44-第四章習(xí)題課(概率統(tǒng)計(jì))

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征習(xí)題課四習(xí)題課四中,歸納第四章的概念、理論與方法等內(nèi)容.在“例題分類解析”部分,講解:直接按定義計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望;利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及常見分布的期望進(jìn)行計(jì)算.直接按定義計(jì)算隨機(jī)變量的方差;利用方差的性質(zhì)及常見分布的數(shù)字特征進(jìn)行計(jì)算;習(xí)題課四內(nèi)容簡介：

5.對(duì)較復(fù)雜的隨機(jī)變量進(jìn)行分解,化為簡單隨機(jī)變量之和進(jìn)行計(jì)算.

6.一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征;

7.二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征;

8.相關(guān)性與獨(dú)立性問題;

9.有關(guān)數(shù)字特征的證明問題.

介紹學(xué)習(xí)與研究方法所謂隨機(jī)變量的數(shù)字特征是指聯(lián)系于分布函數(shù)的某些數(shù),它們反映隨機(jī)變量的某方面的特征.找到這些特征,往往分布函數(shù)(或概率分布,概率密度函數(shù))隨之就確定了.不過在許多實(shí)際問題中,我們并不需要完全知道分布函數(shù),只需要知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征就夠了.隨機(jī)變量的數(shù)字特征在理論和實(shí)際中均具有重要作用. 內(nèi)容簡介

在本章中,首先,給出了數(shù)學(xué)期望的定義,介紹了關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理,然后討論了數(shù)學(xué)期望的性質(zhì).其次,給出了方差的定義,討論了方差的性質(zhì).最后,定義了相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差和矩.本章重點(diǎn):1.數(shù)學(xué)期望的概念和性質(zhì);2.方差的概念和性質(zhì);3.相關(guān)系數(shù)的概念和計(jì)算.本章難點(diǎn):1.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算;2.方差的計(jì)算;

3.隨機(jī)變量的相關(guān)性和獨(dú)立性的關(guān)系.

4.1主要內(nèi)容歸納1.一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表4-1一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若X的概率密度為則(2)若隨機(jī)變量函數(shù)為則連續(xù)型隨機(jī)變量

若X的分布律為則(2)若隨機(jī)變量函數(shù)為則離散型隨機(jī)變量

(1)(為常數(shù));(2)(3)(4)(5)若X與Y相互獨(dú)立,則數(shù)學(xué)期望性質(zhì)

2.一維隨機(jī)變量的方差表4-2一維隨機(jī)變量的方差連續(xù)型離散型

若X的概率密度為則若X的分布律為則(1)(2)(C為常數(shù));(3)(4)(5)若X與Y相互獨(dú)立,則.方差性質(zhì)

表4-3二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)的聯(lián)合分布律為則(2)二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望

離散型隨機(jī)變量3.二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差(1)設(shè)的概率密度為,則(2)二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量方差方差

(1)-1≤≤1;(2)若X,Y相互獨(dú)立，則(3)以概率1與X線性相關(guān),即存在常數(shù)a,b,使相關(guān)系數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)協(xié)方差表4-4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

4.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

5.矩和協(xié)方差矩陣X的k階原點(diǎn)矩X的k階中心矩連續(xù)型X的k階原點(diǎn)矩X的k階中心矩離散型矩

表4-5矩和協(xié)方差矩陣

（X,Y）的協(xié)方差矩陣其中協(xié)方差矩陣6.常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差表4-6常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差泊松分布

二項(xiàng)分布

兩點(diǎn)分布

方差

期望

分布律或概率密度

分布

均勻分布

正態(tài)分布

幾何分布

指數(shù)分布

7.重要結(jié)論和常用公式表4-7重要結(jié)論和期望、方差計(jì)算時(shí)常用公式(1)特別地,當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)(2)(3)X與Y獨(dú)立但反過來不成立.(4)若服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān).重要結(jié)論

(1)(2)

(3)

-函數(shù)的性質(zhì):

其中(5)常用公式

4.2例題分類解析1.直接按定義計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

例4.1

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求因此只需按照數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算即可.這里隨機(jī)變量X的概率密度已知,分析解由定義

例4.2

已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求我們由此求得其概率密度,進(jìn)而得到數(shù)學(xué)期望.分析這里給出的是隨機(jī)變量的分布函數(shù)解隨機(jī)變量X的概率密度為由此次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.相互獨(dú)立的,其概率均為

例4.3

設(shè)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗,又設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事是試求途中遇到紅燈解令X表示途中遇到紅燈的次數(shù),由題意即X的分布律為P3210X從而

2.利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及常見分布的期望進(jìn)行計(jì)算

例4.4

已知X服從參數(shù)為2的泊松分布,即則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望____.

