教案：人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊25

2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)（1）

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課

主要學習橢圓的幾何性質(zhì)

教材的地位和作用地位：本節(jié)課是在橢圓的概念和標準方程的基礎上，運用代數(shù)的方法，研

究橢圓的簡單幾何性質(zhì)及簡單應用.本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度直接影響學習雙曲線和拋物線幾何性

質(zhì)。作用：提高學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想，及分析問題和解決問題的能力。因此,

內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位。

教學目標與核心素養(yǎng)

課程目標學科素養(yǎng)

A.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握a,b,c,e的幾1.數(shù)學抽象：橢圓的幾何性質(zhì)

何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系.

2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

B.嘗試利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

3.數(shù)學運算：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

質(zhì).

C.嘗試利用橢圓的知識解決簡單的實際問4.數(shù)學建模：利用橢圓的知識解決應用問題

題.5.直觀想象：離心率的幾何意義

重點難點

重點：橢圓的幾何性質(zhì)

難點：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)

課前準備

多媒體

教學過程

教學過程教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、創(chuàng)設問題情境，探究新知

下面我們由橢圓的方程來研究橢圓具有的幾何性質(zhì)

已知橢圓c的方程為亍+y2=1,根據(jù)這個方程完成下列任務：

(1)已觀察方程中與是否有取值范圍，由此指出橢圓C在通過特例，通過

橢圓的標準方程，運

平面直角坐標系中的位置特征；

用方程與函數(shù)的思

(2)指出橢圓C是否關(guān)于久軸、y軸、原點對稱；想，獲得橢圓的幾何

(3)指出橢圓C與坐標軸是否有交點，如果有，求出交點坐標.性質(zhì)，進而推廣到一

般。幫助學生進一步

K體會數(shù)形結(jié)合的思

想方法。發(fā)展學生數(shù)

x=-2x=2學運算，數(shù)學抽象和

橢圓的幾何性質(zhì)

數(shù)學建模的核心素

焦點的養(yǎng)。

焦點在X軸上焦點在y軸上

位置

圖形

JBA0\LBx

也2

標準2222

1-1-3，—1_i_x一i、

2I,oJL<Qv/yo1joJL〈N。U/

方程abab

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

范圍-a<x<a且-b〈y〈b-b<x<b_0_-a<y<a

A(-a,0),A(a,0),A(0,-a),A(0,a),

1212

頂點

B(0,-b),B(0,b)B(-b,0),B(b,0)

1212

軸長長軸長為短軸長為2b

隹占F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)

，、'、八、、1212

焦距2c

對稱性對稱軸:X軸、y軸，對稱中心:坐標原點

2

離心率e=￡e(0,1),其中c=A/<22—b

a

1.已知橢圓C:?+Y=l的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()

解析:?.,層=4+22=8,；.a=2a.；.e=：=蠢=當故選C.

答案:C

2.判斷

⑴橢圓a+患=1(。>6>0)的長軸長是a.()

(2)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的

方程為言+告L()

(3)設F為橢圓捺+譽=1(心6>0)的一個焦點，川為其上任一點，則

的最大值為a+c(c為橢圓的半焦距).()

答案:(l)x(2)x(3)4

(1)根據(jù)橢圓離心率的定義判斷橢圓離心率的取值范圍；

(2)猜想橢圓離心率的大小與橢圓的形狀有什么聯(lián)系，并嘗試證

明。

思考1.離心率對橢圓扁圓程度的影響？

提示:如圖所示，在RtA5FO中,cos/3F2O=￡，記e=￡，則0<e<l,e越大,

2aa

NB&O越小，橢圓越扁;e越小尸2。越大，橢圓越接近于圓.

二、典例解析

22

例1已知橢圓C1%+5=1,設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長

1UU64

分別相等,且橢圓c的焦點在y軸上.

(1)求橢圓q的半長軸長、半短軸長、焦點坐標及離心率；

(2)寫出橢圓C的方程，并研究其性質(zhì).

2

22

解:(1)由橢圓。:3+2=1，可得其半長軸長為10,半短軸長為8,焦點

10064

坐標為(6,0),(-6,0),離心率e=|.

