作業(yè)02計(jì)數(shù)原理（5大題型鞏固提升練能力培優(yōu)練拓展突破練仿真考場練）

完成時(shí)間：月日天氣：作業(yè)02計(jì)數(shù)原理（5大題型鞏固提升練+能力培優(yōu)練+拓展突破練+仿真考場練）一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1．分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在進(jìn)行計(jì)數(shù)過程中，常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性．2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟(1)明確完成的這件事是什么．(2)思考如何完成這件事．(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類．(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．二、排列與組合的綜合應(yīng)用1．排列、組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)求解方式，在計(jì)數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2.解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(diǎn)(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題．(2)對于含有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時(shí)要不重不漏，分步時(shí)要步步相接．(3)對于含有“至多”“至少”的問題，常采用間接法，此時(shí)要考慮全面，排除干凈．三、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用1．二項(xiàng)式定理有比較廣泛的應(yīng)用，可用于代數(shù)式的化簡、變形、證明整除、近似計(jì)算、證明不等式等，其原理可以用于二項(xiàng)式相應(yīng)展開式項(xiàng)的系數(shù)求解．角度1二項(xiàng)展開式的“賦值問題”“賦值法”在二項(xiàng)展開式中的應(yīng)用(1)觀察：先觀察二項(xiàng)展開式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征．(2)賦值：結(jié)合待求和上述特征，對變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等，視具體情況而定．(3)解方程：賦值后結(jié)合待求建立方程(組)，求解便可．角度2二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題二項(xiàng)式特定項(xiàng)的求解策略(1)確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素．(2)確定二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式，即可確定常數(shù)項(xiàng)．(3)求二項(xiàng)展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)公式，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的系數(shù)．(4)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．一．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（共3小題）1．（2023春?宿遷期中）將3個(gè)教師分到6個(gè)班級任教，每個(gè)教師教2個(gè)班的不同分法有90種．【分析】將六個(gè)班平均分成三個(gè)組，由于分給三個(gè)不同的老師，所以再全排列，得到結(jié)論【解答】解：先把6個(gè)班級分為，2，三組，再平均分配到3個(gè)教師，故有種，故答案為：90．【點(diǎn)評】本題考查分組問題，涉及均勻分組，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．2．（2023春?高新區(qū)校級月考）兩張相同的方格表，有一方格重合（如圖），沿格線連接、兩點(diǎn)；則不同的最短連接線有2450條．【分析】從到最短路線分兩類，經(jīng)過兩大正方形重疊的小正方形左上和右下頂點(diǎn)，再用組合解決．【解答】解：從到最短路線分兩類，經(jīng)過兩大正方形重疊的小正方形左上和右下頂點(diǎn)，兩類路線數(shù)相同，共有（條．故答案為：2450．【點(diǎn)評】本題考查組合應(yīng)用、分類討論思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直觀想象能力，屬于中檔題．3．（2024春?連云港期中）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的：①六位奇數(shù)；②個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；③不大于4310的四位偶數(shù)．【分析】①先排個(gè)位，再排首位，其余的位任意排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理②2因?yàn)?是特殊元素，分兩類，個(gè)位數(shù)字是0，和不是0，③需要分類，不大于4310的四位偶數(shù)，即是小于等于4310的偶數(shù)，當(dāng)千位小于4，當(dāng)百位小于3，當(dāng)十位小于1時(shí)，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：①先排個(gè)位數(shù)，有種，因?yàn)?不能在首位，再排首位有種，最后排其它有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，六位奇數(shù)有；②因?yàn)?是特殊元素，分兩類，個(gè)位數(shù)字是0，和不是0，當(dāng)個(gè)位數(shù)是0，有，當(dāng)個(gè)位不數(shù)是0，有，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)有③當(dāng)千位小于4時(shí)，有種，當(dāng)千位是4，百位小于3時(shí)，有種，當(dāng)千位是4，百位是3，十位小于1時(shí)，有1種，當(dāng)千位是4，百位是3，十位是1，個(gè)位小于等于0時(shí)，有1種，所以不大于4310的四位偶數(shù)4有【點(diǎn)評】本題主要考查排列與組合及兩個(gè)基本原理，排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意特殊元素和特殊位置，要優(yōu)先考慮，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題二．排列及排列數(shù)公式（共2小題）4．（2024春?邗江區(qū)期中）已知且，，則下列等式中正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)排列數(shù)組合數(shù)公式判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：選項(xiàng)，，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，正確；選項(xiàng)，，正確；選項(xiàng)，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，成立，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．