1.3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)（2知識點(diǎn)5題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

1.3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。（1）理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系;（2）理解等比數(shù)列的單調(diào)性，并會利用其求最大（?。╉?；（3）掌握等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用。（難點(diǎn))知識點(diǎn)01等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的圖象（1）當(dāng)q>0且q≠1時，等比數(shù)列的通項公式是an=a1qn-1=a1q?這說明，當(dāng)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來表示等比數(shù)列時，所有的點(diǎn)一定在一指數(shù)函數(shù)圖象上，且等比數(shù)列的圖象由圖象橫坐標(biāo)為正整數(shù)n的孤立點(diǎn)組成。（2）當(dāng)q=1時，等比數(shù)列的各項都是常數(shù)a（3）當(dāng)q<0時，等比數(shù)列對應(yīng)的圖象是一系列上下波動的孤立點(diǎn)2等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)a1>0,q>1時，等比數(shù)列遞增；當(dāng)a1當(dāng)a1<0,q>1時，等比數(shù)列遞減；當(dāng)a1當(dāng)q<0時，等比數(shù)列是不增不減.【即學(xué)即練1】（多選）關(guān)于遞減等比數(shù)列an，下列說法正確的是（

A．當(dāng)a1>0時，0<q<1 B．當(dāng)aC．當(dāng)a1<0時，q>1 D【答案】AC【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式判斷即可【詳解】A．當(dāng)a1>0，0<q<1時，從第二項起，數(shù)列的每一項都小于前一項，所以數(shù)列anB．當(dāng)a1>0，q<0時，anC．當(dāng)a1<0，q>1時，數(shù)列anD．a(chǎn)n+1-an=a1qn-1q-1<0，當(dāng)a1>0故選：AC．知識點(diǎn)02等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)an是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列，其中(1)a證明由等比數(shù)列通項公式可得an=a兩式相除可得anam意義求等比數(shù)列任一項ak或通項公式an，不一定要求a1，可利用任一項（非例若等比數(shù)列{an}中，a4=4，解a62證明由性質(zhì)an=a意義利用等比數(shù)列任意兩項可求公比.例若等比數(shù)列{an}中，a4=4，a解q6-43若m+n=p+t,則a證明由等比數(shù)列通項公式可得amas∵m+n=s+t,∴a即am意義下標(biāo)和相等，其對應(yīng)項的積相等.例a2a8=a4數(shù)列{λan}(λ是不為零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；若數(shù)列{b則數(shù)列{anb證明an+1bn+1(5)下標(biāo)成等比數(shù)列且公比為m的項ak,ak+m證明ak+n+1m【即學(xué)即練2】（多選）已知等比數(shù)列an的公比為qq>0，前n項積為Tn，若TA．0<q<1 B．q>1C．T13>1>T【答案】AC【分析】利用數(shù)列的基本性質(zhì)可得出a7>1，0<a7a8<1，求出【詳解】因?yàn)閿?shù)列等比數(shù)列an的公比為qq>0且則T6所以，a7=T又因?yàn)閍7a8=a72故對任意的n∈N*，an=a1qn-1>0T13=a1a2?a13=故選：AC.【題型一：等比數(shù)列通項公式的指數(shù)函數(shù)特征】例1．已知等差數(shù)列an公差d≠0，數(shù)列bn為正項等比數(shù)列，已知a3A．a(chǎn)2>bC．a(chǎn)8>b【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，根據(jù)題意可知q≠1，由an=bn得qdb1n+a1-db1【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}若q=1，則b2=b10，得所以q≠1，得b1>0，又令an=bn，得a設(shè)A=qdb1,B=a所以①式變?yōu)锳n+B=C由題意，知n=3和n=9是方程An+B=C令f(x)=Ax+B(A≠0)，g(x)=Cn(C>0則一次函數(shù)f(x)與指數(shù)函數(shù)g(x)的圖象至少有2個交點(diǎn)，作出兩個函數(shù)圖象，如圖，當(dāng)函數(shù)f(x)與g(x)單調(diào)遞增或遞減時，f(n)=g(n)(n∈N*)且無論哪種情況，都有n∈[1,3]時，f(n)<g(n)；n∈[3,9]時，f(n)>g(n)；n∈[9,+∞)時，所以f(2)<g(2)，f(6)>g(6)，f(8)>g(8)，f(12)<g(12)，即a2<b2，a6故選：C.變式11．(多選)若數(shù)列an為遞增數(shù)列，則an的通項公式可以為（A．a(chǎn)n=nn+1 B．a(chǎn)n=2n-1【答案】ABD【分析】利用作差法判斷A、B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對于A：an+1所以an+1>an，所以對于B：an+1-an=2n+1-1-2n+1=2對于C：因?yàn)閍n=n2-3n，則a1=-2對于D：an+1-an=2n+1故選：ABD變式12．某工廠去年產(chǎn)值為a，計劃10年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，那么從今年起第幾年這個工廠的產(chǎn)值將超過2a？（

