人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專(zhuān)題11.5多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題11.5多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形截角后的邊數(shù)問(wèn)題】 1【題型2多邊形對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題】 2【題型3對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題】 2【題型4多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】 3【題型5多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】 3【題型6復(fù)雜圖形的內(nèi)角和】 4【題型7多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】 5【題型8多邊形內(nèi)（外）角和與平行線的綜合運(yùn)用】 6【題型9多邊形內(nèi)（外）角和與角平分線的綜合運(yùn)用】 8【題型10平面鑲嵌】 10知識(shí)點(diǎn)1：多邊形的相關(guān)概念（1）多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……，如果一個(gè)多邊形由條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做邊形．（2）相關(guān)概念：①多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角．②多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角．③連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．④各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（3）多邊形的對(duì)角線：（a）定義：多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（b）規(guī)律總結(jié)：①?gòu)膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形．②n邊形共有條對(duì)角線．【題型1多邊形截角后的邊數(shù)問(wèn)題】【例1】（23-24八年級(jí)·黑龍江大慶·期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【變式1-1】（23-24八年級(jí)·重慶綦江·期中）一張七邊形卡片剪去一個(gè)角后得到的多邊形卡片可能的邊數(shù)為．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)四邊形剪去一三角形后余下的多邊形為邊形【變式1-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)六邊形，那么原多邊形邊數(shù)為．【題型2多邊形對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題】【例2】（23-24八年級(jí)·陜西延安·階段練習(xí)）若一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引4條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的總數(shù)為（）A．14 B．28 C．24 D．20【變式2-1】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期末）我們知道，三角形的穩(wěn)定性在日常生活中被廣泛運(yùn)用.要使不同的木架不變形，四邊形木架至少要再釘1根木條；五邊形木架至少要再釘2根木條；…按這個(gè)規(guī)律，要使n邊形木架不變形至少要再釘根木條.（用n表示，n為大于3的整數(shù)）【變式2-2】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）邊長(zhǎng)為整數(shù)的正多邊形的周長(zhǎng)17，則過(guò)該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)條對(duì)角線．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期末）過(guò)m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有9條對(duì)角線，n邊形沒(méi)有對(duì)角線，則mn的值為．【題型3對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題】【例3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【變式3-1】（23-24八年級(jí)·湖北·課后作業(yè)）通過(guò)連接對(duì)角線的方法，可以把十邊形分成互不重疊的三角形的個(gè)數(shù)（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【變式3-2】（23-24八年級(jí)·四川巴中·期末）從一個(gè)n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連結(jié)這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，若把這個(gè)多邊形分割為6個(gè)三角形，則n的值是．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·湖北·課后作業(yè)）將已知六邊形ABCDEF，用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，那么各種不同的剖分方法種數(shù)是（）A．6 B．8 C．12 D．14知識(shí)點(diǎn)2：多邊形的內(nèi)角和與外角和（1）邊形內(nèi)角和等于．正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(n≥3)．（2）在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).【題型4多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】【例4】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期中）小明在計(jì)算多邊形內(nèi)角和時(shí)，把其中一個(gè)內(nèi)角多加了一次，得到內(nèi)角和為500°，則多加的這個(gè)內(nèi)角的大小為．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為2000°；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角！則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（

）A．140° B．150° C．160° D．170°【變式4-2】（23-24八年級(jí)·湖北孝感·期中）小明計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)誤把一個(gè)外角加進(jìn)去了，得其和為2620°.（1）求這個(gè)多加的外角的度數(shù).（2）求這個(gè)多邊形的邊數(shù).【變式4-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）馬小虎在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了2個(gè)內(nèi)角，其和等于830°A．7 B．8 C．7或8 D．無(wú)法確定【題型5多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】【例5】（23-24·上海徐匯·二模）如果剪掉四邊形的一個(gè)角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)不可能是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【變式5-1】（23-24八年級(jí)·河南商丘·期中）如圖，在正方形ABCD中，截去∠A、∠C后，∠1、∠2、∠3、∠4的和為．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等，則符合條件的剪法是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）已知一個(gè)包裝盒的底面是內(nèi)角和為720°的多邊形，它是由另一個(gè)多邊形紙片剪掉一個(gè)角以后得到的，則原多邊形是邊形．【題型6復(fù)雜圖形的內(nèi)角和】【例6】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）圖1是二環(huán)三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，圖2是二環(huán)四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，圖3是二環(huán)五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°…聰明的同學(xué)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出二環(huán)十邊形，S＝_____________度（

）

A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【變式6-1】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖，已知兩塊三角板如圖擺放，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別在兩塊三角板的邊上，一塊三角板的頂點(diǎn)M在另一塊三角板的邊上，且∠BAC=37°，∠E=60°，∠F=45°，則∠ABE+∠EMF+∠FCA=°．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=．（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=．【題型7多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）[應(yīng)用意識(shí)]清晨，小明沿著一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男÷钒茨鏁r(shí)針?lè)较蚺懿?，如圖．

