蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列13.3期中期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之整式乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題13.3整式乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1整式的乘法】 1【考點(diǎn)2整式乘法的應(yīng)用】 2【考點(diǎn)3利用乘法公式求值】 3【考點(diǎn)4乘法公式的幾何背景】 4【考點(diǎn)5整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】 6【考點(diǎn)6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 7【考點(diǎn)7因式分解的概念】 8【考點(diǎn)8因式分解（提公因式與公式法綜合）】 9【考點(diǎn)9因式分解（十字相乘法）】 9【考點(diǎn)10因式分解（分組分解法）】 11【考點(diǎn)11利用整體思想分解因式】 11【考點(diǎn)12利用拆項(xiàng)法分解因式】 12【考點(diǎn)13利用添項(xiàng)法分解因式】 14【考點(diǎn)14利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算】 15【考點(diǎn)15利用因式分解判定三角形的形狀】 16【考點(diǎn)16利用因式分解求值】 17【考點(diǎn)17因式分解的探究題】 17【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】 19【考點(diǎn)1整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算2x+3y?42x+ay+b得到的多項(xiàng)式不含x、y的一次項(xiàng)，其中a，b是常數(shù)，則a?b的值為（

A．1 B．?1 C．?7 D．7【變式1-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)期中）小邢同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的結(jié)果為x2+3x?18，而且小穎同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)時(shí)將“+a”看成了“?a”，算的結(jié)果為(1)求出a、b的值；(2)計(jì)算出(x+a)(x+b)的正確結(jié)果，【變式1-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級(jí)期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出(x?2x)2022展開式中含A．2022 B．?4044 C．?2020 D．4042【變式1-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)a1,a2,a3,?a【考點(diǎn)2整式乘法的應(yīng)用】【例2】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期中）如圖①，現(xiàn)有邊長(zhǎng)為b和a+b的正方形紙片各一張，長(zhǎng)和寬分別為b、a的長(zhǎng)方形紙片一張，其中a<b．把紙片I、III按圖②所示的方式放入紙片II內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足S1=8S2，則a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【變式2-1】（2022·山東泰安·期中）如圖①所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪去兩個(gè)小長(zhǎng)方形，得到一個(gè)如圖②的圖案，再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖③所示，則新長(zhǎng)方形的面積可表示為__________．【變式2-2】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長(zhǎng)如圖所示）留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡(jiǎn)．(2)若y=3x=30米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．【變式2-3】（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)為10，寬為x的大長(zhǎng)方形被分割成7小塊，除陰影部分A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短一邊長(zhǎng)為y．(1)由圖可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)一邊長(zhǎng)為________．（用含y的代數(shù)式表示）(2)分別用含x，y的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．(3)當(dāng)y取何值時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無(wú)關(guān)？并求出此時(shí)陰影部分A與陰影部分B的面積之差．【考點(diǎn)3利用乘法公式求值】【例3】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）若x2+（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k值為_____．【變式3-1】（2022·湖南株洲·七年級(jí)期中）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，則ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【變式3-2】（2022·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為m＋5，面積記為S1，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，則m＝_______．【變式3-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期中）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式x2+bx+c（【知識(shí)理解】(1)若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多項(xiàng)式x2+4x+m是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)(3)配方：x2?6x?10=x?3【知識(shí)運(yùn)用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a?3=a(6)已知m2+2mn+2n2?8n+16=0(7)若M=a+1a?3，N=2a?1a?2，則【考點(diǎn)4乘法公式的幾何背景】【例4】（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級(jí)期中）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為x，寬為y(xy)的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可得到(x?y)2、(x+y)2、利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b?4|+(ab?2)2=0，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【變式4-1】（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）探究活動(dòng)：(1)如圖①，可以求出陰影部分的面積是_____（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是_____（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式_____．(4)知識(shí)應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題：計(jì)算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2?9y2＝10，4x+6y【變式4-2】（2022·福建·明溪縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀理解：若x滿足210?xx?200=?204，試求解：設(shè)210?x=a，x?200=b，則ab=?204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解決問題(1)若x滿足2022?xx?2010=22，則2022?x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022?xx?2002(3)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長(zhǎng)方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？【變式4-3】（2022·湖南·常德市第二中學(xué)七年級(jí)期中）（1）①如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形FGCH的邊長(zhǎng)為b，長(zhǎng)方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長(zhǎng)方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形AHDE的面積是______（寫成多項(xiàng)式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計(jì)算：2【考點(diǎn)5整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】【例5】（2022·浙江·嵊州市馬寅初初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：×?1【變式5-1】（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）若定義表示3xyz3，表示-3adcA．