5．（2024春?高郵市校級月考）若，則的值為5．【分析】有排列數(shù)公式列式可得．【解答】解：由得，得（舍去）或．故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查了排列及排列數(shù)公式，屬中檔題．三．組合及組合數(shù)公式（共4小題）6．（2024春?贛榆區(qū)期中）A． B． C． D．【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，從而可解．【解答】解：根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，可得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查組合數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．7．（2023春?儀征市校級月考）A． B． C． D．【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果．【解答】解：由組合數(shù)性質(zhì)，得，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查組合數(shù)性質(zhì)相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023春?金壇區(qū)校級月考）我們知道：，相當(dāng)于從兩個(gè)不同的角度考察組合數(shù)：①從個(gè)不同的元素中選出個(gè)元素并成一組的選法種數(shù)是；②對個(gè)元素中的某個(gè)元素，若必選，有種選法，若不選，有種選法，兩者結(jié)果相同，從而得到上述等式，試根據(jù)上述思想化簡下列式子：，，．【分析】根據(jù)題意分某，，個(gè)元素中選取個(gè)數(shù)為0，1，2，3，討論求解即可得．【解答】解：根據(jù)題意，從個(gè)不同元素中選出個(gè)元素并成一組的選法種數(shù)是，若對其中的某，，個(gè)元素分別選或不選，則，，個(gè)元素一個(gè)都沒有選，有種選法，有一個(gè)元素被選取，有種選法：有兩個(gè)元素被選取，有種選法有三個(gè)元素被選取，有種選法：有個(gè)元素被選取，有種選法：所以，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）利用組合數(shù)的性質(zhì)、排列數(shù)的計(jì)算公式即可得出．（2）利用組合數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（1）原式．（2）原式．另一方法：．【點(diǎn)評】本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)、組合排列數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．四．排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題（共13小題）10．（2024春?蘇州期中）一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著水平面的網(wǎng)格線爬行到點(diǎn)，再由點(diǎn)沿著長方體的棱爬行至頂點(diǎn)處，則它可以爬行的不同最短路徑條數(shù)有A．40 B．60 C．80 D．120【分析】由題意，從到最短路徑有條，由點(diǎn)沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點(diǎn)，最短路徑有條，即可求出它可以爬行的不同的最短路徑．【解答】解：由題意，從到最短路徑有條，由點(diǎn)沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點(diǎn)，最短路徑有條，它可以爬行的不同的最短路徑有條．故選：．【點(diǎn)評】本題考查最短路徑問題，考查組合知識，屬于中檔題．11．（2024春?海門區(qū)校級期中）文娛晚會中，學(xué)生的節(jié)目有5個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，則排法種數(shù)為A．720 B．1440 C．2400 D．2880【分析】先將學(xué)生節(jié)目進(jìn)行全排列，再根據(jù)題意將教師節(jié)目插入除首尾以為的4個(gè)空中，從而可解．【解答】解：根據(jù)題意，先將學(xué)生節(jié)目進(jìn)行全排列共有種排法，又教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，則將教師的2個(gè)節(jié)目插入到中間4個(gè)空中，則共種方法．故選：．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．12．（2024春?東?？h校級月考）由未來科學(xué)大獎聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎獲獎?wù)邔υ捛嗌倌昊顒佑?023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會場與學(xué)生進(jìn)行對話活動，要求每個(gè)會場至少派一名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會場，則不同的派出方法有A．60種 B．120種 C．150種 D．240種【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：要求每個(gè)會場至少派一名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會場，則不同的派出方法有種．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．13．（2024春?東?？h校級月考）美術(shù)館計(jì)劃從6幅油畫，4幅國畫中，選出4幅展出，若某兩幅畫至少有一幅參展，則不同的參展方案有多少種？A． B． C． D．【分析】采用間接法或分類研究．【解答】解：對于，從對立面考慮，這兩幅畫一幅也沒參展有種情況，則至少一幅參展方案為，正確；對于，將該兩幅畫分別記為甲、乙，若甲參展，則不需要考慮乙的參展情況，有種，若甲不參展，則乙必須參展，需要在剩余8幅畫中再選3幅，有種，故滿足題意的方案有種，正確；對于，若兩幅中只有一幅參展，有種情況；若兩幅都參展，有種情況，則共有方案種，正確；對于，表示兩幅畫都參展或都不參展，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．14．（2024春?廣陵區(qū)校級月考）現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專家到，，，四家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則A．所有可能的安排方法有64種 B．若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種 C．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種 D．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去醫(yī)院，則不同的安排方法有18種【分析】選項(xiàng)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算出答案；選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，再安排三名專家，利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算出答案；選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，再進(jìn)行全排列得到正確；選項(xiàng)，在選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，計(jì)算出每所醫(yī)院去一人，甲去醫(yī)院的安排方法，從而計(jì)算出答案．