高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第二節(jié)圓與方程 文（含解析）

第二節(jié)圓與方程求圓的方程考向聚焦高考?？純?nèi)容,主要考查(1)利用圓的幾何性質(zhì)求圓的方程;(2)利用待定系數(shù)法求圓的方程,一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn),難度中低檔,所占分值4~5分1.(年四川卷,文3)圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是()(A)(2,3) (B)(-2,3)(C)(-2,-3) (D)(2,-3)解析:圓x2+y2-4x+6y=0,化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-2)2+(y+3)2=13,∴圓心的坐標(biāo)為(2,-3).故選D.答案:D.2.(年廣東卷,文6)若圓心在x軸上、半徑為5的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x+2y=0相切,則圓O的方程是()(A)(x-5)2+y2=5 (B)(x+5)2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5解析:由題意可設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=5(a<0).|a+2×0|12答案:D.當(dāng)題目的條件與圓心、半徑有關(guān)時,一般可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法列方程進(jìn)行求解,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是求圓心和半徑.3.(年遼寧卷,文13)已知圓C經(jīng)過A(5,1),B(1,3)兩點,圓心在x軸上,則圓C的方程為.

解析:設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=r2,由圓過A(5,1),B(1,3)兩點,得(5-a∴圓C的方程為(x-2)2+y2=10.答案:(x-2)2+y2=104.(年山東卷,文16)已知圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被該圓所截得的弦長為22,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析:設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0,0)(x0>0).由于圓過點(1,0),則半徑r=|x0-1|,圓心到直線x-y-1=0的距離為d=|x由弦長為22可知(|x0-1|2)則(x0-1)2=4,∴x0-1=±2.∴x0=3或x0=-1(舍去).故圓心為(3,0),半徑為2,所求圓的方程為(x-3)2+y2=4.答案:(x-3)2+y2=45.(年全國新課標(biāo)卷,文13)圓心在原點且與直線x+y-2=0相切的圓的方程為.

解析:根據(jù)圓與直線相切可知r=d=|-2|2∴所求圓的方程為x2+y2=2.答案:x2+y2=26.(年全國大綱卷,文22,12分)已知拋物線C:y=(x+1)2與圓M:(x-1)2+(y-12)2=r2(1)求r;(2)設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線,m、n的交點為D,求D到l的距離.解:(1)設(shè)A(x0,(x0+1)2),對y=(x+1)2求導(dǎo)得y'=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1),當(dāng)x0=1時,不合題意,所以x0≠1,圓心為M(1,12),MA的斜率k'=(由l⊥MA知k·k'=-1,即2(x0+1)·(x解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|=(1-0)2(2)設(shè)(t,(t+1)2)為C上一點,則在該點處的切線方程為y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1,若該直線與圓M相切,則圓心M到該切線的距離為52即|2(t化簡得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2+10,t2=2-10,拋物線C在點(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)處的切線分別為l,m,n,其方程分別為y=2x+1,①y=2(t1+1)x-t12y=2(t2+1)x-t22②-③得x=t1將x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距離d=|2×2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考向聚焦高考?？純?nèi)容以直線與圓的位置關(guān)系為主,考查直線與圓相切、相交問題,一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn),難度中檔,所占分值4~5分7.(年陜西卷,文6,5分)已知圓C:x2+y2-4x=0,l是過點P(3,0)的直線,則()(A)l與C相交 (B)l與C相切(C)l與C相離 (D)以上三個選項均有可能解析:因為點P(3,0)在圓的內(nèi)部,所以過點P的直線必與圓相交.選A.答案:A.8.(年遼寧卷,文7,5分)將圓x2+y2-2x-4y+1=0平分的直線是()(A)x+y-1=0 (B)x+y+3=0(C)x-y+1=0 (D)x-y+3=0解析:已知圓的圓心為(1,2),當(dāng)直線將圓平分時,直線必過圓心(1,2),檢驗得C正確.答案:C.9.(年山東卷,文9,5分)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為()(A)內(nèi)切 (B)相交 (C)外切 (D)相離解析:本題考查兩圓位置關(guān)系的判定,易知兩圓的圓心距為42+12=答案:B.10.(年湖北卷,文5,5分)過點P(1,1)的直線,將圓形區(qū)域{(x,y)|x2+y2≤4}分為兩部分,使得這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為()(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大,通過觀察圖形,顯然只需該直線與直線OP垂直即可,則所求直線的斜率為-1,又該直線過點P(1,1),易求得該直線的方程為x+y-2=0.答案:A.本題的解題關(guān)鍵是通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)當(dāng)面積之差最大時,所求直線應(yīng)與直線OP垂直,利用這一條件求出斜率,進(jìn)而求得該直線的方程.11.(年安徽卷,文9,5分)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是()(A)[-3,-1] (B)[-1,3](C)[-3,1] (D)(-∞,-3]∪[1,+∞)解析:由題意,圓心到直線的距離d=|a+1|2所以|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.答案:C.12.(年安徽卷,文4)若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為()(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3解析:已知圓的圓心為(-1,2),由題意知(-1,2)在直線3x+y+a=0上,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1.答案:B.13.(年大綱全國卷,文11)設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2(A)4 (B)42 (C)8 (D)82解析:∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切,且都經(jīng)過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a-答案:C.14.(年湖北卷,文9)若直線y=x+b與曲線y=3-4x(A)[1-22,1+22] (B)[1-2,3](C)[-1,1+22] (D)[1-22,3]解析:曲線y=3-4x-x2可化為(x-2)2+(y-3)2=4,且0≤x≤4,1≤y≤3,所以該曲線表示以M(2,3)為圓心,以2為半徑的下半圓(如圖所示).要使直線y=x+b與該半圓有公共點,縱截距b需滿足b1由|2-3+b1∴1-22≤b≤3,故選D.答案:D.15.(年江西卷,文14,5分)過直線x+y-22=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60°,則點P的坐標(biāo)是.