-72n B．72n C．mn 【變式5-2】（2022·山東淄博·期中）王老師給學(xué)生出了一道題：求2x+y2x?y+22x?y2+同學(xué)們看了題目后發(fā)表不同的看法．小明說：“條件y=?1是多余的．”小亮說：“不給y=?1這個(gè)條件，就不能求出結(jié)果，所以不多余．”(1)你認(rèn)為他倆誰(shuí)說的有道理？為什么？(2)若本題的結(jié)果等于M，試求M的值．【變式5-3】（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3＋ax2＋bx＋c能被多項(xiàng)式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a、b、c的值．【考點(diǎn)6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例6】（2022·北京·八年級(jí)期中）隨著某種產(chǎn)品的原料漲價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，設(shè)該產(chǎn)品原價(jià)為1元，現(xiàn)在有兩種提價(jià)方案：方案1：第一次提價(jià)x%，第二次提價(jià)y%；方案2：第一次、二次提價(jià)均為x%+y%2其中x，y是不相等的正數(shù)，請(qǐng)判斷在分別實(shí)施這兩種方案后哪種方案最終價(jià)格更高？并用乘法公式證明．【變式6-1】（2022·重慶·八年級(jí)期中）近年來，重慶成為了眾多游客前來旅游的網(wǎng)紅城市．某商場(chǎng)根據(jù)游客的喜好，推出A、B兩種土特產(chǎn)禮盒，A種禮盒內(nèi)有3袋磁器口麻花，3包火鍋底料；B種禮盒里有2袋磁器口麻花，3包火鍋底料，2袋合川桃片．兩種禮盒每盒成本價(jià)分別為盒內(nèi)所有土特產(chǎn)的成本價(jià)之和．已知每袋合川桃片的成本價(jià)是每包火鍋底料成本價(jià)的一半，A種禮盒每盒的售價(jià)為108元，利潤(rùn)率為20%．今年10月1日賣出A、B【變式6-2】（2022·重慶南開中學(xué)七年級(jí)期中）春天是耕種的最佳時(shí)節(jié)，我校兩個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐小組在試驗(yàn)田里種植了黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜，單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2．第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，第二小組在余下的實(shí)驗(yàn)田里繼續(xù)種植這三種蔬菜，將余下試驗(yàn)田面積的16種植辣椒，辣椒的種植總面積將達(dá)到這三種蔬菜種植總面積的38，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的【變式6-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期中）南山植物園坐落在省級(jí)南山風(fēng)景名勝區(qū)群山之中，與重慶主城區(qū)夾長(zhǎng)江面峙，是一個(gè)以森林為基礎(chǔ)，花卉為特色的綜合性公園．備受重慶人民的喜愛；每到春季，上山賞花的人絡(luò)繹不絕；一植物園附近的市民嗅到了商機(jī)，開辦了植物花卉門市；將A、B、C三種花卉包裝成“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”、“粉色回憶”三種不同的禮盒進(jìn)行銷售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包裝成“如沐春風(fēng)”禮盒；用A花卉2支、B花卉2支、C種花卉4支包裝成“惜懂少女”禮盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包裝成“粉色回憶”禮盒；包裝費(fèi)忽略不計(jì)，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍；該商家將三種禮盒均以利潤(rùn)率50%進(jìn)行定價(jià)銷售；某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進(jìn)行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，“粉色回憶”禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，三種禮盒的總成本恰好為總利潤(rùn)的4倍，則該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤(rùn)與三種禮盒的總利潤(rùn)的比值為___．【考點(diǎn)7因式分解的概念】【例7】（2022·江蘇徐州·七年級(jí)期中）下列各式由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A．a(chǎn)b+ac+d=aa+b+d C．a(chǎn)+ba?b=a【變式7-1】（2022·山東·海川中學(xué)八年級(jí)期中）下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a(chǎn)2﹣a+12 D．a(chǎn)2+2ab﹣【變式7-2】（2022·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)八年級(jí)期中）下列多項(xiàng)式中，不能進(jìn)行因式分解的是（

）A．a(chǎn)3－3a2＋2a B．a(chǎn)2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【變式7-3】（2022·上海·七年級(jí)期中）下列各式中，正確分解因式的個(gè)數(shù)為（

）①x②x③?2④a⑤(m?n)(2x?5y?7z)+(m?n)(3y?10x+3z)=?(m?n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)8因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例8】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解：(1)4a(2)a2【變式8-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校八年級(jí)期中）已知a+b=12,ab=?【變式8-2】（2022·甘肅·臨澤縣第三中學(xué)八年級(jí)期中）分解因式．(1)a(2)x【變式8-3】（2022·浙江·寧波大學(xué)青藤書院七年級(jí)期中）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【考點(diǎn)9因式分解（十字相乘法）】【例9】（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【變式9-1】（2022·上海閔行·七年級(jí)期中）在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對(duì)二次三項(xiàng)式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【變式9-2】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）分解因式：x+2x?3【變式9-3】（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我們已經(jīng)知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x例如，將式子x2?x?6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)?6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即?6=2×?3；然后把1，1，2，?3按圖2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×?3+1×2=?1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)?1請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2(2)【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

2x②

6x(3)【探究與拓展】對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，①

分解因式3x②

