北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)2.4二次函數(shù)與一元二次方程【六大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題2.4二次函數(shù)與一元二次方程【六大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】 1【題型2拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問(wèn)題】 2【題型3由二次函數(shù)解一元二次方程】 3【題型4由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】 3【題型5由二次函數(shù)的圖象解不等式】 4【題型6由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】 5【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況】根的判別式二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)一元二次方程根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解（或稱無(wú)實(shí)數(shù)根）【題型1拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】【例1】（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期末）拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）．下列式子中正確的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【變式1-1】（2022春?澧縣校級(jí)月考）拋物線y＝x2+2x﹣3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1-2】（2022?廣陽(yáng)區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A（m﹣2，n），B（m+4，n），則n的值為（）A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27【變式1-3】（2022春?漢濱區(qū)期中）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，對(duì)稱軸為x＝3，則拋物線的頂點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P'的坐標(biāo)是（）A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）【題型2拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問(wèn)題】【例2】（2022?武漢模擬）二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系，一元二次方程問(wèn)題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)這句話所提供的思想方法解決如下問(wèn)題：若s，t（s＜t）是關(guān)于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的兩根，且m＜n，則m，n，s，t的大小關(guān)系是（）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【變式2-1】（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5【變式2-2】（2022?張店區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根分別為m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根分別為p，q（p＜q），判斷m，n，p，q的大小關(guān)系是（）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【變式2-3】（2022?河?xùn)|區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的兩根為M、N（M＜N），則α、β、M、N的大小順序?yàn)椋ǎ〢．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【題型3由二次函數(shù)解一元二次方程】【例3】（2022?婁底一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（3，0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（）A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5【變式3-1】（2022?潮南區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），則關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是．【變式3-2】（2022?咸寧一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．【變式3-3】（2022?永嘉縣校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，且關(guān)于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是6，則d的值為（）A．5 B．7 C．12 D．﹣7【知識(shí)點(diǎn)2求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）】作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；由圖象與y=h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．【題型4由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022?平度市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣10中x，y的一些對(duì)應(yīng)值，則可以估計(jì)一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一個(gè)近似解為（）x…2.12.22.32.42.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.561.25…A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5【變式4-1】（2022?灌云縣期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解的范圍是．x6.176.186.196.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【變式4-2】（2022?渠縣一模）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個(gè)根可能是．（精確到0.1）【變式4-3】（2022秋?萍鄉(xiāng)期末）代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)）中，x與ax2+bx+c的對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣1?10113253ax2+bx+c﹣2?11742741?1﹣2請(qǐng)判斷一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是下列選項(xiàng)中的（）A．?12＜x1＜0，32＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜?C．?12＜x1＜0，2＜x2＜52 D．﹣1＜x1＜?【題型5由二次函數(shù)的圖象解不等式】【例5】（2022秋?墾利區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1【變式5-1】（2022?定遠(yuǎn)縣二模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…請(qǐng)求出當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍．【變式5-2】（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集為．【變式5-3】（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．則滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍是（）A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5【題型6由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】【例6】（2022?虞城縣三模）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)．①求拋物線和直線的函數(shù)解析式；②直接寫出當(dāng)a（x﹣2）2+c＞mx+n時(shí)自變量x的取值范圍．（2）若a＝c，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，3），當(dāng)拋物線與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．【變式6-1】（2022?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)x的取值范圍．（2）請(qǐng)寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【變式6-2】（2022?河南模擬）小新對(duì)函數(shù)y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究．已知當(dāng)自變量x的值為0或4時(shí)，函數(shù)值都為﹣3；當(dāng)自變量x的值為1或3時(shí)，函數(shù)值都為0．探究過(guò)程如下，請(qǐng)專題2.4二次函數(shù)與一元二次方程【六大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】 1【題型2拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問(wèn)題】 3【題型3由二次函數(shù)解一元二次方程】 6【題型4由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】 9【題型5由二次函數(shù)的圖象解不等式】 11【題型6由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】 13【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況】根的判別式二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)一元二次方程根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解（或稱無(wú)實(shí)數(shù)根）【題型1拋物線與x軸的交點(diǎn)情況】【例1】（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期末）拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）．下列式子中正確的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）可得拋物線頂點(diǎn)式，從而可得x1，x2與m的關(guān)系．