【解答】解：選項(xiàng)，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，正確；選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，有種選擇，再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有種選擇，則不同的安排方法有種，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，有種選擇，再將三名專家和三所醫(yī)院進(jìn)行全排列，有種選擇，則不同的安排方法有種，正確；選項(xiàng)，由選項(xiàng)可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，若甲去醫(yī)院，從，，所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進(jìn)行全排列，共有種選擇，故不同的安排方法有種，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．15．（2024春?建鄴區(qū)校級期中）在20件產(chǎn)品中，有18件合格品，2件次品．現(xiàn)從這20件產(chǎn)品中任意抽出3件，至少有1件次品的抽法有324種．（請用具體數(shù)字作答）【分析】根據(jù)排列組合相關(guān)知識可解．【解答】解：在20件產(chǎn)品中，有18件合格品，2件次品，現(xiàn)從這20件產(chǎn)品中任意抽出3件，共有種取法，又從這20件產(chǎn)品中任意抽出3件全是合格品有種取法，則至少有1件次品的抽法有．故答案為：324．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．16．（2024春?鎮(zhèn)江期中）為研究方程正整數(shù)解的不同組數(shù)，我們可以用“擋板法”：取8個(gè)相同的小球排成一排，這8個(gè)小球間有7個(gè)“空擋”，在這7個(gè)“空擋”中選擇2個(gè)“空擋”，在每個(gè)“空擋”插入1塊擋板，2塊擋板將這8個(gè)小球分成“三段”，每段小球的個(gè)數(shù)分別對應(yīng)，，的一個(gè)正整數(shù)解，由此可以得出此方程正整數(shù)解的不同組數(shù)為．據(jù)此原理，則方程的正整數(shù)解的不同組數(shù)為84（用數(shù)字作答）；該方程自然數(shù)解的不同組數(shù)為（用數(shù)字作答）．【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合相同元素分組問題隔板法求解．【解答】解：先閱讀題意，則方程的正整數(shù)解的不同組數(shù)為，該方程自然數(shù)解的不同組數(shù)為．故答案為：84；286．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了相同元素分組問題，屬中檔題．17．（2024春?鼓樓區(qū)校級期中）3名男生，4名女生，全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有3720種．【分析】對特殊元素進(jìn)行分類，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解．【解答】解：（特殊元素優(yōu)先法）：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端時(shí)有（種第二類：甲不在最右端時(shí)，甲有個(gè)位置可選，而乙也有個(gè)位置，而其余全排有（種故（種．故答案為：3720．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．18．（2024春?啟東市期中）將6個(gè)相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有2個(gè)空盒的放法數(shù)為30．【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：將6個(gè)相同的小球放入編號為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，則恰有2個(gè)空盒的放法數(shù)為．故答案為：30．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．19．（2024春?海門區(qū)校級月考）中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長．如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體．現(xiàn)裝修工人準(zhǔn)備用四種不同形狀的風(fēng)鈴裝飾五脊殿的六個(gè)頂點(diǎn)，要求，處用同一種形狀的風(fēng)鈴，其它每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，則不同的裝飾方案共有72種．【分析】對于本題共4種不同形狀的風(fēng)鈴，要求是使用同一種風(fēng)鈴，其余各棱的兩個(gè)頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，可以理解相鄰頂點(diǎn)掛不同形狀的風(fēng)鈴，通過分析使用3種或4種風(fēng)鈴滿足條件．【解答】解：（1）使用3種形狀風(fēng)鈴，只能同，同，同，此時(shí)共有種掛法；（2）使用4種形狀風(fēng)鈴，此時(shí)有兩種情況：①同，不同：直接將4種風(fēng)鈴掛到四個(gè)點(diǎn)上，則全排列有種，②不同，同：此時(shí)共有種，綜上，共有種．故答案為：72．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法及分步乘法原則，屬中檔題．20．（2024春?淮安期中）話說唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經(jīng)路上，兇險(xiǎn)頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結(jié)果用數(shù)值表示）（1）唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯(cuò)，我們六個(gè)隨便站吧．”請問一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請問一共有多少種站法．【分析】（1）因是六個(gè)人隨便站，即相當(dāng)于六個(gè)人在六個(gè)空位上全排；（2）因兩只妖怪不站兩頭，運(yùn)用特優(yōu)法分步完成，第一步在中間四個(gè)位置上排好兩個(gè)妖怪，第二步在剩余四個(gè)位置排其他四個(gè)人，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即得；（3）因師傅和悟空要站一起，八戒要站在兩個(gè)妖怪中間，沙僧不管，所以應(yīng)先按照1，2，（3分）成三組，悟空和師傅在分配好的兩個(gè)位置上有個(gè)全排，八戒在兩只妖怪之間，兩只妖怪有個(gè)全排，最后位置則是沙僧的．【解答】解：（1）六個(gè)人隨便站，即六個(gè)人進(jìn)行全排列，故符合條件的排法共有種．（2）因總共有六個(gè)位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有種排法，剩下四個(gè)人四個(gè)位置，故有種排法，故共有種排法．（3）先將六人分成三組，且這三組人數(shù)分別為1、2、3，并排列，故有種排法，師傅和悟空站在一起共有種排法，八戒站在兩只妖怪中間共有種排法，故共有種排法．