2023-2024學(xué)年福建省莆田二中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

-2024學(xué)年福建省莆田二中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題．1．（5分）已知橢圓，則該橢圓的離心率A． B． C． D．2．（5分）已知向量，單位向量滿足，則，的夾角為A． B． C． D．3．（5分）若圓與圓有3條公切線，則A． B．3 C．5 D．3或4．（5分）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的焦距為A．8 B．10 C．12 D．165．（5分）已知圓，圓，動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為A． B． C． D．6．（5分）已知圓，直線，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別、，當(dāng)最小時，直線的方程為A． B． C． D．7．（5分）如圖，直徑為4的球放地面上，球上方有一點(diǎn)光源，則球在地面上的投影為以球與地面切點(diǎn)為一個焦點(diǎn)的橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．8．（5分）長方體中，，，上底面的中心為，當(dāng)點(diǎn)在線段上從移動到時，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡長度為A． B． C． D．二、多選題．9．（5分）已知直線，，則下列結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則或 C．若，則 D．若，則10．（5分）下列結(jié)論不正確的有A．如果，，那么直線不經(jīng)過第三象限 B．過點(diǎn)且在軸上的截距是軸上截距的2倍的直線方程為 C．直線在軸的截距為 D．直線的傾斜角為11．（5分）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是A．的最小值為 B．若圓關(guān)于直線對稱，則 C．若，則或 D．若，，，四點(diǎn)共圓，則12．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的最大值為5，則下列說法正確的是A．橢圓的短軸長為 B．當(dāng)最大時， C．橢圓離心率為 D．面積最大值為三、填空題．13．（5分）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程．14．（5分）設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線2x+my+6＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx﹣2y﹣m+6＝0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|2+|PB|2的值是．15．（5分）已知四面體棱長均為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則．16．（5分）直線與曲線恰有2個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題．17．（10分）已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線的方程．18．（12分）如圖，菱形中，，，為平面外一點(diǎn)，且平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若△為等邊三角形，求點(diǎn)到平面的距離．19．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求的最小值，并求出此時求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)，若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍．20．（12分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最?。?1．（12分）某沿海城市市氣象觀測站測定，在市正南方向公里的海面上生成臺風(fēng)，并且臺風(fēng)中心正以20公里小時的速度向北偏東30度方向直線移動，臺風(fēng)風(fēng)圈半徑（即以臺風(fēng)中心為圓心，風(fēng)圈為半徑的圓范圍以內(nèi)都會受到臺風(fēng)影響）為400公里．（1）經(jīng)過多少小時市受到臺風(fēng)影響？影響時間多長？（2）若此臺風(fēng)經(jīng)20小時以后登陸，登陸后強(qiáng)度減弱，風(fēng)圈半徑按5公里小時的速度縮小，則臺風(fēng)影響市的持續(xù)時間為多少小時？22．（12分）已知橢圓且四個點(diǎn)、、、中恰好有三個點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，證明：直線與定圓相切，并求出的值．