(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角，在圖上標(biāo)出；(2)他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？(3)你是怎么得到的？【變式7-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，螞蟻先從點(diǎn)A出發(fā)前進(jìn)6cm，向右轉(zhuǎn)72°，再前進(jìn)6cm，又向右轉(zhuǎn)72°，…，這樣一直走下去，那么螞蟻第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了

【變式7-2】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·階段練習(xí)）《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著之一，文學(xué)社團(tuán)的同學(xué)在搜集相關(guān)資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一張如圖①所示的《紅樓夢(mèng)》紀(jì)念幣圖案（將紀(jì)念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個(gè)圖案可以抽象成有公共邊的兩個(gè)正八邊形，如圖②，則∠1的度數(shù)是．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖1，小紅沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男÷?，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?，小紅每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場(chǎng)ABCDE的內(nèi)角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國(guó)”活動(dòng)，從點(diǎn)A起跑，繞湖周?chē)男÷放苤两K點(diǎn)E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度的和（圖【題型8多邊形內(nèi)（外）角和與平行線的綜合運(yùn)用】【例8】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期中）已知在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是△ABC的角平分線．(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，求(2)如圖2，PE平分∠AEC交AC于點(diǎn)F，交△ACB外角∠ACM平分線于點(diǎn)P，過(guò)F作FG∥PC交BC于G，請(qǐng)猜想∠EFG與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BM于點(diǎn)G，若∠EAD=∠CAD，且∠B+∠CPE=107∠CPG，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H【變式8-1】（23-24·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束太陽(yáng)光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【變式8-2】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）在△ABC中，∠C=90°,∠A=42°．點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，且均不與△ABC的頂點(diǎn)重合，連接DE，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'始終落在四邊形BCDE的外部，A'D交邊AB于點(diǎn)F，且點(diǎn)A(1)如圖①，則∠B=_______°．(2)如圖②，則∠BED+∠CDE=_______°．(3)如圖③，設(shè)圖②中的∠CDF=∠1,∠A'EF=∠2(4)當(dāng)△A'DE的某條邊與AB或AC【變式8-3】（14-15八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y（0°<x<180°，0°<y<180°）．(1)∠ABC+∠ADC=_______（用含x、y的代數(shù)式表示）．(2)如圖①，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請(qǐng)寫(xiě)出DE與BF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖②，∠DFB為與∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①當(dāng)x<y時(shí)，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y；②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)指出x、y滿(mǎn)足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．【題型9多邊形內(nèi)（外）角和與角平分線的綜合運(yùn)用】【例9】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）在四邊形ABCD中，O在其內(nèi)部，滿(mǎn)足∠ABO=1n∠ABC(1)如圖1，當(dāng)n=2時(shí)，如果∠A+∠D=260°，直接寫(xiě)出∠O的度數(shù)______；(2)當(dāng)n=3時(shí)，M、N分別在AB、DC的延長(zhǎng)線上，BC下方一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN，①如圖2，判斷∠O與∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，延長(zhǎng)線段BO、PC交于點(diǎn)Q，△BQP中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，直接寫(xiě)出∠A+∠D的度數(shù)為_(kāi)_____．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形MNCB中，∠P=25°，∠MBC和∠NCD的平分線交于點(diǎn)P，則∠M+∠N的度數(shù)為（

）

A．200° B．210° C．220° D．230°【變式9-2】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，ED⊥AB于點(diǎn)D，∠CED的平分線交AC于點(diǎn)F，連接BF交ED于點(diǎn)H，∠AFB的角平分線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若∠CFH=∠EHF，∠ABF=12∠CFE，則【變式9-3】（23-24八年級(jí)·山東日照·期末）已知：多邊形的外角∠CBE和∠CDF的平分線分別為BM，DN．(1)若多邊形為四邊形ABCD．①如圖①，∠A=50°,∠C=100°，BM與DN交于點(diǎn)P，求∠BPD的度數(shù)；②如圖②，猜測(cè)當(dāng)∠A和∠C滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，BM∥(2)如圖③，若多邊形是五邊形ABCDG，已知∠A=140°,∠G=100°,∠BCD=120°，BM與DN交于點(diǎn)P，求∠BPD的度數(shù)．【題型10平面鑲嵌】【例10】（23-24八年級(jí)·四川遂寧·期末）如圖是用邊長(zhǎng)相等的正三角形和正多邊形兩種地磚鋪設(shè)的部分地面示意圖，則這種正多邊形地磚的邊數(shù)是（）A．12 B．10 C．18 D．6【變式10-1】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·期末）邊長(zhǎng)相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）．①正方形與正三角形②正五邊形與正三角形③正六邊形與正三角形④正八邊形與正方形【變式10-2】（23-24八年級(jí)·四川樂(lè)山·期末）在鄉(xiāng)村振興建設(shè)中，某村欲利用兩種邊長(zhǎng)相等的正多邊形地磚來(lái)鋪設(shè)地面，美化公園．現(xiàn)已購(gòu)買(mǎi)了一部分正方形地磚，還需購(gòu)買(mǎi)另一種正多邊形地磚搭配使用才能鋪滿(mǎn)地面，則購(gòu)買(mǎi)的正多邊形是（