分析本題涉及泊松分布的數(shù)學(xué)期望和數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì).由于所以因此解這里由于未給出分布律,所以須先由試驗(yàn)寫出分布律,然后計(jì)算.

例4.5

對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行射擊,直到擊中為止.若每次命中概率為p(0<p<1),求射擊次數(shù)的期望和方差.分析解以X表示射擊的次數(shù),則X的分布律為P321X3.直接按定義計(jì)算隨機(jī)變量的方差又故有

4.利用方差的性質(zhì)及常見分布的數(shù)字特征進(jìn)行計(jì)算

例4.6

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其中[0,6]上服從均勻分布,在服從正態(tài)分布服從參數(shù)為的指數(shù)分布.記求和分析差和由它們所構(gòu)成的線性函數(shù)的方差問題.本題涉及幾種常用分布的期望、方由題設(shè)知解由期望的性質(zhì)可得由于相互獨(dú)立,所以

例4.7

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,且試求的概率密度.分析組合的計(jì)算.涉及用數(shù)字特征表示隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度問題.涉及獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的線性因此解由題設(shè)知,故有

例4.8

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于X的邊緣概率密度及隨機(jī)變量的方差分析本題涉及邊緣概率密度的計(jì)算和函數(shù)方差的計(jì)算.易知D的面積為1.解因此(X,Y)的概率密度為由關(guān)于X的邊緣概率密度討論如下:(1)當(dāng)x≤0或x≥1時(shí),(2)當(dāng)0<x<1時(shí),所以由此可得此外于是有最后,由方差的性質(zhì)可得5.對(duì)較復(fù)雜的隨機(jī)變量進(jìn)行分解,化為簡單隨機(jī)變量之和進(jìn)行計(jì)算

例4.9

設(shè)某人先寫了n封投向不同地址的信,再寫n個(gè)標(biāo)有這n個(gè)地址的信封,然后在每個(gè)信封內(nèi)隨意裝入一封信.試求信與地址配對(duì)的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.這是一個(gè)“配對(duì)”問題.若采用先求分布再按定義計(jì)算期望的方法將十分麻煩.下面我們將這個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量分解為簡單隨機(jī)變量之和.分析首先定義如下：則解進(jìn)而再設(shè)X表示配對(duì)的個(gè)數(shù),則故有

例4.10

若有n把看上去樣子相同的鑰匙,其中只有一把能打開門上的鎖,用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖.設(shè)取到每把鑰匙是等可能的.若每把鑰匙試開一次后除去,試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.(1)寫出X的分布律;(2)不寫出X的分布律.分析就意味著前次所取的鑰匙均未能打開門,而第k次所取的鑰匙能將門打開.據(jù)此我們可以寫出X的分布律.解(1)以表示事件“第k次試開成功”.表示前k-1次所取的鑰匙均未能打開門,第k次所取的鑰匙能將門打開.即有即X的分布律為故(2)引入隨機(jī)變量如下:則沿用(1)中的記號(hào),

則有故有6.一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征分析

例4.11

設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則的數(shù)學(xué)期望____.

解,得到所以本題涉及二項(xiàng)分布及函數(shù)的數(shù)字

特征.

例4.12

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求分析本題涉及一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算.解由題設(shè)可知X的概率密度于是因此,7.二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征的分布律為

例4.13

設(shè)和是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量,已知

又設(shè)(1)寫出二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律;

(2)求分析本題涉及二維離散隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律和期望.解(1)下面實(shí)際計(jì)算一下注意到因此類似地計(jì)算,可得的分布律如下表332121YX000所以(2)由的分布律可得關(guān)于X的321X邊緣分布律和

例4.14

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求分析由于概率密度中含有待定參數(shù),所以應(yīng)首先根據(jù)求得A.解由得因此,于是有利用對(duì)稱性,有由于所以,協(xié)方差的兩個(gè)隨機(jī)變量,則_____.

