人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題11.6三角形中的經(jīng)典模型【九大題型】(學(xué)生版+解析)

專題11.6三角形中的經(jīng)典模型【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 3【題型3飛鏢模型】 4【題型4雙垂直模型】 6【題型5老鷹抓小雞模型】 8【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 10【題型7兩外角角平分線模型】 11【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】 13【題型9三角形折疊模型】 15知識(shí)點(diǎn)1：A字模型已知△ABC，延長(zhǎng)AB至D，延長(zhǎng)AC至E，則∠1+∠2=∠A+180°【題型1A字模型】【例1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【變式1-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3?∠2的度數(shù)為．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·河北滄州·期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個(gè)角后得到四邊形ABCD，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．變成四邊形后對(duì)角線增加了兩條B．變成四邊形后內(nèi)角和增加了360°C．外角和沒有發(fā)生變化D．若剪掉的角的度數(shù)是60°，則∠1+∠2=240°【變式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）將一把直尺與一塊三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示的方式放置，若∠1=130°，則∠2的度數(shù)為．知識(shí)點(diǎn)2：8字模型①已知AD，BC相交于O，則∠A+∠B=∠C+∠D②已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD，則∠P=12【題型28字模型】【例2】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）如圖，BP平分∠ABC，交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，AB與CD相交于點(diǎn)G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度數(shù)；（2）若∠C=38°，求∠P的度數(shù)．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·河南漯河·期末）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【變式2-2】（23-24八年級(jí)·北京懷柔·期末）如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°【變式2-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個(gè)角的和．知識(shí)點(diǎn)3：飛鏢模型①已知四邊形ABCD，則∠C=∠A+∠B+∠D②已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC，則∠O=12【題型3飛鏢模型】【例3】（23-24·河北秦皇島·一模）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了如上圖這樣一個(gè)零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，

【變式3-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【變式3-3】（23-24·河北邯鄲·一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個(gè)四邊形，并標(biāo)出部分?jǐn)?shù)據(jù)（如圖），淇淇說(shuō)，這四個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)是標(biāo)錯(cuò)的；嘉嘉經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考后，進(jìn)行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D知識(shí)點(diǎn)4：雙垂直模型已知∠B=∠D=∠ACE=90°.則∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型4雙垂直模型】【例4】（23-24八年級(jí)·廣東珠?！て谀┤鐖D1，AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長(zhǎng)線交∠BAE的平分線AF于點(diǎn)G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【變式4-1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF(1)求證：AD⊥CF．(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·山西晉中·期中）請(qǐng)把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F，求證：CF=CE．證明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（①），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（②），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定義），∴（③），（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∴∠CEF=∠AFD（④），∵∠CFE=∠AFD（⑤），∴∠CFE=∠CEF（⑥），∴CF=CE（⑦）．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C、O、B重合)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AP于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AP于點(diǎn)F，連接EO，OF

(問(wèn)題探究)如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)EO交BF于點(diǎn)G．（1）求證：△AEC≌△BFA；（2）BG與AF的數(shù)量關(guān)系為：(直接寫結(jié)論，不需說(shuō)明理由)；(拓展延伸)（3）①如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)，EO的延長(zhǎng)線與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，∠OFE的大小是否變化？若不變，求出∠OFE的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)P點(diǎn)在射線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若AE=2，CE=6，直接寫出△OEF的面積，不需證明．知識(shí)點(diǎn)5：老鷹抓小雞模型如圖，∠A+∠O=∠1+∠2；口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和【題型5老鷹抓小雞模型】【例5】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A=60°，∠1=95°，則∠2的度數(shù)為（

）A．24° B．35° C．30° D．25°【變式5-1】（23-24八年級(jí)·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，將△ABC沿著DE翻折，使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合，若∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為

【變式5-2】（23-24八年級(jí)·安徽銅陵·期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，則∠BA′C的度數(shù)為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期中）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)6：兩內(nèi)角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)I.則【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（23-24八年級(jí)·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）如圖，AD，CE都是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，則∠ABO的度數(shù)為．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF相交于點(diǎn)G，若∠A=66°，則∠BGC的度數(shù)為．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠AOB=125°．求∠CAD的度數(shù)．