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)（x1，0），且拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x12=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，【變式1-1】（2022春?澧縣校級(jí)月考）拋物線y＝x2+2x﹣3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】由b2﹣4ac的大小可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由c的大小可判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∵c＝﹣3，∴拋物線與y軸交點(diǎn)為（0．﹣3），∴拋物線與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，故選：D．【變式1-2】（2022?廣陽(yáng)區(qū)一模）已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A（m﹣2，n），B（m+4，n），則n的值為（）A．﹣9 B．﹣16 C．﹣18 D．﹣27【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)易求該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝m+1．故設(shè)拋物線解析式為y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，直接將A（m﹣2，n）代入，通過(guò)解方程來(lái)求n的值．【解答】解：∵拋物線y＝﹣3x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴對(duì)稱軸是直線x＝m+1，又∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴頂點(diǎn)為（m+1，0），∴設(shè)拋物線解析式為y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故選：D．【變式1-3】（2022春?漢濱區(qū)期中）已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，對(duì)稱軸為x＝3，則拋物線的頂點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P'的坐標(biāo)是（）A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）【分析】根據(jù)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6．對(duì)稱軸為直線x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到該拋物線的解析式，再將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得到點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，對(duì)稱軸為直線x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，?b∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣9），∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，9），【題型2拋物線與x軸交點(diǎn)上的四點(diǎn)問(wèn)題】【例2】（2022?武漢模擬）二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系，一元二次方程問(wèn)題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)這句話所提供的思想方法解決如下問(wèn)題：若s，t（s＜t）是關(guān)于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的兩根，且m＜n，則m，n，s，t的大小關(guān)系是（）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（n，0），開口向上，則拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與直線y＝﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（s，﹣1），（t，﹣1），從而可得m，n，s，t的大小關(guān)系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（n，0），拋物線開口向上，則拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與直線y＝﹣1的交點(diǎn)在x軸下方，坐標(biāo)為（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．【變式2-1】（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是（）A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根即為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此可判斷選項(xiàng)．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），則拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與y＝ax2+bx+c形狀相同、開口方向相同，且與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）、（5，0），函數(shù)圖象如圖所示，由函數(shù)圖象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根即為拋物線y＝a（x+1）（x﹣5）與直線y＝﹣3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴x1＜﹣1＜5＜x2，【變式2-2】（2022?張店區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根分別為m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根分別為p，q（p＜q），判斷m，n，p，q的大小關(guān)系是（）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）的圖象，再作出直線y＝1，y＝3，它們與拋物線交于A，B和C，D，分別過(guò)交點(diǎn)作x軸的垂線，則垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)值為題干中方程的根，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得出結(jié)論．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）的圖象如下圖：作直線y＝1與拋物線y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）交于A，B，分別經(jīng)過(guò)A，B作x軸的垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的兩根；作直線y＝3與拋物線y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常數(shù)，且t≠0）交于C，D，分別經(jīng)過(guò)AC，D作x軸的垂線，垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的兩根．由圖象可知m，n，p，q的大小關(guān)系是：p＜m＜n＜q．【變式2-3】（2022?河?xùn)|區(qū)期末）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的兩根為M、N（M＜N），則α、β、M、N的大小順序?yàn)椋ǎ〢．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依題意畫出函數(shù)y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可直接求解．【解答】解：依題意，畫出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的圖象，如圖所示．函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的兩根是拋物線y＝（x﹣α）（x﹣β）與直線y＝2的兩個(gè)交點(diǎn)．由M＜N，可知對(duì)稱軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為M，右側(cè)為N．由圖象可知，M＜α＜β＜N，【題型3由二次函數(shù)解一元二次方程】【例3】（2022?婁底一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（3，0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（）A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（3，0）兩點(diǎn)求對(duì)稱軸，后面兩個(gè)方程二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)沒(méi)變，所以兩根的和也不變還是2．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（3，0）與（﹣1，0）兩點(diǎn)，∴當(dāng)y＝0時(shí)，0＝ax2+bx+c的兩個(gè)根為3和﹣1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個(gè)根為﹣3，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，如圖，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，∴直線y＝﹣n與y＝ax2+bx+c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，4，∴這關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，是﹣2或4，【變式3-1】（2022?潮南區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），則關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3．【分析】利用二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的對(duì)稱性求得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，再利用拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程的根的關(guān)系得出結(jié)論．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??2a∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），∴該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）．∴關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．【變式3-2】（2022?咸寧一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．