全國(guó)百校聯(lián)盟高二月考領(lǐng)航卷（一）數(shù)學(xué)（理）試題

全國(guó)百校名師聯(lián)盟高二月考領(lǐng)航卷（一）理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?，所以選C.2.函數(shù)從到的平均變化率為，則實(shí)數(shù)的值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：從1到的平均變化率為，解方程即可.詳解：從1到的平均變化率為，解得實(shí)數(shù)的值為9.故答案為B.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了平均變化率的定義，根據(jù)定義寫出表達(dá)式即可得到結(jié)果.3.函數(shù)的遞增區(qū)間為A.， B.C.， D.【答案】A【解析】【詳解】分析：直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，即可求得增區(qū)間.詳解：，，增區(qū)間為.故答案為A.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，需要注意的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)的定義域的子集，因此求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般下，先求定義域；或者直接求導(dǎo)，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.4.已知函數(shù)，則等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再將代入即可.詳解：函數(shù)，將代入，得故選D點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握導(dǎo)數(shù)計(jì)算的公式.5.曲線與直線所圍成圖形的面積為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由得因此曲線與直線所圍成圖形的面積為，選D.點(diǎn)睛：1.求曲邊圖形面積的方法與步驟(1)畫圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；(2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在范圍，從而確定積分的上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和．2．利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．6.若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到導(dǎo)函數(shù)的值域，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以；故選：B.7.已知的圖象如圖所示，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)說法正確的是（）A.僅有2個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)是極大值點(diǎn)，一個(gè)是極小值點(diǎn)B.因?yàn)橛兴膫€(gè)根，故函數(shù)有四個(gè)極值點(diǎn)C.有2個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)D.沒有極值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義和的圖象得出結(jié)論．【詳解】若是的極值點(diǎn)，則，且在兩側(cè)異號(hào)，

由的圖象可知共有4解，其中只有兩個(gè)零點(diǎn)的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)由正變負(fù)，是極大值點(diǎn)，一個(gè)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由負(fù)變正，是極小值點(diǎn)，故A正確，BCD錯(cuò)誤．