【變式6-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④知識(shí)點(diǎn)7：兩外角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點(diǎn)O.則.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，G是ΔAFE兩外角平分線的交點(diǎn)，P是ΔABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，F(xiàn)，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P=度．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點(diǎn)，E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，若∠BOC=130°，則∠D的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【變式7-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）（分類討論思想）△ABC的兩外角平分線交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若∠A=30°，則∠BFC的度數(shù)為__________．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB=α，∠NFC=β，則(3)在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)8：一內(nèi)一外角角平分線模型已知△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點(diǎn)P.則【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】【例8】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·期末）如圖，點(diǎn)B、C分別在AM、AN上運(yùn)動(dòng)（不與A重合），CD是∠BCN的平分線，CD的反向延長(zhǎng)線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P．知道下列哪個(gè)條件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD?∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式8-1】（23-24八年級(jí)·四川遂寧·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，則∠M=度．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·四川眉山·開學(xué)考試）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°?∠ABD．其中正確的結(jié)論有【變式8-3】（23-24八年級(jí)·河南開封·期末）如圖，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，得到∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得到∠A2；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，A．3 B．4 C．5 D．6知識(shí)點(diǎn)9：三角形折疊模型①將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在線段AC上時(shí)，則∠2=2∠C.②將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí),則2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2③將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí),則2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【題型9三角形折疊模型】【例9】（23-24八年級(jí)·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）如圖所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊．(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，∠A、∠1、∠2的度數(shù)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你把它找出來(lái)，并說(shuō)明你的理由；(2)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部時(shí)，∠A、∠1、∠2的度數(shù)之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用說(shuō)明理由．【變式9-1】（23-24八年級(jí)·上?！て谥校┤鐖D，在銳角△ABC中，D、E分別是邊AB和AC上的點(diǎn)，將這個(gè)△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置．如果DF∥BC，∠B=60°，∠CEF=10°【變式9-2】（23-24八年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，點(diǎn)D在BC邊上，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE和邊AC重合時(shí)結(jié)束，邊AE交邊BC于點(diǎn)F．若折疊過(guò)程中，△DEF中有兩個(gè)角相等，則此時(shí)∠BAD的度數(shù)為．【變式9-3】（23-24八年級(jí)·四川宜賓·期末）在三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，點(diǎn)D為AC邊上靠近點(diǎn)C處一定點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE折疊三角形紙片，點(diǎn)C落在點(diǎn)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'落在BC邊上時(shí)，∠AD②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C'落在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠AD③如圖3，當(dāng)點(diǎn)C'落在△ABC上方時(shí)，∠BE④當(dāng)C'E∥AB時(shí)，∠CDE=34°或∠CDE=124°，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)專題11.6三角形中的經(jīng)典模型【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 4【題型3飛鏢模型】 8【題型4雙垂直模型】 12【題型5老鷹抓小雞模型】 21【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 27【題型7兩外角角平分線模型】 30【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】 36【題型9三角形折疊模型】 41知識(shí)點(diǎn)1：A字模型已知△ABC，延長(zhǎng)AB至D，延長(zhǎng)AC至E，則∠1+∠2=∠A+180°【題型1A字模型】【例1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°?65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°?115°=245°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3?∠2的度數(shù)為．【答案】60°【分析】根據(jù)平角的定義求出∠4，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3?∠2=∠4=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·河北滄州·期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個(gè)角后得到四邊形ABCD，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．變成四邊形后對(duì)角線增加了兩條B．變成四邊形后內(nèi)角和增加了360°C．外角和沒有發(fā)生變化D．若剪掉的角的度數(shù)是60°，則∠1+∠2=240°【答案】B【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線，內(nèi)角和與外角和，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是【詳解】解：A、三角形沒有對(duì)角線，變成四邊形后對(duì)角線為兩條，即增加了兩條，故正確，不合題意；B、三角形內(nèi)角和為180°，變成四邊形后內(nèi)角和為360°，增加了180°，故錯(cuò)誤，不合題意；C、任意多邊形的外角和是360°，故正確，不合題意；D、若剪掉的角的度數(shù)是60°，則∠A+∠B=120°，則∠1+∠2=360°?120°=240°，故正確，不合題意；故選：B．【變式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）將一把直尺與一塊三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示的方式放置，若∠1=130°，則∠2的度數(shù)為．【答案】40°/40度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FGH=∠1=130°，然后利用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：

