北師大版九年級數(shù)學下冊3.10圓中的計算與證明的綜合大題專項訓練(50道)同步練習(學生版+解析)

專題3.10圓中的計算與證明的綜合大題專項訓練（50道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了圓中的計算與證明的綜合問題的所有類型！一．解答題（共50小題）1．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如圖，D是⊙O弦BC的中點，A是⊙O上的一點，OA與BC交于點E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求線段OD的長；（2）當EO=2BE時，求DE2．（2022?市中區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長．3．（2022秋?岱岳區(qū)期末）已知⊙O的直徑為10，點A、點B、點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC、BD、CD的長；（2）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．4．（2022?濟寧）如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD．（1）求證：BD＝CD；（2）請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由．5．（2022秋?辛集市期末）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作CD∥AB交⊙O于點D，連接AD，延長CD至點F，使BF＝BC．（1）求證：BF∥AD；（2）如圖2，當CD為直徑，半徑為1時，求弧BD，線段BF，線段DF所圍成圖形的面積．6．（2022?鳳翔縣一模）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在⊙O上，點D，E分別在AB，AC的延長線上，DE⊥AE，垂足為E，CD與⊙O相切于點C．（1）求證：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的長．7．（2022秋?湛江校級月考）已知PA、PB分別切⊙O于A、B，E為劣弧AB上一點，過E點的切線交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周長．（2）若∠P＝50°求∠DOC．8．（2022秋?儀征市校級月考）如圖，⊙O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓．（1）正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的邊長之比為；（2）連接BE，BE是否為⊙O的內接正n邊形的一邊？如果是，求出n的值；如果不是，請說明理由．9．（2022?高唐縣二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠BAO＝30°，AC＝8．過點O作OH⊥AB于點H，以點O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）點P是BD上的一個動點（點P不與點B，D重合），當PH+PM的值最小時，求PD的長度．10．（2022?黔東南州模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，過O點作OE⊥AC，垂足為E．（1）求OE的長；（2）若OE的延長線交⊙O于點F，求弦AF、AC和弧CF圍成的圖形（陰影部分）的面積S．11．（2022秋?如東縣期末）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，∠DAB＝30°，AB＝43．（1）求CD的長；（2）求陰影部分的面積．12．（2022秋?松滋市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EO、FO，若DE＝43，∠DPA＝45°（1）求⊙O的半徑．（2）若圖中扇形OEF圍成一個圓錐側面，試求這個圓錐的底面圓的半徑．13．（2022?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD（1）求證：BD平分∠ABC；（2）當∠ODB＝30°時，求證：BC＝OD．14．（2022?本溪）如圖，△ABC中，AB＝AC，點E是線段BC延長線上一點，ED⊥AB，垂足為D，ED交線段AC于點F，點O在線段EF上，⊙O經過C、E兩點，交ED于點G．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半徑．15．（2022?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．（1）求點D沿三條弧運動到點G所經過的路線長；（2）判斷直線GB與DF的位置關系，并說明理由．16．（2022?涼山州二模）如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，且∠BAC＝20°，AD=CD，求：∠17．（2022?白云區(qū)一模）如圖，⊙O的半徑OA⊥OC，點D在AC上，且AD=2CD，OA（1）∠COD＝°；（2）求弦AD的長；（3）P是半徑OC上一動點，連接AP、PD，請求出AP+PD的最小值，并說明理由．（解答上面各題時，請按題意，自行補足圖形）18．（2022?西湖區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的長．19．（2022?武昌區(qū)校級自主招生）如圖，已知⊙O的直徑為10，點A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（1）圖①，當BC為⊙O的直徑時，求BD的長．（2）圖②，當BD＝5時，求∠CDB的度數(shù)．20．（2022?東莞市校級模擬）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．（1）當∠E＝∠F時，則∠ADC＝°；（2）當∠A＝55°，∠E＝30°時，求∠F的度數(shù)；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。?1．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圓的切線，D為AB上的點，且AD＝AC＝AE．求證：直線DE過△ABC的內心．22．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，圖1、圖2、圖3、…、圖n分別是⊙O的內接正三角形ABC，正四邊形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCD…，點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動．（1）求圖1中∠APN的度數(shù)是；圖2中，∠APN的度數(shù)是，圖3中∠APN的度數(shù)是．（2）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關系（直接寫答案）．23．（2022?溫州一模）如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點，BO的延長線交⊙O于E，AE=CE，過點C作CD∥AB交BE的延長線于D，AD交⊙O于點（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）連接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF的長．24．（2022?岳麓區(qū)校級一模）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．（1）求證：AD＝AN；（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半徑．25．（2022?普陀區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，AD、BC相交于點E，OE平分∠AEC．（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的長．26．（2022?烏魯木齊一模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的長；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求證：PD是⊙O的切線．27．（2022?饒平縣校級模擬）如圖，⊙O中，弦CD與直徑AB交于點H．（1）當∠B+∠D＝90°時，求證：H是CD的中點；（2）若H為CD的中點，且CD＝22，BD=3，求AB28．（2022?蘇州模擬）如圖，點A和動點P在直線l上，點P關于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側，PC＝4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=32CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設AQ（1）用關于x的代數(shù)式表示BQ＝，DF＝．