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．21．（2024春?鎮(zhèn)江期中）小吳同學(xué)計(jì)劃利用“五一小長假”深度游玩鎮(zhèn)江的五處名山：金山、焦山、北固山、茅山、寶華山，每天游玩一山，每山游玩一天．（1）若計(jì)劃前兩天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，總共有多少種安排方案；（2）金山、焦山、北固山位于市區(qū)，茅山、寶華山位于句容，若考慮交通因素，計(jì)劃市區(qū)的三山連續(xù)三天游玩，句容的兩山連續(xù)兩天游玩，共有多少種安排方案；（3）金山、焦山、寶華山均屬于佛教名地，若計(jì)劃第一天與最后一天均游覽佛教名地，共有多少種安排方案．【分析】（1）結(jié)合排列問題及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）結(jié)合排列問題捆綁法求解；（3）結(jié)合排列問題及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：（1）若計(jì)劃前兩天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，總共有種安排方案；（2）金山、焦山、北固山位于市區(qū)，茅山、寶華山位于句容，若考慮交通因素，計(jì)劃市區(qū)的三山連續(xù)三天游玩，句容的兩山連續(xù)兩天游玩，共有種安排方案；（3）金山、焦山、寶華山均屬于佛教名地，若計(jì)劃第一天與最后一天均游覽佛教名地，共有種安排方案．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了相鄰問題，屬中檔題．22．（2024春?啟東市期中）某單位有11名外語翻譯人員（每名翻譯人員都能從事英語或俄語翻譯），其中能從事英語翻譯人，且滿足，能從事俄語翻譯6人．（1）問既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有幾人？（2）現(xiàn)要從中選出8人組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯俄語，則有多少種不同的選派方式？【分析】（1）結(jié)合組合數(shù)公式求解；（2）由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：（1）由可得，整理得：，解得：，又且，，所以，所以既能從事英語翻譯也能從事俄語翻譯的有人．（2）由（1）可知，只能從事英語翻譯的5人，只能從事俄語翻譯的3人，既能從事英語又能從事俄語的3人，按“多面手”的參與情況分成三類情況：①多面手有1人入選，種；②多面手有2人入選，種；③多面手有3人入選，種．綜上所述，共有種選人方案．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．五．二項(xiàng)式定理（共15小題）23．（2024春?東?？h期中）設(shè)，且，若能被3整除，則A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由題意將變形為，再由二項(xiàng)式定理展開分析即可求得的值．【解答】解：，因?yàn)槟鼙?整除，所以要使能被3整除，則需也能被3整除，因?yàn)椋?，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024春?沛縣期中）的展開式中所有不含的項(xiàng)的系數(shù)之和為A． B． C．1 D．243【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：的展開式中，展開式的通項(xiàng)為，1，2，3，4，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)符合的項(xiàng)為，令，時(shí)，展開式中所有不含的項(xiàng)的系數(shù)之和為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，賦值法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．25．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）已知，若，則A．240 B． C．280 D．【分析】借助賦值法令可計(jì)算出，再借助二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得解．【解答】解：令，則有，即，故，即有，對，有，令，則有，即．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．26．（2024春?南通期中）已知，則A．展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為 B．展開式各項(xiàng)的系數(shù)的和為 C． D．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理即可求解．【解答】解：的展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故正確；令，可得①，即的展開式各項(xiàng)的系數(shù)的和為1，故錯(cuò)誤；令，可得②，由可得，，由可得，，即有，故正確；對，兩邊求導(dǎo)可得，令，可得，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)，是中檔題．27．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）對于的展開式，含項(xiàng)的系數(shù)為112．【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及組合數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)的展開式，1，2，3，4，5，6，7，，當(dāng)時(shí)，含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：112．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．28．（2024?泰州四模）若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的值可以是5（答案不唯一）．（寫出一個(gè)值即可）【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式以及組合數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：展開式第項(xiàng)，，1，2，3，，令，則，故滿足條件．故答案為：5（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．29．（2024春?淮安期中）已知三位整數(shù)滿足的展開式中有連續(xù)的三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則的最大值是959．【分析】設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，利用等差中項(xiàng)得，求出，利用為正整數(shù)對根進(jìn)行分析可得答案．【解答】解：設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，，由得，解得①，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以應(yīng)為奇完全平方數(shù)，設(shè)，可得，代入①，解得，或，所以三位整數(shù)的最大值為959．故答案為：959．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力．30．