由題意得：AD∥∴∠FGH=∠1=130°，∵∠FGH是△EFG的一個(gè)外角，∴∠FGH=∠2+∠E，∵∠E=90°，∴∠2=130°?90°=40°，故答案為：40°．知識(shí)點(diǎn)2：8字模型①已知AD，BC相交于O，則∠A+∠B=∠C+∠D②已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD，則∠P=12【題型28字模型】【例2】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）如圖，BP平分∠ABC，交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，AB與CD相交于點(diǎn)G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度數(shù)；（2）若∠C=38°，求∠P的度數(shù)．【答案】（1）72°；（2）40°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=12∠ADC（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·河南漯河·期末）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項(xiàng)A，B，C正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·北京懷柔·期末）如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°【答案】C【分析】如圖標(biāo)記∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標(biāo)記∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F?28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F?28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F?28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個(gè)角的和．【答案】360°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．知識(shí)點(diǎn)3：飛鏢模型①已知四邊形ABCD，則∠C=∠A+∠B+∠D②已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC，則∠O=12【題型3飛鏢模型】【例3】（23-24·河北秦皇島·一模）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性質(zhì)先求得∠ABE+∠ADE=30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接AE并延長(zhǎng)，連接AC并延長(zhǎng)，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分別是∠ABC、∠ADC平分線，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案為：增大，10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用題目中所給的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了如上圖這樣一個(gè)零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，

【答案】70【分析】延長(zhǎng)BE、CF，交于點(diǎn)G，連接AG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和為360°即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)BE、CF，交于點(diǎn)G，連接AG，如圖，

∴∠AGB=180°?∠B?∠BAG，∠AGC=180°?∠C?∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°?∠B?∠BAG+180°?∠C?∠CAG=360°?∠B?∠C?∠BAC=253°，∴∠CGB=360°?∠AGB+∠AGC∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°?∠GED?∠D?∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．【變式3-3】（23-24·河北邯鄲·一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個(gè)四邊形，并標(biāo)出部分?jǐn)?shù)據(jù)（如圖），淇淇說(shuō)，這四個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)是標(biāo)錯(cuò)的；嘉嘉經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考后，進(jìn)行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D【答案】增大5【分析】連接BD，利用三角形的內(nèi)角和計(jì)算即可．【詳解】解：連接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°?∠A?∠ABC?∠ADC∠CDB+∠CBD=180°?∠BCD∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD∵∠A=90°∴∠ADC=145°?25°?90°=30°∴30°?25°=5°故答案為：增大，5【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，添加輔助線利用三角形內(nèi)角和計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4：雙垂直模型已知∠B=∠D=∠ACE=90°.則∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型4雙垂直模型】【例4】（23-24八年級(jí)·廣東珠?！て谀┤鐖D1，AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長(zhǎng)線交∠BAE的平分線AF于點(diǎn)G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）見解析【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE（3）想辦法證明∠EAG+∠AEG=90°即可解決問(wèn)題.【詳解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案為45°；過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，如圖，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF＝12∠CDE，∠BAF＝12∠∴∠CDF+∠BAF＝12（∠BAE+∠CDE∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH＝12∠CED∴∠BEG＝12∠CED∵AF平分∠BAE，∴∠BAG＝12∠BAE∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF(1)求證：AD⊥CF．(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)△ACF為等腰直角三角形；理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)和判定．（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG=90°，需證明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易證．（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無(wú)關(guān)系．根據(jù)（1）的推導(dǎo)，易證CF=AF，從而判斷其形狀．【詳解】（1）證明：在等腰直角△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°，∵BF∥∴∠CBF=180°?∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD=DB，即BF=CD，在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°∴△CBF≌△ACD(SAS∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．（2）解：△ACF是等腰三角形，理由為：連接AF，如圖所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·山西晉中·期中）請(qǐng)把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F，求證：CF=CE．證明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（①），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（②），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定義），∴（③），（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∴∠CEF=∠AFD（④），∵∠CFE=∠AFD（⑤），∴∠CFE=∠CEF（⑥），∴CF=CE（⑦）．【答案】①角平分線的定義；②直角三角形的兩銳角互余；③∠FAD+∠AFD=90°；④等角的余角相等；⑤對(duì)頂角相等；⑥等量代換；⑦等角對(duì)等邊【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、等角對(duì)等邊解答即可．【詳解】證明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（角平分線的定義），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的兩銳角互余），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定義），∴∠FAD+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余），∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等），∵∠CFE=∠AFD（對(duì)頂角相等），∴∠CFE=∠CEF（等量代換），∴CF=CE（等角對(duì)等邊）．故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；∠FAD+∠AFD=90°；等角的余角相等；對(duì)頂角相等；等量代換；等角對(duì)等邊．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C、O、B重合)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AP于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AP于點(diǎn)F，連接EO，OF