（2）當點P在點A右側時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．（3）當點P在點A右側時，作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為1，求AP的長．29．（2022?福建模擬）如圖1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點B作BE⊥AC，交⊙O于點D，垂足為E，連接AD．（1）求證：∠BAC＝2∠CAD；（2）如圖2，連接CD，點F在線段BD上，且DF＝2DC，G是BC的中點，連接FG，若FG＝2，CD＝22，求⊙O的半徑．30．（2022?蘇州模擬）如圖，已知點D是△ABC外接圓⊙O上的一點，AC⊥BD于G，連接AD，過點B作直線BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若點F是弧CD的中點，連接OG，OD，CD（1）求證：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG=62GE，試探究∠GOD與∠31．（2022?萊蕪）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC＝BC，D為⊙O中AB上一點，延長DA至點E，使CE＝CD．（1）求證：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD=2CD32．（2022?三明）如圖①，②，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，0），以點A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，OC為弦，∠AOC＝60°，P是x軸上的一動點，連接CP．（1）求∠OAC的度數(shù)；（2）如圖①，當CP與⊙A相切時，求PO的長；（3）如圖②，當點P在直徑OB上時，CP的延長線與⊙A相交于點Q，問PO為何值時，△OCQ是等腰三角形？33．（2022?昆明）（1）如圖（1），OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C是OB延長線上任意一點，過點C作CD切⊙O于點D，連接AD交OC于點E．求證：CD＝CE；（2）若將圖（2）中的半徑OB所在直線向上平行移動交OA于F，交⊙O于B′，其他條件不變，那么上述結論CD＝CE還成立嗎？為什么？（3）若將圖（3）中的半徑OB所在直線向上平行移動到⊙O外的CF，點E是DA的延長線與CF的交點，其他條件不變，那么上述結論CD＝CE還成立嗎？為什么？34．（2022?襄城區(qū)模擬）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連接AD．（1）求證：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半徑．35．（2022?臺州校級模擬）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面．（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．（3）在（2）的條件下，小明把一只寬12cm的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13cm，問此小船能順利通過這個管道嗎？36．（2022?泰州模擬）如圖，BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC，垂足為H，已知AD＝8，OH＝3．（1）求⊙O的半徑；（2）若E是弦AD上的一點，且∠EBA＝∠EAB，求線段BE的長．37．（2022?河北）圖1是某學校存放學生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是車棚頂部截面的示意圖，AB所在圓的圓心為O．車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e．（不考慮接縫等因素，計算結果保留π）38．（2022?咸寧模擬）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥AB于點E，則AE＝BE．請證明此結論；（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE＝PE+PB．可以通過延長DB、AP相交于點F，再連接AD證明結論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，PA．PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關系？寫出結論，不必證明．39．（2022?南開區(qū)一模）已知：如圖1，在⊙O中，直徑AB＝4，CD＝2，直線AD，BC相交于點E．（1）∠E的度數(shù)為；（2）如圖2，AB與CD交于點F，請補全圖形并求∠E的度數(shù)；（3）如圖3，弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數(shù)．40．（2022?安徽一模）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．（2）證明：PA+PB＝PC．41．（2022?和平區(qū)一模）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連接DE，OD．（Ⅰ）如圖①，求∠ODE的大??；（Ⅱ）如圖②，連接OC交DE于點F，若OF＝CF，求∠A的大?。?2．（2022?和平區(qū)二模）已知AB是⊙O的直徑，AB＝2，點C，點D在⊙O上，CD＝1，直線AD，BC交于點E．（Ⅰ）如圖1，若點E在⊙O外，求∠AEB的度數(shù)．（Ⅱ）如圖2，若點E在⊙O內，求∠AEB的度數(shù)．43．（2022?南開區(qū)二模）如圖，⊙O的直徑AB的長為2，點C在圓周上，∠CAB＝30°，點D是圓上一動點，DE∥AB交CA的延長線于點E，連接CD，交AB于點F．（Ⅰ）如圖1，當∠ACD＝45°時，請你判斷DE與⊙O的位置關系并加以證明；（Ⅱ）如圖2，當點F是CD的中點時，求△CDE的面積．44．（2022?紅橋區(qū)二模）已知⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，與CO的延長線于點P，CP與⊙O交于點D．（1）如圖①，若AP＝AC，求∠B的大??；（2）如圖②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大?。?5．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D在邊AC上，圓O為銳角△BCD的外接圓，連結CO并延長交AB于點E．（1）若∠DBC＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠DCE；（2）如圖2，作BF⊥AC，垂足為F，BF與CE交于點G，已知∠ABD＝∠CBF．①求證：EB＝EG；②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．46．（2022秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是AB上任一點（點P與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．（1）求∠APC和∠BPC的度數(shù)；（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；（4）在（3）的條件下，求AB的長度．47．（2022秋?贛榆區(qū)期中）鐵匠王老五要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設計了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調整了扇形和圓的半徑，設計了如圖所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）請你幫助他算一算．（1）請說明方案一不可行的理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長l及其底面圓半徑r；若不可行，請說明理由．48．（2022?浙江校級自主招生）如圖，已知圓O的圓心為O，半徑為3，點M為圓O內的一個定點，OM=5，AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1）當AB＝4時，求四邊形ADBC的面積；（2）當AB變化時，求四邊形ADBC的面積的最大值．49．（2022?浙江校級自主招生）如圖，O為等邊△ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧AB上運動（不與點A，B重合），連接DA，DB，DC．若點M，N分別在線段CA，CB上運動（不含端點），經過探究發(fā)現(xiàn)，點D運動到每一個確定的位置，△DMN的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值．50．（2022?棗莊校級模擬）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．