）A．6 B．7C．8 D．9【答案】C【分析】由題意可得，今年的產(chǎn)值為a1+10%=1.1a，且每年的產(chǎn)值構(gòu)成一個等比數(shù)列，公比為1.1【詳解】由題意知，今年的產(chǎn)值為a1+10%=1.1a，且每年的產(chǎn)值構(gòu)成以1.1a為首項，公比為1.1∴a×1.1n>2a又1.17<2，1.18故選：C變式13．已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=63，公比q=12，若Tn是數(shù)列an的前【答案】6【分析】先求出an的通項公式，當(dāng)an≥1an+1≤1【詳解】由題意可得an=63×12∴Tn=當(dāng)an≥1an+1≤1時，T故答案為：6.變式14．已知等差數(shù)列an公差不為0，正項等比數(shù)列bn，a2=bA．a(chǎn)1>b1 B．a(chǎn)5>【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，正項等比數(shù)列{bn}公比為由a2=b2,a10=b10可得出把方程an=bn變形為【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，正項等比數(shù)列{因?yàn)閐≠0，所以a2≠a10，即b2≠b由a10=b10得b2所以0<q<1時，d<0，q>1時，d>0．a(chǎn)n=a1+(n-1)d，b即dn+a1-d=b1令A(yù)=qdb1，B=q(a1-d)b1，（*由已知n=2和n=10是方程An+B=q記f(x)=Ax+B(A≠0)，g(x)=qx(q>0且q≠1)，f(x)是一次函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點(diǎn)，即方程f(n)=g(n)(n∈N*)才可能有兩解（題中q>1時，A>0，0<q<1時，A<0，滿足同增減）．如圖，作出f(x)和g(x)的圖象，它們在x=2和x=10時相交，無論q<1還是0<q<1，由圖象可得，n=1，f(n)<g(n)，n∈(2,10)時，f(n)>g(n)，n>10時，f(n)<g(n)，因此f(1)<g(1)，f(5)>g(5)，f(6)>g(6)，f(17)<g(17)，即a1故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時由已知兩項相等得出公差d和公比q的關(guān)系，考慮到方程an=bn有兩解，把此方程變形為An+B=qn，引入函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】1當(dāng)q>0且q≠1時，等比數(shù)列的通項公式an=a12等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)a1>0,q>1時，等比數(shù)列遞增；當(dāng)a1當(dāng)a1<0,q>1時，等比數(shù)列遞減；當(dāng)a1當(dāng)q<0時，等比數(shù)列是不增不減.【題型二：等比數(shù)列的最大（?。╉棥坷?．已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項a1>0，公比q∈A．?dāng)?shù)列an的最大項為a1 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列anan+1為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D【答案】D【分析】分別在n為偶數(shù)和n為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負(fù)和an+2-an的正負(fù)得到最大項和最小項，知AB正誤；利用an+1a【詳解】對于A，由題意知：當(dāng)n為偶數(shù)時，an當(dāng)n為奇數(shù)時，an>0，an+2綜上所述：數(shù)列an的最大項為a1，對于B，當(dāng)n為偶數(shù)時，an<0，an+2當(dāng)n為奇數(shù)時，an綜上所述：數(shù)列an的最小項為a2，對于C，∵ana∴a∵-1<q<0，∴q2-1<0∴數(shù)列anan+1對于D，∵a2n-1+∴a∵-1<q<0，∴1+q>0，q2-1<0，又∴a2n+1+a2n+2-a2n-1故選：D.變式21．（多選）無窮等比數(shù)列an的首項為a1公比為q，下列條件能使anA．a(chǎn)1>0，0<q<1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)1<0，q=-1 D．a(chǎn)【答案】BC【分析】結(jié)合選項，利用等比數(shù)列單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】a1>0，0<q<1時，等比數(shù)列an單調(diào)遞減，故aa1>0，-1<q<0時，等比數(shù)列an為擺動數(shù)列，此時aa1<0，所以等比數(shù)列ana1<0，q<-1時，因?yàn)閝>1偶數(shù)項為正無最大值.故選：BC變式22．設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足條件a1>1，aA．a(chǎn)n為遞減數(shù)列 B．C．T2022是數(shù)列Tn中的最大項 D【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得q的范圍，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，且a1>1，a2022?