(問(wèn)題探究)如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)EO交BF于點(diǎn)G．（1）求證：△AEC≌△BFA；（2）BG與AF的數(shù)量關(guān)系為：(直接寫結(jié)論，不需說(shuō)明理由)；(拓展延伸)（3）①如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動(dòng)，EO的延長(zhǎng)線與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，∠OFE的大小是否變化？若不變，求出∠OFE的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)P點(diǎn)在射線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若AE=2，CE=6，直接寫出△OEF的面積，不需證明．【答案】（1）見解析；（2）BG=AF；（3）①∠OFE的大小不變，∠OFE=45°；②滿足條件的△OEF的面積為8或16【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等得出∠CAE=∠ABF，證明△AEC≌△BFAAAS（2）證明△COE≌△BOGAAS得出CE=BG，則CE=AF，等量代換可得AF=BG（3）①證明△AEC≌△BFAAAS，進(jìn)而證明∠CEO=∠BGO證明△COE≌△BOGAAS得出②根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1中，

∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴∠AEC=∠BFA=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△AEC和△BFA中，∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABF∴△AEC≌△BFAAAS（2）解：結(jié)論：BG=AF．理由：∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中點(diǎn)，∴OC=OB，在△COE和△BOG中，∠CEO=∠BGO∠AOE=∠BOG∴△COE≌△BOGAAS∴CE=BG，∵△AEC≌△BFA，∴CE=AF，∴AF=BG．故答案為：BG=AF．（3）解：①如圖2中，結(jié)論：∠OFE的大小不變，∠OFE=45°．

理由：∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴∠AEC=∠BFA=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△AEC和△BFA中，∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABF∴△AEC≌△BFAAAS∴CE=AF，AE=BF，∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中點(diǎn)，∴OC=OB，在△COE和△BOG中，∠CEO=∠BGO∠AOE=∠BOG∴△COE≌△BOGAAS∴CE=BG，OE=OG，∴AF=BG，∴EF=FG，根據(jù)△EFO≌△GFOSSS可得：∴∠EFO=1②如圖2中，當(dāng)AE=2，CE=6時(shí)，EF=FG=6?2=4，

∴如圖3中，當(dāng)AE=2，CE=6時(shí)，EF=FG=6+2=8，

∴綜上所述，滿足條件的△OEF的面積為8或16．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題以及三角形求面積的問(wèn)題，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)5：老鷹抓小雞模型如圖，∠A+∠O=∠1+∠2；口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和【題型5老鷹抓小雞模型】【例5】（23-24八年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A=60°，∠1=95°，則∠2的度數(shù)為（

）A．24° B．35° C．30° D．25°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根據(jù)由折疊可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后計(jì)算出∠1+∠2的度數(shù)，即可求得∠2的度數(shù)．【詳解】∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折疊可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折變換的性質(zhì)，熟記定理及性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，將△ABC沿著DE翻折，使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合，若∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為