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）在的展開式中，若的系數(shù)為，則；若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，則的取值范圍是．【分析】第一空，根據(jù)二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)，列式求解，可得的值；第二空，討論的取值范圍，結(jié)合題意，列出不等式組，求解即可得答案．【解答】解：由題意知在的展開式中，的系數(shù)為，即，，，若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，不合題意，當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足，即得，當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，則此時(shí)需滿足，解得，綜合可得的取值范圍為．故答案為：，；．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到求解展開式的項(xiàng)的系數(shù)最大的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．31．（2024春?宿遷期中）在的展開式中，把，，，，叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列．（1）求的值；（2）將一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”．對此，我們并不陌生，如列方程時(shí)就要從不同的側(cè)面列出表示同一個(gè)量的代數(shù)式，幾何中常用的等積法也是“算兩次”的典范．根據(jù)二項(xiàng)式定理，將等式的兩邊分別展開可得左右兩邊的系數(shù)對應(yīng)相等，如考察左右兩邊展開式中的系數(shù)可得．利用上述思想方法，請計(jì)算的值（可用組合數(shù)作答）．【分析】（1）把看作整體，即可參照二項(xiàng)式求得三項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)求得結(jié)果．（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理和三項(xiàng)式的次系數(shù)列的定義，分別展開，然后比較的系數(shù)，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，（在三?xiàng)式中，把看作整體，即可參照二項(xiàng)式求得三項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)），從而，，，故；（2）因?yàn)?，其中含?xiàng)的系數(shù)為，又，的展開式中的第項(xiàng)為，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為，所以．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)公式，賦值法的應(yīng)用，考查邏輯推理與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．32．（2024春?東海縣期中）已知，．（1）當(dāng)，時(shí)，記的展開式中的系數(shù)為，1，2，3，，，求的值；（2）當(dāng)?shù)恼归_式中含項(xiàng)的系數(shù)為12，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)最小時(shí)的值．【分析】（1）分別代入和，計(jì)算可得結(jié)果．（2）先求出，再算取得最小值時(shí)的值．【解答】解：（1）由題意．，，所以（1）；（2）由已知，，所以的系數(shù)為，易知時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于中檔題．33．（2024春?邗江區(qū)校級期中）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是．（1）求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）利用的展開式與的展開式即可求得的值；（2）利用賦值法分別求得，的值，進(jìn)而求得的值．【解答】解：（1）由，可得在的展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含項(xiàng)與的展開式中含項(xiàng)合并得到的，則，（2）由（1）得，，令，則，令，則，則，，則．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，賦值法，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．34．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）在的展開式中：（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合．（3）系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)．【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，求解即可；（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即可求解；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，列方程組即可求解．【解答】解：（1），，1，，8，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，所以；（2），，1，，8，當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即，2，4，6，8，則的取值集合為，3，5，7，；（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，則，所以，解得，故系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理，解題中需要理清思路，屬于中檔題．35．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）（1）二項(xiàng)式展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，求其二項(xiàng)展開式中的系數(shù)．（2）已知，求的值．【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和得到，從而得到的展開式通項(xiàng)公式，求出，得到答案；（2）分別代入，，運(yùn)算可得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意得，解得，的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故，故其二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為．（2）中，令得，，令得①，令得②，①②得，，解得，故．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．36．（2024春?錫山區(qū)校級期中）已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求（6）被8整除的余數(shù)．【分析】（1）首先利用二項(xiàng)式的系數(shù)和求出的值，進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開式求出的值；（2）利用賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果；（3）利用二項(xiàng)式的展開式求出余數(shù)的值．