）A．正五邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【變式10-3】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則∠ABC的度數(shù)為專(zhuān)題11.5多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形截角后的邊數(shù)問(wèn)題】 1【題型2多邊形對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題】 3【題型3對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題】 5【題型4多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】 6【題型5多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】 8【題型6復(fù)雜圖形的內(nèi)角和】 11【題型7多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】 15【題型8多邊形內(nèi)（外）角和與平行線的綜合運(yùn)用】 18【題型9多邊形內(nèi)（外）角和與角平分線的綜合運(yùn)用】 26【題型10平面鑲嵌】 33知識(shí)點(diǎn)1：多邊形的相關(guān)概念（1）多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……，如果一個(gè)多邊形由條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做邊形．（2）相關(guān)概念：①多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角．②多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角．③連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．④各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（3）多邊形的對(duì)角線：（a）定義：多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（b）規(guī)律總結(jié)：①?gòu)膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形．②n邊形共有條對(duì)角線．【題型1多邊形截角后的邊數(shù)問(wèn)題】【例1】（23-24八年級(jí)·黑龍江大慶·期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【詳解】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形．故當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)18邊形，則這張紙片原來(lái)的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形，減去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過(guò)兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條.【變式1-1】（23-24八年級(jí)·重慶綦江·期中）一張七邊形卡片剪去一個(gè)角后得到的多邊形卡片可能的邊數(shù)為．【答案】6或7或8【分析】存在三種情況，根據(jù)圖示進(jìn)行分析．【詳解】解：七邊形卡片剪去一個(gè)角，存在以下三種，如圖1、圖2、圖3:∴一個(gè)七邊形卡片剪去一個(gè)角后可以變成的多邊形卡片可能的邊數(shù)為6或7或8，故答案為：6或7或8．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類(lèi)討論進(jìn)行求解．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)四邊形剪去一三角形后余下的多邊形為邊形【答案】三、四、五【詳解】如圖可知，一個(gè)四邊形截去一個(gè)三角形后變成三角形或四邊形或五邊形，故答案為三、四、五.【變式1-3】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)六邊形，那么原多邊形邊數(shù)為．【答案】5或6或7【分析】實(shí)際畫(huà)圖，數(shù)形結(jié)合，可知六邊形可以是五邊形，六邊形，七邊形截去一個(gè)角后得到．【詳解】解：如圖所示：六邊形可以是五邊形，六邊形，七邊形截去一個(gè)角后得到．故答案為：5或6或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形，此類(lèi)問(wèn)題要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．【題型2多邊形對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題】【例2】（23-24八年級(jí)·陜西延安·階段練習(xí)）若一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引4條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的總數(shù)為（）A．14 B．28 C．24 D．20【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有(n?3)條對(duì)角線，即可求出該多邊形的邊數(shù)．再根據(jù)n邊形對(duì)角線的總數(shù)為n(n?3)2【詳解】解：根據(jù)題意，一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引4條對(duì)角線，可知該多邊形的邊數(shù)為4+3=7，∴這個(gè)多邊形對(duì)角線的總數(shù)為7×(7?3)2故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線的條數(shù)問(wèn)題，熟練掌握n邊形的相關(guān)公式是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期末）我們知道，三角形的穩(wěn)定性在日常生活中被廣泛運(yùn)用.要使不同的木架不變形，四邊形木架至少要再釘1根木條；五邊形木架至少要再釘2根木條；…按這個(gè)規(guī)律，要使n邊形木架不變形至少要再釘根木條.（用n表示，n為大于3的整數(shù)）【答案】n-3【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，需要的木條數(shù)等于過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)．【詳解】過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形，所以，要使一個(gè)n邊形木架不變形，至少需要（n-3）根木條固定．故答案為：（n-3）．【點(diǎn)睛】考查了三角形的穩(wěn)定性以及多邊形的對(duì)角線的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成把多邊形分成三角形的問(wèn)題．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）邊長(zhǎng)為整數(shù)的正多邊形的周長(zhǎng)17，則過(guò)該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)條對(duì)角線．【答案】14【分析】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n（n≥3），邊長(zhǎng)為a，根據(jù)邊長(zhǎng)為整數(shù)的正多邊形的周長(zhǎng)17，求出n的值，根據(jù)過(guò)n多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)為n?3，即可得解．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n（n≥3），邊長(zhǎng)為a，由題意，得：na=17，∴a=17∵a為整數(shù)，∴n=17；∴過(guò)該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)：17?3=14條對(duì)角線；故答案為：14【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線條數(shù)．熟練掌握從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引n?3條對(duì)角線，是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·遼寧遼陽(yáng)·期末）過(guò)m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有9條對(duì)角線，n邊形沒(méi)有對(duì)角線，則mn的值為．【答案】36【分析】根據(jù)m邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（m-3）條對(duì)角線，以及沒(méi)有對(duì)角線的多邊形是三角形，可以得出結(jié)果．【詳解】解：∵過(guò)m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有9條對(duì)角線，∴m-3=9，m=12；∵n邊形沒(méi)有對(duì)角線，∴n=3，∴mn=12×3=36；故答案為：36．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算公式．【題型3對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題】【例3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【答案】C【分析】根據(jù)多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各頂點(diǎn)所得三角形數(shù)比多邊形的邊數(shù)少1即可求解．【詳解】解：多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為2003+1＝2004．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的概念，熟練掌握多邊形的概念是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·湖北·課后作業(yè)）通過(guò)連接對(duì)角線的方法，可以把十邊形分成互不重疊的三角形的個(gè)數(shù)（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】B【詳解】從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，分成(n-2)個(gè)三角形，故把十邊形分成互不重疊的三角形的個(gè)數(shù)為10-2=8個(gè).故選B.【變式3-2】（23-24八年級(jí)·四川巴中·期末）從一個(gè)n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連結(jié)這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，若把這個(gè)多邊形分割為6個(gè)三角形，則n的值是．【答案】8【分析】根據(jù)從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n-3）條對(duì)角線，把n邊形分為（n-2）的三角形作答．【詳解】設(shè)多邊形有n條邊，則n?2=6，解得n=8.故答案為8.【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的對(duì)角線，解題關(guān)鍵在于掌握計(jì)算公式.【變式3-3】（23-24八年級(jí)·湖北·課后作業(yè)）將已知六邊形ABCDEF，用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，那么各種不同的剖分方法種數(shù)是（）A．6 B．8 C．12 D．14【答案】D【詳解】∵六邊形ABCDEF有6個(gè)頂點(diǎn)，且用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，∴只能通過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)作三條對(duì)角線(如圖1)，這種分法有6種，也從一個(gè)頂點(diǎn)作兩條對(duì)角線(如圖2)，這種分法有2種，如圖3，中間是個(gè)四邊形，兩端2個(gè)三角形，把四邊形加條對(duì)角線，這種分法有6種，故各種不同的剖分方法有14種．故選D.知識(shí)點(diǎn)2：多邊形的內(nèi)角和與外角和（1）邊形內(nèi)角和等于．正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(n≥3)．（2）在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).【題型4多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】【例4】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·期中）小明在計(jì)算多邊形內(nèi)角和時(shí)，把其中一個(gè)內(nèi)角多加了一次，得到內(nèi)角和為500°，則多加的這個(gè)內(nèi)角的大小為．【答案】140°【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意，把一個(gè)內(nèi)角多加一次即為整除之后的余數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，且每個(gè)內(nèi)角應(yīng)大于0°而小于180°，根據(jù)這些條件進(jìn)行分析求解．【詳解】解：由多邊形內(nèi)角和公式n?2×180°多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)，∴多加的一個(gè)內(nèi)角是500÷180的余數(shù)即為140°故答案為140°【變式4-1】（23-24八年級(jí)·湖南永州·期中）小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為2000°；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角！則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（