【答案】40°/40度【分析】由翻折的性質(zhì)可知，∠B=∠B'，∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，由∠BED+∠B【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，∠B=∠B'，∠BED=∠B∵∠BED+∠B'ED+∠1=180°，∠BDE+∠∴∠BED+∠BDE=140°，∴∠B=180°?∠BED+∠BDE故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·安徽銅陵·期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，則∠BA′C的度數(shù)為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】A【詳解】由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝12（∠ABC+∠ACB＝12（180°﹣∠A＝90°﹣12∠A∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣12∠A＝90°+12∠＝90°+12＝120°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期中）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進(jìn)行求解即可；（2）利用翻折的性質(zhì)得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結(jié)合圖形，由平角及各角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可‘（3）連接AA'．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出（4）設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°?40°=140°．（4）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)6：兩內(nèi)角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)I.則【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（23-24八年級(jí)·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）如圖，AD，CE都是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，則∠ABO的度數(shù)為．【答案】25°/25度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線，利用角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理找出∠ABO的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，結(jié)合三角形內(nèi)角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，可得出BO平分∠ABC，進(jìn)而可得出∠ABO的度數(shù)，此題得解．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°?∠BAC?∠ACB=50°．∵△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn)，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO=1故答案為：25°．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF相交于點(diǎn)G，若∠A=66°，則∠BGC的度數(shù)為．【答案】123°/123度【分析】本題考查角平分線和三角形內(nèi)角和定理，熟練利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理找出題目中角的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．由角平分線的性質(zhì)可知∠GBC=12∠ABC，∠GCB=【詳解】∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=114°，∵BE和CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠GBC=12∠ABC∴∠BGC=180°?∠GBC+∠GCB故答案為：123°．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠AOB=125°．求∠CAD的度數(shù)．