若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy?18y【考點(diǎn)10因式分解（分組分解法）】【例10】（2022·上海市婁山中學(xué)九年級(jí)期中）分解因式：x2【變式10-1】（2022·上?！て吣昙?jí)期中）因式分解：9?4【變式10-2】（2022·湖南常德·七年級(jí)期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【變式10-3】（2022·福建省福州延安中學(xué)八年級(jí)期中）（1）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整數(shù)且滿足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b為實(shí)數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a?7b，求整式M的最小值．【考點(diǎn)11利用整體思想分解因式】【例11】（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：x+y2解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A再將“A”還原，得原式=x+y+12．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)利用上述方法將【變式11-1】（2022春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)x2+3x＝y(tǒng)原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y(tǒng)2﹣8y+16（第二步）＝（y﹣4）2（第三步）＝（x2+3x﹣4）2（第四步）請(qǐng)根據(jù)上述材料回答下列問題：（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的（）；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請(qǐng)你寫出該因式分解的最后結(jié)果：；（3）請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式（9x26x+3）（9x26x1）4進(jìn)行因式分解．【變式11-2】（2022春·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：材料1：將一個(gè)形如x2＋px＋q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個(gè)整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3【變式11-3】（2022春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將x+y看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再將A還原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)中常用的方法，請(qǐng)根據(jù)上面的方法將下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【考點(diǎn)12利用拆項(xiàng)法分解因式】【例12】（2022秋·江西新余·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實(shí)分解因式方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．請(qǐng)閱讀以下例題：例1．a(chǎn)x+by+bx+ay=例2．2xy+（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．請(qǐng)閱讀以下例題：例1．x請(qǐng)你仿照以上例題的方法，解決下列問題：(1)分解因式：①x2?(2)分解因式：a2(3)若多項(xiàng)式ax2?9y2【變式12-1】（2022秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：把代數(shù)式x2x===(1)探究：請(qǐng)你仿照上面的方法，把代數(shù)式x2(2)拓展：把代數(shù)式x2+4xy?5y2因式分解得______；當(dāng)【變式12-3】（2022秋·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．請(qǐng)用上述方法將下列各式進(jìn)行因式分解．(1)x2(2)a4【考點(diǎn)13利用添項(xiàng)法分解因式】【例13】（2022年河北省邢臺(tái)市九年級(jí)中考第三次模擬數(shù)學(xué)試題）嘉琪采用一種新的方法將x2x2=x2=x?22=x?2+1x?2?1=x?1x?3(1)③的變形依據(jù)是．(2)仿照嘉琪的做法，分解因式x2【變式13-1】（2022秋·上?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）閱讀材料：在代數(shù)式中，將一個(gè)多項(xiàng)式添上某些項(xiàng)，使添項(xiàng)后的多項(xiàng)式中的一部分成為一個(gè)完全平方式，這種方法叫做配方法．如果我們能將多項(xiàng)式通過配方，使其成為A2?B解：原式===即原式=請(qǐng)按照閱讀材料提供的方法，解決下列問題．分解因式：(1)4x(2)x4【變式13-2】（2022春·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)因式分解（也叫作分解因式）．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．把x4+4分解因式．該因式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和x22+x4任務(wù)：請(qǐng)你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)4m(2)x2【變式13-3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料，解答問題：我們已經(jīng)學(xué)過多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)多項(xiàng)式的因式分解還有別的方法．下面再介紹一種方法：“添（拆）項(xiàng)分組分解法”．例題：x3+8=x3=x=x＝________（兩組有公因式，再提公因式）(1)請(qǐng)將上面的例題補(bǔ)充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x(3)若a，b，c是△ABC三邊長(zhǎng)，滿足3a【考點(diǎn)14利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算】【例14】（2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算1?122A．512 B．12 C．712【變式14-1】（2022秋·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算20082﹣4016×2007+20072的結(jié)果是_____．【變式14-2】（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）利用因式分解簡(jiǎn)便運(yùn)算：52.82【變式14-3】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用因式分解計(jì)算：(1)8.67×15.3+15.3×1.33(2)10×91【考點(diǎn)15利用因式分解判定三角形的形狀】【例15】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)校考期末）已知a、b、c是△ABC的三邊，a2?2ab+b2=0且2A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【變式15-1】（2022春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．【變式15-2】（2022秋·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【知識(shí)介紹】換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．均值換元法是換元法主要形式之一．【典例分析】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝4，試求代數(shù)式x2+y2的最小值．【分析】均值換元法：由x+y＝4，得x與y的均值為2，所以可以設(shè)x＝2+t，再代入代數(shù)式換元求解．【解法】∵x+y＝4，∴設(shè)x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解應(yīng)用】根據(jù)以上知識(shí)背景，回答下列問題：(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝2，求代數(shù)式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并求△ABC的周長(zhǎng)．(3)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．【變式15-3】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分項(xiàng)數(shù)多于3的多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2?2xy+y1．知識(shí)運(yùn)用：試用“分組分解法”分解因式：x22．解決問題：（1）已知a，b，c為△ABC的三邊，且b2（2）已知四個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，d，滿足a≠b，c≠d，并且a2①當(dāng)k=1時(shí)，求a+c的值②當(dāng)k≠0時(shí)，用含有a的代數(shù)式分別表示b，c，d（直接寫出答案即可）【考點(diǎn)16利用因式分解求值】【例16】（2022·湖南永州·七年級(jí)期中）在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)＋”時(shí)代，有一種用“因式分解法”生成密碼的方法：將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，如將多項(xiàng)式x3+2x2?x?2因式分解的結(jié)果為x?1x+1x+2．當(dāng)x=18(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x=28，y=11時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3(2)將關(guān)于x的多項(xiàng)式(m?n)x3?m+12n【變式16-1】（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所七年級(jí)期中）已知mn=1，m-n=2，則A．-1 B．3 C．2 D．-2【變式16-2】（2022·浙江·七年級(jí)期中）已知a?b=3，b?c=?4，則代數(shù)式a2【變式16-3】（2022·河南周口·八年級(jí)期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．【考點(diǎn)17因式分解的探究題】【例17】（2022秋·遼寧大連·八年級(jí)校考期末）做一做計(jì)算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個(gè)長(zhǎng)和寬都相等的長(zhǎng)方形，其中長(zhǎng)為(x+a)，寬為(x+b)．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，得到關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個(gè)一次式相乘的計(jì)算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式表達(dá)式為．嘗試運(yùn)用，利用因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用上述表達(dá)式得到一些二次三項(xiàng)式的因式分解．(2)若x2?7x+m=(x?9)(x+2)，則m=(3)若x2+px?4可以分解成關(guān)于x的兩個(gè)一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是(4)若x2?4x+q可以分解成關(guān)于x的兩個(gè)一次式乘積的形式，則整數(shù)q的值一定是A．4

