2024屆河北省承德市部分示范性高中高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河北省承德市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗集合中，所以或，集合中，所以，故選：A.2.已知，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以的對應(yīng)點為，在第四象限.故選：D.3.設(shè)為實數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由題可得，令，解得；或，因為函數(shù)在處取得極小值，所以，即，當(dāng)時，，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意.故選：B.4.在中，為中點，連接，設(shè)為中點，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，故選：D.5.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，，解得，故選：C.6.對于一個自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的“浙升數(shù)”共有（）A.97個 B.91個C.84個 D.75個〖答案〗C〖解析〗在中任取3個數(shù)，其大小關(guān)系確定，所以“漸升數(shù)”共有個.故選：C.7.已知函數(shù)，若滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，函數(shù)，定義域為，又因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，故滿足，當(dāng)時，，因為在單調(diào)遞增，且，所以，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，注意到，因此，即，解出的取值范圍是.故選：D.8.已知圓，圓與軸交于，斜率存在且過原點的直線與圓相交于兩點，直線與直線相交于點，直線?直線?直線的斜率分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得直線，與圓方程聯(lián)立，得，可求出點，同理得點，由于在直線上，因此，化簡后得，顯然，否則點在圓上，兩點重合，與題意矛盾，則，再聯(lián)立直線與直線，則點，因此，則，即，A選項正確，BD選項錯誤，，即，C選項錯誤.故選：A.二?多選題9.對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，則下列說法正確的是（）A.等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B.等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C.若且，則D.若且，則是等比數(shù)列前項和〖答案〗AB〖解析〗數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故A正確；數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故B正確；設(shè)，則，解出，則，因此，故錯誤；若且，則，數(shù)列的前項和為0，顯然D錯誤.故選：.10.已知直線與拋物線相交于兩點，分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，線段的中點到準(zhǔn)線的距離為，焦點為為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若直線過拋物線的焦點，則D.若，直線的斜率之積為4，則直線的斜率為〖答案〗ACD〖解析〗對A，因為，所以，即，故A正確；對B，設(shè)直線，由可得點，由于，則直線，同理求出點，因此，故B錯誤；對C，設(shè)直線的方程為，由可得，則，因此，故C正確；對D，設(shè)直線的方程為，由可得，則，且，由于，因此，因為直線，的斜率之積為4，則，因此，滿足，故直線的斜率為，故D正確，故選：ACD.11.如圖，在正四棱柱中，是棱的中點，為線段上的點（異于端點），且，則下列說法正確的是（）A.是平面的一個法向量BC.點到平面的距離為D.二面角的正弦值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因為，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，在中，因為，則，在中，利用余弦定理,可求得或（舍去），因此，故錯誤；對于C，以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由B選擇可知，，，所以，故，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，設(shè)點到平面的距離為，所以由點到平面的距離公式得：，故C正確；對于D，由C選項中坐標(biāo)可知，為平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，所以，因此二面角的正弦值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.函數(shù)在處的切線的斜率為__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，有，則.所以函數(shù)在處的切線的斜率為.故〖答案〗為：.13.已知雙曲線分別為其左?右焦點，為雙曲線上一點，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為，故〖答案〗為：.14.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗，，所以，而，因此原式.故〖答案〗為：.四?解答題15.已知正項數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列滿足，.（1）寫出，并求數(shù)列的通項公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由可得，又，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，令，則，所以數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，令，則，所以數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以；綜上所述，；（2）由（1）得，則，由，可得，因為是一個遞增數(shù)列，所以，故，，故數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.16.第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京開幕，各地報起了一股學(xué)習(xí)黨史風(fēng)潮，某市為了促進(jìn)市民學(xué)習(xí)黨史，舉辦了黨史知識競賽活動，通過隨機(jī)抽樣，得到了1000人的競賽成績（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：成績區(qū)間頻數(shù)201802002802208020（1）求上表數(shù)據(jù)中的平均值（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）；（2）根據(jù)樣本估計總體的方法，用頻率代替概率，從該學(xué)校中隨機(jī)抽取3位同學(xué)參加黨史知識競賽，記他們之中不低于60分的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）.（2）隨機(jī)抽取一位同學(xué)成績不低于60分的頻率為，由題意可知，，則，所以的分布列為0123.17.如圖1，在直角中，為中點，，取中點，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.（1）證明：由題意知為等腰直角三角形，又為的中點，所以，，，由，解得，當(dāng)時，有，即，而平面，故平面；（2）解：以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以所以，，所以，于是，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，解得，設(shè)，則，，因為為中點，為中點，所以，又平面，平面，所以平面，平面和平面的交線為，平面，所以，又為上異于的一點，所以，即與共線，設(shè)為，則，故，因此.設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡得，解得或，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，因此或.18.已知橢圓的左頂點到右焦點的距離是3，且的離心率是，過左焦點的直線與橢圓交于兩點，過左焦點且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍.解：（1）由題意得解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知，左焦點，當(dāng)直線斜率不存在或者斜率為0時，，當(dāng)直線斜率存在且不為0時，設(shè)直線，直線，，聯(lián)立方程組整理得，則，因此，同理可得，所以，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，綜上所述，的取值范圍為.19.給定一個元函數(shù)組：，若對任意正整數(shù)，均有，則把稱作該函數(shù)組的“初始函數(shù)”.已知是函數(shù)組，的“初始函數(shù)”，且.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，記，數(shù)列的前項和為.