2023-2024學(xué)年山東省濟寧市兗州區(qū)高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山東省濟寧市兗州區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B.2.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗易知，則其最小正周期為.故選：C.3.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，，，則，直角梯形對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，，所以該平面圖形的高為.故選：C.4.我們學(xué)過的度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)角所在的扇形的半徑為，則扇形面積，由題意，面度數(shù)為，所以，所以.故選：C.5.如圖，將一個圓柱4等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)原圓柱的底面圓半徑為，高為，則原圓柱的表面積為，新幾何體的表面積，故，故圓柱側(cè)面積為.故選：A.6.已知向量滿足，且，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，且，所以，即，即，所以，所以.故選：B.7.如圖所示，為線段外一點，若中任意相鄰兩點間的距離相等，，則用表示，其結(jié)果為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的中點為A，則，所以.故選：D.8.在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的面積，，，則，，，，，，，，．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C.的虛部為2 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，所以，A正確；對于B，，B正確；對于C，因為，所以，所以的虛部為，C錯誤；對于D，因為，所以，又，所以，D正確.故選：ABD.10.軟木鍋墊的正、反面可加置印刷公司logo、圖片、產(chǎn)品、廣告、聯(lián)系方式等，表面較強的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保護桌面不被燙壞．如圖②，這是一個邊長為20厘米的正六邊形的軟木鍋墊，則下列選項正確的是（）A.向量在向量上的投影向量為B.C.D.點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）的動點，的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗以A為原點，以所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，對于A，由圖可知，所以，向量在向量上的投影向量為，故A正確；對于B，由圖可知，所以，，，所以，故B正確；對于C，，，，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，所以，因為點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）的動點，所以，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為-200，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2D.直線與的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為〖答案〗ACD〖解析〗觀察函數(shù)圖象，，函數(shù)的周期為，，由，得，而，則，，對于A，函數(shù)的周期為，A正確；對于B，，函數(shù)的圖象關(guān)于不對稱，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，取得最大值2，C正確；對于D，當(dāng)時，，由，即，得或，解得或，顯然，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖所示，長方體中，若，，，，分別為棱，的中點．用平面把這個長方體分成兩部分，則左側(cè)幾何體的體積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)左側(cè)幾何體的體積為，長方體的體積為，右側(cè)三棱柱的體積為，則.故〖答案〗為：.13.已知向量，若，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為，所以不共線，若共線，則，即，所以時不共線.故〖答案〗為：.14.已知向量，若，則______.〖答案〗〖解析〗因為向量，，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是關(guān)于的方程的一個根，其中為虛數(shù)單位．（1）求的值；（2）記復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模．解：（1）解法一：由題意得：，即，所以，所以，，解得：，即；解法二：由已知得，這個方程的另一個根是，再用韋達定理可知：，解得：，所以.（2），，則，所以.16已知單位向量滿足.（1）求的值；（2）設(shè)與夾角為，求的值.解：（1）因為為單位向量，所以，所以，得到，則，則.（2）因為，所以，而，所以，即.17.興隆塔，建于隋朝，位于區(qū)博物館內(nèi).某校開展數(shù)學(xué)建模活動，有建模課題組的學(xué)生選擇測量興隆塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，興隆塔垂直于水平面，他們選擇了與興隆塔底部在同一水平面上的兩點，測得米，在兩點觀察塔頂點，仰角分別為和，其中，.（1）求興隆塔的高的長；（2）在（1）的條件下求多面體的表面積；（3）在（1）的條件下求多面體的內(nèi)切球的半徑.解：（1）設(shè)米，在中，，則，在中，，且，則，所以，因為，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).（2）由（1）知均為直角三角形，，，所以，所以在中，滿足，所以為直角三角形；所以，所以平方米.（3）設(shè)多面體的內(nèi)切球的半徑為，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換：，所以米.18.已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值；（3）將圖象上所有的點向左平移個單位，然后再向上平移1個單位，最后使所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，方程有一解，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以即，又因為，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若，則，所以，因為，所以，所以，所以，故.