人教版初中數(shù)學七年級上教案

第一章有理數(shù)教案

教學目標

1.知識與技能

①通過生活實例，了解有理數(shù)等知識是生活的需要.

②理解并掌握數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)等有關概念.

③通過本章的學習，掌握有理數(shù)的加I、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算.

2,過程與方法

通過全章的學習，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識的意識，訓練和增強學生運用新知識解決實際問題的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

①通道.凝例的引入，通過教師、學生雙邊的教學活動，激勵學生學習數(shù)學的興趣，讓學生真正體

驗到數(shù)學知識來源于生活并服務于生活.

②通過本章知識的學習，給學生滲透辯證唯物主義思想.

教學重點難點

重點：看理質的運算，這一章的主要學習目標都可以歸結到有理數(shù)的運算上，諸如有理數(shù)的有關概念、

運算法則、運算律、近似數(shù)與有效數(shù)字等內(nèi)容的學習，直接口標都是落實到有理數(shù)的運算上.

難點：負數(shù)概念的建立，對有理數(shù)中的有關概念以及有理數(shù)法則的理解，絕對值意義和運算中符號的

確定.

課時分配

內(nèi)容課時

1.1正數(shù)和負數(shù)1

1.2有理數(shù)4

1.3有理數(shù)的加減法5

1.4有理數(shù)的乘除法4

1.5有理數(shù)的乘方4

單元復習與驗收2

教學建議

教師在教學過程中注意從實際問題（即聯(lián)系實際生活的典型例子）引入，讓學生參與活動，在教師的

引導和學生大膽嘗試的過程中，使學生自覺地發(fā)現(xiàn)問題，分析問題以及解決問題，從而使學生自得知識，

自覓規(guī)律.在這過程中，訓練學生分析問題、解決問題的能力.

1.在進行有理數(shù)的有關概念的教學時：

（1）注意從實際問題引入，使學生知道數(shù)學知識來源于生活.如：從溫度與海拔高度引入負數(shù)，從

而得出有理數(shù)的概念；借助溫度引出數(shù)軸，建立數(shù)（有理數(shù)）與形（數(shù)軸上的點）之間的聯(lián)系.

（2）注意利用數(shù)軸的直觀性講述相反數(shù)、絕對值，發(fā)揮字母表示數(shù)的優(yōu)越性，使學生對概念的認識

能更深一步，并為今后學習整式、方程打下基礎.

2.講解有理數(shù)運算時，有理數(shù)加法及乘法法則的導出借助數(shù)軸更直觀形象易理解，并且要著重在符

號法則的基礎I'.,進行基本運算訓練，提高學生計算準確率.

1.1正數(shù)和負數(shù)

教學目標

1.知識與技能

①了解正數(shù)與負數(shù)是實際生活的需要.

②會判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù).

③會用正負數(shù)表示互為相反意義的量.

2.過程與方法

通過正負數(shù)的學習，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識的意識、訓練學生運用新知識解決實際問題的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

①通過教師、學生雙邊的教學活動，激發(fā)學生學習的興趣，讓學生體驗到數(shù)學知識來源于生活并為生

活服務.

②通過正負數(shù)的學習，滲透對立、統(tǒng)一的辯證思想.

教學重點難點

重點：3判而正數(shù)、負數(shù)，運用正負數(shù)表示相反意義的量，理解。表示量的意義.

難點：負數(shù)的引入.

教與學互動設計

（-）創(chuàng)設情境，導入新課

課件展示珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地，由同學感受高于水平面和低于水平面的不同情況.

（二）合作交流，解讀探究

1.舉出一些生活中常遇到的具有相反意義的量，如溫度是零上7匕和零下5C,買進90張課桌與賣出

80張課桌，汽車向東50米和向西120米，等.

想一想以上都是一些具有相反意義的量，你能用小學算術中的數(shù)來表示出每一對量嗎？你能再舉一

些日常生活中具有相反意義的量嗎？該如何表示它們呢？

2.為了用數(shù)表示具有相反意義的量，我們把其中一種意義的量，如零上溫度，前進、收入、上升、高

出等規(guī)定為正的，而把與它相反的量，如零下溫度、后退、支出、下降、低于等規(guī)定為負的，正的量用算

述里學過的數(shù)表示，負的量用學過的數(shù)前面加上“一”（讀作負）號來表示（零除外）.

活動每組同學之間相互合作交流，一同學任說有關相反的兩個量，由其他同學用正負數(shù)表示.

討論什么樣的數(shù)是負數(shù)？什么樣的數(shù)是正數(shù)？0是正數(shù)還是負數(shù)？自己列舉正數(shù)、負數(shù).

【總結】正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是在正數(shù)前面加“一”號的數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，是正

數(shù)與負數(shù)的分界.