B．0

C．有限個(gè)

D．有無(wú)數(shù)個(gè)【變式17-1】（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決方程或代數(shù)式的一些問題，請(qǐng)閱讀下列材料：閱讀材料：若m2?2mm+2n2?8n+16=0解：∵m2∴m2∴m?n2∴m?n2=0，∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知a2+4ab+5b2+6b+9=0(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2?4a+2b(3)若A=3a2+3a?4，B=2a2【變式17-2】（2022春·江蘇南京·七年級(jí)?？计谀?）問題探究：已知a、b是實(shí)數(shù)，求證：a2（2）結(jié)論應(yīng)用：已知m、n是實(shí)數(shù)，且mn=2，求3m【變式17-3】（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：(1)判斷45是否是“平方和數(shù)”，若是，請(qǐng)計(jì)算A45的值；若不是，請(qǐng)說明理由；(2)若k是一個(gè)不超過50的“平方和數(shù)”，且Ak=k?9(3)對(duì)任意一個(gè)數(shù)m，如果m等于兩個(gè)整數(shù)的平方和，那么稱這個(gè)數(shù)m為“廣義平方和數(shù)”，若m和n都是“廣義平方和數(shù)”，請(qǐng)說明它們的乘積mn也是“廣義平方和數(shù)”．【變式18-3】（2022·福建省永春第一中學(xué)八年級(jí)期中）學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)卡片，如圖1．(1)利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：a+2ba+b=(2)選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)取張B型卡片才能用他們拼成一個(gè)新的正方形，此新的正方形的邊長(zhǎng)是（用含a，(3)選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種D型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為；(4)選取1張D型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復(fù)的疊放長(zhǎng)方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長(zhǎng)度固定不變，MN的長(zhǎng)度可以變化，且MN≠0．圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為S1，S2，若S1?S2=3b2專題13.3整式乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1整式的乘法】 1【考點(diǎn)2整式乘法的應(yīng)用】 4【考點(diǎn)3利用乘法公式求值】 7【考點(diǎn)4乘法公式的幾何背景】 11【考點(diǎn)5整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】 17【考點(diǎn)6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】 19【考點(diǎn)7因式分解的概念】 25【考點(diǎn)8因式分解（提公因式與公式法綜合）】 27【考點(diǎn)9因式分解（十字相乘法）】 29【考點(diǎn)10因式分解（分組分解法）】 34【考點(diǎn)11利用整體思想分解因式】 36【考點(diǎn)12利用拆項(xiàng)法分解因式】 39【考點(diǎn)13利用添項(xiàng)法分解因式】 43【考點(diǎn)14利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算】 47【考點(diǎn)15利用因式分解判定三角形的形狀】 49【考點(diǎn)16利用因式分解求值】 54【考點(diǎn)17因式分解的探究題】 56【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】 61【考點(diǎn)1整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算2x+3y?42x+ay+b得到的多項(xiàng)式不含x、y的一次項(xiàng)，其中a，b是常數(shù)，則a?b的值為（

A．1 B．?1 C．?7 D．7【答案】B【分析】先利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則，展開后合并同類項(xiàng)，再令含x、y的一次項(xiàng)的系數(shù)均為零，列方程組求解即可得到答案．【詳解】解：2x+3y?4=4=4∵展開后多項(xiàng)式不含x、y的一次項(xiàng)，∴2b?8=0∴a=3∴a?b=?1，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，熟練掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則、合并同類項(xiàng)、“不含某一項(xiàng)則某一項(xiàng)的系數(shù)為零”的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)期中）小邢同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的結(jié)果為x2+3x?18，而且小穎同學(xué)在計(jì)算(x+a)(x+b)時(shí)將“+a”看成了“?a”，算的結(jié)果為(1)求出a、b的值；(2)計(jì)算出(x+a)(x+b)的正確結(jié)果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12【分析】（1）根據(jù)題意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a(bǔ)、b的值代入，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則求出即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）當(dāng)a＝-3，b＝-4時(shí)，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則和解方程，能正確運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級(jí)期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出(x?2x)2022展開式中含A．2022 B．?4044 C．?2020 D．4042【答案】B【分析】首先確定x2020【詳解】解：由題意：，(x?2=x可知，(x?2x)∴(x?2x)故選B．【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用楊輝三角的規(guī)律解決問題．【變式1-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)a1,a2,a3,?a【答案】M＞N．【分析】設(shè)a2+a3+…+a2021=m，代入M、N中化簡(jiǎn)后比較即可．【詳解】解：設(shè)a2+a3+…+a2021=m，則M=（a1+m）（m+a2022）=a1m+m2+a2022m+a1a2022，N=（a1+m+a2022）m=a1m+m2+a2022m，M-N=a1a2022，∵a1，a2，…，a2022都是正數(shù)，∴a1a2022＞0，∴M-N＞0，∴M＞N．【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法的混合運(yùn)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，設(shè)a2+a3+…+a2021=m，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算出M、N是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2整式乘法的應(yīng)用】【例2】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期中）如圖①，現(xiàn)有邊長(zhǎng)為b和a+b的正方形紙片各一張，長(zhǎng)和寬分別為b、a的長(zhǎng)方形紙片一張，其中a<b．