河北省盧龍縣第二高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為全稱量詞命題，則其否定為：.故選：D2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將雙曲線方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)漸近線方程公式求解即可.【詳解】雙曲線即，故漸近線方程為.故選：B3.若可分解因式為，且，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，求出、，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，即可判斷.【詳解】因為，若，則，所以，不符合題意；若，則，所以，符合題意；所以，，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D4.已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.【詳解】因為，所以，令，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故C正確；又，為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；，為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；，為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C5.已知是所在平面內(nèi)一點，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及基本定理計算可得.【詳解】因為，所以，即，即，又，、不共線，所以，所以.故選：C6.已知異面直線與所成的角為，與所成的角為，則與所成角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由異面直線的夾角，結(jié)合平面的基本性質(zhì)，討論的位置研究異面直線與所成角的范圍.【詳解】作交于點，所有與垂直的直線平移到點組成與垂直的平面，故，如上圖：當(dāng)為與、所成平面的交線或其平行線時，與所成角最小為；當(dāng)為垂直于、所成平面的線或其平行線時，與所成角最大為，所以與所成角的范圍是.故選：B7.如圖，和分別為函數(shù)圖象上的兩個最高點、兩個最低點，若四邊形的面積為，直線過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)四邊形的面積為，結(jié)合的周期與振幅可得，再根據(jù)直線過點，數(shù)形結(jié)合可得【詳解】因為四邊形的面積為，且，，梯形的高為2，故，解得，即.又直線過點，由對稱性可得過點，即，即.又，可得，故.故.故選：A8.已知為上的減函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷出的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題意知：的定義域為，關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，，，則，當(dāng)，，當(dāng)時，，，則，故為偶函數(shù)，又fx為R在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，解得：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2023年央視主持人大賽，在某場比賽中，17位專業(yè)評審為某參賽者的打分分別為94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，記該組數(shù)據(jù)為，去掉一個最高分和一個最低分后余下的數(shù)據(jù)記為，且組數(shù)據(jù)的平均分為97.0，則（）A.組與組數(shù)據(jù)的極差相等B.組與組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等C.組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于組數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.組數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于組數(shù)據(jù)的分位數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)定義一一判斷即可.【詳解】組數(shù)據(jù)的極差為，組數(shù)據(jù)為94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，則組數(shù)據(jù)的極差為，故A錯誤；組數(shù)據(jù)與組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B正確；組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故C正確；，所以組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，，所以組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，所以組數(shù)據(jù)分位數(shù)小于組數(shù)據(jù)的分位數(shù)，故D正確.故選：BCD10.如圖，球與棱長為2的正方體的六個面都相切，分別為棱的中點，為正方形的中心，則（）A.球與該正方體的體積之比為B.球與該正方體的表面積之比為C.直線被球截得的線段的長度為D.過三點的正方體的截面與球的球面的交線長為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正方體和球的表面積和體積公式，可判定A錯誤；B正確；連接，取中點，得到，求得到的距離，結(jié)合圓的弦長公式，可判定C正確；以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，求得和平面的法向量，結(jié)合距離公式，得到過三點的正方體的截面恰好過球的球心，可判定D錯誤.【詳解】因為球與棱長為2的正方體的六個面都相切，對于A中，可得正方體的體積為，球的半徑為，體積為，球與該正方體的體積之比為，所以A不正確；對于B中，正方體的表面積為，球的表面積為，所以球與該正方體的表面積之比為，所以B正確；對于C中，連接，可得，再連接，在直角中，可得，取中點，連接，則，可得，即點到的距離為，所以直線被球截得的線段的長度為，所以C正確；對于D中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點到平面的距離為，可得過三點的正方體的截面恰好過球的球心，所以截面交線的周長為，所以D錯誤.故選：BC.11.已知，直線為原點，點在上，直線與交于點在直線上，且，點的軌跡為史留斯蚌線，記為曲線，其中是的漸近線，如圖所示．設(shè)是上一點，則（）A.B.存在異于原點的點，使得關(guān)于點的對稱點仍在上C.若在第二象限，則的最大值為D.若在第一象限，則直線的斜率大于【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，，，設(shè)得到，即可得到，設(shè)，則，再由，則，從而求出曲線的方程，即可判斷A、B；利用特殊值判斷C，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而判斷D.