當(dāng)q≥1時，則an=a所以0<q<1，即數(shù)列an為單調(diào)遞減數(shù)列，A由a2022-1?a2023所以S2023-S2022=因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞減，且a2022>1，a2023<1，所以T由等比中項可知T4045=a故選：B【方法技巧與總結(jié)】1求數(shù)列中的最大（?。╉棧饕亲鞑罘ɑ蜃魃谭ǖ玫綌?shù)列的單調(diào)性再求解；2求等比數(shù)列的最大（?。╉?，先分析等比數(shù)列的單調(diào)性，有時可借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行分析.【題型三：等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用】例3．已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a2+a4+A．22 B．C．2 D．±2【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式即可得解.【詳解】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，則公比q≠0所以a42=所以1=a2+又a2+a所以a2>0，則a4故選：C.變式31．若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，且log2a4+log2A．2 B．4 C．±2 D．±4【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得an>0，利用對數(shù)運(yùn)算及等比數(shù)列性質(zhì)求出【詳解】數(shù)列an中，由log2a4+又log2a4a13所以q=a故選：A變式32．已知等比數(shù)列{an}滿足a1>0，公比q>1，且log2a1+A．1012 B．1013 C．2022 D．2023【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可推得0<a1012a1013<1以及【詳解】由題意知log2a1則0<a1a結(jié)合等比數(shù)列{an}滿足a1>0由log2a1即得a1a2???a由此可得0<a故當(dāng)a1a2故選：A變式33．(多選)已知Tn為每項均為正數(shù)等比數(shù)列an的前n項積，若T2023A．a(chǎn)n為遞減數(shù)列 B．C．當(dāng)n=1012時，Tn最大 D．T【答案】ACD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合T2023>1,T2024<1可推出a1012>1且a1013【詳解】因?yàn)門2023>1，且a1a2023同理由T2024<1可得(a1012a1013)又a1013>0，所以0<a1013a設(shè)公比為q，則0<q<1，所以an單調(diào)遞減，且T1012最大，故A，C正確，因?yàn)門n+2Tn=an+1a即Tn+2Tn故選：ACD【方法技巧與總結(jié)】1設(shè)an是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列，其中(1)an=amqn-m；意義求等比數(shù)列任一項ak2qn-m=3若m+n=p+t,則aman要理解以上等比數(shù)列的性質(zhì)，明白其意義方能更好利用;2要利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量，要主要題中各項下標(biāo)的特點(diǎn).【題型四：等比數(shù)列子數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用】例4．在等比數(shù)列an中，已知a1+a2+aA．2116 B．1916 C．98【答案】A【分析】根據(jù)題中條件求出等比數(shù)列an的公比，再由a3+a4+【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，∵∴q=-12，∴a3【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，在求解等比數(shù)列的問題時，一般要結(jié)合題中條件求出公比的值，充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，可簡化計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.變式41．已知等比數(shù)列{an}的公比q為整數(shù)，且a1+a4A．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有a2?a3=a【詳解】因?yàn)閍1+a4=9所以a1=1，a4所以a2故選：A變式42．已知數(shù)列an是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且a2+a4=30，a3=9【答案】81lg【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)解得a1=1【詳解】因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，即a則a2+a4=30則a2=a所以S8-S故答案為：81；lg3變式43．已知數(shù)列an為正項等比數(shù)列，且a4+a3【答案】20【分析】設(shè)a3+a4=x，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到【詳解】因?yàn)閿?shù)列an為正項等比數(shù)列，a設(shè)a3+a4=x由于{an}因此a=(x-5)+25x-5+10≥2當(dāng)且僅當(dāng)x-5=25x-5，即x=10時等號成立，故a5故答案為：20.【方法技巧與總結(jié)】1數(shù)列{λan}(λ是不為零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；若數(shù)列{b則數(shù)列{anb2下標(biāo)成等比數(shù)列且公比為m的項ak,ak+m3要利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量，要主要題中各項下標(biāo)的特點(diǎn).