把紙片I、III按圖②所示的方式放入紙片II內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足S1=8S2，則a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【答案】C【分析】用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2，即可得出答案．【詳解】由題意可得：S1=(a+b)2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，∵S1∴2ab=8(ab-a2)，∴2ab=8ab-8a2∴b=4b-4a∴4a=3b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東泰安·期中）如圖①所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪去兩個(gè)小長(zhǎng)方形，得到一個(gè)如圖②的圖案，再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖③所示，則新長(zhǎng)方形的面積可表示為__________．【答案】a【分析】根據(jù)圖形表示出新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，即可確定出面積．【詳解】解：根據(jù)題意得：新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a?b，寬為a?3b，則新長(zhǎng)方形面積為a?ba?3b故答案為：a2【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式及整式的加減，明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長(zhǎng)如圖所示）留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡(jiǎn)．(2)若y=3x=30米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．【答案】(1)2(2)34000元【分析】（1）利用大長(zhǎng)方形的面積減去兩個(gè)小正方形的面積可得“T”型圖形的面積，再根據(jù)整式的乘法與加減法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得；（2）根據(jù)y=3x=30米可得x=10米，代入（1）中的結(jié)論可得“T”型圖形的面積，再根據(jù)草坪每平方米20元即可得．【詳解】（1）解：“T”型圖形的面積=2x+y=2=2x答：“T”型圖形的面積為2x（2）解：由y=3x=30米得：x=10米，則“T”型圖形的面積=2x所以草坪的造價(jià)為1700×20=34000（元），答：草坪的造價(jià)為34000元．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及合并同類項(xiàng)的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)為10，寬為x的大長(zhǎng)方形被分割成7小塊，除陰影部分A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短一邊長(zhǎng)為y．(1)由圖可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)一邊長(zhǎng)為________．（用含y的代數(shù)式表示）(2)分別用含x，y的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．(3)當(dāng)y取何值時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無(wú)關(guān)？并求出此時(shí)陰影部分A與陰影部分B的面積之差．【答案】(1)10?2y(2)S(3)當(dāng)y=52時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x【分析】（1）由圖形可直接填空；（2）由長(zhǎng)方形面積公式結(jié)合圖形即可解答；（3）計(jì)算出S陰影部分A?S陰影部分B=2y2?10y?x4y?10，即得出當(dāng)4y?10=0時(shí)，陰影部分A（1）由圖可知每個(gè)小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)一邊長(zhǎng)為10?2y．故答案為：10?2y；（2）S陰影部分S陰影部分（3）S陰影部分A∵2y2∴當(dāng)4y?10=0時(shí)，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無(wú)關(guān)，解得：y=5∴S陰影部分【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，整式混合運(yùn)算的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)3利用乘法公式求值】【例3】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）若x2+（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k值為_____．【答案】7或﹣5【分析】這里首末兩項(xiàng)是x和3這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和3的積的2倍，故k﹣1＝±6．【詳解】解：∵（x±3）2＝x2±6x+9＝x2+（k﹣1）x+9，∴k﹣1＝±6，解得k＝7或﹣5．故答案為：7或﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式，熟練掌握完全平方公式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·湖南株洲·七年級(jí)期中）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，則ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【答案】C【分析】先求出（a-b）2，然后將a2+b2＝20代入即可求得ab．【詳解】解：∵（a-b）2=a2+b2-2ab=4，a2+b2＝20∴20-2ab=4，解得：ab=8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用完全平方公式變形求值，靈活應(yīng)用完全平方公式和整體代入思想成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為m＋5，面積記為S1，長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，則m＝_______．【答案】7【分析】先根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算出S1和S2，由此可得S2﹣S1＝2m+2，再根據(jù)S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)可得2m+2＝16，由此即可求得答案．【詳解】解：∵S1＝（m+5）2＝m2+10m+25，S2＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，∴S2﹣S1＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，∵m為正整數(shù)，∴S2與S1都是正整數(shù)，∵某個(gè)圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個(gè)，∴2m+2＝16，解得：m＝7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則以及整式加減等相關(guān)知識(shí)，能夠根據(jù)題意得到2m+2＝16是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期中）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式x2+bx+c（【知識(shí)理解】(1)若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多項(xiàng)式x2+4x+m是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)(3)配方：x2?6x?10=x?3【知識(shí)運(yùn)用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a?3=a(6)已知m2+2mn+2n2?8n+16=0(7)若M=a+1a?3，N=2a?1a?2，則【答案】(1)C(2)4(3)19，(x+1)(4)3(5)1，(a+3)(a?1)(6)?4,4(7)<【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；（2）直接利用完全平方公式求解即可；（3）利用配方法求解即可得；（4）利用配方法求解即可得；（5）先利用配方法計(jì)算，然后利用平方差公式因式分解；（6）先利用配方法計(jì)算，然后利用平方的非負(fù)性求解即可；（7）利用兩個(gè)整式作差即可比較大小．【詳解】（1）解：x∴k=±2×4=±8，故選：C（2）x2∴m=4，故答案為：4；（3）x2x2故答案為：19；x+12（4）x2∵x?22∴x?22故答案為：3；（5）a====(a+3)(a?1)故答案為：1；(a+3)(a?1)（6）m2m2(m+n)2∴m+n=0且n?4=0，解得：n=4，m=-4，故答案為：-4；4；（7）M-N=(a+1)(a?3)-2(a?1)(a?2)=a=a=?a=?(a?2)∴M<N，故答案為：<．