解析:本題考查直線與圓相切的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),點到點(線)的距離公式的應(yīng)用.法一:因為點P在直線x+y-22=0上,所以可設(shè)點P(x0,-x0+22),設(shè)其中一個切點為M.因為兩條切線的夾角為60°,所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.由點到點的距離公式得x0解得x0=2.故點P(2,2).法二:設(shè)其中一個切點為M.因為兩條切線的夾角為60°,所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP|=2|OM|=2.又圓心O到直線x+y-22=0的距離為d=|-2所以點P即為圓心O在直線x+y-22=0上的射影.故直線OP的方程為y=x,聯(lián)立x+y-22=0,答案:(2,2)法一中,根據(jù)直線的方程巧設(shè)點P的坐標(biāo)是求解本題的突破點之一;根據(jù)圓的半徑利用直角三角形的性質(zhì),得到點P與點O的距離是求解本題的突破點之二;法二中,巧妙利用圓心O到直線x+y-22=0的距離恰好等于圓心O到點P的距離,從而得到點P即為圓心O在直線x+y-22=0上的射影,進(jìn)而快速求解.16.(年江蘇數(shù)學(xué),12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是.

解析:本題考查圓與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離以及直線與圓的位置關(guān)系.法一:設(shè)直線上一點為(t,kt-2),圓心C為(4,0),則兩圓的圓心距滿足(t-4)即(1+k2)t2-(4k+8)t+16≤0有解,所以有(4k+8)2-4×16(1+k2)≥0,所以0≤k≤43法二:由題意,圓心C到直線的距離不大于2,圓心C為(4,0),∴d=|4k-2|k2答案:4本題對直線與圓的位置關(guān)系給出了新的語言,題目煥然一新.17.(年江蘇卷,9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是.

解析:要使圓上有且只有4個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,只需原點O到直線的距離d滿足0≤d<1,∴0≤|c|1答案:(-13,13)18.(年全國新課標(biāo)卷,文20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.解:(1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸交點為(3+22,0),(3-22,0),故可設(shè)圓C的圓心為(3,t),則有(0-3)2+(1-t)2=(3+22-3)2+(0-t)2,∴t=1,則圓C的半徑為32∴圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足方程組x-消去y得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,則據(jù)題意知,Δ=56-16a-4a2又x1+x2=4-a,x1x2=a2由于OA⊥OB,故x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,∴2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②①代入②得a=-1滿足Δ>0.故a=-1.與弦有關(guān)的問題考向聚焦高考熱點,主要從兩個方面考查(1)求弦長;(2)討論參數(shù)的范圍,多以選擇題、填空題形式出現(xiàn),難度中檔,所占分值4~5分備考指津求弦長問題一般應(yīng)用圓心到直線的距離公式或弦心距、半徑、半弦構(gòu)成的直角三角形求解,要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練19.(年廣東卷,文8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點,則弦AB的長等于()(A)33 (B)23 (C)3 (D)1解析:本小題主要考查直線與圓相交后弦長的求法.由圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離d=|-5|5=1知|AB|=22答案:B.20.(年重慶卷,文3,5分)設(shè)A,B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點,則|AB|等于()(A)1 (B)2 (C)3 (D)2解析:x2+y2=1的圓心與半徑分別是(0,0),r=1,圓心到直線y=x的距離d=|0∴AB為直徑,∴|AB|=2,故選D.答案:D.本題主要考查如何求直線被圓所截弦長問題.21.(年福建卷,文7,5分)直線x+3y-2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,則弦AB的長度等于()(A)25 (B)23 (C)3 (D)1解析:圓心(0,0)到直線x+3y-2=0的距離d=|-2|12+(3答案:B.本題主要考查圓的半徑、半弦與弦心距之間的勾股關(guān)系及學(xué)生的計算能力.22.(年江西卷,文10)直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥23,則k的取值范圍是()(A)[-34,0] (B)[-33,(C)[-3,3] (D)[-23解析:由于圓心(2,3)到直線y=kx+3的距離d=|2∴|MN|=24-d2=24因為|MN|≥23,即41k2+1≥∴k2≤13,解得-33≤k≤答案:B.直線與圓的位置關(guān)系中,直線與圓相交所得弦長問題是考查的重點,解決此類問題的基本方法是利用平面幾何知識數(shù)形結(jié)合求解.23.(年北京卷,文9,5分)直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長為.

解析:已知圓的圓心為(0,2),半徑為r=2.∴圓心到直線y=x的距離為d=22=2∴弦長l=2r2-d2=2答案:2224.(年天津卷,文12,5分)設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為2,O為坐標(biāo)原點,則△AOB面積的最小值為.

解析