（三）應用遷移，鞏固提高

例1舉出兒對具有相反意義的量，并分別用正、負數(shù)表示.

【提示】相反意義的量有“上升”與“下降”，“前”與“后”、“高于”與“低于”、“得到”與“失

去“、"收入”與"支出”等

【點評】這是道開放性試題，旨在考查用正負數(shù)與相反意義量的表示能力.

例2在某次乒乓球檢測中，一只乒乓球超過標準質量0.02克記作+0.02克，那么一0.03克表示什

么？

【答案】表示比標準質量低0.03克.

例32001年美國的商品進出口總額比上年減少6.4%可記為-6.4%,中國增長7.5%可記為+

7.5%.

備選例題

（2004?山東淄博）某項科學研究以45分鐘為1個時間單位，并記為每天上午10時為0,10時以前

記為負，10時以后記為正.例如，9:15記為T,10:45記為1等等.依此類推，上升7:45應記為（）

A.3B.-3C.-2.51）.-7.45

【點撥】讀懂題意是解決本題的關鍵.7:45與10相差135分鐘.

［答案］B

（0）總結反思，拓展升華

為了表示現(xiàn)實生活中具有相反意義的量引進了負數(shù).正數(shù)就是我們過去學過（除零外）的數(shù)，在正數(shù)

前加上“一”號就是負數(shù)，不能說“有正號的數(shù)是正數(shù)，有負號的數(shù)是負數(shù)”.另外，0既不是正數(shù)也不是

負數(shù).

1.填空T,2,-3,4,-5.旦，-7,-8…第81個數(shù)是-81,第2005個數(shù)是-2005.

【提示】通過觀察可見，數(shù)字的排列是按正常的大小順序，符號是負正札I間，第奇數(shù)個為負，第偶數(shù)

個為正.

【點評】本節(jié)是對探究問題的訓練.

2.表1-1-1是小張同學一周中簡記儲蓄罐中錢的進出情況表（存入記為“+”）：

表1-1-1

星期日一二三四五六

（元）+16+5.0-1.2-2.1-0.9+10-2.6

（1）本周小張一共用掉了多少錢？存進了多少錢？

【答案】6.8元，31元.

（2）儲蓄罐中的錢與原來多了還是少了？

【答案］多了.

（3）如果不用正、負數(shù)的方法記賬，你還可以怎樣記賬？比較各種記賬的優(yōu)劣.

【答案】用文字說明，但前者更簡潔.

3.數(shù)學游戲：4個同學站成一排，從左到右每個人編上號：1,2,3,4.用“+”表示“站”，“一”

（負號）表示“蹲”.

（1）由一個同學大聲喊：+1,-2,-3,+4,則第1、第4個同學站，第2、第3個同學蹲，并保持這

個姿勢，然后再大聲喊：T,-2,+3,+4,如果第2、第4個同學中有改變姿勢的，則表示輸了，作小小

的“懲罰”；

：2）加加游戲難度，把4個同學順序調(diào)整一下，但每個人記作自己原來的編號，再重復1.的游戲；

（3）這不僅僅是游戲喲！在電腦中，所有“命令”或“數(shù)據(jù)”都是用有理數(shù)（特別是二進制數(shù)）表

示的.例如，沒有特別的“翻譯”程序，電腦就不明白你給屏幕上的卡通人下的是“站”還是“蹲”的命

令，這時，就可輸入正負數(shù)以區(qū)別不同的姿勢.

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1.填空題

（1）如果節(jié)約用水30噸記為+30噸，那么浪費20噸記為-20噸.

（2）如果4年后記作+4,那么8年前記作-8.

（3）如果運出貨物7噸記作一7噸，那么+30噸果示運進貨物100噸.

（4）一年內(nèi)，小亮體重增加了3kg,記作+3,小陽體重減少了2kg,則小陽增長了2kg.

2.中午12時，水位低于標準水位0.5米，記作一0.5米，下午1時，水位上漲了1米，下午5時，

水位又上漲了0.5米.

（1）用正數(shù)或負數(shù)記錄下午1時和下午5時的水位；

（2）下午5時的水位比中午12時水位高多少？

【答案】（1）下午1時，水位0.5米；下午5時，水位一1米（2）0.5+1=1.5（米）

提升能力

3.糧食每袋標準重量是50公斤，現(xiàn)測得甲、乙、丙三袋糧食重量如卜.：52公斤，49公斤，49.8公

斤.如果超重部分用正數(shù)表示，請用正數(shù)和負數(shù)記錄甲、乙、丙三袋糧食的超重數(shù)和不足數(shù).

【答案】+2,-1,-0.2.

4.有沒有這樣的有理數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù)？

【答案】有，是0.