專題3.10圓中的計算與證明的綜合大題專項訓練（50道）【北師大版】考卷信息：本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了圓中的計算與證明的綜合問題的所有類型！一．解答題（共50小題）1．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如圖，D是⊙O弦BC的中點，A是⊙O上的一點，OA與BC交于點E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求線段OD的長；（2）當EO=2BE時，求DE【分析】（1）連接OB，先根據垂徑定理得出OD⊥BC，BD=12BC，在Rt△（2）在Rt△EOD中，設BE＝x，則OE=2x，DE＝6﹣x【解答】解：（1）連接OB．∵OD過圓心，且D是弦BC中點，∴OD⊥BC，BD=12在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．∵BO＝AO＝8，BD＝6．∴OD＝27；（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．設BE＝x，則OE=2x，DE＝6﹣x（27）2+（6﹣x）2＝（2x）2，解得x1＝﹣16（舍），x2＝4．則DE＝2．2．（2022?市中區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長．【分析】（1）要證明CF＝BF，可以證明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直徑，則∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，則∠CEB＝90°，則∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，則∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的長，即可求得圓的半徑；再利用面積法求得CE的長．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是BD的中點，∴CD=∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵BC=∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB=B∴⊙O的半徑為5，∵S△ABC=12AB?CE=12∴CE=BC?AC3．（2022秋?岱岳區(qū)期末）已知⊙O的直徑為10，點A、點B、點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC、BD、CD的長；（2）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．【分析】（1）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD＝CD＝52；（2）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD＝OB＝OD＝5．【解答】解：（1）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC=B∵AD平分∠CAB，∴CD=∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝52；（2）如圖②，連接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB=12∠∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直徑為10，則OB＝5，∴BD＝5．4．（2022?濟寧）如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD．（1）求證：BD＝CD；（2）請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由．【分析】（1）利用等弧對等弦即可證明．（2）利用等弧所對的圓周角相等，∠BAD＝∠CBD再等量代換得出∠DBE＝∠DEB，從而證明DB＝DE＝DC，所以B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．【解答】（1）證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，∴由垂徑定理得：BD∴根據圓心角、弧、弦之間的關系得：BD＝CD．（2）解：B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．理由：由（1）知：BD=∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠4＝∠5，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE．由（1）知：BD＝CD∴DB＝DE＝DC．∴B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．5．（2022秋?辛集市期末）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作CD∥AB交⊙O于點D，連接AD，延長CD至點F，使BF＝BC．（1）求證：BF∥AD；（2）如圖2，當CD為直徑，半徑為1時，求弧BD，線段BF，線段DF所圍成圖形的面積．【分析】（1）根據等腰三角形的性質和平行線的性質可得∠ADC＝∠DCB，進而可以解決問題；（2）連接OA，OB，由（1）得∠ACB＝∠BCD＝∠ADC，所以AC=AB=BD，可得△AOC和△AOB是等邊三角形，可以求出BF的長，進而可得S△OBF和【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠DCB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCB，∵BF＝BC∴∠F＝∠BCD，∴∠F＝∠ADC，∴BF∥AD；（2）解：連接OA，OB，∵CD為直徑，半徑為1，∴CD＝2，OD＝OB＝OA＝OC＝1，由（1）知：∠ACB＝∠BCD＝∠ADC，∴AC=∴∠AOC＝∠AOB＝∠BOD＝60°，∴△AOC和△AOB是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠F＝30°，∴∠FBO＝90°，OB＝1，∴BF=3弧BD，線段BF，線段DF所圍成圖形的面積為：S△OBF﹣S扇形OBD=12×OB?6．（2022?鳳翔縣一模）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在⊙O上，點D，E分別在AB，AC的延長線上，DE⊥AE，垂足為E，CD與⊙O相切于點C．（1）求證：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的長．【分析】（1）連接OC，根據三角形的內角和得到∠EDC+∠ECD＝90°，根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠ACO，得到∠OCD＝90°，于是得到結論；（2）根據已知條件得到OC＝OB=12【解答】（1）證明：連接OC，∵CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO+∠DCE＝90°，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠EDC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠CDE．（2）解：∵AB＝4，BD＝3，∴OC=OB=1∴OD＝2+3＝5，∴CD=O7．（2022秋?湛江校級月考）已知PA、PB分別切⊙O于A、B，E為劣弧AB上一點，過E點的切線交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周長．（2）若∠P＝50°求∠DOC．【分析】（1）根據切線長定理得到PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，根據三角形的周長公式計算即可；（2）證明Rt△AOC≌Rt△EOC，得到∠AOC＝∠COE和∠DOE＝∠BOD，計算即可．【解答】解：（1）連接OE，∵PA、PB與圓O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周長＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；（2）∵PAPB與圓O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，OA=OEOC=OC∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD=12∠8．（2022秋?儀征市校級月考）如圖，⊙O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓．（1）正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的邊長之比為2：1；（2）連接BE，BE是否為⊙O的內接正n邊形的一邊？如果是，求出n的值；如果不是，請說明理由．【分析】（1）計算出在半徑為R的圓中，內接正方形和內接正六邊形的邊長即可求出；（2）首先求得∠EOB的度數(shù)，然后利用360°除以∠EOB度數(shù)，若所得的結果是整數(shù)的即可．