【分析】由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣5，6），（2，6）可得拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線對(duì)稱性及拋物線經(jīng)過(guò)（﹣4，0）求解．【解答】解：由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣5，6），（2，6）可得拋物線拋物線對(duì)稱軸為直線x=?5+2∵拋物線經(jīng)過(guò)（﹣4，0），對(duì)稱軸為直線x=?3∴拋物線經(jīng)過(guò)（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案為：x1＝﹣4，x2＝1．【變式3-3】（2022?永嘉縣校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，且關(guān)于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是6，則d的值為（）A．5 B．7 C．12 D．﹣7【分析】先由二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）與（5，0）兩點(diǎn)，∴?1?b+c=0?25+5b+c=0解得：b=4c=5將b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵關(guān)于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，經(jīng)驗(yàn)證d＝7時(shí)，Δ＞0，符合題意，∴d＝7．【知識(shí)點(diǎn)2求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）】作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個(gè)數(shù)；由圖象與y=h的交點(diǎn)位置確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．【題型4由二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022?平度市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣10中x，y的一些對(duì)應(yīng)值，則可以估計(jì)一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一個(gè)近似解為（）x…2.12.22.32.42.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.561.25…A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5【分析】根據(jù)函數(shù)值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如圖：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一個(gè)近似根是2.3．【變式4-1】（2022?灌云縣期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解的范圍是6.18＜x＜6.19．x6.176.186.196.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根據(jù)表格中自變量、函數(shù)的值的變化情況，得出當(dāng)y＝0時(shí)，相應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x＝6.18時(shí)，y＝﹣0.01，當(dāng)x＝6.19時(shí)，y＝0.02，于是可得，當(dāng)y＝0時(shí)，相應(yīng)的自變量x的取值范圍為6.18＜x＜6.19，故答案為：6.18＜x＜6.19．【變式4-2】（2022?渠縣一模）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c的部分圖象，由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個(gè)根可能是x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．（精確到0.1）【分析】直接利用拋物線與x軸交點(diǎn)的位置估算出兩根的大?。窘獯稹拷猓河蓤D象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx＝c的兩個(gè)根可能是：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．故答案為：x1＝0.8，x2＝3.2合理即可．【變式4-3】（2022秋?萍鄉(xiāng)期末）代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)）中，x與ax2+bx+c的對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣1?10113253ax2+bx+c﹣2?11742741?1﹣2請(qǐng)判斷一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是下列選項(xiàng)中的（）A．?12＜x1＜0，32＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜?C．?12＜x1＜0，2＜x2＜52 D．﹣1＜x1＜?【分析】觀察表格可知，在x＜1時(shí)，隨x值的增大，代數(shù)式ax2+bx+c的值逐漸增大，x的值在?12～0之間，代數(shù)式ax2+bx+c的值由負(fù)到正，故可判斷ax2+bx+c＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值在?12～0之間，在x＞1時(shí)，隨x的值增大，代數(shù)式ax2+bx+c逐漸減小，x的值在2～52之間，代數(shù)式ax2+bx+c的值由正到負(fù)，故可判斷ax2+bx+c【解答】解：根據(jù)表格可知，代數(shù)式ax2+bx+c＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值在?12～0和2～即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常數(shù)）的兩個(gè)根x1，x2的取值范圍是?12＜x1＜0，2＜【題型5由二次函數(shù)的圖象解不等式】【例5】（2022秋?墾利區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1【分析】由拋物線與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)確定直線在拋物線上方時(shí)x的取值范圍．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3時(shí)，直線在拋物線上方，即﹣1＜x＜3時(shí)，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集為﹣1＜x＜3．【變式5-1】（2022?定遠(yuǎn)縣二模）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…請(qǐng)求出當(dāng)y＜0時(shí)x的取值范圍x＜﹣2或x＞3．【分析】把點(diǎn)（0，6）代入求出c，把點(diǎn)（﹣1，4）和（1，6）代入拋物線的解析式列方程組，解出可得a、b，即可得拋物線的解析式，進(jìn)而可列不等式求出y＜0時(shí)x的取值范圍．【解答】解：由表得，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)（0，6），∴c＝6，∵拋物線y＝ax2+bx+6過(guò)點(diǎn)（﹣1，4）和（1，6），∴a?b+6=4a+b+6=6解得：a=?1b=1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案為：x＜﹣2或x＞3．【變式5-2】（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集為x＜﹣1或x＞1．【分析】根據(jù)圖象可得x＜1或x＞3時(shí)ax2+bx+c＜0，則a（x+2）2+b（x+2）+c＜0時(shí)x+2＜1或x+2＞3，進(jìn)而求解．【解答】解：由圖象可得x＜1或x＞3時(shí)ax2+bx+c＜0，∴當(dāng)a（x+2）2+b（x+2）+c＜0時(shí)，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案為：x＜﹣1或x＞1．【變式5-3】（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．則滿足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范圍是（）A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，從而可得點(diǎn)B橫坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，∵點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)為4，∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為1，∴1≤x≤4時(shí)，kx+b≥x2﹣4x+m，【題型6由二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求范圍】【例6】（2022?虞城縣三模）已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)．①求拋物線和直線的函數(shù)解析式；②直接寫出當(dāng)a（x﹣2）2+c＞mx+n時(shí)自變量x的取值范圍．（2）若a＝c，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，3），當(dāng)拋物線與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求解析式即可，②拋物線開口向上，數(shù)形結(jié)合直接寫出答案；（2）結(jié)合拋物線和線段AB，分情況討論求a的取值范圍．【解答】解：（1）①∵拋物線y＝a（x﹣2）2+c與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)，∴a+c=09a+c=8，m+n=0解得a=1c=?1，m=2∴拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，拋物線開口向上，拋物線與直線y＝mx+n交于（1，0），（5，8）兩點(diǎn)，∴當(dāng)a（x﹣2）2+c＞mx+n時(shí)自變量x的取值范圍為x＜1或x＞5．（2）若a＝c，則拋物線y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴開口向上，對(duì)稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，a），當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)a＝3，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段AB下方時(shí)，當(dāng)經(jīng)過(guò)B（3，3）時(shí)，a+a＝3，解得a=3當(dāng)經(jīng)過(guò)A（0，3）時(shí)，4a+a＝3，解得a=3∴當(dāng)拋物線與線段AB有唯一公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為35≤a＜3【變式6-1】（2022?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)x的取值范圍．（2）請(qǐng)寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【分析】（1）將（3，m），（n，﹣6）代入直線解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，