【點(diǎn)睛】題目主要考查完全平方公式的計(jì)算及配方法、多項(xiàng)式的大小比較、因式分解等，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)4乘法公式的幾何背景】【例4】（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級(jí)期中）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為x，寬為y(xy)的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可得到(x?y)2、(x+y)2、利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b?4|+(ab?2)2=0，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【答案】（x?y【分析】根據(jù)正方形的面積兩種計(jì)算方法，一種是邊長(zhǎng)的平方，一種是大正方形減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即可得到等式；根據(jù)正方體的體積的兩種算法得到等式，一種是棱長(zhǎng)的立方，一種是小正方體和長(zhǎng)方體的和計(jì)算；（1）將條件代入等式計(jì)算即可；（2）中先從條件中得到a+b＝4，ab＝2，然后將其代入等式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1，方法一：已知邊長(zhǎng)直接求面積為（x?y方法二：陰影部分面積是大正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，所以面積為(x+y)∴等量關(guān)系式為：（x?y故答案為：（x?y如圖2，方法一：已知棱長(zhǎng)直接求體積為（a+b方法二：正方體的體積是長(zhǎng)方體和小正方體的體積和，即a3∴等量關(guān)系式為：（a+b故答案為：（a+b（1）將x+y＝3，xy=54代入得（x?y∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵|a+b?4|+（∴a+b＝4，ab＝2，將其代入（a+b即64＝∴a3+b3＝【點(diǎn)睛】本題主要利用圖象探究式的等量關(guān)系，要結(jié)合圖象分析，后面是等量關(guān)系的應(yīng)用，先分析適用于等量關(guān)系的條件然后代入計(jì)算即可．【變式4-1】（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）探究活動(dòng)：(1)如圖①，可以求出陰影部分的面積是_____（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是_____（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式_____．(4)知識(shí)應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題：計(jì)算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2?9y2＝10，4x+6y【答案】(1)a(2)（a+b）（a﹣b）(3)a2?b2＝（a+b）（(4)a(5)2x﹣3y的值為5【分析】（1）用大正方形的面積減去小正方形的面積即可；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式解答即可；（3）由（1）、（2）即可得到公式；（4）根據(jù)平方差公式，得到a+b2（5）將4x2?9y2=10，化為（2x+3y）（2x-3y）=0的形式，再由4x+6y（1）S陰故答案為：a2（2）拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b），∴S陰故答案為：a+ba?b（3）由（1）、（2）可得，a2?b2＝（a+b）（故答案為：a2?b2＝（a+b）（（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝a+b2＝a2（5）4x2?9y2＝（2x+3y∵4x+6y＝4，∴2x+3y＝2，∴2x﹣3y＝10÷2＝5，故2x﹣3y的值為5．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，用不同方法表示同一個(gè)圖象的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·福建·明溪縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀理解：若x滿足210?xx?200=?204，試求解：設(shè)210?x=a，x?200=b，則ab=?204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解決問題(1)若x滿足2022?xx?2010=22，則2022?x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022?xx?2002(3)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長(zhǎng)方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？【答案】(1)100(2)?810(3)96【分析】（1）根據(jù)材料解法，設(shè)2022?x=a，x?2010=b，則ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，根據(jù)（2）根據(jù)材料解法，設(shè)2022?x=a，x?2002=b，則a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根據(jù)a+b2（3）由圖及題中條件得到正方形CFGH的邊長(zhǎng)為10?x，正方形CEMN的邊長(zhǎng)為6?x，由長(zhǎng)方形CEPF的面積為40平方單位得到10?x6?x（1）解：設(shè)2022?x=a，x?2010=b，則ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=（2）解：設(shè)2022?x=a，x?2002=b，則a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=a+b2（3）解：由圖及題中條件可知正方形CFGH的邊長(zhǎng)為10?x，正方形CEMN的邊長(zhǎng)為6?x，則由長(zhǎng)方形CEPF的面積為40平方單位得到10?xx?6∴陰影部分面積為10?x2設(shè)10?x=a，x?6=b，則ab=?40，且a＋b＝(10－x)＋(∵a+b2∴10?x2∵a2∴陰影部分面積為96．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)完全平方公式幾何意義的應(yīng)用能力，讀懂題意，掌握材料中的解法，結(jié)合圖形進(jìn)行完全平方公式的靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·湖南·常德市第二中學(xué)七年級(jí)期中）（1）①如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形FGCH的邊長(zhǎng)為b，長(zhǎng)方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長(zhǎng)方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形AHDE的面積是______（寫成多項(xiàng)式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計(jì)算：2【答案】（1）①a2?b2；②【分析】（1）①根據(jù)圖1確定出陰影部分面積即可；②根據(jù)圖2確定出長(zhǎng)方形面積即可；（2）根據(jù)兩圖形面積相等得到乘法公式；（3）利用得出的平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）①∵正方形ABCD的面積是a2，正方形FGCH的面積是b∴陰影部分的面積是a2②由圖2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，∴長(zhǎng)方形AHDE的面積是(a+b)(a?b)，故答案為：①a2?b（2）由（1）可得到(a+b)(a?b)=a故答案為：(a+b)(a?b)=a（3）原式=4×=4×(1?=4×(1?1=4?1=4．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】【例5】（2022·浙江·嵊州市馬寅初初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：×?1【答案】?6x+2y?1【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】由題意可得，所捂多項(xiàng)式是：(3=3=?6x+2y?1．故答案為：?6x+2y?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·浙江·永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）若定義表示3xyz3，表示-3adcA．-72n B．72n C．mn 【答案】C【分析】先根據(jù)定義列出代數(shù)式，然后再利用積的乘方、單項(xiàng)式除法解答即可．【詳解】解：由題意可得：3mn?23÷-3故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整單項(xiàng)式除法運(yùn)算，根據(jù)新定義列出整式是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·山東淄博·期中）王老師給學(xué)生出了一道題：求2x+y2x?y+22x?y2+同學(xué)們看了題目后發(fā)表不同的看法．小明說：“條件y=?1是多余的．”小亮說：“不給y=?1這個(gè)條件，就不能求出結(jié)果，所以不多余．”(1)你認(rèn)為他倆誰(shuí)說的有道理？為什么？(2)若本題的結(jié)果等于M，試求M的值．【答案】(1)小明說的有道理，理由見解析；(2)3【分析】（1）對(duì)2x+y2x?y（2）由（1）可計(jì)算得的結(jié)果為3，即M的值為3．（1）解：小明說的有道理，理由如下：2x+y==4=12x∵化簡(jiǎn)得結(jié)果為12x2，12x∴條件y=?1是多余的，小明說的有道理；（2）當(dāng)x=12時(shí)，∴M=3,即M的值為3．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，在化簡(jiǎn)求值時(shí)要特別注意去括號(hào)法則的運(yùn)用.【變式5-3】（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3＋ax2＋bx＋c能被多項(xiàng)式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a、b、c的值．