課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專題十二推理與證明試題文

PAGEPAGE13專題十二推理與證明探考情悟真題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)合情推理與演繹推理①了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)潔的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)中的作用;②了解演繹推理的重要性,駕馭演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)潔的推理;③了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5,5分合情推理—★★☆2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分合情推理—2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4,5分合情推理—干脆證明與間接證明①了解干脆證明的兩種基本方法:分析法與綜合法,并了解分析法和綜合法的思索過(guò)程、特點(diǎn);②了解間接證明的一種基本方法:反證法,并了解反證法的思索過(guò)程、特點(diǎn)2024江蘇,20,16分干脆證明等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用★★☆分析解讀本專題在高考中主要考查以下幾個(gè)方面:1.歸納推理與類比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.干脆證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本專題內(nèi)容在高考中的分值安排:①歸納推理與類比推理分值為5分左右,屬于中檔題;②證明問(wèn)題以解答題形式出現(xiàn),分值為12分左右,屬于中高檔題.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2024安徽六校教化探討會(huì)第一次素養(yǎng)測(cè)試,8)如圖,第1個(gè)圖形由正三角形擴(kuò)展而成,共12個(gè)頂點(diǎn).第n個(gè)圖形由正(n+2)邊形擴(kuò)展而來(lái),其中n∈N*,則第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2)C.2n(5n+1) D.(n+2)(n+3)答案D2.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,14)甲、乙、丙、丁參與一競(jìng)賽,賽前甲、乙、丙分別作出預(yù)料.甲說(shuō):乙會(huì)獲得獎(jiǎng)牌;乙說(shuō):丙會(huì)獲得金牌;丙說(shuō):丁不會(huì)獲得銀牌.競(jìng)賽結(jié)果有3人分別獲得金牌、銀牌和銅牌,另外1人沒(méi)獲得獎(jiǎng)牌.假如甲、乙、丙中有一人獲得了金牌,而且只有獲得金牌的那個(gè)人預(yù)料正確,則獲得金牌的是.

答案甲3.(2024廣東珠海期末,14)某班級(jí)的四位學(xué)生A、B、C、D參與了文科綜合學(xué)問(wèn)競(jìng)賽,在競(jìng)賽結(jié)果公布前,地理老師預(yù)料得冠軍的是A或B;歷史老師預(yù)料得冠軍的是C;政治老師預(yù)料得冠軍的不行能是A或D;語(yǔ)文老師預(yù)料得冠軍的是B,而班主任老師看了競(jìng)賽結(jié)果后說(shuō)以上只有兩位老師都說(shuō)對(duì)了,則得冠軍的是.

答案C考點(diǎn)二干脆證明與間接證明1.(2024湖北一般中學(xué)聯(lián)考,7)分析法又叫執(zhí)果索因法,若運(yùn)用分析法證明:設(shè)a<b<c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3c2,則證明的依據(jù)應(yīng)是()A.c-b>0 B.c-a>0C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0答案C2.(2025屆河南許昌質(zhì)量檢測(cè),7)用反證法證明命題“已知x,y∈N*,假如xy可被7整除,那么x,y至少有一個(gè)能被7整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是()A.x,y都不能被7整除 B.x,y都能被7整除C.x,y只有一個(gè)能被7整除 D.只有x不能被7整除答案A煉技法提實(shí)力【方法集訓(xùn)】方法歸納推理與類比推理的應(yīng)用1.(2024江西吉安教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),9)斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,指的是這樣一個(gè)數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列{an}定義為a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契數(shù)列有種看起來(lái)很奇妙的巧合,如依據(jù)an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,類比這一方法,可得a12+a2A.714 B.1870 C.4895 D.4896答案C2.(2024廣東肇慶一模,14)視察下列不等式:1+122<32,1+122+132<53,1+12答案1+122+132+142【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4,5分)古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5-125-12≈0.618,稱為黃金分割比例,聞名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是5-A.165cm B.175cmC.185cm D.190cm答案B2.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)有三張卡片,分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

答案1和3B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2024陜西,16,5分)視察下列等式1-12=1-12+13-14=1-12+13-14+15-16=……據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.