【題型五：等比數(shù)列綜合性質(zhì)的運(yùn)用】例5．對于給定的正整數(shù)k，若各項均不為0的數(shù)列an滿足：an-k?an-k+1?an-1?（1）證明：等比數(shù)列an是“Q(3)數(shù)列”（2）若數(shù)列an既是“Q(2)數(shù)列”又是“Q(3)數(shù)列”，證明：數(shù)列an【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【分析】（1）由an是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：an-3（2）an既是“Q(2)數(shù)列”又是“Q(3)數(shù)列”，可得an-2?an-1?an+1?an+2==an【詳解】（1）證明：由ana∴等比數(shù)列an是“Q(3)數(shù)列（2）證明：an既是“Q(2)數(shù)列”又是“Q(3)數(shù)列”可得an-2?an-1?an+1an-3?an-2可得：an-3?a即an-3,即a1,a2,a3設(shè)an=a∵數(shù)列an是“Q(2)數(shù)列∴n=3時，由（*）可得：a1∴n=4時，由（*）可得：a2可得a3?q=∴a3,∴數(shù)列an【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式等基本知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力，屬于難題.變式51．已知數(shù)列{an}滿足a1=1026，an+1={A．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【分析】由題設(shè)得a2k+1-2=12(a2k-1-2)【詳解】由題意得：a2k+1=1∴a2k+1若a2k+1-2=a2k-1-2=0顯然與a∴a2k-1-2=(a∴a2k-2綜上，an={2當(dāng)n為奇數(shù)且n≤21時，an為整數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)且n≤22時，a∴{an故選：C.變式52．已知數(shù)列bn是公比為qq≠1的正項等比數(shù)列，且lnb1013=0，若fA．4050 B．2025 C．4052 D．2026【答案】A【分析】先由lnb1013=0得b再得f(x)+f(1x【詳解】由數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)因?yàn)閘nb1013=0即有b1由f(x)=41+x有f(x)+f(1設(shè)S=f(bS=f(b2S=2025×4，S=4050，故f(b故選：A.變式53．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn=k?an-3（k是常數(shù)，k>1）【答案】512【分析】由Sn與an的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列an為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)可求得【詳解】對任意的n∈N*，Sn=k?a當(dāng)n=1時，a1=ka當(dāng)n≥2時，an所以，an所以，數(shù)列an為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為a1=1=a故答案為：512.變式54．已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+2（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=bn+2+(-1)n-1λ?2an【答案】（1）an=n+1，bn=4【分析】（1）把Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N（2）轉(zhuǎn)化為(-1)n-1λ<2n-1恒成立，再分【詳解】（1）由已知，Sn+2所以Sn+2∴an+2-又a2∴數(shù)列{an}是以a∴a又b∴{bn+2}是以4∴bn+2=（2）∵an=n+1，∴b要使cn+1∴cn+1∴3?4∴(-1)n-1（?。┊?dāng)n為奇數(shù)時，即λ<2當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，2n-1有最小值為1∴λ<1（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ>-2當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，-2n-1有最大值-2，∴即-2<λ<1，又λ為非零整數(shù)，則λ=-1．綜上所述，存在λ=-1，使得對任意n∈N*，都有變式55．約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm≠0得到的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)a共有k個正約數(shù)，即為a1，a2，?，a(1)當(dāng)k=4時，若正整數(shù)a的k個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個a的值；(2)當(dāng)k≥4時，若a2-a1，a3-a(3)記A=a1a【答案】(1)a=8（答案不唯一）；(2)a=a2k-1(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)定義得a1=1，然后取公比為2即可得（2）根據(jù)約數(shù)定義分析其規(guī)律，然后化簡a3-a2a2-a1=a（3）利用aiak+1-i=a【詳解】（1）由題意可知，a1當(dāng)k=4時,正整數(shù)a的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，取公比為2得：1，2，4，8為8的所有正約數(shù)，即a=8．