5.下列各數(shù)中哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？

611

—15,-0.02,一,----,4,~2—,1.3,0,3.14,71

7713

【答案】正數(shù)：4,1.3,3.14,兀；負數(shù):-15,0.02,-2-

7713

開放探究

6.同學聚會，約定在中午12點到會，早到的記為正，遲到的記為負，結果最早到的同學記為+3點,

最遲到的同學記為-1.5點，你知道他們分別是什么時候到的嗎？最早到的同學比最遲到的同學早多少小

時？

【答案】最早的同學上午9點到，最遲的是下午1點半到，最早的比最遲的早到4.5個小時.

7.新中考題

（2004?玉林）冷庫A的溫度是一5℃,冷庫B的溫度是一15℃,則溫度高的是冷庫A.

1.2有理數(shù)

1.2.1有理數(shù)

教學目標

1.知識與技能

①理解有理數(shù)的意義.

②能把給出的有理數(shù)按要求分類.

③了解0在有理數(shù)分類的作用.

2.過程與方法

經(jīng)歷本節(jié)的學習，培養(yǎng)學生樹立分類討論的觀點和能正確地進行分類的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過凝羲展、對立與統(tǒng)?的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.

教學重點難點

重點：3把調(diào)給的各數(shù)填入它所在的數(shù)集的圖里.

難點：掌握有理數(shù)的兩種分類.

教與學互動設計

（-）創(chuàng)設情境，導入新課

討論交流現(xiàn)在，同學們都已經(jīng)知道除了我們小學里所學的數(shù)之外，還有另—種形式的數(shù)，即負數(shù).大

家討論一下，到目前為止，你已經(jīng)認識了哪些類型的數(shù).

（二）合作交流，解讀探究

,125

學生列舉：3,5.7,-7,-9,-10,0,,-3-,-7.4,5.2-

356

議?議你能說說這些數(shù)的特點嗎？

學生回答，并相互補充：有小學學過的整數(shù)、0、分數(shù)，也有負整數(shù)、負分數(shù).

說明：我們把所有的這些數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

試一試你能對以上各種類型的數(shù)作出一張分類表嗎？

［正整數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)i零

［正分數(shù)

分數(shù)1負分數(shù)

說明：以I:分類，若學生思考有困難，可加以引導：因為整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，所以有理數(shù)可分

為整數(shù)和分數(shù)兩大類，那么整數(shù)又包含那些數(shù)？分數(shù)呢？

做一做以上按整數(shù)和分數(shù)來分，那可不可以按性質（正數(shù)、負數(shù)）來分呢，試一試.

正整數(shù)

正有理數(shù)

正分數(shù)

有理數(shù)

零

負整數(shù)

負有理數(shù)

負分數(shù)

（3）數(shù)的集合

把所有正數(shù)組成的集合，叫做正數(shù)集合.

試一試試著歸納總結，什么是負數(shù)集合、整數(shù)集合、分數(shù)集合、有理數(shù)集合.

（三）應用遷移，鞏固提高

例1把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)：

128

一，3.1416,0,2004,--，-0.23456,10%,10.1,0,67,-89

75

例2以卜.是兩位同學的分類方法,你認為他們的分類的結果正確嗎？為什么？

正整數(shù)

正有理數(shù)

有理數(shù)正分數(shù)

負整數(shù)

負有理數(shù)＜

負分數(shù)

?正數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)分數(shù)

負數(shù)

零

【答案】兩者都錯，前者丟掉了零，后者把正負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)混為一談.

【點評】以上是對各類有理數(shù)的特點及有理數(shù)的分類進行的訓練，基礎性強，需要重視（B）

①0是最小的正整數(shù)②0是最小的有理數(shù)

③。不是負數(shù)④0既是非正數(shù)，也是非負數(shù)

A.1個B.2個C.3個1）.4個

例4如果用字母表示一個數(shù)，那a可能是什么樣的數(shù)，一定為正數(shù)嗎？與你的伙伴交流一下你的看

法.

【答案】不?定，a可能是正數(shù)，可能是負數(shù)，也可能是0.

【點評】此題開放性較強.同時，要求學生能用分類的思想對a全面認識.

備選例題

234

（2004?浙江溫州）觀察卜列數(shù)，按某種規(guī)律在橫線上填入適當?shù)臄?shù)，并說明你的理由.一，一，一，

345

6

_______,…你的理解是.

7

【點撥】找出各項數(shù)的特點是本題關鍵所在，第?個數(shù)為2,后一個數(shù)是前?個數(shù)的分子，分母都

3

加1所得的數(shù).

5

【答案】一

6

（四）總結反思，拓展升華

提問：今天你獲得了哪些知識？

由學生自己小結，然后教師總結：今天我們學習了有理數(shù)的定義和兩種分類的方法.我們要能正確地

判斷?個數(shù)屬于哪?類，要特別注意“0”的正確說法.