【解答】解：（1）設此圓的半徑為R，則它的內接正方形的邊長為2R，它的內接正六邊形的邊長為R，內接正方形和內接正六邊形的邊長比為2R：R=2故答案為：2：1；（2）BE是⊙O的內接正十二邊形的一邊，理由：連接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB＝90°，在正六邊形AEFCGH中，∠AOE＝60°，∴∠BOE＝30°，∵n=360°∴BE是正十二邊形的邊．9．（2022?高唐縣二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠BAO＝30°，AC＝8．過點O作OH⊥AB于點H，以點O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）點P是BD上的一個動點（點P不與點B，D重合），當PH+PM的值最小時，求PD的長度．【分析】（1）解直角三角形求出AH，OH，根據S陰＝S△AOH﹣S扇形OMH，求解即可．（2）作點M關于BD的對稱點M′，連接HM′交BD于P，連接PM，連接PM，此時PH+PM的值最小，解直角三角形求出OP，OD即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，∵OH⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOH＝60°，OH=12OA＝2，AH=3OH∴S陰＝S△AOH﹣S扇形OMH=12×2×23?（2）作點M關于BD的對稱點M′，連接HM′交BD于P，連接PM，此時PH+PM的值最?。逴H＝OM′，∴∠OHM′＝∠OM′H，∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，設OP＝m，則PM＝2m，∵PM2＝OM2+OP2，∴4m2＝m2+22，∴m=2∴PD＝OD+OP=43310．（2022?黔東南州模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，過O點作OE⊥AC，垂足為E．（1）求OE的長；（2）若OE的延長線交⊙O于點F，求弦AF、AC和弧CF圍成的圖形（陰影部分）的面積S．【分析】（1）根據∠D＝60°，可得出∠B＝60°，繼而求出BC，判斷出OE是△ABC的中位線，就可得出OE的長；（2）連接OC，將陰影部分的面積轉化為扇形FOC的面積．【解答】解：（1）∵∠D＝60°，∴∠B＝60°（圓周角定理），又∵AB＝6，∴BC＝3，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OE⊥AC，∴OE∥BC，又∵點O是AB中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE=12BC（2）連接OC，則易得△COE≌△AFE，故陰影部分的面積＝扇形FOC的面積，S扇形FOC=60π×3即可得陰影部分的面積為32π11．（2022秋?如東縣期末）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，∠DAB＝30°，AB＝43．（1）求CD的長；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）根據垂徑定理和題意，可以求得AD和DE的長，再根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得到OD的長，從而可以求得CD的長；（2）根據圖形可知△OBE和△OAE全等，陰影部分的面積等于扇形AOD的面積，本題得以解決．【解答】解：（1）連接OA，∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，∠DAB＝30°，AB＝43，∴AE＝23，∠AED＝90°，∴ED＝2，AD＝4，∠ODA＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等邊三角形，∴OD＝AD＝4，∴CD＝2OD＝8；（2）∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，∠DAB＝30°，AB＝43，∴OA＝OB，AE＝BE，OE＝OE，∴△OEA≌△OEB，∴陰影部分的面積是：60×π×412．（2022秋?松滋市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EO、FO，若DE＝43，∠DPA＝45°（1）求⊙O的半徑．（2）若圖中扇形OEF圍成一個圓錐側面，試求這個圓錐的底面圓的半徑．【分析】（1）利用垂徑定理得到CE＝DC=12DE＝23，OC=12OE，則∠（2）利用圓周角定理得到∠EOF＝2∠D＝90°，設這個圓錐的底面圓的半徑為r，利用弧長公式得到2πr=90?π?4180，然后解關于【解答】解：（1）∵弦DE垂直平分半徑OA，∴CE＝DC=12DE＝23，OC=∴∠OEC＝30°，∴OC=CE∴OE＝2OC＝4，即⊙O的半徑為4；（2）∵∠DPA＝45°，∴∠D＝45°，∴∠EOF＝2∠D＝90°，設這個圓錐的底面圓的半徑為r，∴2πr=90?π?4180，解得即這個圓錐的底面圓的半徑為1．13．（2022?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD（1）求證：BD平分∠ABC；（2）當∠ODB＝30°時，求證：BC＝OD．【分析】（1）由OD⊥ACOD為半徑，根據垂徑定理，即可得CD=AD，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠（2）首先由OB＝OD，易求得∠AOD的度數(shù)，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，可得∠ACB＝90°，繼而可證得BC＝OD．【解答】證明：（1）∵OD⊥ACOD為半徑，∴CD=∴∠CBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠0DB＝30°，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝30°+30°＝60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°，∴∠A＝180°﹣∠OEA﹣∠AOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC=12∵OD=12∴BC＝OD．14．（2022?本溪）如圖，△ABC中，AB＝AC，點E是線段BC延長線上一點，ED⊥AB，垂足為D，ED交線段AC于點F，點O在線段EF上，⊙O經過C、E兩點，交ED于點G．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠ACB，∠OCE＝∠E，推出∠ACO＝90°，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據已知條件得到∠CFO＝30°，解直角三角形得到DF=3AD=3，EF＝3OE【解答】（1）證明：連接CO，如圖：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠E，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠B+∠E＝90°，∴∠ACB+∠OCE＝90°，∴∠ACO＝90°，∴AC⊥OC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵∠E＝30°，∴∠OCE＝30°，∴∠FCE＝120°，∴∠CFO＝30°，∴∠AFD＝∠CFO＝30°，∴DF=3∵BD＝5，∴DE＝53，∵OF＝2OC，∴EF＝3OE＝43，∴OE=4即⊙O的半徑=415．（2022?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．（1）求點D沿三條弧運動到點G所經過的路線長；（2）判斷直線GB與DF的位置關系，并說明理由．【分析】（1）根據弧長的計算公式，代入運算即可．（2）先證明△FCD≌△GCB，得出∠G＝∠F，從而利用等量代換可得出∠GHD＝90°，即GB⊥DF．【解答】解：（1）根據弧長公式得所求路線長為：90π×1180+90π×2（2）GB⊥DF．理由如下：在△FCD和△GCB中，∵CF=CG∠FCD=∠GCB∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠F+∠FDC＝90°，∴∠G+∠FDC＝90°，∴∠GHD＝90°，∴GB⊥DF．16．（2022?涼山州二模）如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，且∠BAC＝20°，AD=CD，求：∠【分析】連接BC，如圖，根據圓周角定理得∠ACB＝90°，則利用互余可計算出∠B＝70°，再根據圓內接四邊形的性質計算出∠D＝180°﹣∠B＝110°，接著根據圓周角定理和三角形內角和定理，由弧AD＝弧CD得到∠DAC＝∠DCA＝35°，然后得到∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝125°．【解答】解：∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠B＝70°，∵四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，∵AD=∴∠DAC＝∠DCA=1∴∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝125°．