（3）將圖象上所有的點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向下平?個單位，最后再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，即：，則，當(dāng)時，，由方程有一解，可得的取值范圍為．19.在中，，，對應(yīng)的邊分別為，，，（1）求；（2）若為線段內(nèi)一點，且，求線段的長；（3）法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的，都有被稱為柯西不等式；在（1）的條件下，若，求：的最小值；解：（1）因為，所以，由正弦定理，所以，即：，所以.（2）（方法一）因為，所以，所以，所以，及.（方法二）以AB所在的直線為軸，A為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，如圖，則，則：，所以.（3）根據(jù)柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時取等號，即：的最小值為48.山東省濟寧市兗州區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B.2.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗易知，則其最小正周期為.故選：C.3.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，，，則，直角梯形對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，，所以該平面圖形的高為.故選：C.4.我們學(xué)過的度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)角所在的扇形的半徑為，則扇形面積，由題意，面度數(shù)為，所以，所以.故選：C.5.如圖，將一個圓柱4等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)原圓柱的底面圓半徑為，高為，則原圓柱的表面積為，新幾何體的表面積，故，故圓柱側(cè)面積為.故選：A.6.已知向量滿足，且，則（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，且，所以，即，即，所以，所以.故選：B.7.如圖所示，為線段外一點，若中任意相鄰兩點間的距離相等，，則用表示，其結(jié)果為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的中點為A，則，所以.故選：D.8.在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的面積，，，則，，，，，，，，．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C.的虛部為2 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為，所以，A正確；對于B，，B正確；對于C，因為，所以，所以的虛部為，C錯誤；對于D，因為，所以，又，所以，D正確.故選：ABD.10.軟木鍋墊的正、反面可加置印刷公司logo、圖片、產(chǎn)品、廣告、聯(lián)系方式等，表面較強的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保護桌面不被燙壞．如圖②，這是一個邊長為20厘米的正六邊形的軟木鍋墊，則下列選項正確的是（）A.向量在向量上的投影向量為B.C.D.點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）的動點，的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗以A為原點，以所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，對于A，由圖可知，所以，向量在向量上的投影向量為，故A正確；對于B，由圖可知，所以，，，所以，故B正確；對于C，，，，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，所以，因為點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）的動點，所以，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為-200，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2D.直線與的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為〖答案〗ACD〖解析〗觀察函數(shù)圖象，，函數(shù)的周期為，，由，得，而，則，，對于A，函數(shù)的周期為，A正確；對于B，，函數(shù)的圖象關(guān)于不對稱，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，取得最大值2，C正確；對于D，當(dāng)時，，由，即，得或，解得或，顯然，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖所示，長方體中，若，，，，分別為棱，的中點．用平面把這個長方體分成兩部分，則左側(cè)幾何體的體積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)左側(cè)幾何體的體積為，長方體的體積為，右側(cè)三棱柱的體積為，則.故〖答案〗為：.13.已知向量，若，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為，所以不共線，若共線，則，即，所以時不共線.故〖答案〗為：.14.已知向量，若，則______.〖答案〗〖解析〗因為向量，，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是關(guān)于的方程的一個根，其中為虛數(shù)單位．（1）求的值；（2）記復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模．解：（1）解法一：由題意得：，即，所以，所以，，解得：，即；解法二：由已知得，這個方程的另一個根是，再用韋達定理可知：，解得：，所以.（2），，則，所以.16已知單位向量滿足.（1）求的值；（2）設(shè)與夾角為，求的值.解：（1）因為為單位向量，所以，所以，得到，則，則.（2）因為，所以，而，所以，即.17.興隆塔，建于隋朝，位于區(qū)博物館內(nèi).某校開展數(shù)學(xué)建模活動，有建模課題組的學(xué)生選擇測量興隆塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，興隆塔垂直于水平面，他們選擇了與興隆塔底部在同一水平面上的兩點，測得米，在兩點觀察塔頂點，仰角分別為和，其中，.（1）求興隆塔的高的長；（2）在（1）的條件下求多面體的表面積；（3）在（1）的條件下求多面體的內(nèi)切球的半徑.解：（1）設(shè)米，在