1.請你在圖1-2-1的圈中填上適合的數(shù)，使得圈內(nèi)的數(shù)依次為整數(shù)集、有理數(shù)集、正數(shù)集、分數(shù)

集、負數(shù)集.

,正有理數(shù)

2.有理數(shù)按正、負可分為J零

負有理數(shù)

（整數(shù)

按整數(shù)分，可分為〈、收

.分數(shù)

（1）你能自己再制定一個標準，對有理數(shù)進行另一種分類嗎？

（2）生活中，我們也常常對事物進行分類，請你舉例說明.

【答案】（1）如將有理數(shù)分成大于1的數(shù)，小于1的數(shù)，等于1的數(shù).

（2）例如對人按年齡可分為：嬰兒、幼兒、兒童、少年、青年、中年、老年.

3.下面兩個圈分別表示負數(shù)集和分數(shù)集，你能說出兩個圖的重疊部分表示什么數(shù)的集合呢？

負數(shù)集合分數(shù)集合

答案負分數(shù)

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1.把下列各數(shù)填入相應的大括號內(nèi)：

11

一7,0.125,一,-3一,3,0,50%,-0.3

22

（1）整數(shù)集合卜7,3,0）

（2）分數(shù)集合｛0.125,-,-3-,50%,-0.3）

22

（3）負分數(shù)集合｛-3工，-0.3｝

2

（4）非負數(shù)集合｛0.125,3,0,50%）

2

（5）有理數(shù)集合｛-7,0.125,-3-,3,0,50%,-0.3）

22

2.下列說法正確的是（D）

A.整數(shù)就是自然數(shù)B.0不是自然數(shù)

C.正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D.0是整數(shù)而不是正數(shù)

3.某商店出售的三種規(guī)格的面粉袋上寫著（25±0.1）千克，（25±0.2千克），（25±0.3）千克的字

樣，從中任意兩袋，它們質量相差最大的是0.6千克.

提升能力

4.字母a可以表示數(shù)，在我們現(xiàn)在所學的范圍內(nèi)，你能否試著說明a可以表示什么樣的數(shù)？

【答案】a可以表示正整數(shù)，正分數(shù)，0,負整數(shù)或負分數(shù).

5.某校對初一新生的男生進行了引體向上的測試，以能做5個為標準，超過的次數(shù)記為正數(shù)，不足

的次數(shù)記為負數(shù)，其中10名男生的測試成績?nèi)绮?:

-2-12-130-1-210

（1）這10名男生有百分之兒達標（即達標率）？

（2）這10名男生共做了多少個引體向上？

【答案】（1）50%；（2）5X10-1=49（個）

開放探究

6.應用創(chuàng)新題

若向東8米記作+8米，如果一個人從A地出發(fā)先走+12米，再走一15米，又走+18米，最后走一20

米，你能判斷這個人此時在何處嗎？

【答案】在A地西邊5米處.

7.新中考題

（2004?內(nèi)蒙古赤峰）我市2004年元月某一天的天氣預報中，寧城縣的最低溫度是一22°C,克旗的最

低溫度是一26C,這一天寧城縣的最低氣溫比克旗的最低氣溫高（A）

A.4℃B.-4℃C.8℃D.-8℃

（六）資料采擷

原始的計算工具

計算是人類的一種思維活動，人類初期的計算主要是計數(shù).最早用來幫助計數(shù)的工具是人類的四肢（手、

腳、手指、腳趾）或身邊的小石頭、貝殼、繩子等.中國有句古話叫“屈指可數(shù)”，說明人們常用手指來計

算簡單的數(shù).

在美國紐約的博物館里，珍藏著一件從秘魯出土的古代文物，名叫“基普”，意即打了繩結的繩子.基

普是古人用來計數(shù)和記事的.傳說公元前6世紀，波斯國王在?次征戰(zhàn)中曾命令一支部隊守橋，他把一條

打了結的皮帶交給留守將士，要他們每守一天解開個結，一直守到皮帶上的結全部解完了才準撤退.

在沒有文字的我國古代，人們用在繩子上打結的方法來計數(shù)和記事.一件事打一個結，大事打個大結,

小事打個小結，辦完了一件事就解掉一個結.

古人不僅用繩結計數(shù)，而且還使用小石子等其他工具來計數(shù).例如，他們飼養(yǎng)的羊，早晨放牧到草地

里，晚上必須圈到柵欄里.這樣，早晨從柵欄里放出來的時候，出來一只就往罐子里扔一塊小石子；傍晚

羊進柵欄時，進去一只就從罐子里拿出一塊小石子.如果石子全部拿光了，就說明羊全部進圈了；如果罐

子里還剩下石子，說明有羊丟失了，必須立刻尋找.

1.2.2數(shù)軸

教學目標

1.知識與技能

①掌握數(shù)軸三要素，能正確畫出數(shù)軸.