17．（2022?白云區(qū)一模）如圖，⊙O的半徑OA⊥OC，點D在AC上，且AD=2CD，OA（1）∠COD＝30°；（2）求弦AD的長；（3）P是半徑OC上一動點，連接AP、PD，請求出AP+PD的最小值，并說明理由．（解答上面各題時，請按題意，自行補足圖形）【分析】（1）根據垂直的定義得到∠AOC＝90°，由已知條件得到∠AOD＝2∠COD，即可得到結論；（2）連接OD、AD，如圖1所示：由（1）知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，推出△AOD為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到；（3）過點D作DE⊥OC，交⊙O于點E，連接AE，交OC于點P，則此時，AP+PD的值最小，延長AO交⊙O于點B，連接BE，得到AP+PD最小值＝AP+PE＝AE，根據圓周角定理得到∠AED=12∠AOD＝30°，根據平行線的性質得到∠OAE＝∠AED＝30°，由于AB為直徑，得到△【解答】解：（1）∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵AD=2CD∴∠AOD＝2∠COD，∴∠COD=13∠故答案為：30；（2）連接OD、AD，如圖1所示：由（1）知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD為等邊三角形，∴AD＝OA＝4；（3）過點D作DE⊥OC，交⊙O于點E，連接AE，交OC于點P，則此時，AP+PD的值最小，延長AO交⊙O于點B，連接BE，如圖2所示：∵根據圓的對稱性，點E是點D關于OC的對稱點，OC是DE的垂直平分線，即PD＝PE，∴AP+PD最小值＝AP+PE＝AE，∵∠AED=12∠又∵OA⊥OC，DE⊥OC，∴OA∥DE，∴∠OAE＝∠AED＝30°，∵AB為直徑，∴△ABE為直角三角形，由AEAB=cos∠BAE，AE＝AB?cos30°＝2×4即AP+PD=4318．（2022?西湖區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的長．【分析】（1）首先延長CE交⊙O于點P，由垂徑定理可證得∠BCP＝∠BDC，又由C是BD的中點，易證得∠BDC＝∠CBD，繼而可證得CF＝BF；（2）根據勾股定理得到AB＝10，根據射影定理得到BE=BC2AB=3.6，根據三角形的面積公式得到CE=AC?BCAB=4.8，設CF＝x，則【解答】（1）證明：延長CE交⊙O于點P，∵CE⊥AB，∴BC=∴∠BCP＝∠BDC，∵C是BD的中點，∴CD＝CB，∴∠BDC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BCP，∴CF＝BF；（2）∵CD＝6，AC＝8，∴AB＝10，∴BE=B∴CE=AC?BCAB=4.8，設CF＝x，則FE＝4.8﹣x，BF∴（4.8﹣x）2+3.62＝x2，∴x=1519．（2022?武昌區(qū)校級自主招生）如圖，已知⊙O的直徑為10，點A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（1）圖①，當BC為⊙O的直徑時，求BD的長．（2）圖②，當BD＝5時，求∠CDB的度數(shù)．【分析】（1）只要證明△BCD是等腰直角三角形即可解決問題；（2）首先證明△OBD是等邊三角形，推出∠BOD＝60°，由CD=DB，推出∠CAD＝∠BAD＝30°，推出∠【解答】解：（1）如圖1中，連接CD．∵BC為⊙O直徑，∴∠CDB＝90°，∴∠CAB＝90°，∵AD是∠CAB的角平分線，∴∠DAB=1∴∠DCB＝∠DAB＝45°∴△CDB為等腰直角三角形，∵BC＝10，∴BD=52（2）連接OD、OB，∵⊙O直徑為10，∴OB＝OD＝5，∴BD＝5，∴OB＝OD＝BD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵CD=∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠BAC＝60°，∵四邊形CABD是圓內接四邊形，∴∠CDB+∠BAC＝180°，∴∠CDB＝120°．20．（2022?東莞市校級模擬）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．（1）當∠E＝∠F時，則∠ADC＝90°；（2）當∠A＝55°，∠E＝30°時，求∠F的度數(shù)；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。痉治觥浚?）由∠E＝∠F，易得∠ADC＝∠ABC，又由圓的內接四邊形的性質，即可求得答案；（2）由∠A＝55°，∠E＝30°，首先可求得∠ABC的度數(shù)，繼而利用圓的內接四邊形的性質，求得∠ADC的度數(shù)，則可求得答案；（3）由三角形的內角和定理與圓的內接四邊形的性質，即可求得180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，繼而求得答案．【解答】解：（1）∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝90°．故答案為：90°；（2）∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝95°，∴∠ADF＝180°﹣∠ABE＝85°，∴在△ADF中，∠F＝180°﹣∠ADF﹣∠A＝40°；（3）∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠E，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，∴2∠A+∠E+∠F＝180°，∴∠A＝90°?∠E+∠F2=21．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圓的切線，D為AB上的點，且AD＝AC＝AE．求證：直線DE過△ABC的內心．【分析】設∠ACB的平分線與DE交于I，連接AI、CE，然后利用弦切角的性質得到∠ACB＝2∠AED，接著得到∠ACI＝∠AED，最后利用等腰三角形的性質解決問題．【解答】證明：設∠ACB的平分線與DE交于I，連接AI、CE，∵AE是△ABC外接圓的切線，∴∠ACB＝∠FAB＝180°﹣∠DAE，又AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ACB＝180°﹣∠DAE＝∠ADE+∠AED＝2∠AED，∴∠ACI=12∠ACB＝∠∴A、E、I、C四點共圓，∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠IAC＝∠IEC＝∠AEC﹣∠AED=180°?∠CAE2?180°?∠DAE2=12（∠∴AI為∠BAC的平分線，∴直線DE過△ABC的內心．22．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，圖1、圖2、圖3、…、圖n分別是⊙O的內接正三角形ABC，正四邊形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCD…，點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動．（1）求圖1中∠APN的度數(shù)是60°；圖2中，∠APN的度數(shù)是90°，圖3中∠APN的度數(shù)是108°．（2）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關系（直接寫答案）(n?2)?180°n【分析】根據對頂角相等和三角形內角和外角的關系解答即可．【解答】解：（1）圖1：∵點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動，∴∠BAM＝∠CBN，又∵∠APN＝∠BPM，∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；同理可得：在圖2中，∠APN＝90°；在圖3中，∠APN＝108°．（2）由（1）可知，∠APN＝所在多邊形的內角度數(shù)，故在圖n中，(n?2)180°n23．（2022?溫州一模）如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點，BO的延長線交⊙O于E，AE=CE，過點C作CD∥AB交BE的延長線于D，AD交⊙O于點（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）連接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF的長．【分析】（1）先根據圓的性質得：∠CBD＝∠ABD，由平行線的性質得：∠ABD＝∠CDB，根據直徑和等式的性質得：AB=BC，由一組對邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝（2）先設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，根據∠ABC+∠BAD＝180°，列方程得：4x+2x+12（180﹣3x）＝180，求出x的值，接著求【解答】（1）證明：∵AE=∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直徑，∴AB=∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA=12（180﹣3∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+12（180﹣3x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OF＝AF＝3，∴CF的長=100π×324．