參考答案一、單選題．1．（5分）已知橢圓，則該橢圓的離心率A． B． C． D．解：因?yàn)闄E圓的方程為，即，故，又，故．故選：．2．（5分）已知向量，單位向量滿足，則，的夾角為A． B． C． D．解：因?yàn)?，故，因此，故即，故即，故，而，故，的夾角為．故選：．3．（5分）若圓與圓有3條公切線，則A． B．3 C．5 D．3或解：因?yàn)閮蓤A有3條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則圓心距等于兩圓半徑之和，即，解得或，故選：．4．（5分）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的焦距為A．8 B．10 C．12 D．16解：由，則該雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)直線被圓所截得的弦長為，則，解得，所以，所以．故該雙曲線的焦距為．故選：．5．（5分）已知圓，圓，動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為A． B． C． D．解：由已知可得圓的圓心為，半徑為5，圓的圓心為，半徑為1，如圖，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動圓圓心的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，則，，解得，，故動圓圓心的軌跡方程為．故選：．6．（5分）已知圓，直線，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別、，當(dāng)最小時，直線的方程為A． B． C． D．解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由切線性質(zhì)得，，，，四點(diǎn)共圓，且．所以，而，則當(dāng)直線時，最小，即最小，即最小，所以此時直線的方程為，即，故選：．7．（5分）如圖，直徑為4的球放地面上，球上方有一點(diǎn)光源，則球在地面上的投影為以球與地面切點(diǎn)為一個焦點(diǎn)的橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．解：依題意，平面截球得球面大圓，如圖，△是球大圓的外切三角形，其中，切圓于點(diǎn)，，顯然，而，則，又，有，由圓的切線性質(zhì)知，，在△中，，則，于是得橢圓長軸長，即，又為橢圓的一個焦點(diǎn)，令橢圓半焦距為，即有，因此，所以橢圓的離心率．故選：．8．（5分）長方體中，，，上底面的中心為，當(dāng)點(diǎn)在線段上從移動到時，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡長度為A． B． C． D．解：如圖所示，以，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，易證明平面，則面面，且有：，，，設(shè)，由，可得：，整理可得：，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，，三角形是等邊三角形，即，圓弧的長．故選：．二、多選題．9．（5分）已知直線，，則下列結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則或 C．若，則 D．若，則解：令，解得或，當(dāng)時，與重合，當(dāng)時，，故正確，錯誤，若，則，解得，故正確，錯誤．故選：．10．（5分）下列結(jié)論不正確的有A．如果，，那么直線不經(jīng)過第三象限 B．過點(diǎn)且在軸上的截距是軸上截距的2倍的直線方程為 C．直線在軸的截距為 D．直線的傾斜角為解：對于，易得，直線方程可化為，，，與符號相反，與符號相反，則與符號相同，直線的斜率，在軸上的截距，直線不經(jīng)過第三象限，選項(xiàng)正確；對于，當(dāng)在軸上的截距不為0時，由題可設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，所以直線方程為，即，當(dāng)在軸上的截距為0時，直線過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，，所以直線方程為，即，選項(xiàng)錯誤；對于，已知直線，當(dāng)時，，直線在軸的截距為1，選項(xiàng)錯誤；對于，直線可化為，設(shè)傾斜角為，則，而，，所以，選項(xiàng)錯誤．故選：．11．（5分）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是A．的最小值為 B．若圓關(guān)于直線對稱，則 C．若，則或 D．若，，，四點(diǎn)共圓，則解：直線過點(diǎn)，圓，即①，圓心為，半徑為，由于，所以在圓內(nèi)．，所以，此時，所以選項(xiàng)正確．若圓關(guān)于直線對稱，則直線過，兩點(diǎn)，斜率為，所以選項(xiàng)錯誤．設(shè)，則，此時三角形是等腰直角三角形，到直線的距離為，即，解得或，所以選項(xiàng)正確．對于選項(xiàng)，若，，，四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，，的中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線為，，則②，圓的方程為，整理得③，直線是圓和圓的交線，由①②并整理得，將代入上式得，④，由②④解得，，所以直線即直線的斜率為，選項(xiàng)正確．故選：．12．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的最大值為5，則下列說法正確的是A．橢圓的短軸長為 B．當(dāng)最大時， C．橢圓離心率為 D．面積最大值為解：由題意，可得，根據(jù)橢圓的定義，可知，則的最大值為5，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可知當(dāng)軸時，最小，此時最大，如圖：將代入橢圓方程，得，則．所以短軸長為，錯誤；此時，正確；，正確；對，設(shè)，，，，，代入橢圓方程，得，則，所以，記，于是，因?yàn)楹瘮?shù)在，上是增函數(shù)，所以函數(shù)在，上是減函數(shù)．所以當(dāng)，即時，面積最大值為3，故錯誤．故選：．三、填空題．13．（5分）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程．解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．14．（5分）設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動直線2x+my+6＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx﹣2y﹣m+6＝0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|2+|PB|2的值是25．