【解答】解：（1）因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，所以，解得，因?yàn)?，所以，?）在中，令，則，令，可得，所以．（3）（6），，，，，因?yàn)槟鼙?整除，而，即被8整除余數(shù)為3，所以（6）被8整除的余數(shù)為3．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，二項(xiàng)式的系數(shù)和，系數(shù)的和的求法，賦值法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．37．（2024春?贛榆區(qū)期中）已知且滿足各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）先由各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．可得，求得，再利用通項(xiàng)求解即可；（2）利用賦值法令，得，再令，得，再減去即可．【解答】解：（1）因?yàn)楦黜?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，所以，所以，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，所以；（2）令，得，令，得，所以．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．一．填空題（共2小題）1．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）已知直線中的，，是取自集合，，0，1，中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是11．【分析】設(shè)傾斜角為，由，對，，分情況討論，利用排列組合公式即可．【解答】解：設(shè)傾斜角為，則．．集合，，0，1，中元素是相反數(shù)．（1），有兩種取法，有兩種取法，排除1個(gè)重復(fù)與為同一直線），故這樣的直線有條；（2），則，與，以及，，或，時(shí)，有2種取法，滿足題目要求的直線有條．，與，以及，，或，時(shí)，有兩種取法，但是化簡后與上面的直線相同，從而，符合要求的直線有條．故答案為：11．【點(diǎn)評】本題考查直線的傾斜角與斜率，考查排列組合，突出考查化歸思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．2．（2022秋?玄武區(qū)校級期末）在的展開式中，含的系數(shù)是，120；若對任意的，，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是．【分析】通過求出各項(xiàng)二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出，對任意的，，恒成立，等價(jià)于，構(gòu)造數(shù)列，利用作差法判斷數(shù)列的最值，即可求出實(shí)數(shù)的最小值．【解答】解：含的系數(shù)是，則，對任意的，，，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，則，故實(shí)數(shù)的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，不等式恒成立，數(shù)列的函數(shù)特征，屬于難題．二．解答題（共10小題）3．（2023春?泰興市月考）請從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面已知條件中的橫線上，并解答問題．①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是；②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比的絕對值為；③展開式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．已知在的展開式中，________．（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；（2）求展開式中的所有有理項(xiàng)．【分析】根據(jù)所選的項(xiàng)，結(jié)合所給條件分別有①，②，③根據(jù)有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求值，均為．（1）將代入二項(xiàng)式確定展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為0時(shí)求，進(jìn)而求出常數(shù)項(xiàng)；（2）將代入并寫出展開式通項(xiàng)，再根有偶數(shù)，從而可確定有理項(xiàng)．【解答】解：（1）由二項(xiàng)式知：展開式通項(xiàng)為，①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、，故，，又，解得．②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為，，則有，解得．③展開式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可知．展開式共有7項(xiàng)，從而可知．由上知：展開式通項(xiàng)為，當(dāng)，有時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．（2）由上知：展開項(xiàng)通項(xiàng)為，要求有理項(xiàng)，可知，2，4，6，有理項(xiàng)分別為，，60，．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理，屬于中檔題．4．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）已知．（1）設(shè)，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）化簡：；（3）證明：．【分析】（1）由，中含項(xiàng)的系數(shù)為：，利用組合數(shù)的性質(zhì)即可得出．（2）通項(xiàng)為，，兩邊求導(dǎo)可得：，令即可得出．（3）設(shè)．函數(shù)中含：項(xiàng)的系數(shù)為：．由．可得：．利用求和公式化為：，利用函數(shù)中含的系數(shù)即可得出．【解答】解：（1）由所以中含項(xiàng)的系數(shù)為：（3分）（2）通項(xiàng)為（5分），兩邊求導(dǎo)可得：，令得到，（10分）（3）設(shè)．①則函數(shù)中含：項(xiàng)的系數(shù)為：．．②①②可得：．即．化為：，函數(shù)中含的系數(shù)為：．．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、組合數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．5．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．（Ⅰ）求展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)；（Ⅱ）求展開式中的有理項(xiàng)．【分析】根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列計(jì)算，再根據(jù)通項(xiàng)得出答案；根據(jù)通項(xiàng)判斷的次數(shù)為整數(shù)時(shí)對應(yīng)的，得出對應(yīng)的項(xiàng)．【解答】解：的展開式的通項(xiàng)，展開式的前三項(xiàng)系數(shù)分別為1，，，，解得（舍或．令得．展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)為．