答案1-12+13-14+…+12n-1-2.(2024山東,12,5分)視察下列等式:sinπ3-2+sinπ5-2+sin2π5-sinπ7-2+sin2π7-sinπ9-2+sin2π9-……照此規(guī)律,sinπ2n+1-2+sin2π答案43.(2024北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和老師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿意以下三個(gè)條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于老師人數(shù);(iii)老師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若老師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;

②該小組人數(shù)的最小值為.

答案①6②12考點(diǎn)二干脆證明與間接證明(2024江蘇,20,16分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,{bn}是首項(xiàng)為b1,公比為q的等比數(shù)列.(1)設(shè)a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1對(duì)n=1,2,3,4均成立,求d的取值范圍;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,m2],證明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1對(duì)n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范圍(用b1答案(1)由條件知an=(n-1)d,bn=2n-1.因?yàn)閨an-bn|≤b1對(duì)n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|≤1對(duì)n=1,2,3,4均成立.即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得73≤d≤5因此,d的取值范圍為73(2)由條件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).即當(dāng)n=2,3,…,m+1時(shí),d滿意qn-1-2n-因?yàn)閝∈(1,m2所以1<qn-1≤qm≤2,從而qn-1-2n-因此,取d=0時(shí),|an-bn|≤b1對(duì)n=2,3,…,m+1均成立.下面探討數(shù)列qn-1①當(dāng)2≤n≤m時(shí),qn-2n-qn當(dāng)1<q≤21m時(shí),有qn≤q從而n(qn-qn-1)-qn+2>0.因此,當(dāng)2≤n≤m+1時(shí),數(shù)列qn故數(shù)列qn-1②設(shè)f(x)=2x(1-x),當(dāng)x>0時(shí),f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0.所以f(x)單調(diào)遞減,從而f(x)<f(0)=1.當(dāng)2≤n≤m時(shí),qnnqn-1n因此,當(dāng)2≤n≤m+1時(shí),數(shù)列qn故數(shù)列qn-1因此,d的取值范圍為b1C組老師專用題組考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2024北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)競(jìng)賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成果,其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位:次)63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽答案B2.(2024課標(biāo)Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市;乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市.由此可推斷乙去過(guò)的城市為.

答案A3.(2024福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個(gè)關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c等于.