（2）根據(jù)約數(shù)定義可知，數(shù)列an中，首尾對稱的兩項之積等于a即ai所以a1=1，ak=a，因?yàn)閗≥4，依題意可知a3-a化簡可得a3-a因?yàn)閍3∈N因此可知a3由于a2是整數(shù)a的最小質(zhì)因數(shù)，a3是a的因子，且a3所以，數(shù)列a2-a1，a3-a所以a2-a1，a3-a2，?，所以a=a2k-1（3）由題意知aiak+1-i所以A=a因?yàn)?a1a2≤所以A==≤因?yàn)閍1=1，ak所以A≤a21【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)約數(shù)定義分析其性質(zhì)，抓住a1=1,ak=k，一、單選題1．已知數(shù)列an滿足：a1=1024，點(diǎn)n,an在函數(shù)y=aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】先通過a1=1024求出a，則可得數(shù)列an的通項公式，代入n=10【詳解】由已知an則a1=a1∴∴故選：A.2.已知數(shù)列an是以a1為首項，q為公比的等比數(shù)列，則“a11-q>0”是“aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性和必要不充分條件的判斷即可得到答案.【詳解】若等比數(shù)列an滿足“a1比如a1>0，q<0，此時若數(shù)列an為遞減數(shù)列，a1<0，q>1或a則①“a1<0，q>1”可以推出②“a1>0，0<q<1”也可以推出則“a11-q>0”是“a故選：B.3.已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，公比q=2，且滿足a2a6=16A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】利用等比中項和等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】因?yàn)閍n所以a2a6所以a5故選：C4.已知數(shù)列an為正項遞增等比數(shù)列，a1+a2+aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出a2，進(jìn)而可求出公比【詳解】由題意a1由a1+a得212a22=所以a1整理得2q2-5q+2=0，解得q=2所以q=2.故選：A.5.已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，bn是正項等比數(shù)列，若a1=bA．a(chǎn)4=b4 B．a(chǎn)5<【答案】D【分析】由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項.【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，n∈N*而等比數(shù)列bn的通項公式是關(guān)于n如圖所示當(dāng)d>0時，如下圖所示，當(dāng)公差d<0時，如下圖所示，如圖可知當(dāng)a1=b1,a7=b故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷的方法，選擇圖象法可以比較快速的判斷選項.6.設(shè)數(shù)列Am：a1，a2，…，amm≥2，若存在公比為q的等比數(shù)列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk<ak<bk+1，其中k=1，2，…，m，則稱數(shù)列Bm+1為數(shù)列Am的“等比分割數(shù)列”.若數(shù)列A．2910,2 B．21011,2【答案】C【分析】由題意可得，qn-1<2n<qnn=1,2,3,?,10，從而可得【詳解】由題意可得，qn-1所以q>2，且qn-1當(dāng)n=1時，1<2成立；當(dāng)n=2，3，…，10時，應(yīng)有q<2因?yàn)閥=2x在R上單調(diào)遞增，所以2n故q<2109，綜上，q故選：C.7.在數(shù)列{an}中，如果對任意n∈N*都有an+2-an+1an+1A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0C．若an=-3D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比【答案】A【解析】考慮常數(shù)列可以判定A錯誤，利用反證法判定B正確，代入等差比數(shù)列公式判定CD正確.【詳解】對于數(shù)列{an}，考慮an=1,若等差比數(shù)列的公差比為0，an+2-an+1a若an=-3n+2，a若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則anan+2-an+1故選：A【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)的新定義問題.解決此類問題應(yīng)該注意：（1）常數(shù)列作為特殊的等差數(shù)列公差為0；（2）非零常數(shù)列作為特殊等比數(shù)列公比為1.8.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項積為Tn，下列說法不正確的是（A．若T8=B．若T8=C．若a1=1024，且T10為數(shù)列D．若a1>0，且T10>T11【答案】A【分析】根據(jù)前n項積的定義和性質(zhì)即可結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】若T8=T12，則T12而T20=a1若a1=1024，且T10是數(shù)列當(dāng)q<0時，T10當(dāng)q>0時，由T10>T即1024q9>11024q10若T10>T11>又T10<0，不滿足當(dāng)q>0時，由T10>T11T10>所以a1>0，則an因此當(dāng)n≤10,n∈N*時，故an>1，當(dāng)因此當(dāng)n≤10,n∈N*時，數(shù)列Tn單調(diào)遞增，當(dāng)n>10,n∈又T1>1，T20所以使得Tn>1成立的n的最大值為20，即選項D故選：A二、多選題9．