，當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，．展開式中的有理項(xiàng)為，；．【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理，屬于中檔題．6．（2022?句容市校級開學(xué)）某學(xué)習(xí)小組有3個(gè)男生和4個(gè)女生共7人：（1）將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？（2）將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？（3）從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？（4）現(xiàn)有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有多少種？【分析】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將3個(gè)男生全排列，排好后有4個(gè)空位，②，將4名女生全排列，安排到4個(gè)空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，男生甲在最右邊，②，男生甲在不站最左邊也不在最右邊，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（4）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名女生全排列，排好后有5個(gè)空位，②，將3個(gè)空座位分成2、1的2組，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2組空座位，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將3個(gè)男生全排列，有種排法，排好后有4個(gè)空位，②，將4名女生全排列，安排到4個(gè)空位中，有種排法，則一共有種排法；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，男生甲在最右邊，有，②，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有，則有種排法；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有種選取方法，②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有種情況，則有種不同的安排方法；（4）根據(jù)題意，7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，還有3個(gè)空座位，分2步進(jìn)行分析：①，將4名女生全排列，有種情況，排好后有5個(gè)空位，②，將3個(gè)空座位分成2、1的2組，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2組空座位，有種情況，則有種排法．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意特殊問題的處理方法．7．（2022春?沛縣月考）在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品．產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí)，從100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？【分析】（1）由題意知從100件產(chǎn)品中抽3件，是一個(gè)組合問題，即是從100個(gè)產(chǎn)品中所出現(xiàn)的3個(gè)產(chǎn)品的組合，共有種結(jié)果（2）由題意知本題是一個(gè)組合問題，抽出的三件產(chǎn)品恰好有一件次品，則包括一件次品和兩件正品，共有種結(jié)果．（3）根據(jù)題意，“至少有1件次品”可分為“有1件次品”與“有2件次品”兩種情況，由組合數(shù)公式分別求得兩種情況下的抽法數(shù)，進(jìn)而相加可得答案．解法二：“至少有1件次品”的對立事件是“三件都是合格品”，用事件總數(shù)減去“三件都是合格品”的種數(shù)．【解答】解：（1）由題意知從100件產(chǎn)品中抽3件，是一個(gè)組合問題，即是從100個(gè)產(chǎn)品中所出現(xiàn)的3個(gè)產(chǎn)品的組合，共有（2）抽出的三件產(chǎn)品恰好有一件次品，則包括一件次品和兩件正品，共有種結(jié)果．（3）解法一：根據(jù)題意，“至少有1件次品”可分為“有1件次品”與“有2件次品”兩種情況，“有1件次品”的抽取方法有種，“有2件次品”的抽取方法有種，則共有種不同的抽取方法，解法二，“至少有1件次品”的對立事件是“三件都是合格品”“三件都是合格品”的抽取方法有種，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有答：（1）一共有161700種不同的抽法（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有9506種結(jié)果（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有9604種結(jié)果．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看清題目抽取的產(chǎn)品與順序無關(guān)，是一個(gè)組合問題，教材中出現(xiàn)過類似的問題，本題是一個(gè)中檔題目．8．（2022春?惠山區(qū)校級期中）已知的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)的系數(shù)的．（1）求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程組，求出的值，得到二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出它們的值．（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，列出不等式組，求出的值，代入二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【解答】解：（1）第項(xiàng)系數(shù)為，第項(xiàng)系數(shù)為，第項(xiàng)系數(shù)為依題意得到，即，解得，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)．所以，．（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得又因?yàn)?，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【點(diǎn)評】本題考查解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，應(yīng)該利用的工具是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．9．（2024春?淮安期中）某同學(xué)在研究二項(xiàng)式定理的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：，其中為的系數(shù)，它具有好多性質(zhì)，如：①；②；③；請借助于該同學(xué)的研究方法或者研究成果解決下列問題：（1）計(jì)算：；（請用數(shù)字作答）（2）若，且，證明：；（3）設(shè)數(shù)列，，，，是公差不為0的等差數(shù)列，證明：對任意的，函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用，結(jié)合組合數(shù)公式計(jì)算即得．（2）根據(jù)給定條件，利用變形等式左邊，再結(jié)合推理即得．