②能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能說出數(shù)軸上已知點所表示的數(shù).

2.過程與方法

①使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練，逐步形成應用數(shù)學的意識.

②結合本節(jié)內(nèi)容，對學生滲透數(shù)形結合的重要思想方法.

3.情感、態(tài)度與價值觀

使學生進一步形成數(shù)學來源于實踐，反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀點.

教學重點難點

重點：數(shù)軸的概念.

難點：從直觀認識到理性認識，從而建立數(shù)軸概念.

教與學互動設計

（-）創(chuàng)設情境，導入新課

課件展示在一條東西方向的馬路上，有一個學校，學校東50m和西150m處分別有一個書店和一個

超市，學校西100m和160m處分別有個郵局和醫(yī)院，分別用學B、C、D表示書店、超市、郵局、醫(yī)院,

你會畫圖表示這一情境嗎？（學生畫圖）

（—）合作交流，解讀探究

師：對照大家畫的圖，為了使表達更清楚，我們把0左右兩邊的數(shù)分別用正數(shù)和負數(shù)來表示，即用?

直線上的點把正數(shù)、負數(shù)、0都表示出來.也就是本節(jié)內(nèi)容一數(shù)軸.

點撥（1）引導學生學會畫數(shù)軸.

第一步：畫直線定原點

第二步：規(guī)定從原點向右的方向為正（左邊為負方向）

第三步：選擇適當?shù)拈L度為單位長度（據(jù)情況而定）

第四步：余出教學溫度計，由學生觀察溫度計的結構和數(shù)軸的結構是否有共同之處.

對比思考：原點相當于什么；正方向與什么?致；單位長度又是什么？

（2）有了以上基礎，我們可以來試著定義數(shù)軸：

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.

做-做學生自己練習畫出數(shù)軸.

7

試一試：你能利用你自己畫的數(shù)軸上的點來表示數(shù)4,1.5,-3,-一，0嗎？

2

討論若a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的什么位置上？與原點相距多少個單位長度；

表示一a的點在原點的什么位置上？與原點又相距了多少個長度單位？

小結整數(shù)能在數(shù)軸上都找到點嗎？分數(shù)呢？

可見，所有的._都可以用數(shù)軸上的點表示——都在原點的左邊，——都

在原點的右邊.

（三）應用遷移，鞏固提高

例1下列所畫數(shù)軸對不對？如果不對，指出錯在哪里.

12345-10123

①②

0u1-3-2-1012

④⑤⑥

-2-1012

⑦

【答案】①錯.沒有原點②錯.沒有正方向③正確④錯.沒有單位長度⑤錯.單位長度不

統(tǒng)一⑥正確⑦錯.正方向標錯

7

例2試一試：用你畫的數(shù)軸上的點表示4,1.5,-3,--,0

3

【答案】

.一CD.一EB?-?-A--------

-5-4-3-2-1012345

7

圖中A點表示4,B點表示1.5,C點表示-3,D點表示一一，E點表示0.

3

例3如果a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的什么位置上？表示一a的點在原點的什么

位置上呢？

【提示】由數(shù)軸上數(shù)的特點不準得到，正數(shù)都在原點的右邊，負數(shù)都在原點左邊.

【答案】所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找個點與它對應，原點右邊的點表示正數(shù)，原點左邊的點表

示負數(shù).

【點評】數(shù)與數(shù)軸上的點結合，這是一種重要的數(shù)學思想，數(shù)形結合.

例4卜列語句：①數(shù)軸上的點又能表示整數(shù)；②數(shù)軸是一條直線；③數(shù)軸上的一個點只能表示個

數(shù)：④數(shù)軸上找不到既不表示正數(shù)，又不表示負數(shù)的點：⑤數(shù)軸上的點所表示的數(shù)都是有理數(shù).正確的說

法有（B）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【提示】題中，結合數(shù)軸上的點與有理數(shù)的特點，可見①中錯誤的；②、③是正確的；④中可以含

有0,⑤中應該是所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找出對應的點，但并不是數(shù)軸上的點都表示有理數(shù).

例5（1）與原點的距離為2.5個單位的點有兩個,它們分別表示有理數(shù)2.5和-2.5.

（2）?個蝸牛從原點開始，先向左爬了4個單位，再向右爬了7個單位到達終點，那么終點表示的

數(shù)是+3.

1212

例6在數(shù)軸上表示一2—和1并根據(jù)數(shù)軸指出所有大于-2—而小于1—的整數(shù).

2323

［答案］-2,-1,o,1

【言評】本題反映了數(shù)形結合的思想方法.

例7數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1cm,若這個數(shù)軸上隨意畫出?條長2000cm

的線段AB,則線段AB蓋住的整點是（C）

A.1998或1999B.1999或2000

C.2000或2001D.2001或2002

【提示】分兩種情況分析：（1）當線段AB的起點是整點時，終點也落在整點上，那就蓋住2001個整

點；（2）是當線段AB的起點不是整點時，終點也不落在整點上，那么線段AB蓋住了2000個整點.