【答案】（1）4a+c＝12；（2）a＝2；b＝﹣7；c＝4．【分析】（1）根據(jù)整除的定義，得到x2+3x﹣4＝0，然后得到關(guān)于a、b、c的方程組，即可得到答案；（2）由于c≥a＞1，又a=3?c4，可知1＜3?c【詳解】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一個(gè)因式，∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，∴a+b+c=?1①16a?4b+c=64②①×4+②得4a+c＝12③；（2）∵c≥a＞1，又a=3?c∴a＝3?c4＜c，即1＜解得：125又∵a、c是大于1的正整數(shù)，∴c＝3、4、5、6、7，但a=3?c∴c＝4，∴a＝2，∴b＝﹣4﹣34【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的一個(gè)因式，使這個(gè)因式B等于0的值，必是A的一個(gè)解．【考點(diǎn)6整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例6】（2022·北京·八年級(jí)期中）隨著某種產(chǎn)品的原料漲價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，設(shè)該產(chǎn)品原價(jià)為1元，現(xiàn)在有兩種提價(jià)方案：方案1：第一次提價(jià)x%，第二次提價(jià)y%；方案2：第一次、二次提價(jià)均為x%+y%2其中x，y是不相等的正數(shù)，請(qǐng)判斷在分別實(shí)施這兩種方案后哪種方案最終價(jià)格更高？并用乘法公式證明．【答案】方案2最終價(jià)格更高，理由見解析．【分析】先表示出“最方案1最終價(jià)格-方案2最終價(jià)格”代數(shù)式表示，再利用整式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)整式，最后得?100+x【詳解】解：方案2最終價(jià)格更高．理由如下：最方案1最終價(jià)格-方案2最終價(jià)格========∵x，y是不相等的正數(shù)∴?所以，兩種方案后方案2最終價(jià)格更高．【點(diǎn)睛】題考查了列代數(shù)式、整式混合運(yùn)算、乘法運(yùn)算的應(yīng)用，利用的方法為作差法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·重慶·八年級(jí)期中）近年來，重慶成為了眾多游客前來旅游的網(wǎng)紅城市．某商場(chǎng)根據(jù)游客的喜好，推出A、B兩種土特產(chǎn)禮盒，A種禮盒內(nèi)有3袋磁器口麻花，3包火鍋底料；B種禮盒里有2袋磁器口麻花，3包火鍋底料，2袋合川桃片．兩種禮盒每盒成本價(jià)分別為盒內(nèi)所有土特產(chǎn)的成本價(jià)之和．已知每袋合川桃片的成本價(jià)是每包火鍋底料成本價(jià)的一半，A種禮盒每盒的售價(jià)為108元，利潤(rùn)率為20%．今年10月1日賣出A、B【答案】6920【分析】根據(jù)A種禮盒每盒的售價(jià)為108元，利潤(rùn)率為20%可得1袋磁器口麻花，1包火鍋底料的成本價(jià)是30元，設(shè)1袋磁器口麻花成本價(jià)是x元，則1包火鍋底料的成本價(jià)是(30?x)元，每袋合川桃片的成本價(jià)30?x2元，設(shè)今年10月1日賣出A種禮盒m盒，則賣出B中禮盒(80?m)盒，由工作人員在核算當(dāng)日賣出禮盒總成本時(shí)把磁器口麻花和火鍋底料的成本價(jià)看反了，導(dǎo)致當(dāng)日賣出禮盒的實(shí)際總成本比核算時(shí)的成本少了280元，可得90m+(80?m)(120?2x)+280=90m+(80?m)[2(30?x)+3x+2×30?x【詳解】∵A種禮盒每盒的售價(jià)為108元，利潤(rùn)率為20%∴A種禮盒每盒的成本價(jià)為108÷(1+20%)=90（元∴1袋磁器口麻花，1包火鍋底料的成本價(jià)是30元，設(shè)1袋磁器口麻花成本價(jià)是x元，則1包火鍋底料的成本價(jià)是(30?x)元，∵每袋合川桃片的成本價(jià)是每包火鍋底料成本價(jià)的一半，∴每袋合川桃片的成本價(jià)30?x2∴每盒B種禮盒成本價(jià)是2x+3×(30?x)+2×30?x設(shè)今年10月1日賣出A種禮盒m盒，則賣出B中禮盒(80?m)盒，根據(jù)題意可得：90m+(80?m)(120?2x)+280=90m+(80?m)[2(30?x)+3x+2×30?x化簡(jiǎn)整理得：mx=80x+15m?1340，∴當(dāng)日賣出禮盒的實(shí)際總成本為：90m+(80?m)(120?2x)=90m+9600?160x?120m+2mx=90m+9600?160x?120m+2(80x+15m?1340)=6920元故答案為：6920．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，整式的運(yùn)算、代數(shù)式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵熟練掌握整式乘法的性質(zhì)，從而完成求解．【變式6-2】（2022·重慶南開中學(xué)七年級(jí)期中）春天是耕種的最佳時(shí)節(jié)，我校兩個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐小組在試驗(yàn)田里種植了黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜，單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2．第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，第二小組在余下的實(shí)驗(yàn)田里繼續(xù)種植這三種蔬菜，將余下試驗(yàn)田面積的16種植辣椒，辣椒的種植總面積將達(dá)到這三種蔬菜種植總面積的38，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的【答案】47【分析】設(shè)第一小組已經(jīng)種植黃瓜面積為3m，種植黃瓜的單位面積種植株數(shù)為n，根據(jù)三種蔬菜面積之比及單位面積種植株數(shù)之比可得第一小組已經(jīng)種植番茄面積為2m，已經(jīng)種植辣椒的面積為4m，種植番茄的單位面積種植株數(shù)為2n，種植辣椒的單位面積種植株數(shù)為2n，設(shè)余下的面積為z，第二小組在余下的實(shí)驗(yàn)田里種植辣椒面積的16z，可列方程16z+4m=38(3m+2m+4m+z)，可得z=3m，設(shè)第二小組種植黃瓜面積為a【詳解】解：設(shè)第一小組已經(jīng)種植黃瓜面積為3m，種植黃瓜的單位面積種植株數(shù)為n，∵單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2，第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，∴第一小組已經(jīng)種植番茄面積為2m，已經(jīng)種植辣椒的面積為4m，種植番茄的單位面積種植株數(shù)為2n，種植辣椒的單位面積種植株數(shù)為2n，設(shè)余下的面積為z，∴第二小組在余下的實(shí)驗(yàn)田里種植辣椒面積的16∴1解得z=3m，設(shè)第二小組種植黃瓜面積為a，第二小組種植番茄面積為3m?a?1黃瓜種植面積：3m+a，番茄種植面積：2m+5辣椒種植面積：4m+1第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)為：a×n+(=an+5mn?2an+mn=6mn?an第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)為：3mn+2m×2n+4m×2n=15mn∴6mn?an=解得a=m，黃瓜總株數(shù)：3mn+an=4mn，番茄總株數(shù)：5mn?2an+4mn=7mn4mn最后實(shí)驗(yàn)田里種植黃瓜和番茄的總株數(shù)之比為47【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式表示數(shù)、代數(shù)式在生活中的的運(yùn)用和一元一次方程的實(shí)際問題等知識(shí)，仔細(xì)閱讀抓住辣椒的種植總面積將達(dá)到這三種蔬菜種植總面積的38，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的1【變式6-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期中）南山植物園坐落在省級(jí)南山風(fēng)景名勝區(qū)群山之中，與重慶主城區(qū)夾長(zhǎng)江面峙，是一個(gè)以森林為基礎(chǔ)，花卉為特色的綜合性公園．備受重慶人民的喜愛；每到春季，上山賞花的人絡(luò)繹不絕；一植物園附近的市民嗅到了商機(jī)，開辦了植物花卉門市；將A、B、C三種花卉包裝成“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”、“粉色回憶”三種不同的禮盒進(jìn)行銷售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包裝成“如沐春風(fēng)”禮盒；用A花卉2支、B花卉2支、C種花卉4支包裝成“惜懂少女”禮盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包裝成“粉色回憶”禮盒；包裝費(fèi)忽略不計(jì)，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍；該商家將三種禮盒均以利潤(rùn)率50%進(jìn)行定價(jià)銷售；某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進(jìn)行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，“粉色回憶”禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，三種禮盒的總成本恰好為總利潤(rùn)的4倍，則該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤(rùn)與三種禮盒的總利潤(rùn)的比值為___．