2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷1.、互為共軛復(fù)數(shù)，，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，、互為共軛復(fù)數(shù)，∴，所以=2.故選：B.2.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗D〖解析〗由題意設(shè)等差數(shù)列的首項、公差分別為，因，所以，從而.故選：D.3.將序號分別為1，2，3，4，5五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，那么不同分法的種數(shù)是（）A6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、將連號的兩張參觀券分給甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4種情況，

②、將剩下的3張參觀券分給其他三人，有種分法，

則有種不同的分法；

故選:B．4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，故，故選：A.5.在棱長為的正方體中，與其各棱都相切的球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗棱長為的正方體的棱切球，其半徑為面對角線的一半，即：，所以該球的表面積.故選：C.6.已知向量與的夾角為，且滿足，，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量在上的投影為，向量在上的投影向量為.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與一條漸近線垂直，垂足為，交雙曲線右支于點，，則離心率（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)，不妨取其中一條漸近線，由兩直線垂直，斜率乘積為-1有，過的直線的方程為，聯(lián)立上述兩直線可求得點M的坐標(biāo)為，因為，則，故，由直線的方程為得N點坐標(biāo)為，因為點在雙曲線上，所以，化簡得，故，故A，C，D錯誤.故選：B.8.已知，若函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，令，得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有最大值，而，由此可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)有兩個不同的零點，結(jié)合零點存在定理可知的最大值又，所以，所以，解得，所以，即的取值范圍是.故選：B.9.在的展開式中，二項式的系數(shù)和為，則下列說法正確的是（）A. B.展開式中各項系數(shù)和為C.第項的二項式系數(shù)最大 D.展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為〖答案〗ABD〖解析〗由二項式定理可知，二項式系數(shù)之和為，解得，A選項正確；令，得，B選項正確；時，的展開式共項，二項式系數(shù)最大的項為第項，C選項錯誤；，則，，，為負(fù)數(shù)，，，，，為正數(shù)，故展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為，令，得，D選項正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗，對選項A：函數(shù)的最大值為，錯誤；對選項B：函數(shù)的最小正周期為，正確；對選項C：，則，故的圖象關(guān)于點對稱，正確；對選項D：，則，函數(shù)單調(diào)遞增，正確；故選：BCD.11.甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為甲罐中有3個紅球、2個黑球，所以，故選項A正確；因為，所以選項C正確；因為，所以，因此選項D正確；因為，所以選項B不正確，故選：ACD12.已知的面積為，，則=____．〖答案〗〖解析〗,，解得,所以，∴,∴,故〖答案〗為：.13.已知拋物線頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則____．〖答案〗1〖解析〗設(shè)，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關(guān)于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故〖答案〗為：114.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故〖答案〗為：15.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，可得，又，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，，設(shè)，前n項和為，，，兩式相減得，，得，.16.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有個紅球，個白球的甲箱和裝有個紅球、個白球的乙箱中，各隨機摸出個球，在摸出的個球中，若都是紅球，則獲獎.（1）求顧客抽獎次能獲獎的概率；（2）若顧客有次抽獎機會，記該顧客在次抽獎中將的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記事件{甲、乙兩箱中摸出球都是紅球}，則.即顧客抽獎次能獲獎的概率為；（2）由題可知，，，.故的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為.17.如圖，矩形與梯形所在的平面垂直，，，，，P為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為，平面平面，平面平面,平面，所以平面，又因為平面，所以．在矩形中，，，P為的中點，所以，，因為，根據(jù)勾股定理逆定理可得．因為，平面，所以平面EPF，又因為平面，所以平面平面．（2）以F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A，F(xiàn)C，F(xiàn)E所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面DPC的法向量為，由得令，則．同理可得平面BCD的一個法向量為．設(shè)平面BCD與平面DPC的夾角為，故，即平面BCD與平面DPC夾角的余弦值為．18.已知橢圓E：過點，且其離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點的斜率不為零的直線與橢圓E交于C，D兩點，A，B分別為橢圓E的左、右頂點，直線AC，BD交于一點P，M為線段PB上一點，滿足，問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由（O為坐標(biāo)原點）．解：（1）由題意可知，，解得：，，，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)過點的直線為，，，，，聯(lián)立，得，，，，所以，，聯(lián)立直線和方程，得，，所以，得，，即因為點是的中點，，所以，所以.所以是定值，且定值為.19.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，（i）證明恰有兩個零點（ii）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明.解：（1）由已知，的定義域為，且，因此當(dāng)時，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）（i）由（1）知，，令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點.令，則當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，，所以，從而，又因為，所以在內(nèi)有唯一零點，又在內(nèi)有唯一零點1，從而，在內(nèi)恰有兩個零點.（ii）由題意，，即，從而，即，因為當(dāng)時，，又，故，兩邊取對數(shù)，得，于是，整理得，廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷1.、互為共軛復(fù)數(shù)，，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，、互為共軛復(fù)數(shù)，∴，所以=2.故選：B.2.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗D〖解析〗由題意設(shè)等差數(shù)列的首項、公差分別為，因，所以，從而.故選：D.3.將序號分別為1，2，3，4，5五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，那么不同分法的種數(shù)是（）A6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、將連號的兩張參觀券分給甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4種情況，