故選：A．8.若函數(shù)在區(qū)間上遞減，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因此；選D.9.已知直線與曲線相切，則的值為A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以選A.10.若，恒成立，則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最小值，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；綜上，正數(shù)的取值范圍為，選C.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.11.定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意借助于指數(shù)函數(shù)分析可得，構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性解不等式.【詳解】∵，則由于在上單調(diào)遞增∴，即令，則在上恒成立∴在上單調(diào)遞減，且若，則即不等式的解集為故選：B.12.在直角中，，，，點(diǎn)、分別在、邊上，且，沿著將折起至的位置，使得平面與平面所成二面角的平面角為（其中點(diǎn)為點(diǎn)翻折后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)），則四棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】翻折后，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，分析可知平面與平面所成二面角的平面角為，設(shè)，其中，計(jì)算出四棱錐的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法可求得四棱錐的體積的最大值.【詳解】翻折前，在中，，，，則，因?yàn)椋瑒t，且，翻折后，如下圖所示，則有，，，、平面，平面，所以，平面與平面所成二面角的平面角為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，，，，、平面，平面，設(shè)，其中，則，，，梯形的面積為，所以，，令，其中，由可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積取最大值為.故選：B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】【詳解】分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將x=1代入導(dǎo)函數(shù)即可求得結(jié)果.詳解：函數(shù)，=解得2.故答案為2.點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)幾何意義指的是在曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率.14.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同的產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.若在第時(shí)，原油的溫度（單位：）為，則在第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為__________．【答案】1【解析】【詳解】分析：任意時(shí)刻的原油的溫度（單位：）為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到詳解：根據(jù)題意得到，任意時(shí)刻的原油的溫度（單位：）為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到故答案為1.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)幾何意義指的是在曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率.15.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最小值是__________．【答案】【解析】【詳解】由題意得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，調(diào)整為：，而且時(shí)，，所以的最小值是.16.若函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】由或，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，因此要使函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，由示意圖可知，需或，即或點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【答案】（1）.（2）和.【解析】【詳解】分析：（1）根據(jù)多項(xiàng)式的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可；（2）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程可得求得或，進(jìn)而得到切線方程.詳解：（1）.（2）由，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由所求切線方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程可得：，整理為：，解得：或，將或代入切線方程，可求得切線方程為：和.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法，以及過某一點(diǎn)的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般過某一點(diǎn)求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)并且表示在切點(diǎn)處的斜率；二：根據(jù)點(diǎn)斜式寫切點(diǎn)處的切線方程；三：將所過的點(diǎn)代入切線方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；四：將切點(diǎn)代入切線方程，得到具體的表達(dá)式.18.已知函數(shù)在處有極值，求實(shí)數(shù)、的值.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由極值定義得，與聯(lián)立方程組解得實(shí)數(shù)、的值.然后代入檢驗(yàn)是否為極值點(diǎn).試題解析：解：由，有，可得由，聯(lián)立上述兩方程消去得：，當(dāng)時(shí)可得：，此時(shí)；當(dāng)時(shí)可得，此時(shí)①當(dāng)時(shí)，，f'x=2x+2-故當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值.②當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)單調(diào)遞減，沒有極值.由上知19.已知函數(shù)，且為函數(shù)的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)極值點(diǎn)定義得，解得a的值，再代入驗(yàn)證為函數(shù)的極值點(diǎn).（2）先轉(zhuǎn)化不等式為：，再根據(jù)（1）確定函數(shù)單調(diào)性：當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)，最后解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：解：（1），由得，解得：，（2）由（1）知，令可得，故當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.由，，故有，則.由存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，可得：，解得：.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間的最值.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)a討論，按0，1分割成五類分別進(jìn)行討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定對(duì)應(yīng)區(qū)間單調(diào)性，（2）先根據(jù)a與1的大小分類討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)性遞增，即得最值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)先減后增，可得最小值，再比較兩個(gè)端點(diǎn)值大小確定最大值.試題解析：解：（1）令，①當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)函數(shù)，則在上沒有單調(diào)性.②當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，令可得：或，則在上遞減，在，上遞增.④當(dāng)時(shí)，令可得：或，則在上遞減，在，上遞增.⑤當(dāng)時(shí)，令可得：，故在上遞增，在，上遞減.（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，.②當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故，由，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；21.如圖所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且兩座城市之間的距離為；城在城的正北方向，且兩座城市之間的距離為.由城到城只有一條公路，甲有急事要從城趕到城，現(xiàn)甲先從城沿公路步行到點(diǎn)（不包括、兩點(diǎn)）處，然后從點(diǎn)處開始沿山路趕往城.若甲在公路上步行速度為每小時(shí)，在山路上步行速度為每小時(shí)，設(shè)（單位：弧度），甲從城趕往城所花的時(shí)間為（單位：）.（1）求函數(shù)的表達(dá)式，并求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)點(diǎn)在公路上何處時(shí)，甲從城到達(dá)城所花的時(shí)間最少，并求所花的最少的時(shí)間的值.【答案】（1），定義域?yàn)椋唬?）點(diǎn)所在的位置為處，甲所花最短時(shí)間為.【解析】【詳解】試題分析：（1）先在直角三角形中用表示，，再根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度得，最后根據(jù)實(shí)際意義得定義域，（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進(jìn)而確定最值取法.試題解析：解：（1）在中，，，故.由圖知，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?）令則.令，可得，由可解得.故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為故當(dāng)時(shí)，函數(shù).故點(diǎn)所在的位置為處，甲所花最短時(shí)間為.22.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，求的值；（2）若函數(shù)在上存在極值，求的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式得切線方程，由圓心到切線距離等于半徑即可求得的值；(2)根據(jù)題意可知導(dǎo)函數(shù)在上有零點(diǎn)且在零點(diǎn)附近變號(hào)，由于導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得解得的取值范圍；(3)由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)知函數(shù)不單調(diào)，即導(dǎo)函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增得導(dǎo)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，利用以及導(dǎo)數(shù)研究可得，再由，可得.最后證明時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，先證，再證，再證，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論.【小問1詳解】∵，由，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，整理為：，由切線與圓相切，有，解得：；【小問2詳解】∵為上的增函數(shù)，∴即，解得：.小問3詳解】由，當(dāng)時(shí)由函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)若存在零點(diǎn)，有且僅有一個(gè)，令.①當(dāng)時(shí)，，令，由，得，故當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，又由，，可知當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，由，，故方程在區(qū)間上有解.③當(dāng)時(shí)，由，，故