（3）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用首項(xiàng)、公差表示并代入函數(shù)式，再分組求和并逆用二項(xiàng)式定理推理即得．【解答】解：（1）法一：原式；法二：原式．法三：，兩邊求導(dǎo)得：，令，得：．（2）證明：，而，所以，所以．所以，原命題成立．另法：，要證，只需證．設(shè)，由，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，即得證．所以，原命題成立．（3）證明：由條件，設(shè)等差數(shù)列，，，，的公差為，，則．因?yàn)椋詫θ我獾?，是關(guān)于的一次函數(shù)．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于難題．10．（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）（1）在集合，2，3，4，，中，選出三個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)，其中能被3整除的三位數(shù)有幾個(gè)？（2）在集合，2，3，4，，中，選出，，個(gè)不同的元素，共有種選法：若選出的元素中含有2，此時(shí)的選法總數(shù)記為：若選出的元素中不含有2，則選法總數(shù)記為．求出，，；猜想，，所滿足的等量關(guān)系并加以證明；（3）在集合，2，3，4，，中，任取，，個(gè)元素構(gòu)成集合，當(dāng)?shù)乃性刂蜑榕紨?shù)時(shí)，記滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為；當(dāng)?shù)乃性刂蜑槠鏀?shù)時(shí)，記滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為．求，并將結(jié)果化簡．【分析】（1）考慮3的倍數(shù)就是所選的三個(gè)數(shù)之和為3的倍數(shù)，用余數(shù)的方法將分為3類討論；（2）可以用組合數(shù)的方法證明；（3）將分為奇偶數(shù)，分別討論，再用二項(xiàng)式定理的方法計(jì)算．【解答】解：（1）考慮在集合中，被3除余數(shù)分別為1，2，0，將余數(shù)相同的數(shù)組成一個(gè)集合，分別為，4，，，5，，，6，，則所選的3個(gè)數(shù)有以下4種選法：全部從或或，或者從各選一個(gè)，從或或，每種有種排法，故有個(gè)數(shù)字，從各選一個(gè)有個(gè)數(shù)字，故共有180個(gè)數(shù)字；（2）由題意，，，，證明如下：；（3）將集合分為兩個(gè)子集，由偶數(shù)組成集合，和奇數(shù)組成的集合，即，4，6，，，，3，5，，，每個(gè)集合都有個(gè)元素，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，組成的方法有：從選0個(gè)，選個(gè)，從選2個(gè)，選個(gè)，從選4個(gè)從選個(gè)，，從選個(gè)，從選0個(gè)，即；組成的方法有：從選1個(gè)，從選個(gè)，從選3個(gè)，從選個(gè)，，從選個(gè)，從選1個(gè)，即；考察，其中的系數(shù)為：；同時(shí)，的系數(shù)為：，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，組成的方法有：從選1個(gè)，從選個(gè)，從選3個(gè)，從選個(gè)，，從選個(gè)，從選0個(gè)，即；組成的方法有，從選0個(gè)，從選個(gè)，從選2個(gè)，從選個(gè)，從選4個(gè)，從選個(gè)，，從選個(gè)，從選1個(gè)，即，顯然，即；．綜上，（1）共有180個(gè)數(shù)字，（2），證明見解析，（3）．【點(diǎn)評】本題考查了排列組合知識，分類情況較復(fù)雜，屬于難題．11．（2022春?灌南縣期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，記．（1）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，①求證：；②求證：是關(guān)于的一次多項(xiàng)式．【分析】（1）等比數(shù)列結(jié)合二項(xiàng)式定理可解決該問題；（2）①利用組合數(shù)公式解決；②利用二項(xiàng)式定理和①結(jié)論解決．【解答】解：（1）由題意，，，，；（2）①證明：；②證明：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，．則，由二項(xiàng)式定理知，．又，，所以，是關(guān)于的一次多項(xiàng)式．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理、等差等比數(shù)列、組合數(shù)公式、一次函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于難題．12．（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）在二項(xiàng)式的展開式中．（1）若展開式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；（2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【分析】（1）第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，由題意可得關(guān)于的方程，求出．而二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等；為偶數(shù)時(shí)，中間只有一項(xiàng)．（2）由展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，可得關(guān)于的方程，求出．而求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，可通過解不等式組求得，假設(shè)項(xiàng)的系數(shù)最大，項(xiàng)的系數(shù)為，則有【解答】解：（1），，或．當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是和，的系數(shù)，的系數(shù)．當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是．的系數(shù)．（2）由，可得，設(shè)項(xiàng)的系數(shù)最大．，，，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問題，難度較大，易出錯(cuò)．要正確區(qū)分這兩個(gè)概念．一．選擇題（共5小題）1．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種【分析】根據(jù)分層抽樣先進(jìn)行計(jì)算，然后利用組合公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，人數(shù)比例為，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查分層抽樣以及簡單的計(jì)數(shù)問題，利用組合公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【分析】根據(jù)排列組合數(shù)公式，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查排列組合問題，屬基礎(chǔ)題．3．（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是A． B．40 C． D．80【分析】首先找出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為1，找到的對應(yīng)值，