【答案】7：15【分析】設(shè)A、B、C三種花卉的成本價(jià)分別為x元、y元、z元，根據(jù)題意求得y=4z，x=z，得到“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價(jià)為28z元，“惜懂少女”禮盒的成本價(jià)為14z元，“粉色回憶”禮盒的成本價(jià)為20z元，以及得到“如沐春風(fēng)”禮盒的售價(jià)為42z，“惜懂少女”禮盒的售價(jià)為21z，“粉色回憶”禮盒的售價(jià)為30z，再根據(jù)題意約分即可求解．【詳解】解：設(shè)A、B、C三種花卉的成本價(jià)分別為x元、y元、z元，則“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價(jià)為：(2x+4y+10z)元，“惜懂少女”禮盒的成本價(jià)為：(2x+2y+4z)元，“粉色回憶”禮盒的成本價(jià)為：(2x+3y+6z)元，∵每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，∴y=4z，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價(jià)為：(2x+26z)元，“惜懂少女”禮盒的成本價(jià)為：(2x+12z)元，“粉色回憶”禮盒的成本價(jià)為：(2x+18z)元，又∵每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍，∴2x+26z=2(2x+12z)，∴x=z，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價(jià)為：28z元，“惜懂少女”禮盒的成本價(jià)為：14z元，“粉色回憶”禮盒的成本價(jià)為：20z元，∵該商家將三種禮盒均以利潤(rùn)率50%進(jìn)行定價(jià)銷售，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的售價(jià)為：28z?(1+50%)=42z(元)，“惜懂少女”禮盒的售價(jià)為：14z?(1+50%)=21z(元)，“粉色回憶”禮盒的售價(jià)為：20z?(1+50%)=30z(元)，設(shè)“如沐春風(fēng)”禮盒的銷量為a，“粉色回憶”禮盒的銷量為b，∵“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒的銷量相同，∴“懵懂少女”禮盒的銷量為a，∵將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進(jìn)行銷售，“粉色回憶”禮盒打九折銷售，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的利潤(rùn)為：0.8×42z-28z=5.6z(元)，“惜懂少女”禮盒的利潤(rùn)為：0.8×21z-14z=2.8z(元)，“粉色回憶”禮盒的利潤(rùn)為：0.9×30z-20z=7z(元)，∵三種禮盒的總成本恰好為總利潤(rùn)的4倍，∴28z?a+14z?a+20z?b=4(5.6z?a+2.8z?a+7z?b)，整理得：8.4a=8b，“粉色回憶”禮盒的總利潤(rùn)為：7z?b，三種禮盒的總利潤(rùn)為：5.6z?a+2.8z?a+7z?b=8.4z?a+7z?b=15z?b，∴該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤(rùn)與三種禮盒的總利潤(rùn)的比值為：7z?b：15z?b=7：15．故答案為：7：15．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，理解“利潤(rùn)率=售價(jià)?【考點(diǎn)7因式分解的概念】【例7】（2022·江蘇徐州·七年級(jí)期中）下列各式由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A．a(chǎn)b+ac+d=aa+b+d C．a(chǎn)+ba?b=a【答案】B【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故A錯(cuò)誤；B、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故B正確；C、是整式的乘法，故C錯(cuò)誤；D、沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故D錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積．【變式7-1】（2022·山東·海川中學(xué)八年級(jí)期中）下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a(chǎn)2﹣a+12 D．a(chǎn)2+2ab﹣【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D都不能夠用完全平方公式分解，選項(xiàng)B能用完全平方公式分解，即1?2xy+x故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)八年級(jí)期中）下列多項(xiàng)式中，不能進(jìn)行因式分解的是（

）A．a(chǎn)3－3a2＋2a B．a(chǎn)2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【答案】D【分析】直接利用因式分解的意義分別分析得出答案即可．【詳解】解：A、a3B、a2C、?aD、原式不能分解，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，正確分解因式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·上?！て吣昙?jí)期中）下列各式中，正確分解因式的個(gè)數(shù)為（

）①x②x③?2④a⑤(m?n)(2x?5y?7z)+(m?n)(3y?10x+3z)=?(m?n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法等，分解的結(jié)果要分解到不能再分解為止，根據(jù)這些基本的分解方法及分解要求逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．【詳解】①左邊為三項(xiàng)，右邊乘開為兩項(xiàng)，故錯(cuò)誤；②右邊(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左邊，故錯(cuò)誤；③公因數(shù)2未提出來，故錯(cuò)誤；④a3﹣abc+a2b﹣a2c=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)=a2(a+b)﹣ac(a+b)=a(a﹣c)(a+b)④正確；⑤等式右邊的(8x+2y+4z)未提取公因數(shù)2，故錯(cuò)誤．綜上，只有④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法，熟練掌握分解的基本方法及分解要求，是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例8】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解：(1)4a(2)a2【答案】(1)4a?2(2)x?y【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先進(jìn)行公式變形為a2（1）解：4=4=4a?2（2）解：a=a=x?y=x?y【點(diǎn)睛】本題考查了將多項(xiàng)式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法無(wú)法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分組分解法進(jìn)行因式分解，注意因式分解一定要徹底?！咀兪?-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校八年級(jí)期中）已知a+b=12,ab=?【答案】aba+b2【分析】先將公共因式提出來，然后利用完全平方公式求解即可．【詳解】解：a3=ab=ab當(dāng)a+b=12，原式=?3【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用、完全平方公式，解題的關(guān)鍵是提出公共因式．【變式8-2】（2022·甘肅·臨澤縣第三中學(xué)八年級(jí)期中）分解因式．(1)a(2)x【答案】(1)ab(2)x?4【分析】（1）先提取公因式ab，再根據(jù)完全平方公式分解；（2）先提取公因式x?4，再根據(jù)完全平方公式分解．（1）解：a=ab=ab（2）解：x=x?4=x?4【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和完全平方公式進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式8-3】（2022·浙江·寧波大學(xué)青藤書院七年級(jí)期中）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【答案】(1)m（x+y）（x﹣y）(2)（a﹣b）（2m+3n）【分析】（1）直接提取公因式m,再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a-b），進(jìn)而分解因式即可．（1）m＝m＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)9因式分解（十字相乘法）】【例9】（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【答案】(1)(x?2)(x＋9)(2)±2，±7(3)x【分析】（1）仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)?18＝?9×2，一次項(xiàng)系數(shù)7＝?2＋9，然后進(jìn)行分解即可；（2）仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)?8=?4×2，?8=?2×4，?8=?1×8，?8=?8×1，然后進(jìn)行計(jì)算求出p的所有可能值即可；（3）仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)8=(?2)×(?4)，一次項(xiàng)系數(shù)?6