2023-2024學(xué)年福建省三明市六校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省三明市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，得.故選：D.3.已知a、b為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，故C正確；對(duì)于D：若，，，則或與異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊為，，，若，，，則角的大小為（）A. B.或 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則，而，故或，顯然，所得角均滿足.故選：B.5.若一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則正方體與這個(gè)球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，外接球的半徑為，則，故球的表面積為，而正方體的表面積為，故正方體與這個(gè)球表面積之比為．故選：C．6.在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，，，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形．故選：D．7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，它將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭．如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭的體積為，則該方亭的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，則方亭的體積為，解得，則，畫出的平面圖，作于，，，則，，則該方亭的表面積為.故選：A.8.設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（）A. B.18 C.16 D.9〖答案〗B〖解析〗設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，，由，得，，若，則，，有，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是18.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題意的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則C.復(fù)數(shù)的虛部是3D.復(fù)數(shù)滿足，則最小值為1〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，即，故B正確；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的虛部為-3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以最小值為1，故D正確.故選：ABD.10.已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與的夾角的余弦值為B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則〖答案〗AD〖解析〗設(shè)與夾角為，則，故A正確；在方向上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故C錯(cuò)誤；若向量與向量共線，設(shè)，因?yàn)椴还簿€，所以，解得，故D正確.故選：AD.11.已知中，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，連接，使交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在的外接圓上，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，在中，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槠椒郑?，，在中，由正弦定理得，所以，故，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，由余弦定理得，所以，在中，，所以，所以由正弦定理得，，所以C正確；對(duì)于D，由B選項(xiàng)可知，即為外接圓的直徑，故外接圓的半徑，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，在優(yōu)弧上，設(shè)，則，，所以在中由正弦定理得，所以，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖所示，等腰直角三角形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意，，則，故原圖形中，，，周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的底面半徑為2，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，高為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以，又，所以圓錐的母線長(zhǎng)，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.故〖答案〗為：.14.如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗連接AC，因?yàn)?，，，，所以，又，所以，所以，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線BF，垂足為F，易知，在中，，，所以，，以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的周長(zhǎng)為，求的面積．解：（1）由正弦定理可得：即：，，，由得：.（2），的周長(zhǎng)為，，由余弦定理可得：，，的面積：.16.如圖，四棱錐中，分別為線段，中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）連接，因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面．17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D滿足，且．（1）若b＝c，求A的值；（2）求B的最大值．解：（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)閎＝c，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，由余弦定理得，，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?，所以B的最大值為．18.如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為，過(guò)的截面與上底面交于，且點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．（1）試在棱上找一點(diǎn)，使得平面，并加以證明；（2）求四棱錐的體積．解：（1）證法1：點(diǎn)為棱中點(diǎn)，證明如下：取的中點(diǎn)，連接，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，又是棱中點(diǎn)，∴是棱的中點(diǎn)，∴∥，，∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴∥，，∴∥，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．證法2：為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：∵平面，平面，平面平面，∴，平面，平面，所以平面，又∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴面，又∵與在平面內(nèi)相交，∴面面，又∵面，∴平面．（2）解法一：連接，四棱錐可視為三棱錐和組合而成，三棱錐可視為，底面積，高為，設(shè)，體積為，三棱錐與等高，體積比為底面積之比，設(shè)，則，故，因此，，即為所求．解法二：分別取和的中點(diǎn)，，連接，，連接交于點(diǎn)，連接，，∵和是正三角形，且，分別是和的中點(diǎn)，∴，且∥，，則，，，四點(diǎn)共面，∵平面，平面，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，在矩形中，，，∴，∴，且，∴，即．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，在等腰梯形中，，，，∴等腰梯形的高，∴四棱錐的體積．19.如圖，海上有A，B兩個(gè)小島相距，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現(xiàn)從船O上泥下一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)，且，設(shè).（1）用x分別表示和，并求出x的取值范圍；（2）晚上小艇在C處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值.解：（1）在中，，由余弦定理得，又，所以①，在，中，，由余弦定理得②，①+②得，①-②得，即，又，所以，即，又，即，所以.（2）易知，故，又，設(shè)，所以，，，在上是增函數(shù)，所以的最大值為，即BD的最大值為10.福建省三明市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋瑒t，得.故選：D.3.已知a、b為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，故C正確；對(duì)于D：若，，，則或與異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊為，，，若，，，則角的大小為（）A. B.或 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則，而，故或，顯然，所得角均滿足.故選：B.5.若一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則正方體與這個(gè)球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，外接球的半徑為，則，故球的表面積為，而正方體的表面積為，故正方體與這個(gè)球表面積之比為．故選：C．6.在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形．故選：D．7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，它將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭．如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭的體積為，則該方亭的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，則方亭的體積為，解得，則，畫出的平面圖，作于，，，則，，則該方亭的表面積為.故選：A.8.設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（）A. B.18 C.16 D.9〖答案〗B〖解析〗設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，，由，得，，若，則，，有，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是18.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題意的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則C.復(fù)數(shù)的虛部是3D.復(fù)數(shù)滿足，則最小值為1〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，即，故B正確；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的虛部為-3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以最小值為1，故D正確.故選：ABD.10.已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與的夾角的余弦值為B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則〖答案〗AD〖解析〗設(shè)與夾角為，則，故A正確；在方向上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故C錯(cuò)誤；若向量與向量共線，設(shè)，因?yàn)椴还簿€，所以，解得，故D正確.故選：AD.11.已知中，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，連接，使交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在的外接圓上，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，在中，由余弦定理得，又因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)槠椒?，所以，，在中，由正弦定理得，所以，故，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，由余弦定理得，所以，在中，，所以，所以由正弦定理得，，所以C正確；對(duì)于D，由B選項(xiàng)可知，即為外接圓的直徑，故外接圓的半徑，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，在優(yōu)弧上，設(shè)，則，，所以在中由正弦定理得，所以，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖所示，等腰直角三角形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意，，則，故原圖形中，，，周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的底面半徑為2，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，高為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以，又，所以圓錐的母線長(zhǎng)，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.故〖答案〗為：.14.如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗連接AC，因?yàn)?，，，，所以，又，所以，所以，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線BF，垂足為F，易知，在中，，，所以，，以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的周長(zhǎng)為，求的面積．解：（1）由正弦定理可得：即：，，，由得：.（2），的周長(zhǎng)為，，由余弦定理可得：，，的面積：.16.如圖，四棱錐中，分別為線段，中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）連接，因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面．17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D滿足，且．（1）若b＝c，求A的值；（2）求B的最大值．解：（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)閎＝c，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?，所以B的最大值為．18.如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為，過(guò)的截面與上底面交于，且點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．（1）試在棱上找一點(diǎn)，使得平面，并加以證明；（2）求四棱錐的體