（2022?岳麓區(qū)校級一模）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．（1）求證：AD＝AN；（2）若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半徑．【分析】（1）先根據圓周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性質得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出結論；（2）先根據垂徑定理求出AE的長，設NE＝x，則OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1連接AO，則AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根據勾股定理可得出x的值，進而得出結論．【解答】（1）證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE與△ADE中，∵∠BAM=∠BADAE=AE∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝42，AE⊥CD，∴AE＝22，又∵ON＝1，∴設NE＝x，則OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1連接AO，則AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（22）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．25．（2022?普陀區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，AD、BC相交于點E，OE平分∠AEC．（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的長．【分析】（1）過點O作OM⊥AD，ON⊥BC，從而得出OM＝ON，根據垂徑定理可得出AD=BC，然后可得（2）先判斷OM＝ME，然后利用勾股定理得出AM的方程，解出后，根據AD＝2AM，即可得出答案．【解答】證明：（1）過點O作OM⊥AD，ON⊥BC，∵OE平分∠AEC，∴OM＝ON，∴AD=BC，AD?∴AB＝CD．（2）∵OM⊥AD，∴AM＝DM，∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，∴∠OEM＝45°，∴∠MOE＝45°，∴∠OEM＝∠EOM，∴OM＝ME，在Rt△AOM中，OA2＝OM2+AM2，即25＝（AM﹣1）2+AM2，解得：AM＝4或AM＝﹣3（舍去）故AD的長為8．26．（2022?烏魯木齊一模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的長；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求證：PD是⊙O的切線．【分析】（1）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，于是得到∠COD＝90°，根據弧長公式即可得到結論；（2）由已知條件得到∠BOC＝∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD＝45°，根據等腰三角形的性質得到∠ODA＝∠OAD，求得∠ADP=12CAD＝22.5°，得到∠ODP＝∠ODA+∠【解答】解：（1）連接OC，OD，∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∴∠COD＝90°，∵AB＝4，∴OC=12∴CD的長=90180×π（2）∵BC=∴∠BOC＝∠AOD，∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝45°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∴∠ODA＝67.5°，∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD，∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∴∠ADP=12∠∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∴PD是⊙O的切線．27．（2022?饒平縣校級模擬）如圖，⊙O中，弦CD與直徑AB交于點H．（1）當∠B+∠D＝90°時，求證：H是CD的中點；（2）若H為CD的中點，且CD＝22，BD=3，求AB【分析】（1）根據三角形內角和定理求出∠BHD＝90°，根據垂徑定理得出即可；（2）根據垂徑定理求出DH，根據勾股定理求出BH，根據勾股定理得出關于R的方程，求出R即可．【解答】（1）證明：∵∠B+∠D＝90°，∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，即AB⊥CD，∵AB過O，∴CH＝DH，即H是CD的中點；（2）解：連接OD，∵H為CD的中點，CD＝22，AB過O，∴DH＝CH=12CD=2，AB∴∠BHD＝90°，由勾股定理得：BH=B設⊙O的半徑為R，則AB＝2R，OB＝OD＝R，在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，即（R﹣1）2+（2）2＝R2，解得：R=3∴AB＝2×328．（2022?蘇州模擬）如圖，點A和動點P在直線l上，點P關于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側，PC＝4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=32CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設AQ（1）用關于x的代數(shù)式表示BQ＝5x，DF＝3x．（2）當點P在點A右側時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．（3）當點P在點A右側時，作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為1，求AP的長．【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位線的性質得AH＝BH=12AB，求得CD，（2）利用（1）的結論，易得CQ的長，作OM⊥AQ于點M，則OM∥AB，由垂徑定理得QM＝AM=32x，由矩形性質得OD＝MC，利用矩形面積，求得（3）連接NQ，由點O到BN的弦心距為1，得NQ＝2，過點B作BM⊥EG于點M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP．【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，∴AB＝4x，∴BQ＝5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB＝OQ，∴AH＝BH=12AB＝2∴CD＝2x，∴FD=32CD＝3故答案為：5x，3x；（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，∴CQ＝6x+4，作OM⊥AQ于點M，如圖1，∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圓，∠BAQ＝90°，∴點O是BQ的中點，∴QM＝AM=3∴OD＝MC=92∴OE=12BQ=∴ED＝2x+4，S矩形DEGF＝DF?DE＝3x（2x+4）＝90，解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，∴AP＝3x＝9；（3）連接NQ，由點O到BN的弦心距為1，得NQ＝2，如圖2，過點B作BM⊥EG于點M，∵GM＝x，BM＝x∴∠GBM＝45°，∴BM∥AQ，∴AI＝AB＝4x，∴IQ＝x，∴NQ=x∴x＝22，∴AP＝62．29．（2022?福建模擬）如圖1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點B作BE⊥AC，交⊙O于點D，垂足為E，連接AD．（1）求證：∠BAC＝2∠CAD；（2）如圖2，連接CD，點F在線段BD上，且DF＝2DC，G是BC的中點，連接FG，若FG＝2，CD＝22，求⊙O的半徑．