）A．140° B．150° C．160° D．170°【答案】C【分析】n邊形的內(nèi)角和是(n?2)?180°，少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得2000°．則內(nèi)角和是(n?2)?180°與2000°的差一定小于180度，并且大于0度．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是x°，則有0°<(n?2)×180°?2000<180°，則2000°=180°×12?160°，因?yàn)?°<x°<180°，所以x°=160°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．解答此題的關(guān)鍵是把所求的角正確的分解為180°與一個(gè)正整數(shù)的積再減去一個(gè)小于180°的角的形式，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求解．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·湖北孝感·期中）小明計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)誤把一個(gè)外角加進(jìn)去了，得其和為2620°.（1）求這個(gè)多加的外角的度數(shù).（2）求這個(gè)多邊形的邊數(shù).【答案】（1）100；（2）16【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)，然后求出多邊形的邊數(shù)以及多加的外角的度數(shù)即可得解．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，多加的外角度數(shù)為α，則（n-2）?180°=2620°-α，又∵2620°=14×180°+100°，內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，∴小明多加的一個(gè)外角為100°，∴這是14+2=16邊形的內(nèi)角和．故這個(gè)多加的外角的度數(shù)為100°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是16．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式判斷出多邊形的內(nèi)角和公式是180°的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）馬小虎在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了2個(gè)內(nèi)角，其和等于830°A．7 B．8 C．7或8 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，即為180°的（n-2）倍，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去2個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180度的商加上2，以后所得的數(shù)值，比這個(gè)數(shù)值大1或2的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】設(shè)少加的2個(gè)內(nèi)角和為x度，邊數(shù)為n．則（n-2）×180=830+x，即（n-2）×180=4×180+110+x，因此x=70，n=7或x=250，n=8．故該多邊形的邊數(shù)是7或8．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確理解多邊形內(nèi)角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【題型5多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】【例5】（23-24·上海徐匯·二模）如果剪掉四邊形的一個(gè)角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)不可能是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】B【分析】分四邊形剪去一個(gè)角，邊數(shù)減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內(nèi)角和，即可得解．【詳解】解：剪去一個(gè)角，若邊數(shù)減少1，則內(nèi)角和＝（3﹣2）×180°＝180°，若邊數(shù)不變，則內(nèi)角和＝（4﹣2）×180°＝360°，若邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，所以，所得多邊形內(nèi)角和的度數(shù)可能是180°，360°，540°，不可能是270°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要注意剪去一個(gè)角有三種情況．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·河南商丘·期中）如圖，在正方形ABCD中，截去∠A、∠C后，∠1、∠2、∠3、∠4的和為．【答案】540°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出截去∠A、∠C后六邊形的內(nèi)角和，再減去∠B和∠D的度數(shù)，即可求出∠1、∠2、∠3、∠4的和．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵截去∠A、∠C后，組成的圖形是六邊形∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠D=720°∴∠1+∠2+∠3+∠4=720°?∠B?∠D=540°故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的角度問(wèn)題，掌握多邊形內(nèi)角和定理和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等，則符合條件的剪法是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理逐一判斷即可得答案．【詳解】三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360°，五邊形內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°，①剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是四邊形，它們的內(nèi)角和都是360°，符合條件，②剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是五邊形和三角形，它們的內(nèi)角和分別是540°和180°，不符合條件，③剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形都是三角形，它們的內(nèi)角和是180°，符合條件，④剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形是三角形和四邊形，它們的內(nèi)角和分別是180°和360°，不符合條件，∴符合條件的剪法是①③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·期中）已知一個(gè)包裝盒的底面是內(nèi)角和為720°的多邊形，它是由另一個(gè)多邊形紙片剪掉一個(gè)角以后得到的，則原多邊形是邊形．【答案】五或六或七【分析】首先求得內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)，再分三種情況考慮截角，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，∴(n?2)×180°=720°，解得：n=6，∴包裝盒的底面是六邊形，如圖1所示，截線不過(guò)頂點(diǎn)和對(duì)角線，則原來(lái)的多邊形是五邊形；如圖2所示，截線過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)，則來(lái)的多邊形是六邊形；如圖3所示，截線過(guò)一條對(duì)角線，則來(lái)的多邊形是七邊形．故答案為：五或六或七．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形知識(shí)，注意截去一個(gè)角有三種情況需要考慮．【題型6復(fù)雜圖形的內(nèi)角和】【例6】（23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中）圖1是二環(huán)三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，圖2是二環(huán)四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，圖3是二環(huán)五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°…聰明的同學(xué)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出二環(huán)十邊形，S＝_____________度（

