四川省宜賓市重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)檢測 數(shù)學(xué)

2024年秋高2022級入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)集合，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則或x≥1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.2.命題“”的否定形式是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，寫出答案.【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“”的否定是：或，故選：D．3.下列不等式正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，，，且，則【答案】D【解析】【分析】舉例說明選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤；利用作差法證明選項(xiàng)D正確.【詳解】對于A，當(dāng)，，時(shí)滿足，但，所以A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)，，時(shí)，滿足，但，所以B錯(cuò)誤；對于C，由不等式的基本性質(zhì)易知，當(dāng)，，時(shí)滿足，，但，所以C錯(cuò)誤；對于D，，所以，故D正確．故選：D．4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出的定義域，結(jié)合函數(shù)列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，即，故，則的定義域?yàn)?，則對于，需滿足，即的定義域?yàn)椋蔬x：C5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先將等式變形化簡，再分析推出關(guān)系可得.【詳解】，又，即，但，如時(shí)滿足，但.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，，且，則的最小值是（）A.4 B.5 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結(jié)合不等式即可求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，故，解得，?當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.方法二：因，則，且，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：C.7.已知定義在上的函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)都有，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用賦值法求出，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可解.【詳解】賦值法知道，，解得..故選：C.8.已知函數(shù)，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，分別求出兩函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值，然后解不等式可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，使得，所以，由，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏线f增，所以，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分.）9.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.的定義域是 B.的值域是C.若，則 D.的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、由函數(shù)值求自變量、函數(shù)圖象等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域是，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)的分析可知，若，則，解得，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知關(guān)于不等式的解集為，則（）A.B.點(diǎn)在第二象限C.的最大值為D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的解與方程根的關(guān)系，一元二次不等式的解法求解.【詳解】的解等價(jià)于.因?yàn)榻饧癁?，所以，故A正確.因?yàn)?，則點(diǎn)在第三象限，故B錯(cuò)誤.，由于的最小值為，且，則有最大值為，故C正確.化為，由于，則，解得，則D正確.故選：ACD.11.已知，則下列關(guān)系正確的是（）A.ea?b>1 C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡，結(jié)合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，對A選項(xiàng)，，所以，故A正確；對B選項(xiàng)，，所以，故B選項(xiàng)不正確；對C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，而，故上述不等式等?hào)不成立，則，故C不正確；對D選項(xiàng)，,故D正確.故選：AD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若函數(shù)，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)先計(jì)算的值，繼而計(jì)算的值，即得答案.【詳解】由題意可得，故，則.故答案為：13.已知實(shí)數(shù)滿足，且，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用等式性質(zhì)變形，結(jié)合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可.【詳解】，則同號(hào)，又，則只能同正.，變形得到.則.當(dāng)且僅當(dāng)，且，則取等號(hào).由于恒成立，則，解得.故答案為：.14.定義：如果在函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，滿足f(x0)＝，則稱函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(0,2)【解析】【分析】設(shè)x0為均值點(diǎn)，由已知可得：關(guān)于x0的方程＝f(x0)有實(shí)數(shù)根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，結(jié)合題意列不等式可得：－1＜m－1＜1，問題得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，設(shè)x0為均值點(diǎn)，所以＝m＝f(x0)，即關(guān)于x0的方程－＋mx0＋1＝m在(－1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2)．.【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識(shí)的理解及方程思思，還考查了轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于難題．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，由線線垂直可得平面，進(jìn)而得，結(jié)合已知可證平面，可證結(jié)論；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，點(diǎn)豎直向上方向所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，又是平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖所示，連接，，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由題得，且，，平面，則平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，點(diǎn)豎直向上方向所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，A2,0,0，，，，因?yàn)?，所以由勾股定理可得，即①，且②，?lián)立①②兩式，可得，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，，，由題意可知，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面一個(gè)法向量為，有，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為．16.設(shè)數(shù)列an前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求an（2）設(shè)，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：，利用錯(cuò)位相減法可得，結(jié)合恒成立問題分析求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，則，兩方程相減得，即；可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，則，，兩式相減得，可得，即.因?yàn)?，可知是單調(diào)遞增數(shù)列，且，可得，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪?，可得，解得，所以的取值范圍?17.健身運(yùn)動(dòng)可以提高心肺功能，增強(qiáng)肌肉力量，改善體態(tài)和姿勢，降低患病風(fēng)險(xiǎn).這些好處吸引著人們利用空閑的時(shí)間投入到健身運(yùn)動(dòng)中，以改善自己的身體狀況，增強(qiáng)一下體質(zhì).某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長情況，隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時(shí)長合計(jì)周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計(jì)65135200（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長是否與年齡有關(guān)？精確到0.001；（2）現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取10人做進(jìn)一步訪談，再從這10人中隨機(jī)抽取5人填寫調(diào)查問卷.記抽取5人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）首先求出周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)、不少于4小時(shí)的人數(shù)，依題意所有可能的取值為，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】零假設(shè)：周平均鍛煉時(shí)長與年齡無關(guān)聯(lián).由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，50歲以下周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)和不少于4小時(shí)的頻率分別為和，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)和不少于4小時(shí)的頻率分別為和，因?yàn)椋?0歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長不少于4小時(shí)的比率比50歲以下高出15個(gè)百分點(diǎn)，所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長有差異.【小問2詳解】抽取的10人中，周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)的有人，不少于4小時(shí)的有人，所以所有可能的取值為，所以，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：12345隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.18.已知橢圓C：（），，，，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，求證：直線，，的斜率成等差數(shù)列．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱點(diǎn)判斷在橢圓的三點(diǎn)，然后可求得橢圓方程；（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，計(jì)算可得，【小問1詳解】根據(jù)橢圓的對稱性，必過點(diǎn)，點(diǎn)，必不過點(diǎn)，代入點(diǎn)得，，代入點(diǎn)得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】證明：設(shè)Mx1,y1設(shè)直線的方程為：，由，得，，，，，因?yàn)?，所以，所以直線，，的斜率成等差數(shù)列．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求解.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)最值情況探討零點(diǎn)即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，于是曲線在點(diǎn)處的切線為，即，直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，所以曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，當(dāng)時(shí)，，，則，，