是三個互不相等的正整數(shù)，若，求除以4的余數(shù).解：（1）根據(jù)題意可知，，函數(shù)的定義域為，令，即，解得：，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，令，即，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，（2）因為，所以，當(dāng)時當(dāng)時，，易得：又因為，即，可得，，，12，356，7910，1113①若均能被4整除，，滿足題意，余數(shù)為0；②若只有1個被4整除，不妨設(shè)，則有，符合題意的其中一個除以4余1，另一個除以4余2或3，此時除以4的余數(shù)為0或3；下面說明當(dāng)都不能被4整除時，不符合題意.將問題加強(qiáng)為：在數(shù)列中任取三項，不妨設(shè)，（其中等號不能同時成立），均無法滿足，當(dāng)或者時，顯然不成立；②當(dāng)時，同除以，即，左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，也無法成立.綜上所述，當(dāng)滿足時，除以4的余數(shù)為0或3.河北省承德市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗集合中，所以或，集合中，所以，故選：A.2.已知，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，所以的對應(yīng)點為，在第四象限.故選：D.3.設(shè)為實數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則（）A.1 B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由題可得，令，解得；或，因為函數(shù)在處取得極小值，所以，即，當(dāng)時，，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足題意.故選：B.4.在中，為中點，連接，設(shè)為中點，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，故選：D.5.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，，解得，故選：C.6.對于一個自然數(shù)，如果從左往右，每一位上的數(shù)字依次增大，則稱自然數(shù)是“漸升數(shù)”，那么三位數(shù)的“浙升數(shù)”共有（）A.97個 B.91個C.84個 D.75個〖答案〗C〖解析〗在中任取3個數(shù)，其大小關(guān)系確定，所以“漸升數(shù)”共有個.故選：C.7.已知函數(shù)，若滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，函數(shù)，定義域為，又因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，故滿足，當(dāng)時，，因為在單調(diào)遞增，且，所以，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，注意到，因此，即，解出的取值范圍是.故選：D.8.已知圓，圓與軸交于，斜率存在且過原點的直線與圓相交于兩點，直線與直線相交于點，直線?直線?直線的斜率分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得直線，與圓方程聯(lián)立，得，可求出點，同理得點，由于在直線上，因此，化簡后得，顯然，否則點在圓上，兩點重合，與題意矛盾，則，再聯(lián)立直線與直線，則點，因此，則，即，A選項正確，BD選項錯誤，，即，C選項錯誤.故選：A.二?多選題9.對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，則下列說法正確的是（）A.等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B.等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C.若且，則D.若且，則是等比數(shù)列前項和〖答案〗AB〖解析〗數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故A正確；數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，故B正確；設(shè)，則，解出，則，因此，故錯誤；若且，則，數(shù)列的前項和為0，顯然D錯誤.故選：.10.已知直線與拋物線相交于兩點，分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，線段的中點到準(zhǔn)線的距離為，焦點為為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若直線過拋物線的焦點，則D.若，直線的斜率之積為4，則直線的斜率為〖答案〗ACD〖解析〗對A，因為，所以，即，故A正確；對B，設(shè)直線，由可得點，由于，則直線，同理求出點，因此，故B錯誤；對C，設(shè)直線的方程為，由可得，則，因此，故C正確；對D，設(shè)直線的方程為，由可得，則，且，由于，因此，因為直線，的斜率之積為4，則，因此，滿足，故直線的斜率為，故D正確，故選：ACD.11.如圖，在正四棱柱中，是棱的中點，為線段上的點（異于端點），且，則下列說法正確的是（）A.是平面的一個法向量BC.點到平面的距離為D.二面角的正弦值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因為，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，在中，因為，則，在中，利用余弦定理,可求得或（舍去），因此，故錯誤；對于C，以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由B選擇可知，，，所以，故，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，設(shè)點到平面的距離為，所以由點到平面的距離公式得：，故C正確；對于D，由C選項中坐標(biāo)可知，為平面的一個法向量，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，所以，因此二面角的正弦值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.函數(shù)在處的切線的斜率為__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，有，則.所以函數(shù)在處的切線的斜率為.故〖答案〗為：.13.已知雙曲線分別為其左?右焦點，為雙曲線上一點，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為，故〖答案〗為：.14.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗，，所以，而，因此原式.故〖答案〗為：.四?解答題15.已知正項數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列滿足，.（1）寫出，并求數(shù)列的通項公式；（2）記為數(shù)列在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由可得，又，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，令，則，所以數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，令，則，所以數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以；綜上所述，；（2）由（1）得，則，由，可得，因為是一個遞增數(shù)列，所以，故，，故數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.16.第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京開幕，各地報起了一股學(xué)習(xí)黨史風(fēng)潮，某市為了促進(jìn)市民學(xué)習(xí)黨史，舉辦了黨史知識競賽活動，通過隨機(jī)抽樣，得到了1000人的競賽成績（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：成績區(qū)間頻數(shù)201802002802208020（1）求上表數(shù)據(jù)中的平均值（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）；（2）根據(jù)樣本估計總體的方法，用頻率代替概率，從該學(xué)校中隨機(jī)抽取3位同學(xué)參加黨史知識競賽，記他們之中不低于60分的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）.（2）隨機(jī)抽取一位同學(xué)成績不低于60分的頻率為，由題意可知，，則，所以的分布列為0123.17.如圖1，在直角中，為中點，，取中點，連接，現(xiàn)把沿著翻折，形成三棱錐如圖2，此時，取中點，連接，記平面和平面的交線為為上異于的一點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.（1）證明：由題意知為等腰直角三角形，又為的中點，所以，，，由，解得，當(dāng)時，有，即，而平面，故平面；（2）解：以為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以所以，，所以，于是，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，解得，設(shè)，則，，因為為中點，為中點，所以，又平面，平面，所以平面，平面和平面的交線為，平面，所以，又為上異于的一點，所以，即與共線，