答案2014.(2024江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…,n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123…(1)求p(100);(2)當(dāng)n≤2024時(shí),求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù),f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求當(dāng)n∈S時(shí)p(n)的最大值.答案(1)當(dāng)n=100時(shí),這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=11192(2)F(n)=n(3)當(dāng)n=b(1≤b≤9,b∈N*)時(shí),g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)時(shí),g(n)=k;當(dāng)n=100時(shí),g(n)=11,即g(n)=0同理有f(n)=0,1≤n≤8,由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以當(dāng)n≤100時(shí),S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.當(dāng)n=9時(shí),p(9)=0;當(dāng)n=90時(shí),p(90)=g(90)F(當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時(shí),p(n)=g(n)F(n)=k2n又8169<119,所以當(dāng)n∈S時(shí),p(n)的最大值為5.(2024天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.證明:若an<bn,則s<t.答案(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)證明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=(q-=-1<0.所以,s<t.考點(diǎn)二干脆證明與間接證明1.(2024浙江,20,15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+11+(1)f(x)≥1-x+x2;(2)34<f(x)≤3證明(1)因?yàn)?-x+x2-x3=1-(-x)由于x∈[0,1],有1-x4即1-x+x2-x3≤1x所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+1x+1≤x+1x+1=x+1x+1-32+3所以f(x)≤32由(1)得f(x)≥1-x+x2=x-122+又因?yàn)閒12=1924>所以f(x)>34綜上,34<f(x)≤32.(2024江蘇,20,16分)記U={1,2,…,100}.對(duì)數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定義ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定義ST=at1+at2+…+atk.例如:T={1,3,66}時(shí),ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){a(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)隨意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求證:ST<ak+1;(3)設(shè)C?U,D?U,SC≥SD,求證:SC+SC∩D≥2SD.答案(1)由已知得an=a1·3n-1,n∈N*.于是當(dāng)T={2,4}時(shí),ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又ST=30,故30a1=30,即a1=1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*.(2)因?yàn)門(mén)?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N*,所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k因此,ST<ak+1.(3)下面分三種狀況證明.①若D是C的子集,則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.②若C是D的子集,則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩?UD,F=D∩?UC,則E≠?,F≠?,E∩F=?.于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,進(jìn)而由SC≥SD得SE≥SF.設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,SE<ak+1.于是3l-1=al≤SF≤SE<ak+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.從而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1=3l-12≤3k故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,即SC+SC∩D≥2SD+1.綜合①②③得,SC+SC∩D≥2SD.【三年模擬】時(shí)間:45分鐘分值:60分一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,3)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明白孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一,可以這樣描述:存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2)稱為孿生素?cái)?shù).則由不超過(guò)20的素?cái)?shù)組成的孿生素?cái)?shù)共有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)答案C2.(2024廣東六校第三次聯(lián)考,10)自主招生聯(lián)盟成形于2009年清華高校等五校聯(lián)考,主要包括“北約”聯(lián)盟,“華約”聯(lián)盟,“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟.調(diào)查某中學(xué)學(xué)校學(xué)生自主招生報(bào)考的狀況,得到如下結(jié)果:①報(bào)考“北約”聯(lián)盟的學(xué)生,都沒(méi)報(bào)考“華約”聯(lián)盟;②報(bào)考“華約”聯(lián)盟的學(xué)生,也報(bào)考了“京派”聯(lián)盟;③報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生,都沒(méi)報(bào)考“京派”聯(lián)盟;④不報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生,就報(bào)考“華約”聯(lián)盟.依據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.沒(méi)有同時(shí)報(bào)考“華約”和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生B.報(bào)考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣C.報(bào)考“北約”聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“卓越”聯(lián)盟D.報(bào)考“京派”聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“北約”聯(lián)盟答案D3.(2024河北衡水第十三中學(xué)質(zhì)檢(四),6)平面內(nèi)的一條直線將平面分成2部分,兩條相交直線將平面分成4部分,三條兩兩相交且不共點(diǎn)的直線將平面分成7部分,……,則平面內(nèi)六條兩兩相交且隨意三條不共點(diǎn)的直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)為()A.16 B.20 C.21 D.22答案D4.(2025屆寧夏大武口質(zhì)量檢測(cè),4)大前提:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,小前提:f(x)=1x是奇函數(shù),結(jié)論:f(x)=1A.正確B.因大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C.因小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤D.因推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤答案A5.(2025屆河南南陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè),8)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)宏大成就.在“楊輝三角”中,已知第n行的全部數(shù)字之和為2n-1,若去除全部為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為()A.2060 B.2038 C.4084 D.4108答案C6.(2024安徽合肥一中、馬鞍山二中等六校教化探討會(huì)其次次聯(lián)考,12)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,則下列命題正確的是()(1)若a2+b2<c2,則C>π2;(2)若ab>c2,則C>π(3)若a3+b3=c3,則C<π2;(4)若2ab>(a+b)c,則C>π(5)若(a2+b2)c2<2a2b2,則C<π3A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(5)C.(1)(3)(4) D.(1)(3)(5)答案D7.(2025屆河南新鄉(xiāng)質(zhì)量檢測(cè),7)從A地到B地有三條路途:1號(hào)路途,2號(hào)路途,3號(hào)路途.小王想自駕從A地到B地,因擔(dān)憂堵車,于是向三位司機(jī)詢問(wèn),司機(jī)甲說(shuō):“2號(hào)路途不堵車,3號(hào)路途不堵車.”司機(jī)乙說(shuō):“1號(hào)路途不堵車,2號(hào)路途不堵車.”司機(jī)丙說(shuō):“1號(hào)路途堵車,2號(hào)路途不堵車.”假如三位司機(jī)中只有一位的說(shuō)法是完全正確的,那么小王最應(yīng)當(dāng)選擇的路途是()A.1號(hào)路途 B.2號(hào)路途C.3號(hào)路途 D.2號(hào)路途或3號(hào)路途答案B8.(2025屆江西臨川質(zhì)量檢測(cè),8)已知數(shù)列1,1