22

(2)橢圓C2：三+5=1.性質(zhì)如下：

①范圍:-8WxW8且-10姿10;②對稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點對稱;③頂

點:長軸端點(0,10),(0,-10),短軸端點(-8,0),(8,0);④焦點:(0,6),(0,-6);⑤

通過典型例題，

離心率：e=『

掌握根據(jù)橢圓的基

討論橢圓的幾何性質(zhì)時,一定要將方程化為標準方程，標準方程

222本幾何性質(zhì)及其簡

能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來，另外要抓住橢圓中a-b=c這一核心

單運用，提升學生數(shù)

關(guān)系式.

2222學建模，數(shù)形結(jié)合，

跟蹤訓練1求橢圓wzX+4"Z>=1(相>0)的長軸長、短軸長、焦點坐

及方程思想，發(fā)展學

標、頂點坐標和離心率.

生邏輯推理，直觀想

解:由己知得三+^^=1(優(yōu)>0),因為0<"於<4"72所以上>

24M2

7n象、數(shù)學抽象和數(shù)學

所以橢圓的焦點在x軸上,并且半長軸長a=^,

運算的核心素養(yǎng)。

半短軸長6=白泮焦距°=二,所以橢圓的長軸長2a=2短軸長26」,

2m2mmm

焦點坐標為(吟,。),(東。)，頂點坐標為(力),G，o),(o,一

例2橢圓[+[=1伍>6>0)的兩焦點為廠尸，以為邊作正三角

a2b21212

形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率

為.

解析:方法-一:如圖,???△。分/2為正三角形,N為。尸2的中點，

9

:,F\NLFzN.：\NF2\=\OF2\=C,

&尸2『-囚?2『=V4c2-c2=V3c.

由橢圓的自三義可知|NFi|+|NF2|=2a,

、,（V3+1）C.C2Et

V3c+c=.2凡..“一2???e，=B+i=V3-l.

方法二:注意到焦點三角形NF\Fz中，/酒\尸2=30。,/即2Fi=60。,/

，則由離心率的焦點三角形公式，可得

FI7VF2=90°

sinzF1NF2_sin90。_1一后、

nnz.NFF+sinz.NFF-sin30o+sin60°-工+在一'"；

122122

―

0\Fyx.

答案:遮-1

變式1若例2改為如下:橢圓真+3=1（46>0）的兩焦點尸1,尸2,以

尸1后為底邊作等腰直角三角形，其三角形頂點恰好落在橢圓的頂點處，

則橢圓的離心率為__________.

解析根據(jù)等腰直角三角形的特征可知層+°2=402,即（e=￥

答案］

22

例3已知橢圓京+也=1（心6>0）尸1,尸2分別是橢圓的左、右焦點桶

圓上總存在點P使得PHLP尸2,則橢圓的離心率的取值范圍

為___________.

解析:由小」勿2,知△尸1尸尸2是直角三角形，

所以\OP\=c>b,即c2>a2-c2,^S以tz<V2c.

因為e=1Ove<1,所以，1.

答案卷,1）

求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法

（3）方程法:若a,c的值不可求，則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，

222

借助于a=b+c，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程（或不等式），再將方程（或

不等式）兩邊同除以a的最高次募，得到關(guān)于e的方程（或不等式），即可

求得e的值（或取值范圍）.

⑴直接法:若已知a,c,可直接利用e=（求解.若已知”力（或6,c）可借助

于q2=62+c2求出c（或a）,再代入公式e=:求解.

⑵幾何法:若借助數(shù)形結(jié)合，可挖掘涉及幾何圖形的性質(zhì),再借助

次=62+02找到a與c的關(guān)系或求出a與c,代入e,即可得到.

a

22__

跟蹤訓練2⑴已知橢圓器+竟=13>6>0）過點（1,回,其離心率的取值

范圍是原基,則橢圓短軸長的最大值是（）

A.4B.3C.V1TD.2V3

22

⑵設尸陷分別是橢圓￡:京+a=1（。>6>0）的左、右焦點,P為直線

上一點，△尸2PB是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率

為.

解析:⑴由題意，可得*+真=1,即層=言.

濟2

因為層=62+02,所以攝=袈=號一3花離心率的取值范圍是

b2-2

[1，9所以汐一"號解得6嚕?]）

所以橢圓短軸長的最大值是VH.