【答案】∠CAD=20°．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確求出∠C=70°，從而求出答案．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，由∠AOB=125°，得到∠CAB+∠CBA=110°，然后得到∠C，由余角的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：∵AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，∴∠OAB=12∠BAC∴∠CAB+∠CBA=2(∠OAB+∠OBA)=2∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠CBA=110°，∴∠C=70°．∵AD是BC邊上的高∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷④；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出∠BFC=135°，即可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法推出⑤．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=1∴∠BFC=180°?∠FBC?∠FCB=180°?1∴∠EFC=180°?∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴∠EFC=1∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②錯(cuò)誤；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根據(jù)現(xiàn)有條件，無(wú)法推出CG=CE，即無(wú)法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤錯(cuò)誤；∴正確的有①③④，故選：D．知識(shí)點(diǎn)7：兩外角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點(diǎn)O.則.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=．【答案】61°【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠∴∠EAC+∠ECA=12（∠DAC+∠ACF∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，G是ΔAFE兩外角平分線的交點(diǎn)，P是ΔABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，F(xiàn)，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P=度．【答案】66【分析】利用角平分線的定義和三角形、四邊形的內(nèi)角和可求得：∠G=180°?12×[360°?(180°?∠A)]=90°?12【詳解】解：因?yàn)镚是△AFE兩外角平分線的交點(diǎn)，∴∠FGE=180°?1∵P是△ABC兩外角平分線的交點(diǎn)，∴∠P=180°?1∴∠P=∠FGE=66°．故答案為：66．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合圖形熟練運(yùn)用定理和性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點(diǎn)，E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，若∠BOC=130°，則∠D的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和平角定義可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠BOC=∠OCD+∠D，繼而即可求解．【詳解】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ABC的外角，∴∠ACO=12∠ACB∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=1∴∠BOC=∠OCD+∠D，∴∠D=∠BOC?∠OCD=130°?90°=40°，故選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平角定義，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線定義和平角定義可得∠OCD＝90°，根據(jù)外角的性質(zhì)求得∠BOC=∠OCD+∠D．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）（分類討論思想）△ABC的兩外角平分線交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若∠A=30°，則∠BFC的度數(shù)為__________．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線MN∥BC，分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB=α，∠NFC=β，則(3)在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)75°(2)α+β?(3)①α+β?12∠A=90°，見解析；②不成立，【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°?∠A，從而可得∠CBD+∠BCE=180°+∠A，再由角平分線的定義可得∠CBF+∠BCF=90°+12∠A（2）由（1）可得由（1）可得∠BFC=90°?12∠A（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論∠BFC=90°?12∠A【詳解】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠ACB+∠ABC=180°?∠A，∵∠ACB+∠BCE=180°，∠ABC+∠CBD=180°，∴∠CBD+∠BCE=180°?∠ABC+180?∠ACB=360°?=360°?=180°+∠A，∵BF和CF分別是∠DBC和∠BCE的平分線，∴∠CBF=12∠CBD∴∠CBF+∠BCF，====90°+1∵∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，∴∠BFC=180°?∠CBF+∠BCF故答案為：75°；（2）解：α+β?1由（1）可得∠BFC=90°?1∵α+∠BFC+β=180°，∴α+β+90°?1即α+β?1（3）解：①當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，α+β?1理由如下：∵∠BFC=90°?12∠A∴α+β+90°?1即α+β?1②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立，需分兩種情況討論：a．如圖1，當(dāng)M在線段AB上，N在射線AC上時(shí)，β?α?1，∵∠BFC=90°?12∠A∴90°?1即β?α?1b．如圖2，當(dāng)M在射線AB上，N在線段AC上時(shí)，α?β?1，∵∠BFC=90°?12∠A∴90°?1即α?β?1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角的定義等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)8：一內(nèi)一外角角平分線模型已知△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點(diǎn)P.則【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】【例8】（23-24八年級(jí)·江蘇泰州·期末）如圖，點(diǎn)B、C分別在AM、AN上運(yùn)動(dòng)（不與A重合），CD是∠BCN的平分線，CD的反向延長(zhǎng)線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P．知道下列哪個(gè)條件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD?∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)與內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得∠P=∠NCD?∠ABP，可判斷③，再利用三角形外角的性質(zhì)得到∠A=∠NCB?∠ABC，等量代換可判斷②，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等量代換可判斷①和④，即可求解．【詳解】解：∵CD是∠BCN的平分線，CD的反向延長(zhǎng)線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，∴∠NCD=∠BCD，∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB?∠CBP，∴∠P=∠NCD?∠ABP，∴③能求出∠P的大??；∵∠A=∠NCB?∠ABC=2∠NCD?∠ABP，∴∠P=1∴②能求出∠P的大小；∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∴∠A=180°?∵∠P=1∴∠P=1∴①能求出∠P的大小，④不能求出∠P的大??；故選：D．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·四川遂寧·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，則∠M=度．【答案】30【分析】本題考查了三角形的外角定理，與角平分線有關(guān)的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，以及角平分線的定義．先根據(jù)∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求出∠ABC=80°，進(jìn)而得出∠CBM=1【詳解】解：∵∠ACD=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，∴∠ABC=140°×4∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACD，∴∠CBM=1∴∠M=∠DCM?∠CBM=30°，故答案為：30．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·四川眉山·開學(xué)考試）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°?∠ABD．其中正確的結(jié)論有【答案】①②④【分析】證明∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，再由平行線的判定即可判斷出①是否正確；由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，進(jìn)而可判斷出②是否正確；假設(shè)DB平分∠ADC，推出與題干不符的結(jié)論，進(jìn)而可判斷出③是否正確，由∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的關(guān)系得【詳解】解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥②由（1）可知AD∥∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABC=2∠ADB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正確；③若DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∵∠ADB=∠DBC=∠ABD，∴∠ADB=∠DBC=∠ABD=∠CDB，∴∠ABC=∠ADC，與題干條件矛盾．故③錯(cuò)誤.④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°?∠ABD，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】此題考查三角形的外角性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握外角性質(zhì).【變式8-3】（23-24八年級(jí)·河南開封·期末）如圖，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，得到∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得到∠A2；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，A．