【點評】本題體現(xiàn)了新課程標準的探索和實踐能力.

備選例題

（2004?新疆生產(chǎn)建設兵團）在數(shù)軸上，離原點距離等于3的數(shù)是.

【點撥】不要忽視在原點的左右兩邊.

［答案］±3

（H）總結反思，拓展升華

數(shù)軸是非常重要的工具，它使數(shù)和直線上的點建立了對立關系.它揭示了數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，為我們

今后進一步研究問題提供了新方法和新思想.大家要掌握數(shù)軸的三要素，正確畫出數(shù)軸.提醒大家，所有

的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的相關點來表示，但反過來并不成立，即數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù).

?條直線的流水線上，依次有5個卡通人，它們站立的位置在數(shù)軸上依次用點小、此、M3、M4、M5

表示，如圖：

Mi_M2M3...M4一一嶼.

-5-4-3-2-1012345

（1）點他和他所表示的有理數(shù)是什么？

（2）點在和此兩點間的距離為多少？

（3）怎樣將點移動，使它先達到此，再達到請用文字說明；

（4）若原點是一休息游樂所，那5個卡通人到游樂所休息的總路程為多少？

【答案】（1）表示2,表示3；（2）相距7個單位長度：（3）先向左移動1個單位，再向右移

動8個單位長度；（4）17個單位長度.

（五）課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1.規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸,所有的有理數(shù)都可從用數(shù)軸上的

點來表示.

2.P從數(shù)軸匕原點開始，向右移動2個單位，再向左移5個單位長度，此時P點所表示的數(shù)是-3.

3.把數(shù)軸上表示2的點移動5個單位后，所得的對應點表示的數(shù)是（C）

A.7B.-3C.7或-3D.不能確定

4.在數(shù)軸上，原點及原點左邊的點所表示的數(shù)是（D）

A.正數(shù)B.負數(shù)C.不是負數(shù)D.不是正數(shù)

5.數(shù)軸上表示5和-5的點離開原點的距離是5,但它們分別在原點的兩邊.

提升能力

6.1是最小的正整數(shù),0是最小的非負數(shù),0是最大的非正數(shù).

7.與原點距離為3.5個單位長度的點有2個，它們分別是3.5和-3.5.

8.畫一條數(shù)軸，并把下列數(shù)表示在數(shù)軸上：+2,-3,0.5,0,-4.5,4,

3

【答案】略

開放探究

9.在數(shù)軸上與-1相距3個單位長度的點有2個，為-4或2:長為3個單位長度的木條放在數(shù)

軸上，最多能覆蓋4個整數(shù)點.

10.新中考題

(2004?南京)下列四個數(shù)中，在-2到0之間的數(shù)是(A)

A.-1B.1C.-3D.3

1.2.3相反數(shù)

教學目標

1.知識與技能

①借助數(shù)軸了解相反數(shù)的概念，知道互為相反數(shù)的位置關系.

②給個數(shù)，能求出它的相反數(shù).

2.過程與方法

①訓練學生利用數(shù)軸應用數(shù)形結合的方法解決問題.

②培養(yǎng)學生自己歸納總結規(guī)律的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

①通過相反數(shù)的學習，滲透數(shù)形結合的思想.

②感受事物之間對立、統(tǒng)一聯(lián)系的辯證思想.

教學重點難點

重點：理解相反數(shù)的意義.

難點：理解和掌握雙重符號簡化的規(guī)律.

教與學互動設計

(一)創(chuàng)設情境，導入新課

活動請一個學生到講臺前面對大家，向前走5步、向后走5步?.

交流如果向前走為正，那向前走5步與向后走5步分別記作什么？

(-)合作交流，解讀探究

2255

1.觀察下列數(shù)：6和-6,2—和一2一，7和一7,一和一一，并把它們在數(shù)軸上標出.

3377

想一想(1)上述各對數(shù)之間有什么特點？

(2)表示這兩對數(shù)的點在數(shù)軸上有什么特點？

(3)你能夠寫出具有上述特點的數(shù)嗎？

觀察像這樣只有符號不同的兩個數(shù)叫相反數(shù).

兩個互為相反數(shù)的數(shù)，在數(shù)軸上的對應點(0除外)，是在原點兩旁，并且距離原點相等的兩個點.即：

互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的對應點關于原點對稱.我們把a的相反數(shù)記為一a,并且規(guī)定0的相反數(shù)就

是零.

【總結】在正數(shù)前面添上個“一”號，就得到這個正數(shù)的相反數(shù)，是一個負數(shù)；把負數(shù)前的“一”

號去掉，就得到這個負數(shù)的相反數(shù)，是一個正數(shù).