）

A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【答案】C【分析】本題只看圖覺(jué)得很復(fù)雜，但從數(shù)據(jù)入手，就簡(jiǎn)單了，從圖2開(kāi)始，每個(gè)圖都比前一個(gè)圖多360度．抓住這點(diǎn)就很容易解決問(wèn)題了．【詳解】解：依題意可知，二環(huán)三角形，S＝360度；二環(huán)四邊形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二環(huán)五邊形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∴二環(huán)十邊形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，本題可直接根據(jù)S的度數(shù)來(lái)找出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律表示出二環(huán)十邊形的度數(shù)．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【答案】540°【分析】連接ED，由三角形內(nèi)角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】連接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和公式，以及多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)×180°是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖，已知兩塊三角板如圖擺放，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別在兩塊三角板的邊上，一塊三角板的頂點(diǎn)M在另一塊三角板的邊上，且∠BAC=37°，∠E=60°，∠F=45°，則∠ABE+∠EMF+∠FCA=°．【答案】68【分析】延長(zhǎng)BE交AC于D，延長(zhǎng)CF交BD于G，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠EGF＝∠BDC＋【詳解】解：延長(zhǎng)BE交AC于D，延長(zhǎng)CF交BD于G，∵∠BDC∴∠EGF∵∠EGF+∠EMF+∠MEG+∠MFG=360°,∴∠EGF+∠EMF+180°?∠E+180°?∠F=360°,∴∠EGF+∠EMF=∠E+∠F,∵∠E=60°,∠F=45°,∴∠ABE∵∠A=37°,∴∠ABE故答案為：68°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=．（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=．【答案】360°540°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求得∠A+∠1+∠D+∠F=360°，∠B+∠2+∠E+∠G=360°，再利用三角形內(nèi)角關(guān)系可得∠C=∠1+∠2?180°，進(jìn)而可求得．【詳解】解：（1）∵在△ACE中，∠A+∠C+∠E=180°，在△BDF中，∠B+∠D+∠F=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案為360°；（2）如圖，∵∠A+∠1+∠D+∠F=360°，∠B+∠2+∠E+∠G=360°，∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠D+∠E+∠F+∠G=720°．∵∠C=180°?180°?∠1∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=720°?180°=540°．故答案為540°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及多邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．【題型7多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）[應(yīng)用意識(shí)]清晨，小明沿著一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男÷钒茨鏁r(shí)針?lè)较蚺懿?，如圖．

(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角，在圖上標(biāo)出；(2)他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？(3)你是怎么得到的？【答案】(1)圖見(jiàn)解析，∠1,∠2,∠3,∠4,∠5(2)他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是360°(3)五邊形的外角和等于360°【分析】（1）根據(jù)圖形進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)多邊形外角和進(jìn)行解答即可；（3）多邊形的外角和等于360°．【詳解】（1）解：如圖，小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5．

（2）解：他每跑一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是360°（3）解：五邊形的外角和等于360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360°．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，螞蟻先從點(diǎn)A出發(fā)前進(jìn)6cm，向右轉(zhuǎn)72°，再前進(jìn)6cm，又向右轉(zhuǎn)72°，…，這樣一直走下去，那么螞蟻第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了