分析注意到相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布,得X,Y的分布是確解記U=X-Y,則

由此可知

例4.15設(shè)X和Y是相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布于是8.相關(guān)性和獨(dú)立性問題

例4.16

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充分必要條().(A)

(B)(C)

(D)分析本題涉及協(xié)方差的計(jì)算,因?yàn)椴幌嚓P(guān)等價(jià)于協(xié)方差為零.解而等價(jià)于與不相關(guān),

所以選(B).(A)不相關(guān)的充分條件,但不是必要條件.(B)獨(dú)立的充分條件,但不是必要條件.

例4.17

設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不是X與Y().等于0,

則(C)不相關(guān)的充分必要條件.(D)獨(dú)立的充分必要條件.兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)的充要條件是它們的相關(guān)系數(shù)為零,而后者只是兩個(gè)隨機(jī)變量立的必要條件.分析解因?yàn)楣蔬x項(xiàng)(C)正確.所以X和Y不相關(guān)的充分必要條件是即分析本題涉及知識(shí)點(diǎn)很多,包括期望、方差和相關(guān)系數(shù)及獨(dú)立性等.

例4.18

已知隨機(jī)變量且X與Y的相關(guān)系數(shù)設(shè)(1)求和(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)(3)問X與Z是否相互獨(dú)立?為什么?解(1)由于所以而因此(2)由于所以(3)由知X與Z不相關(guān),因Z不一定服從正態(tài)分布,(X,Z)更不一定服從正態(tài)分布,X與Z不一定相互獨(dú)立..

9.有關(guān)數(shù)字特征的證明問題分析事實(shí)上就是一個(gè)以C為參數(shù)的二次函數(shù).

在

例4.19

設(shè)X是隨機(jī)變量,C是常數(shù),證明處取得最小值函數(shù)≥

取得最小值等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立,所以在處證由于分析本題涉及隨機(jī)變量的方差的性質(zhì).證由于所以從而有

例4.20

證明:對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y,則有

若稱做事件A和B的相關(guān)系數(shù).(1)證明事件A和B相互獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零;(2)利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)證明≤1.分析這里定義了隨機(jī)事件的相關(guān)系數(shù),并討論了它的某些性質(zhì).證(1)由的定義可知

例4.21

對(duì)于任意二事件A,B,即二事件A和B獨(dú)立.因此是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2)考慮隨機(jī)變量由條件知,X,Y都服從0-1分布

于是.這樣,可知隨機(jī)事件A和B的相關(guān)系數(shù)就等于隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).因此≤1.

例4.22

設(shè)A,B是二隨機(jī)事件,隨機(jī)變量

試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充要條件是隨機(jī)事件A和B相互獨(dú)立.分析本問題涉及隨機(jī)變量的相關(guān)性和隨機(jī)事件的獨(dú)性.證記由數(shù)學(xué)期望的定義有注意到XY的可能取值為-1,1,又

因此從而由此可見即故X和Y不相關(guān)的充要條件是A和B相關(guān)獨(dú)立.關(guān)系是一個(gè)非常重要的問題,在以往研究生考試中曾多次涉及,參見第三節(jié)歷年考研真題詳解.

注2.隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性的概念和隨機(jī)事件獨(dú)立的概念.切記,相互獨(dú)立的隨機(jī)變量一定是不相關(guān)的,但反之不然.

注1.

本題考查了隨機(jī)變量的不相關(guān)的10.應(yīng)用題

例4.23

假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若一周5個(gè)工作日里機(jī)器無故障企業(yè)可獲利10萬元;機(jī)器發(fā)生一次故障企業(yè)仍可獲利潤5萬元;機(jī)器發(fā)生二次故障企業(yè)所獲利潤0元;機(jī)器發(fā)生三次或者三次以上故障企業(yè)就虧損2萬元,求一周內(nèi)企業(yè)期望利潤是多少?分析本題涉及離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.易知一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從二項(xiàng)分布,而所獲利潤是它的函數(shù).

解以X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù),

則X服從參數(shù)為5,0.2的二項(xiàng)分布

于是≥以Y表示所獲利潤,則因此

=5.216(萬元).例4.24

假設(shè)由自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件

的內(nèi)徑X(單位:mm)服從正態(tài)分布內(nèi)徑小于10或大于12為不