2.在任意一個數(shù)前面添上“一”號，新的數(shù)就是原數(shù)的相反數(shù).如-(+5)=-5,表示+5的相反數(shù)

為-5；-(-5)=5,表示-5的相反數(shù)是5；-0=0,表示0的相反數(shù)是0.

(三)應用遷移，鞏固提高

例1填空

(1)-5.8是5.8的相反數(shù),3的相反數(shù)是一(+3),a的相反數(shù)是-a,a-b的相反數(shù)是―二

(a-b),。的相反數(shù)是0.

(2)正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是它本身.

例2下列判斷不正確的有(C)

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)?定不相等；②互為相反數(shù)的數(shù)在數(shù)軸上的點一定在原點的兩邊；③所有的有

理數(shù)都有相反數(shù)；④相反數(shù)是符號相反的兩個點.

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3化簡下列各符號：

(1)(-2)](2)+(-[-(+5)]}

(3)-{-{—?■-(-6)}…}(共n個負號)

【答案】(1)-2(2)5(3)當n為偶數(shù)時，為6；當n為奇數(shù)時，為-6.

【提示】化簡的規(guī)律是：有偶數(shù)個負號，結果為正；有奇數(shù)個負號，結果為負.

例4數(shù)軸上A點表示+4,B、C兩點所表示的數(shù)是互為相反數(shù)，且C到A的距離為2,點B和點C各

對應什么數(shù)？

【答案】C點表示2或6,則相應的B點應表示-2或-6.

【提示】畫出數(shù)軸，結合數(shù)軸的特點來分析.

【點評】經(jīng)歷觀察數(shù)學活動，發(fā)展自己的指導能力.

備選例題

(2004?江西)如圖所示，數(shù)軸上的點A所表示的是實數(shù)a,則點A到原點的距離是—

A

----------------------->

a0

【點撥】由數(shù)軸上的位置，不難知道a是個負數(shù)，這是解決本題的前提.

［答案］-a

(ffl)總結反思，拓展升華

歸納①相反數(shù)的概念及表示方法.

②相反數(shù)的代數(shù)意義和兒何意義.

③符號的化簡.

1.(1)王亮說：“一個數(shù)總比它的相反數(shù)大你認為正確嗎？為什么？

(2)若數(shù)軸上表示一對相反數(shù)的兩點之間的距離為26.8,求這兩個數(shù).

【答案】(1)不正確，如0的相反數(shù)還是0,負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù).

(2)其中的一個數(shù)到原點的距離為13.4,所以這兩個數(shù)是+13.4和-13.4.

2.你若a是不小于一1又不大于3的數(shù)，那么a的相反數(shù)是什么樣的數(shù)呢？

【提示】結合數(shù)軸進行觀察比較.

解：由題意知TWaW,而-1,a,3的相反數(shù)分別是1,-a,-3.

.'._a在1和-3之間

故-3WaWl

Aa的相反數(shù)是不小于-3又不大于1的數(shù).

【點評】在解決問題中，能進行簡單的、有條理的思考.

(五)課堂跟蹤反饋

夯實基礎

1.判斷題

(1)-3是相反數(shù)(X)

(2)-7和7是相反數(shù)(V)

(3)-a的相反數(shù)是a,它們互為相反數(shù)(V)

(4)符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)(X)

2.分別寫出下列各數(shù)的相反數(shù)，并把它們在數(shù)軸上表示出來.

1,-2,0,4.5,-2.5,3

【答案】相反數(shù)分別為：T,2,0,-4.5,2.5,-3,數(shù)軸表示略.

3.若一個數(shù)的相反數(shù)不是正數(shù)，則這個數(shù)一定是(B)

A.正數(shù)B.正數(shù)或0C.負數(shù)D,負數(shù)或0

4.一個數(shù)比它的相反數(shù)小，這個數(shù)是(B)

A.正數(shù)B.負數(shù)C.非負數(shù)D.非正數(shù)

27

5.數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點之間的距離為4一，則這兩個數(shù)是上一.

3-2.

6.比-6的相反數(shù)大7的數(shù)是13.

提升能力

7.若a與a-2互為相反數(shù)，則a的相反數(shù)是-1.

8.(1)-(-8)的相反數(shù)是-8,

(2)+(-6)是6的相反數(shù).

(3)1-a的相反數(shù)是a-1.

(4)若-x=9,則x=-9.

9.已知有理數(shù)m、-3、n在數(shù)軸上位置如圖所示,將m、-3、n的相反數(shù)在數(shù)軸上表示，并將這6個

數(shù)用連接起來.

-3M0

【答案】-3<-n<m<-m<n<3

開放探究

10.如圖是一個正方體紙盒的展開圖，請把T1,12,11,-2,-12,2分別填入六個正方形，使得按

虛線折成的正方體后，對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù).