②、將剩下的3張參觀券分給其他三人，有種分法，

則有種不同的分法；

故選:B．4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，故，故選：A.5.在棱長為的正方體中，與其各棱都相切的球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗棱長為的正方體的棱切球，其半徑為面對角線的一半，即：，所以該球的表面積.故選：C.6.已知向量與的夾角為，且滿足，，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量在上的投影為，向量在上的投影向量為.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線與一條漸近線垂直，垂足為，交雙曲線右支于點，，則離心率（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)，不妨取其中一條漸近線，由兩直線垂直，斜率乘積為-1有，過的直線的方程為，聯(lián)立上述兩直線可求得點M的坐標(biāo)為，因為，則，故，由直線的方程為得N點坐標(biāo)為，因為點在雙曲線上，所以，化簡得，故，故A，C，D錯誤.故選：B.8.已知，若函數(shù)有兩個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，令，得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有最大值，而，由此可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)有兩個不同的零點，結(jié)合零點存在定理可知的最大值又，所以，所以，解得，所以，即的取值范圍是.故選：B.9.在的展開式中，二項式的系數(shù)和為，則下列說法正確的是（）A. B.展開式中各項系數(shù)和為C.第項的二項式系數(shù)最大 D.展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為〖答案〗ABD〖解析〗由二項式定理可知，二項式系數(shù)之和為，解得，A選項正確；令，得，B選項正確；時，的展開式共項，二項式系數(shù)最大的項為第項，C選項錯誤；，則，，，為負(fù)數(shù)，，，，，為正數(shù)，故展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為，令，得，D選項正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗，對選項A：函數(shù)的最大值為，錯誤；對選項B：函數(shù)的最小正周期為，正確；對選項C：，則，故的圖象關(guān)于點對稱，正確；對選項D：，則，函數(shù)單調(diào)遞增，正確；故選：BCD.11.甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為甲罐中有3個紅球、2個黑球，所以，故選項A正確；因為，所以選項C正確；因為，所以，因此選項D正確；因為，所以選項B不正確，故選：ACD12.已知的面積為，，則=____．〖答案〗〖解析〗,，解得,所以，∴,∴,故〖答案〗為：.13.已知拋物線頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則____．〖答案〗1〖解析〗設(shè)，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關(guān)于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故〖答案〗為：114.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．〖答案〗〖解析〗∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故〖答案〗為：15.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，可得，又，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，，設(shè)，前n項和為，，，兩式相減得，，得，.16.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有個紅球，個白球的甲箱和裝有個紅球、個白球的乙箱中，各隨機摸出個球，在摸出的個球中，若都是紅球，則獲獎.（1）求顧客抽獎次能獲獎的概率；（2）若顧客有次抽獎機會，記該顧客在次抽獎中將的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記事件{甲、乙兩箱中摸出球都是紅球}，則.即顧客抽獎次能獲獎的概率為；（2）由題可知，，，.故的分布列為：所以的數(shù)學(xué)期望為.17.如圖，矩形與梯形所在的平面垂直，，，，，P為的中點．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為，平面平面，平面平面,平面，所以平面，又因為平面，所以．在矩形中，，，P為的中點，所以，，因為，根據(jù)勾股定理逆定理可得．因為，平面，所以平面EPF，又因為平面，所以平面平面．（2）以F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A，F(xiàn)C，F(xiàn)E所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面DPC的法向量為，由得令，則．同理可得平面BCD的一個法向量為．設(shè)平面BCD與平面DPC的夾角為，故，即平面BCD與平面DPC夾角的余弦值為．18.已知橢圓E：過點，且其離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點的斜率不為零的直線與橢圓E交于C，D兩點，A，B分別為橢圓E的左、右頂點，直線AC，BD交于一點P，M為線段PB上一點，滿足，問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由（O為坐標(biāo)原點）．解：（1）由題意可知，，解得：，，，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)過點的直線為，，，，，聯(lián)立，得，，，，所以，，聯(lián)立直線和方程，得，，所以，得，，即因為點是的中點，，所以，所以.所以是定