【答案】30【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出螞蟻所走的路線為正多邊形，牢記任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°，正多邊形的每一個(gè)外角都相等．由題意可知螞蟻所走的路線為正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和定理即可求出答案．【詳解】解：∵螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)最后回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為n=360°÷72°=5，則一共走了5×6=30（厘米）．故答案為：30．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·山西呂梁·階段練習(xí)）《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著之一，文學(xué)社團(tuán)的同學(xué)在搜集相關(guān)資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一張如圖①所示的《紅樓夢(mèng)》紀(jì)念幣圖案（將紀(jì)念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個(gè)圖案可以抽象成有公共邊的兩個(gè)正八邊形，如圖②，則∠1的度數(shù)是．【答案】90°/90度【分析】此題考查了正多邊形的外角性質(zhì)，利用正多邊形的外角性質(zhì)以及外角和是360°即可求出答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的外角性質(zhì)以及外角和是360°．【詳解】∵正八邊形的外角和是360°，共八個(gè)外角且每個(gè)外角都相等，∴每個(gè)外角都是360°8∴∠1=正八邊形的兩個(gè)外角的和=90°，故答案為：90°．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）如圖1，小紅沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周?chē)男÷?，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿剑〖t每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場(chǎng)ABCDE的內(nèi)角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國(guó)”活動(dòng)，從點(diǎn)A起跑，繞湖周?chē)男÷放苤两K點(diǎn)E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度的和（圖【答案】(1)540(2)360(3)160°【分析】（1）根據(jù)五邊形內(nèi)角和求解即可；（2）跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和；（3）延長(zhǎng)NE交AB于點(diǎn)F，再在五邊形FBCDE中計(jì)算即可．【詳解】（1）五邊形廣場(chǎng)ABCDE的內(nèi)角和5?2×180°=540°故答案為：540；（2）∵跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和，∴跑步方向改變的角度的和是360度，故答案為：360；（3）延長(zhǎng)NE交AB于點(diǎn)F

∵M(jìn)A∴∠1=∠6∵∠1+∠2=∴∠6+∠2=∵在五邊形FBCDE中∠6+∠3+∠4+∠5+∠2=∴∠3+∠4+∠5=【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360度的知識(shí)點(diǎn)．【題型8多邊形內(nèi)（外）角和與平行線的綜合運(yùn)用】【例8】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期中）已知在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是△ABC的角平分線．(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，求(2)如圖2，PE平分∠AEC交AC于點(diǎn)F，交△ACB外角∠ACM平分線于點(diǎn)P，過(guò)F作FG∥PC交BC于G，請(qǐng)猜想∠EFG與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BM于點(diǎn)G，若∠EAD=∠CAD，且∠B+∠CPE=107∠CPG，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H【答案】(1)∠EAD=10°(2)∠EFG=1(3)95°【分析】（1）先求解∠BAC=80°，∠BAC=40°，∠AEC=80°，再結(jié)合三角形的高可得答案；（2）先證明∠P=∠PCM?∠PEM=12(∠ACM?∠AEM)=12∠CAE結(jié)合（3）設(shè)∠EAD=∠CAD=2α，可得∠BAE=∠CAE=4α，∠BAC=8α，∠BAD=6α，∠B=90°?6α，結(jié)合（2）可得，∠CPE=14∠BAC=2α，求解∠CPG=90°?∠PCG=45°?α【詳解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=80°，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE=∠CAE=40°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=80°，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=10°．（2）∠EFG=1∵PE，PC分別平分∠AEC和△ACB的外角∠ACM，∴∠PEM=12∠AEM∴∠P=∠PCM?∠PEM=1∵∠CAE=1∴∠P=1∵FG∥PC，∴∠P=∠EFG，∴∠EFG=1（3）設(shè)∠EAD=∠CAD=2α，∴∠BAE=∠CAE=4α，∴∠BAC=8α，∠BAD=6α，∠B=90°?6α，∴由（2）可得，∠CPE=∵PC平分∠ACM，∴∠PCG=1∴∠CPG=90°?∠PCG=45°?α∵∠B+∠CPE=∴(90°?6α)+2α=10∴α=10°，∴∠B=30°，∠PEM=∴∠BEP=180°?∠PEM=145°∵PH⊥AB，∴∠BHP=90°在四邊形EBPH中，∠EPH=360°?∠BEP?∠B?∠BHP=95°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的含義，理清各角度之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束太陽(yáng)光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【答案】6【分析】過(guò)A2作A2B∥A1An，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠3，∠CA2B=∠1，求得∠【詳解】解：過(guò)A2作A