2

1211-12-H

-2

11.試討論-a的正負.

【答案】當a<0時，-a>0,當a>0時，-a<0,當a=0時，一a=0.

12.新中考題

（2004?河南）一一的相反數(shù)是（A）

4

1.2.4絕對值（第一課時）

教學目標

1.知識與技能

①能根據(jù)一個數(shù)的絕對值表示“距離”，初步理解絕對值的概念，能求一個數(shù)的絕對值.

②通過應用絕對值解決實際問題，體會絕對值的意義和作用.

2.過程與方法

經(jīng)歷絕對值的代數(shù)定義轉化成數(shù)學式子的過程中，培養(yǎng)學生運用數(shù)學轉化思想指導思維活動的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

①通過解釋絕對值的幾何意義，滲透數(shù)形結合的思想.

②體驗運用直觀知識解決數(shù)學問題的成功.

教學重點難點

重點：給出一個數(shù)，會求它的絕對值.

難點：絕對值的兒何意義、代數(shù)定義的導出.

教與學互動設計

<-）創(chuàng)設情境，導入新課

活動請兩同學到講臺前，分別向左、向右行3米.

交流①他們所走的路線相同嗎？②若向右為正，分別可怎樣表示他們的位置？③他們所走的路

程的遠近是多少？

（-）合作交流，解讀探究

觀察出示一組數(shù)6與-6,3.5與-3.5,1和T,它們是一對互為，它們的__________不同,

_________相同.

【總結】例如6和-6兩個數(shù)在數(shù)軸上的兩點雖然分布在原點的兩邊，但它們到原點的距離相等，

如果我們不考慮兩點在原點的哪一邊，只考慮它們離開原點的距離，這個距離都是6,我們就把這個距離

叫做6和一6的絕對值.

絕對值：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|.

想一想（1）-3的絕對值是什么？

3

（2）+2—的絕對值是多少？

7

（3）-12的絕對值呢？

（4）a的絕對值呢？

答案略.

交流同桌間合作交流，每位同學任說五個數(shù)，由同桌指出它們的絕對值.

思考例1求8,-8,3,-3,-,一工的絕對值.（出示膠片）

44

由此，你想到什么規(guī)律？

總結互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相同.

求+2.3,-1.6,9,0,-7,+3的絕對值.（出示膠片）

由此，你想到什么規(guī)律？

討論交流正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是零.

總結正數(shù)的絕對值是它本身.

負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).

零的絕對值是零.

討論字母a可以代表任意的數(shù)，那么表示什么數(shù)？這時a的絕對值分別是多少？

學生活動：分組討論，教師加入討論，學生相反補充回答.

歸納若a〉0,貝lj|a|=a

若a<0,則|a|=-a

若a=0,則|aj=0

(三)應用遷移，鞏固提高

例題填空：

(1)絕對值等于4的數(shù)有2個,它們是±4.

(2)絕對值等于-3的數(shù)有0個.

(3)絕對值等于本身的數(shù)仃無數(shù)個,它們是0和正數(shù)(非負數(shù)).

(4)①若|a|=2,貝lja=±2.

②若|-a|=3,則a=+3.

(5)絕對值不大于2的整數(shù)是0,±1,±2.

(6)根據(jù)絕對值的意義，思考：

①如果=1,那么a>0；

②如果=T,那么a〈0；

③如果a<0,那么一|a|=a.

【點評】去絕對值符號，首先要判斷絕對值里的正負情況，由此發(fā)展自身的合情推理能力.

備選例題

(2004?四川資陽)絕對值為4的數(shù)是()

A.±4B.4C.-4D.2

【點撥】要注意到一個正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù).

［答案］A

(K)總結反思，拓展升華

本節(jié)課，我們學習認識了絕對值，耍注意掌握以下兩點：①一個數(shù)的絕對值是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的

點到原點的距離：②求一個數(shù)的絕對值必須先判斷是正數(shù)還是負數(shù).

1.閱讀與理解：

點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為|AB|.

當AB兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖(1)所示，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|:

當A、B兩點都不在原點時?：

①如圖(2)所示，點都在原點的右邊，

|AB|=|OB|-|0A|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；

②如圖(3)所示，點都在原點的左邊，

|AB=|0B|-|0A|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|：

③如圖(4)所示，點都在原點的兩邊，

|AB|=|0A|+|0B|=|a|+|b|=-a+b=|a-b|；

ab、ab-ba

6AA6'

0(A)BBBA0B

(1)(2)(3)(4)

綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|.

2.回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是3,數(shù)軸上表示-2和一5的兩點之間的距離是3

數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是4；

(2)數(shù)軸上表示x和T的兩點之間的距離是Ix+1］,如果|AB|=2,那么x為1或是-3；