解：直線2x+my+6＝0，整理成my＝﹣2x﹣6，則，即A（﹣3，0），直線mx﹣2y﹣m+6＝0，整理成m（x﹣1）＝2y﹣6，則，即B（1，3），又m∈R，過定點(diǎn)A的動直線2x+my+6＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx﹣2y﹣m+6＝0始終垂直，P（x，y）為兩條垂直直線的交點(diǎn)，則有PA⊥PB，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝42+32＝25．故答案為：25．15．（5分）已知四面體棱長均為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則1．解：四面體棱長均為2，四面體為正四面體，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，，故答案為：1．16．（5分）直線與曲線恰有2個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．解：對于曲線而言，當(dāng)時，曲線為，當(dāng)時，曲線為，因?yàn)橹本€為過定點(diǎn)斜率為的直線，當(dāng)曲線取上半部分時，曲線方程為：，此時要讓直線與上半部分有兩個交點(diǎn)，故直線的斜率需小于漸近線斜率，對于雙曲線而言，，，故漸近線斜率為1，故，當(dāng)曲線取下半部分時，曲線方程為，此時要讓直線與下半部分有兩個交點(diǎn)，故圓心到直線的距離小于半徑，可得：，解得，綜上所述：的取值范圍是，故答案為：．四、解答題．17．（10分）已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線的方程．解：（1）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A與直線相切，，圓的方程為．（2）①當(dāng)直線與軸垂直時，易知符合題意；②當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，即．連接，則，，，則由得，直線為：，故直線的方程為或．18．（12分）如圖，菱形中，，，為平面外一點(diǎn)，且平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若△為等邊三角形，求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)?、為、的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榱庑?，為中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）連結(jié)、，又因?yàn)榱庑?，，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)椤鳛檎切?，所以且，如圖建立以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取且，所以到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離為．19．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求的最小值，并求出此時求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)，若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍．解：（1）設(shè)，，則有，則，當(dāng)時，，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）由題知直線的斜率存在，故可設(shè)，，，，，與雙曲線方程聯(lián)立得，，則，解得且，，，，依題意得，解得，所以．20．（12分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最?。拷猓海?）證明：連接，因?yàn)?，分別為直三棱柱的棱和的中點(diǎn)，且，所以，，因?yàn)?，，所以，所以，，所以，所以，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，設(shè)，則，0，，所以，2，，，1，，所以，所以．（2）因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量，0，，由（1）知，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，令，則，，所以，，，所以，，所以當(dāng)，即時，面與面所成成的二面角得余弦值最大為，此時正弦值最小為．21．（12分）某沿海城市市氣象觀測站測定，在市正南方向公里的海面上生成臺風(fēng)，并且臺風(fēng)中心正以20公里小時的速度向北偏東30度方向直線移動，臺風(fēng)風(fēng)圈半徑（即以臺風(fēng)中心為圓心，風(fēng)圈為半徑的圓范圍以內(nèi)都會受到臺風(fēng)影響）為400公里．（1）經(jīng)過多少小時市受到臺風(fēng)影響？影響時間多長？（2）若此臺風(fēng)經(jīng)20小時以后登陸，登陸后強(qiáng)度減弱，風(fēng)圈半徑按5公里小時的速度縮小，則臺風(fēng)影響市的持續(xù)時間為多少小時？解：（1）如圖：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則臺風(fēng)正以20公里小時的速度沿直線移動，設(shè)經(jīng)過小時臺風(fēng)到達(dá)點(diǎn)，則，，依題意得：即，整理得：，所以（小時），所以經(jīng)過20小時市受到臺風(fēng)影響，影響時間為20小時；（2）依題意得：，整理得：，解得，所以（