差時間歷靈敏度分析：運動學公式：求出位移，列表畫圖推力（N）水平位移（km）15003000450060007500表3由圖像可知，推力為定值時，在不同數(shù)值的力推力作用下，水平位移在不斷變化，F(xiàn)在1500N到6000N時，位移變化較小，運動軌跡影響較小，因此變量F對運動軌跡不敏感；當F在6000