專題04 隨機變量及其分布（四大題型）-【中職專用】中職高二數(shù)學(xué)題型精析通關(guān)練（高教版2023·拓展模塊一下冊）（解析版）

專題04隨機變量及其分布題型一離散型隨機變量【頻次0.3，難度0.3】例1下列敘述中，是離散型隨機變量的是（

）A．某電子元件的壽命B．高速公路上某收費站在一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)C．某人早晨在車站等出租車的時間D．測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義直接求解.【詳解】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量．故選：B．變式1下列隨機變量不是離散型隨機變量的是（

）A．連續(xù)不斷地射擊，首次擊中目標所需要的射擊次數(shù)XB．南京長江大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)XC．某種水管的外徑與內(nèi)徑之差XD．連續(xù)拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，所得點數(shù)之和X【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義進行判斷即可.【詳解】選項B、D中X的取值有限，且可以一一列舉出來，故B、D中的X均為離散型隨機變量．選項A中X的取值依次為1，2，3，…，雖然無限，但可一一列舉出來，故A中X為離散型隨機變量．而選項C中X的取值不能一一列舉出來，則C中的X不是離散型隨機變量．故選：C.例2下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機變量定義依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯誤；對于B，等出租車的事件是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量，B錯誤；對于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)是有限個或可列舉的無限多個，是離散型隨機變量，C正確；對于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機變量，D錯誤.故選：C.變式2在下列表述中不是離散型隨機變量的是（

）①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量；

②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；③某籃球下降過程中離地面的距離；

④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機變量的概念即可一一判斷，得出答案.【詳解】①②④中的隨機變量可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；③中的可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量.故選：C例3甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出的所有可能的情況，即得.【詳解】因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．變式3下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿直線y＝2x進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置η；③某指揮臺5分鐘內(nèi)接到的雷達電話次數(shù)X；④某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用離散型隨機變量的定義分析各命題，再判斷作答.【詳解】對于①，半小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；對于②，沿直線y＝2x進行隨機運動的質(zhì)點，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；對于③，5分鐘內(nèi)接到的雷達電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；對于④，某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③.故選：C題型二離散型隨機變量的分布列【頻次0.3，難度0.3】例4隨機變量X的分布列如下:X-101P若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由隨機變量分布列的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望的定義列出方程組，計算即得.【詳解】由題意，①，②，聯(lián)立①，②，解得，.故選：A.變式4下表是離散型隨機變量的分布列，則常數(shù)的值是（

）0120.36A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【分析】直接根據(jù)分布列的概率和為1列方程計算即可.【詳解】由已知得，解得或（舍去）.故選：B.例5已知隨機變量的分布列為51015則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由分布列性質(zhì)計算即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)，得，解得．故選:D.變式5已知隨機變量的分布列，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機變量的分布列結(jié)合互斥事件概率和公式計算即可.【詳解】.故選：D.例6已知隨機變量的分布列為012設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出值，求出隨機變量X的均值，再根據(jù)其性質(zhì)求解.【詳解】由題可知，解得.所以，所以.故選：A變式6設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列為：01則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，可求，進而由可求結(jié)論.【詳解】由，解得（舍去），所以．故選：D.題型三二項分布【頻次0.5，難度0.4】例7某班級共有40名同學(xué)，其中15人是團員．現(xiàn)從該班級通過抽簽選擇10名同學(xué)參加活動，定義隨機變量為其中團員的人數(shù)，則服從（

）A．二項分布 B．超幾何分布 C．正態(tài)分布 D．伯努利分布【答案】B【分析】由二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布、伯努利分布定義判斷即可.【詳解】一次試驗只包含兩個試驗結(jié)果，則稱此試驗分布為伯努利分布；將一個伯努利試驗重復(fù)做次，叫做重伯努利試驗，一般地，在重伯努利試驗中，每次試驗事件發(fā)生的概率記為，在次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)記為，則服從二項分布；件產(chǎn)品中包含件次品，從中抽取件產(chǎn)品，記件產(chǎn)品中次品數(shù)為，則服從超幾何分布；若隨機變量的概率分布密度曲線滿足正態(tài)密度函數(shù)，則稱機變量服從正態(tài)分布；所以某班級共有40名同學(xué)，其中15人是團員，現(xiàn)從該班級通過抽簽選擇10名同學(xué)參加活動，設(shè)隨機變量為其中團員的人數(shù)，則隨機變量服從超幾何分布.故選：B變式7某射手每次射擊擊中目標的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)二項分布的概率公式來解.【詳解】設(shè)為射手在30次射擊中擊中目標的次數(shù)，則，故在30次射擊中，恰有18次擊中目標的概率為.故選：B.例8設(shè)隨機變量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機變量和，寫出概率的表示式，得到關(guān)于p的方程，解出p的值，再根據(jù)，由二項分布的方差公式求得結(jié)果．【詳解】因為隨機變量，所以，解得或（舍），所以，所以.故選：D．變式8已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.【詳解】因為，所以．故選：B例9已知隨機變量服從二項分布，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二項分布的概率公式計算．【詳解】．故選：D．變式9已知隨機變量X服從二項分布，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項分布有關(guān)的公式求得正確答案.【詳解】由，得．故選：C例10從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1個，記X為取得紅球的次數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出從袋子中取出一個紅球的概率，進而得到，利用二項分布的方差公式進行求解.【詳解】由題意得：從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中取出一個球，是紅球的概率為，因為是有放回的取球，所以，所以故選：D變式10已知隨機變量X服從二項分布X～B，則P(X＝2)＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項分布概率計算公式，計算出正確選項.【詳解】.故選：C題型四正態(tài)分布【頻次0.5，難度0.4】例11已知隨機變量，且，則（

）A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得,故選：C變式11已知隨機變量X服從正態(tài)分布，則（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．0.3413 B．0.4772 C．0.6826 D．0.9544【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)寫出，再根據(jù)正態(tài)分布知識即可求解.【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布,,,根據(jù)正態(tài)分布對稱性可得.故選：B.例12某電商平臺2024年初引進了新型“直播帶貨”技術(shù)后，每日交易額（單位：萬元），估計第二季度（按90天計算）內(nèi)交易額在4460萬元到4540萬元的天數(shù)大約為（

）（）A．50天 B．61天 C．86天 D．88天【答案】B【分析】由題意可得，進而由可得結(jié)論.【詳解】由，所以，所以交易額在4460到4540盒的概率為，所以由可知大約有61天．故選：B.變式12已知隨機變量，且，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故選：C例13隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布，已知，則等于（

）A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975【答案】C【分析】由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)直接計算即可求解.【詳解】由正態(tài)分布曲線的對稱性可知，.故選：C.變式13設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．，標準差 B．，標準差C．，標準差 D．，標準差【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性分析判斷即可.【詳解】因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布，，所以，，，所以，，故選：B例14某校有1500人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于125分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的