【分析】（1）作AH⊥BC于H，根據題意易求得∠BAC＝2∠CAH，利用角的關系和圓周角定理可求得∠CAH＝∠CAD，即可求解；（2）連接GC并延長交AD延長線于點H，連接DG，BG，AG，根據圓周角定理可求得AG垂直平分BC，再求證四邊形GHDF為平行四邊形，設半徑為r，則AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，根據勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC+∠C＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAH，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠CAH，∵CD=∴∠CAD＝∠CBE，∴∠CAH＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：如圖，連接GC并延長交AD延長線于點H，連接DG，BG，AG，∵G是BC的中點，∴GB=∴GB＝GC，∠BAG＝∠CAG，∴∠CAG＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG為直徑，∴∠ADG＝∠ACG＝90°，∴∠GDH＝∠ACH＝90°，∵∠AGC+∠CAG＝90°，∠AHC+∠CAH＝90°，∴∠AGC＝∠AHC，∴AG＝AH，∴CG＝CH，在Rt△GDH中，DC＝CG＝CH，即GH＝2DC＝DF，∵∠AEB＝90°＝∠ACG，∴BD∥GH，∴四邊形GHDF為平行四邊形，∴DH＝FG＝2，設半徑為r，則AH＝AG＝2r，AD＝2r﹣2，在Rt△AGD中，DG2＝AG2﹣AD2＝（2r）2﹣（2r﹣2）2＝8r﹣4，在Rt△GDH中，GH＝DF＝2CD＝42，∴DG2＝GH2﹣DH2＝32﹣4＝28，∴8r﹣4＝28，解得r＝4，∴⊙O的半徑為4．30．（2022?蘇州模擬）如圖，已知點D是△ABC外接圓⊙O上的一點，AC⊥BD于G，連接AD，過點B作直線BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若點F是弧CD的中點，連接OG，OD，CD（1）求證：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG=62GE，試探究∠GOD與∠【分析】（1）根據平行線性質及圓周角性質直接得出結論．（2）作OM⊥DC于點M，連接OC．先證明∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根據AG與GE的關系推出DG＝OD，然后可得出結論．【解答】（1）證明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD與∠ADC之間的數(shù)量關系為：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于點M，連接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F為CD中點，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，設GE＝x，則AG=62∴DG=322x，BG＝√3x，GC＝3x，DC=362x，DM=∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．31．（2022?萊蕪）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC＝BC，D為⊙O中AB上一點，延長DA至點E，使CE＝CD．（1）求證：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD=2CD【分析】（1）先證出△AEC≌△BDC，只要再找一對角相等就可以了，利用邊相等，可得∠CAB＝∠CBA，∠CEA＝∠CDE，而∠CAB＝∠CDB＝∠CDE，故∠CEA＝∠CDB，（CE＝CD，∠CAE＝∠CBD）再利用SAS可證出△AEC≌△BDC．（2）利用（1）中的全等，可得，AE＝BD，∠ECA＝∠DCB，那么就有∠ECD＝∠ECA+∠ACD＝90°，根據勾股定理得DE=2CD，而DE＝AD+AE＝AD+BG，所以有AD+BD=【解答】證明：（1）∵△ABC是⊙O的內接三角形，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED；又∵∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠BAC＝∠CDE＝∠CED，（同弧上的圓周角相等）∴∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，在△AEC和△BDC中，AC=∴△AEC≌△BDC（SAS），∴AE＝BD．（2）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°；又∵CD＝CE，∴△DCE為等腰直角三角形，∴DE=2又∵DE＝AD+AE且AE＝BD，∴AD+BD=232．（2022?三明）如圖①，②，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，0），以點A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，OC為弦，∠AOC＝60°，P是x軸上的一動點，連接CP．（1）求∠OAC的度數(shù)；（2）如圖①，當CP與⊙A相切時，求PO的長；（3）如圖②，當點P在直徑OB上時，CP的延長線與⊙A相交于點Q，問PO為何值時，△OCQ是等腰三角形？【分析】（1）OA＝AC首先三角形OAC是個等腰三角形，因為∠AOC＝60°，三角形AOC是個等邊三角形，因此∠OAC＝60°；（2）如果PC與圓A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度數(shù)，有A點的坐標也就有了AC的長，可根據余弦函數(shù)求出PA的長，然后由PO＝PA﹣OA得出OP的值．（3）本題分兩種情況：①以O為頂點，OC，OQ為腰．那么可過C作x軸的垂線，交圓于Q，此時三角形OCQ就是此類情況所說的等腰三角形；那么此時PO可在直角三角形OCP中，根據∠COA的度數(shù)，和OC即半徑的長求出PO．②以Q為頂點，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過圓心，如果設垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOQ中根據∠QAE的度數(shù)和半徑的長求出Q的坐標；然后用待定系數(shù)法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點，也就求出了PO的值．【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，AO＝AC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠OAC＝60°．（2）∵CP與⊙A相切，∴∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°﹣∠OAC＝30°；又∵A（4，0），∴AC＝AO＝4，∴PA＝2AC＝8，∴PO＝PA﹣OA＝8﹣4＝4．（3）①過點C作CP1⊥OB，垂足為P1，延長CP1交⊙A于Q1；∵OA是半徑，∴OC=∴OC＝OQ1，∴△OCQ1是等腰三角形；又∵△AOC是等邊三角形，∴P1O=12②過A作AD⊥OC，垂足為D，延長DA交⊙A于Q2，CQ2與x軸交于P2；∵A是圓心，∴DQ2是OC的垂直平分線，∴CQ2＝OQ2，∴△OCQ2是等腰三角形；過點Q2作Q2E⊥x軸于E，在Rt△AQ2E中，∵∠Q2AE＝∠OAD=12∠∴Q2E=12AQ2＝2，AE＝2∴點Q2的坐標（4+23在Rt△COP1中，∵P1O＝2，∠AOC＝60°，∴CP∴C點坐標（2，23設直線CQ2的關系式為y＝kx+b，則?2=(4+23解得k=?1b=2+2∴y＝﹣x+2+23；當y＝0時，x＝2+23，∴P2O＝2+23．33．（2022?昆明）（1）如圖（1），OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C是OB延長線上任意一點，過點C作CD切⊙O于點D，連接AD交OC于點E．求證：CD＝CE；（2）若將圖（2）中的半徑OB所在直線向上平行移動交OA于F，交⊙O于B′，其他條件不變，那么上述結論CD＝CE還成立嗎？為什么？（3）若將圖（3）中的半徑OB所在直線向上平行移動到⊙O外的CF，點E是DA的延長線與CF的交點，其他條件不變，那么上述結論CD＝CE還成立嗎？為什么？【分析】（1）可連接OD，通過等邊對等角（∠OAD＝∠ODA），等角的余角相等（∠OAE+∠OEA＝90°，∠ODA+∠CDE＝90°），以及對頂角相等（∠AEO＝∠CED），將相等的角進行置換即可得出∠CDE＝∠CED，即CD＝CE；（2）連接OD方法和（1）完全相同；（3）延長OA交CF于G，由于CF是上下平行移動，因此OG⊥CF，證法同（1）．【解答】（1）證明：連接OD，OD⊥CD，∠CDE+∠ODA＝90°；在Rt△AOE中，∠AEO+∠A＝90°；在⊙O中，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∠CDE＝∠AEO，又∵∠AEO＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，CD＝CE；（2）解：CE＝CD仍然成立，∵原來的半徑OB所在直線向上平行移動，∴CF⊥AO于F；在Rt△AFE中，∠A+∠AEF＝90°，連接OD，則∠ODA+∠CDE＝90°，且OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∠AEF＝∠CDE；又∵∠AEF＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，CD＝CE；（3）解：CE＝CD仍成立，∵原來的半徑OB所在直線向上平行移動，∴AO⊥CF，延長OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE＝90°；連接OD，有，∠CDA+∠ODA＝90°，且OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝∠GAE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE．34．（2022?襄城區(qū)模擬）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連接AD．（1）求證：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半徑．【分析】（1）先根據同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代換得到∠AND＝∠B，利用同弧所對的圓周角相等得到∠D＝∠B，則得∠AND＝∠D，利用等角對等邊可得出結論；（2）先根據垂徑定理求出AE的長，連接AO，設OE的長為x，則DE＝NE＝x+1，OA＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根據勾股定理可得出x的值，進而得出結論．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵AC=∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：設OE的長為x，連接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x=53或∴OA＝2x+1＝2×53+即⊙O的半徑為13335．（2022?臺州校級模擬）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面．（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．（3）在（2）的條件下，小明把一只寬12cm的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13cm，問此小船能順利通過這個管道嗎？【分析】（1）在弧AB上任取一點C，連接AC，作弦AC的垂直平分線，兩線交點作為圓心O，OA作為半徑，畫圓即為所求圖形．（2）過O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，連接OB，根據垂徑定理得到BD=12AB=1（3）連接OM，設MF＝6cm，可求得此時OF的高，即可求得DF的長，比較13cm，即可得到此時小船能順利通過這個管道．【解答】解：（1）在弧AB上任取一點C連接AC，作弦AC、BC的垂直平分線，兩線交點作為圓心O，OA作為半徑，畫圓即為所求圖形．（2）過O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，連接OB．∵OE⊥AB，∴BD=12AB=1由題意可知，ED＝4cm，設半徑為xcm，則OD＝（x﹣4）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2∴（x﹣4）2+82＝x2解得x＝10．即這個圓形截面的半徑為10cm．（3）如圖，小船能順利通過這個管道．理由：連接OM，設MF＝6cm．∵EF⊥MN，OM＝10cm，在Rt△MOF中，OF=OM∵DF＝OF+OD＝8+6＝14cm∵14cm＞13cm，∴小船能順利通過這個管道．36．（2022?泰州模擬）如圖，BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC，垂足為H，已知AD＝8，OH＝3．（1）求⊙O的半徑；（2）若E是弦AD上的一點，且∠EBA＝∠EAB，求線段BE的長．【分析】（1）連接OA，由CB為直徑，AD為弦，且CB垂直于AD，利用垂徑定理得到H為AD的中點，由AD的長求出AH的長，在直角三角形AOH中，由AH與OH的長，利用勾股定理求出OA的長，即為圓O的半徑；（2）由已知的兩個角相等，利用等角對等邊得到AE＝BE，在直角三角形BEH中，設BE＝AE＝x，則有EH＝AH﹣AE＝4﹣x，BH＝5﹣3＝2，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出BE的長．【解答】解：（1）連接OA，∵BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC，∴AH=12在Rt△AOH中，AH＝4，OH＝3，根據勾股定理得：OA=4則⊙O的半徑為5；（2）∵∠EBA＝∠EAB，∴AE＝BE，設BE＝AE＝x，在Rt△BEH中，BH＝5﹣3＝2，EH＝4﹣x，根據勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝2.5，則BE的長為2.5．37．（2022?河北）圖1是某學校存放學生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是車棚頂部截面的示意圖，AB所在圓的圓心為O．車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e．（不考慮接縫等因素，計算結果保留π）【分析】根據題意，由圓的基本性質，可通過作輔助線建立模形，利用垂徑定理解答，也可用相交弦定理來解．【解答】解：連接OB，過點O作OE⊥AB，垂足為E，交AB于F，如圖，由垂徑定理，可知：E是AB中點，F(xiàn)是AB中點，∴EF是弓形高，∴AE=12AB＝23，設半徑為R米，則OE＝（R﹣2）米，在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（23）2，解得R＝4，∵sin∠AOE=AE∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120度．∴AB的長為120×4π180=83∴帆布的面積為83π×60＝160π38．（2022?咸寧模擬）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥AB于點E，則AE＝BE．請證明此結論；（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE＝PE+PB．可以通過延長DB、AP相交于點F，再連接AD證明結論成立．請寫出證明過程；（3）如圖3，PA．PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關系？寫出結論，不必證明．【分析】（1）連接AD，BD，易證△ADB為等腰三角形，根據等腰三角形三線合一這一性質，可以證得AE＝BE．（2）根據圓內接四邊形的性質，先∠CDA＝∠CDF，再證△AFD為等腰三角形，進一步證得PB＝PF，從而證得結論．（3）根據∠ADE＝∠FDE，從而證明△DAE≌△DFE，得出AE＝EF，然后判斷出PB＝PF，進而求得AE＝PE﹣PB．【解答】證明：（1）如圖1，連接AD，BD，∵C是劣弧AB的中點，∴∠CDA＝∠CDB，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，∴∠A＝∠B，∴△ADB為等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE＝BE；（2）如圖2，延長DB、AP相交于點F，再連接AD，∵ADBP是圓內接四邊形，∴∠PBF＝∠PAD，∵C是劣弧AB的中點，∴∠CDA＝∠CDF，∵CD⊥PA，∴△AFD為等腰三角形，∴∠F＝∠A，AE＝EF，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF，∴AE＝PE+PB（3）AE＝PE﹣PB．連接AD，BD，AB，DB、AP相交于點F，∵弧AC＝弧BC，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD⊥AP，∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，∵DE＝DE，∴△DAE≌△DFE，∴AD＝DF，AE＝EF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DFA＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，∴∠PFB＝∠PBF，∴PF＝PB，∴AE＝PE﹣PB．39．（2022?南開區(qū)一模）已知：如圖1，在⊙O中，直徑AB＝4，CD＝2，直線AD，BC相交于點E．（1）∠E的度數(shù)為60°；（2）如圖2，AB與CD交于點F，請補全圖形并求∠E的度數(shù)；（3）如圖3，弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數(shù)．【分析】（1）連接OD，OC，BD，根據已知得到△DOC為等邊三角形，根據直徑所對的圓周角是直角，求出∠E的度數(shù)；（2）同理解答（2）（3）．【解答】解：（1）如圖1，連接OD，OC，BD，∵OD＝OC＝CD＝2∴△DOC為等邊三角形，∴∠DOC＝60°∴∠DBC＝30°∴∠EBD＝30°∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°∴∠E＝90°﹣30°＝60°，∠E的度數(shù)為60°；（2）①如圖2，直線AD，CB交