⑵由題意，知/FFiP=Z/2尸尸1=30°,，ZPF^c=60°.：.

|PF2|=2x（|a-c）=3a-2c.*.,甲1尸2|=2。,斗/2|=|尸「2|,，3a-2c=2c,；.e=（=

J答案:⑴C（2）|

（3）已知橢圓喧+*1（心人>0）的左、右焦點分別為尸1匹,右頂點為

）,上頂點為8,若橢圓C的中心到直線AB的距離為9尸1月|,求橢圓C

的離心率.

解:由題意知/（a,0）,8（0,6）,從而直線AB的方程為:+r=1,即bx+ay-

°6=0,又尸1/2|=20,廬=曰.c'/b2=a2-c2,3a4-7a2c2+2c4=0,

解得〃=2c2或3a2=,2（舍去）,.，.e考.

例4.神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行,實現(xiàn)了中國人

民的航天夢想.某段時間飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓，地心為

橢圓的一個焦點，如右圖所示.假設航天員到地球表面的最近距離為

d，最遠距離為d，地球的半徑為凡我們想象存在一個鏡像地球，其中

12

心在神舟飛船運行軌道的另外一個焦點上，上面發(fā)射某種神秘信號，需

要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球上的人才能接收到，則傳送神秘信號的

最短距離為()

A.d+d+HB.d-d+2RC.d+d-27?D.d+d

12212112

22

解析:設橢圓的方程為京+a=1(心6>0),半焦距為c,

兩焦點分別為尸1尸2,飛行中的航天員為點P,

由已知可得。?！皠t2a=di+d2+2R,

故傳送神秘信號的最短距離為|P尸11+|巴切-27?=2a-2R=4+力

答案:D

三、達標檢測

22

1.已知點(3,2)在橢圓a+色=1上，則()

A.點(-3,-2)不在橢圓上B.點(3,-2)不在橢圓上

通過練習鞏固本

C.點(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上

節(jié)所學知識，通過

解析:由橢圓以坐標軸為對稱軸，以原點為對稱中心可知，點在橢

(-3,2)學生解決問題，發(fā)

圓上，故選C.

展學生的數(shù)學運

答案:C

算、邏輯推理、直

2.設AB是橢圓5+真=l(a>b>0)的長軸，若把線段AB分為100等份，

觀想象、數(shù)學建模

過每個分點作AB的垂線，分別交橢圓的上半部分于點P,P,F

12991的核心素養(yǎng)。

為橢圓的左焦點，則|FA|+|FP|+|FP|+...+|FP|+尸引的值是

111121991

()

A.98”B.99。CAOOaD.101。

解析:由橢圓的定義及其對稱性可知

\FP\+\FP\=\FP|+|FP\=..=\FP|+|FP\=\FA\+\FB\=2a,\F

111991219814915111

P|=a,故結(jié)果應為50x2a+尸尸|=101a.

150150

答案:D

3.若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形，則該橢圓

的離心率為()

A.iB.-C.-D.-

2244

解析:不妨設橢圓的左、右焦點分別為F,F,B為橢圓的上頂點.依題

12

意可知,△8尸尸是正三角形.：在RtZ\03/中,[0P|=c,|BF|=a,N

12222

OFB-60°,cos60°=-=工.即橢圓的離心率e=3故選A.

2a22

答案:A

4.已知橢圓?+?=1左、右焦點分別為尸1,尸2,上、下頂點分別為B"B2,

則四邊形BiFiBJh的面積為.

解析:根據(jù)題意，設四邊形BlFlB2F2的面積為￡橢圓的標準方程為低+

y=1,其中a=V3,b=/，貝！jc=V3^2=1,貝ljQ(-

1,0),^2(1,0),51(0,72),52(0,-72),

即|0尸i|二|O尸2|=1,|O31|=|O2|=讓,

5.萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年

北京奧運會之后，國家體育場(又名鳥巢)將再次承辦奧運會開幕式.在

手工課上,王老師帶領(lǐng)同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其

俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢

圓的長軸長為40cm,短軸長為20cm,小橢圓的短軸長為10cm,則小

橢圓的長