則∠4=∠3，∠C∵∠1?∠2=60°∴∠設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x，則∠4=180°?x∴x=60°+∠3∴∠3=x?60°∵180°?x=x?60°，解得x=120°∴∠4=60°∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正多邊形外角求正多邊形的邊數(shù)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正多邊形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）在△ABC中，∠C=90°,∠A=42°．點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，且均不與△ABC的頂點(diǎn)重合，連接DE，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'始終落在四邊形BCDE的外部，A'D交邊AB于點(diǎn)F，且點(diǎn)A(1)如圖①，則∠B=_______°．(2)如圖②，則∠BED+∠CDE=_______°．(3)如圖③，設(shè)圖②中的∠CDF=∠1,∠A'EF=∠2(4)當(dāng)△A'DE的某條邊與AB或AC【答案】(1)48(2)222(3)84°(4)24°或45°【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，平行的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠B的度數(shù)；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠BED+∠CDE的度數(shù)；（3）由（2）的結(jié)論可得∠BED+∠EDF+∠1=222°，由折疊可得∠A'=∠A=42°（4）分兩種情況：EA'⊥AC或D【詳解】（1）解：∠B=180°?∠C?∠A=180°?90°?42°=48°，故答案為：48；（2）解：∵∠BED+∠CDE+∠C+∠B=360°，∴∠BED+∠CDE=360°?∠C?∠B=360°?90°?48°=222°，故答案為：222；（3）解：由（2）知∠BED+∠CDE=222°，∴∠BED+∠EDF+∠1=222°①由折疊知∠A∵∠A∴∠2+∠BED+∠EDF=180°?∠A①?②得：（4）解：如圖，當(dāng)EA∵BC⊥AC，∴EA∴∠2=∠B=48°，由（3）知∠1?∠2=84°，∴∠1=84°+∠2=132°，由折疊知∠ADE=∠A∴∠ADE=1如圖，當(dāng)DA∠ADE=12如圖，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)A'與點(diǎn)C在直線AB綜上可知，∠ADE的度數(shù)為24°或45°．【變式8-3】（14-15八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y（0°<x<180°，0°<y<180°）．(1)∠ABC+∠ADC=_______（用含x、y的代數(shù)式表示）．(2)如圖①，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請(qǐng)寫(xiě)出DE與BF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖②，∠DFB為與∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①當(dāng)x<y時(shí)，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y；②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)指出x、y滿(mǎn)足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．【答案】(1)360°?x?y；(2)DE⊥BF，理由見(jiàn)解析；(3)①x=40°，y=100°；②當(dāng)0°<x<180°且x=y時(shí)，∠DFB不存在．【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°直接計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)（1）與x=y=90°時(shí)，∠ABC+∠ADC=180°，結(jié)合∠ABC+∠CBM=180°得到∠CBM=∠ADC，根據(jù)DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，得到∠EDC=∠CBF，根據(jù)∠C=90°，（3）①連接FC并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，根據(jù)x+y=140°得到∠ABC+∠ADC，結(jié)合DF平分∠NDC得到∠FDC，同理得到∠FBC，即可得到∠DCB，即可得到答案；②過(guò)點(diǎn)C作KQ∥DE，由①得：∠EDC=90°?12∠ADC，∠CBF=90°?12∠ABC，結(jié)合KQ∥DE得到∠EDC=∠DCK，表示出∠BCK，由（1）結(jié)論及【詳解】（1）解：∵在四邊形ABCD中，∴∠ABC+∠ADC+∵∠A=x，∠C=y，∴∠ABC+∠ADC=360°?x?y；（2）解：DE⊥BF，理由：如答圖①，延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)G，由（1）知：∠ABC+∠ADC=360°?∠A+∠C∴當(dāng)x=y=90°時(shí)，∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠CBM=∠ADC，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠EDC=∠CBF，又∵∠C=90°，∴∠EDC+∠DEC=180°?∠C=90°，∵∠BEG=∠DEC，∠EDC=∠CBF，∴∠CBF+∠BEG=90°，.∴∠EGB=180°?90°=90°，∴DE⊥BF；（3）解：①如答圖②，連接FC并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，∵x+y=140°，∴∠ABC+∠ADC=360°?∠A+∠C∵DF平分∠NDC，∴∠FDC=同理可證，∠FBC=90°?1∵∠DCH=∠CDF+∠DFC，∠HCB=∠CBF+∠HFB，∴∠DCB=∠DCH+∠HCB=∠CDF+∠CBF+∠DFB=210°?1∴y=100°，x=40°；②如答圖③，過(guò)點(diǎn)C作KQ∥DE，由①得：∠EDC=90°?12∠ADC∵KQ∥DE，∴∠EDC=∠DCK=90°?1∴∠BCK=∠DCB?∠DCK=y?90°?又∵∠ABC+∠ADC=360°?∠A+∠C∴當(dāng)x=y時(shí)，∠ABC+∠ADC=360°?2y，∴∠ABC=360°?2y?∠ADC.∴∠CBF=90°?1∴∠KCB=∠CBF，∴KQ∥BF，∴DE∥BF，此時(shí)，DE與BF沒(méi)有交點(diǎn)，∴當(dāng)0°<x<180°且x=y時(shí)，∠DFB不存在；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)角平分線求解，四邊形內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線及注意整體代換的思想．【題型9多邊形內(nèi)（外）角和與角平分線的綜合運(yùn)用】【例9】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）在四邊形ABCD中，O在其內(nèi)部，滿(mǎn)足∠ABO=1n∠ABC(1)如圖1，當(dāng)n=2時(shí)，如果∠A+∠D=260°，直接寫(xiě)出∠O的度數(shù)______；(2)當(dāng)n=3時(shí)，M、N分別在AB、DC的延長(zhǎng)線上，BC下方一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN，①如圖2，判斷∠O與∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，延長(zhǎng)線段BO、PC交于點(diǎn)Q，△BQP中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，直接寫(xiě)出∠A+∠D的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】(1)130°(2)①見(jiàn)解析②210°或240°【分析】本題考查四邊形的內(nèi)角和及角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟知四邊形的內(nèi)角和是360°是解題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及角平分線的定義，求出∠OBC+∠OCD，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①首先由已知求出∠OBC=23∠ABC，∠PBC=23∠MBC，根據(jù)平角的定義得出∠PBO=∠PBC+∠OBC=23×180°=120°，同理∠PCO=120°【詳解】（1）解：∵∠ABO=1n∠ABC∴當(dāng)n=2時(shí)，∠ABO=12∠ABC∴∠ABC=2∠CBO，∠DCB=2∠OCB，∵∠A+∠D=260°，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°，∴∠ABC+∠DCB=100°，∴∠CBO+∠OCB=50°，∴∠O=180°?(∠CBO+∠OCB)=130°；故答案為：130°；（2）①∠O+∠P=120°．證明：∵∠ABO=1n∠ABC∴當(dāng)n=3時(shí)，∠OBC=23∠ABC∵∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN，∴∠CBP=23∠CBM∴∠PBO=∠PBC+∠OBC=2同理∠PCO=120°，∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO=360°，∴∠O+∠P=360°?120°?120°=120°．②由①得：∠PBQ=120°，∠PCO=120°，如果△BQP中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分二種情況：當(dāng)∠P=2∠Q，∵∠PBQ=120°，∴∠Q=20°，則∠P=40°，∴∠PBC+∠BCP=180°?40°=140°，∴∠CBO+∠OCB=2×120°?140°=100°，∵∠OBC=23∠ABC∴∠ABC+∠DCB=150°，∴∠A+∠D=360°?150°=210°；當(dāng)∠Q=2∠P，∵∠PBQ=120°，∴∠P=20°，則∠Q=40°，∴∠PBC+∠BCP=180°?20°=160°，∴∠CBO+∠OCB=2×120°?160°=80°，∵∠OBC=23∠ABC∴∠ABC+∠DCB=120°，∴∠A+∠D=360°?120°=240°．綜上所述，∠A+∠D的度數(shù)為：210°或240°．故答案為：210°或240°．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形MNCB中，∠P=25°，∠MBC和∠NCD的平分線交于點(diǎn)P，則∠M+∠N的度數(shù)為（