已知等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則下列能判斷anA．a(chǎn)1=3,q=1C．a(chǎn)1=1【答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列an的首項為a1，公比為對于A中，若a1=3,q=12，可得an+1對于B中，若a1=2,q=3，可得an+1=a對于C中，若a1=13,q=12對于D中，若a1=-13,q=12，可得故選：BD.10.等比數(shù)列an的公比為q，其前n項的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a99A．0<q<1 B．a(chǎn)100C．T100的值是Tn中最大的 D．T99的值是【答案】ABD【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)題目條件逐項分析即得.【詳解】對于A，∵a99a100-1>0∴q>0，又a1>1，又∴a99>1∴0<q=a100a對于B，∵a99?a101=a對于C，由于T100=T99?a100對于D，由題可知a1所以當(dāng)n≤99時，TnTn-1=an>1，即T∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列an的通項公式為an=3n，n∈N*，在an中依次選取若干項（至少3項）ak1，ak2，akA．若取k1=1，kB．滿足題意的knC．在an的前100項中，akD．如果把a(bǔ)n中滿足等比的項一直取下去，a【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A、B、D，利用反例說明C.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an的通項公式為a對于A，取k1=1，k2=3，則由于akn為等比數(shù)列，則ak3=27，則有3對于B，數(shù)列{an}的通項公式為a若akn為等比數(shù)列，即3k1，3k2，3k則k1，k2，k3，…，k故滿足題意的{kn}對于C，在an的前100項中，可以取k1=1，k2=2，k3=4，k可以使akn成為一個等比數(shù)列，此時akn為對于D，取k1=4，k2=ak4=所以把a(bǔ)n中滿足等比的項一直取下去，akn故選：AB．三、填空題12．寫出一個通項公式an=，使你寫出的數(shù)列an①am+n+am【答案】-2【分析】求出當(dāng)數(shù)列an為等比數(shù)列時需滿足的條件即可【詳解】當(dāng)數(shù)列an為等比數(shù)列時，am=a1因?yàn)閍m+n+ama因?yàn)閍1≠0,q≠0，所以因?yàn)閍n為遞減數(shù)列，所以當(dāng)a可取a1=-2,q=2故答案為：-213.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，若a2+a4【答案】3【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，再結(jié)合特殊角的正切值，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a2+a4+根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，b2b4b6所以tana故答案為：314.在等比數(shù)列an中，若a1+a3=62，a2【答案】6【分析】利用題意的等式得到數(shù)列an的公比，繼而求出首項，即可得到通項公式，判斷數(shù)列an【詳解】在等比數(shù)列an中，a1+所以公比q=a所以a1+a3=易得an=248因?yàn)閍6=31所以當(dāng)1≤n≤6時，an>1，當(dāng)n≥7時，所以當(dāng)a1a2故答案為：6四、解答題15．已知數(shù)列an(1)若a1+a(2)若a3a5=18，【答案】(1)an=3?(2)±【分析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2=6，結(jié)合條件可得a1+a3=15，所以a（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得18q4【詳解】（1）∵a1?a2∴a1又a1∴a1,a3是方程x2當(dāng)a1=3時，q=a當(dāng)a1=12時，q=a（2）∵a4∴q4=4，∴16.在等比數(shù)列an中，an>0n∈N*，公比q∈0,1，且(1)求數(shù)列an(2)若bn=log2an，求【答案】(1)a(2)T【分析】（1）先根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出a3（2）分bn≥0和bn<0【詳解】（1）因?yàn)閍1所以a3又an>0n∈因?yàn)閍3與a5的等比中項為2，所以則a3+a5=5所以q2=a5a所以an（2）由（1）得bn令bn≥0，則令bn<0，則當(dāng)1≤n≤5時，Tn當(dāng)n≥6時，T=10--1-n+5綜上所述，Tn17.已知數(shù)列an的前n項和為Sn(1)證明：an(2)求數(shù)列an(3)求數(shù)列Sn的通項公式，并求出n為何值時，S【答案】(1)證明見解析；(2)an(3)Sn=75×【分析】(1)由前n項和為Sn與通項an的關(guān)系，得出(2)由(1)和等比數(shù)列的通項公式即可求出an(3)由(2)求出Sn，通過研究Sn【詳解】（1）當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，an整理得6a∵a∴{an-1}是以15（2）由(1)知，{an-1}是以15得an-1=(-15)×(（3）由(2)得an∴S當(dāng)n≥2時，Sn-1故an當(dāng)Sn-