【詳解】設(shè)，，，由與相交，則不與重合，即，設(shè)，則，所以，代入，可得，即，設(shè)，則，即，代入，即，即，由，即，所以，當(dāng)時，從而，整理得；當(dāng)時，即和重合，，此時方程成立；所以曲線的方程為；由，所以，解得，故A正確；在第一象限的部分對應(yīng)的方程為①，在第三象限的部分對應(yīng)的方程為，它關(guān)于原點成中心對稱的部分對應(yīng)的方程為，即②，聯(lián)立①②解得，這樣矛盾，所以不存在異于原點的點，使得關(guān)于點的對稱點仍在上，由對稱性可知，二、四象限也不存在關(guān)于點的對稱點仍在上，故B錯誤；當(dāng)時，當(dāng)時，故C錯誤；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以，即，所以，即，即，所以若在第一象限，則直線的斜率大于，故D正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出曲線的方程，D選項關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的值是____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】因為，故，即，故.故答案為：213.已知橢圓的上頂點為，左焦點為，線段的中垂線與交于兩點，則的周長為____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，，依題意可得為等邊三角形，從而得到直線過，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及橢圓的定義計算可得.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，，依題意可得長半軸長，半焦距，且，所以為等邊三角形，則直線過，所以，即的周長為.故答案為：14.有甲、乙兩個口袋，甲口袋裝有2個紅球，乙口袋裝有1個紅球，2個白球，有放回地從兩個口袋中各取1個球，并記為1次取球，若取到的2個球均為紅球，則停止取球；否則在兩個口袋中各加進(jìn)1個白球，然后再按照以上規(guī)則取球，直到取到的2個球均為紅球為止．記“取了次球后停止取球”，則____________；____________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)第一次從兩個口袋均取出紅球，再根據(jù)概率的乘法公式求解即可；（2）依題意前三次取球均不為兩個紅球，再計算單次取球兩個口袋不全為紅球的概率，再根據(jù)概率的乘法公式求解即可.【詳解】（1）依題意第一次從兩個口袋均取出紅球，故；（2）依題意前三次取球均不為兩個紅球，第4次取球為兩個紅球.故.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化和二倍角余弦公式得到，再利用輔助角求解即可.（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理面積公式求解即可.【小問1詳解】，因為，所以.所以，即.因為，所以，即.【小問2詳解】，所以.16.如圖，在六棱錐中，底面是邊長為1的正六邊形，，平面平面，平面平面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取正六邊形的中心，、的中點，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)分別證明，，進(jìn)而可得平面，即可得；（2）取中點，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可得二面角為，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可得.【小問1詳解】取正六邊形的中心，、的中點，連接如圖.因為平面平面，平面平面，又，平面，故平面.又平面，故.同理可得，又平面，，故平面.又平面，故.【小問2詳解】取中點，連接.因為為正六邊形，故，，故，又平面，平面，故，.又，，故，故.故，，又平面，，故二面角為.又，故，，.則.故，即二面角的正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若在處有極小值，求的取值范圍．【答案】（1）極大值為，極小值為（2）【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的極值；（2）求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，分和兩個情況求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，解得或，若和時，；若，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為.【小問2詳解】由題意可知：，令，且，解得或，令，解得，若時，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在處有極小值，符合題意；若時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若時，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則處有極小值，不符合題意；若時，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則在處有極小值，符合題意；綜上所述：.18.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點，是上一點，且到的距離為的面積為．（1）求的方程；（2）已知過點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與交于兩點．（?。┰O(shè)直線分別與交于點，證明：；（ⅱ）設(shè)與軸的交點為，線段的垂直平分線與軸交于點，則四點是否在同一個圓上？并說明理由．【答案】（1）（2）（?。┳C明過程見解析；（ⅱ）四點共圓，理由見解析【解析】【分析】（1）求出焦點和準(zhǔn)線，設(shè)，由焦半徑公式得到方程，求出，從而得到，由三角形面積得到方程，求出，求出答案；（2）（?。┰O(shè)直線，與聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出直線，求出，同理得到，計算出，得到答案；（ⅱ）求出直線垂直平分線方程，得到，故，，，再由焦半徑公式得到，故，從而得到三角形相似，得到對角互補(bǔ)，得到四點共圓.【小問1詳解】由題意得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，解得，故，不妨設(shè)，，解得，的方程為；【小問2詳解】（?。〧1,0，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線，與聯(lián)立得，設(shè)Ax1,直線，當(dāng)時，，故，同理可得，則，，故，故，，證畢；（ⅱ）四點共圓，理由如下：由題意得，，則，則線段的中點坐標(biāo)為，故直線的垂直平分線方程為，令得，故，則，，，由焦半徑公式可得，因為則，故，又，故∽，∽，故，由于，故，即，從而四點共圓.【點睛】方法點睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.19.設(shè)集合，記中元素的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為．（1）求的值；（2）當(dāng)時，從中隨機(jī)取出一個元素，求以為長度的三條線段為邊能構(gòu)成一個三角形的概率；（3）求．參考公式：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給條件求出、、、，即可得解；（2）分①當(dāng)且為偶數(shù)，②當(dāng)且為奇數(shù)兩種情況討論，求出及不能構(gòu)成三角形的個數(shù)，再由對立事件及古典概型的概率公式計算可得；（3）利用分組求和法求出，從而求出，即可求出.【小問1詳解】因為，所以，當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以；所以.【小問2詳解】①當(dāng)且為偶數(shù)時，若，則不存在；若，則為，，符合條件，此時有個元素，其中不能構(gòu)成三角形；若，則為，，，，符合條件，此時有個元素，其中不能構(gòu)成三角形；，若，則為，，，，，符合條件，此時有個元素，其中不能構(gòu)成