）

A．200° B．210° C．220° D．230°【答案】D【分析】先根據(jù)角平分線的定義得出∠PCD=∠NCP，∠MBP=∠PBC，根據(jù)三角形的外角得出∠PCD=∠NCP=25°+∠PBC，進(jìn)而求出∠NCB=130°?2∠PBC，根據(jù)∠M+∠N+∠MBC+∠NCB=360°，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：∵∠MBC和∠NCD的平分線交于點(diǎn)P，∴∠PCD=∠NCP，∠MBP=∠PBC，∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠P=25°，∴∠PCD=∠NCP=25°+∠PBC，∴∠NCB=180°?∠NCD=180°?225°+∠PBC在四邊形MNCB中，∠M+∠N+∠MBC+∠NCB=360°，∴∠M+∠N+2∠PBC+130°?2∠PBC∴∠M+∠N=360°?130°=230°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，四邊形的內(nèi)角和，三角形的外角，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，ED⊥AB于點(diǎn)D，∠CED的平分線交AC于點(diǎn)F，連接BF交ED于點(diǎn)H，∠AFB的角平分線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若∠CFH=∠EHF，∠ABF=12∠CFE，則【答案】22.5°【分析】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義．設(shè)∠ABF=α，則∠CFE=2α，由四邊形內(nèi)角和定理得180°?4α+290°?α+90°=360°，求得【詳解】解：設(shè)∠ABF=α，則∠CFE=2α，∵ED⊥AB，∴∠HDB=90°，∴∠BHD=90°?α，∴∠EHF=90°?α，∵∠CFH=∠EHF，∴∠CFH=90°?α，∵∠ACB=90°，∴∠CEF=90°?∠CFE=90°?2α，∵EF平分∠CED，∴∠CEH=2∠CEF=180°?4α，由四邊形內(nèi)角和定理得180°?4α+290°?α解得α=15°．∴∠CFH=∠EHF=90°?α=75°，∴∠EFH=75°?2α=45°，∠CEF=60°=∠FEP，∠AFB=180°?∠CFH=105°，∵PF平分∠AFB，∴∠HFP=1∴∠P=180°?60°?45°?52.5°=22.5°，故答案為：22.5°．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·山東日照·期末）已知：多邊形的外角∠CBE和∠CDF的平分線分別為BM，DN．(1)若多邊形為四邊形ABCD．①如圖①，∠A=50°,∠C=100°，BM與DN交于點(diǎn)P，求∠BPD的度數(shù)；②