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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.下列集合中有無(wú)數(shù)個(gè)元素的是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A,因?yàn)?,,則,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)?,,則,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,有無(wú)數(shù)個(gè)元素.故D正確.故選:D.2.已知為純虛數(shù),則()A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意,,由是純虛數(shù),得,所以.故選:B.3.已知向量,若與的夾角為,則()A.10 B. C.5 D.〖答案〗A〖解析〗,則,故選:A.4.已知直線,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí),直線,則,當(dāng)時(shí),,解得,所以“”是“”的充要條件.故選:C.5.已知球的半徑為5,點(diǎn)到球心的距離為3,則過(guò)點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由點(diǎn)到球心的距離為3,得球心到過(guò)點(diǎn)的平面距離的最大值為3,因此過(guò)點(diǎn)的平面被球所截的截面小圓半徑最小值為,所以過(guò)點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是.故選:C.6.如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱(chēng)為萊布尼茨三角形,是將楊輝三角形中的換成得到的,根據(jù)萊布尼茨三角形,下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗觀察萊布尼茨三角形,知每一個(gè)數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個(gè)數(shù)之和,因此,即D正確,ABC錯(cuò)誤.故選:D.7.傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與C相交于兩點(diǎn).若,則的取值范圍為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先,我們來(lái)證明拋物線中的焦半徑公式,如圖,對(duì)于一個(gè)拋物線,傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與C相交于兩點(diǎn).作準(zhǔn)線的垂線,過(guò)作,則,解得,同理可得,如圖,不妨設(shè)在第一象限,由焦半徑公式得,,則,而,可得,故,故A正確,故選:A8.設(shè),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函數(shù),求導(dǎo)得,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,而,又,因此,所以.故選:B二、選擇題9.已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為2,現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1,組成一組新數(shù)據(jù),則()A.這組新數(shù)據(jù)平均數(shù)為3 B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C.這組新數(shù)據(jù)的方差為 D.這組新數(shù)據(jù)的方差為〖答案〗BC〖解析〗依題意,這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.故選:BC.10.已知為空間中三條不同的直線,為空間中三個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法中正確的是()A.若,則B.若,則與為異面直線C.若,且,則D.若,則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,顯然,又,則,A正確;對(duì)于B,由,得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由,,知點(diǎn)在平面內(nèi),即為平面的公共點(diǎn),而,因此,C正確;對(duì)于D,由,得,而,因此,D正確故選:ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足,且,若,則()A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.是周期函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗由,得,則,即,因此是周期為4的周期函數(shù),C正確;令,得,則,因此,A錯(cuò)誤;由,得,則,因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),B正確;由,得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),因此直線及均為圖象的對(duì)稱(chēng)軸,從而,令,得,即,則,故,D正確.故〖答案〗為:BCD.三、填空題12.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則________.〖答案〗1〖解析〗顯然恒成立,則雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,于是,所以.故〖答案〗為:1.13.已知函數(shù),若存在,使得,則的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗函數(shù),由,得,由存在,使得,得,解得,所以的最小值為.故〖答案〗為:.14.如圖,在扇形中,半徑,,在半徑上,在半徑上,是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)),則平行四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè),則,由,得,顯然,連接,由,,得,,因此的周長(zhǎng)顯然,當(dāng),即時(shí),,而時(shí),,所以的周長(zhǎng)的取值范圍是.故〖答案〗為:四、解答題15.已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切,證明:.(1)解:因?yàn)?,所以,令,得,?dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值.(2)證明:設(shè)切點(diǎn)為,則切線的方程為,則,整理得,由過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切,可得方程有兩個(gè)不相等的正根.令,則,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,則方程最多只有一個(gè)正根,不符合題意,當(dāng)時(shí),若,則在上單調(diào)遞增,若,則在上單調(diào)遞減,則,故要使得方程有兩個(gè)不相等的正根,則.16.如圖,在四面體中,分別為的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,因?yàn)?,所以,且,又,所以,≌,則,有,因?yàn)?,所以,則,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)解:由(1)知,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè),則,因?yàn)椋謩e為,的中點(diǎn),所以,則,設(shè)平面的法向量為,則,令,得,設(shè)平面的法向量為,則,令,得,,所以平面與平面夾角的余弦值為.17.甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球,其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球,乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球.(1)若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球,求這2個(gè)球顏色相同的概率;(2)若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)囊掖须S機(jī)地取出2個(gè)球,記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為,求的分布列與期望.解:(1)記這2個(gè)球顏色相同為事件,則;(2)依題意的可能取值為、、,則,,,所以的分布列為:所以18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是,橢圓的焦距是2,(異于)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),是內(nèi)切圓的圓心,試問(wèn)平面上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求出該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)設(shè),則,即,顯然點(diǎn),依題意,,解得,由橢圓的焦距是2,得,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),因?yàn)?,則,由(1)知,則直線的方程為,即,從而點(diǎn)到直線的距離,即,即.因?yàn)?,所以,所以,所以,即,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,即,點(diǎn)在以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上,故存在定點(diǎn),使得.19.函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù),也稱(chēng)為高斯函數(shù),其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),例如:.對(duì)于任意的實(shí)數(shù),定義數(shù)列滿足.(1)求的值;(2)設(shè),從全體正整數(shù)中除去所有,剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列.①求的通項(xiàng)公式;②證明:對(duì)任意的,都有.(1)解:由,得,則,所以;由,得,則,所以.(2)①解:依題意,,則,對(duì)于給定的,存在唯一確定的,使得,即,而,則當(dāng)時(shí),,設(shè),此時(shí),即;當(dāng)時(shí),,設(shè),此時(shí),即,因此,恰好跳過(guò),即所有正整數(shù)中恰好少了,因?yàn)?,所?②證明:由,得,則為遞增數(shù)列,,當(dāng)時(shí),,則,所以對(duì)任意的,都有.河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.下列集合中有無(wú)數(shù)個(gè)元素的是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A,因?yàn)?,,則,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)?,,則,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,有無(wú)數(shù)個(gè)元素.故D正確.故選:D.2.已知為純虛數(shù),則()A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意,,由是純虛數(shù),得,所以.故選:B.3.已知向量,若與的夾角為,則()A.10 B. C.5 D.〖答案〗A〖解析〗,則,故選:A.4.已知直線,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí),直線,則,當(dāng)時(shí),,解得,所以“”是“”的充要條件.故選:C.5.已知球的半徑為5,點(diǎn)到球心的距離為3,則過(guò)點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由點(diǎn)到球心的距離為3,得球心到過(guò)點(diǎn)的平面距離的最大值為3,因此過(guò)點(diǎn)的平面被球所截的截面小圓半徑最小值為,所以過(guò)點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是.故選:C.6.如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱(chēng)為萊布尼茨三角形,是將楊輝三角形中的換成得到的,根據(jù)萊布尼茨三角形,下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗觀察萊布尼茨三角形,知每一個(gè)數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個(gè)數(shù)之和,因此,即D正確,ABC錯(cuò)誤.故選:D.7.傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與C相交于兩點(diǎn).若,則的取值范圍為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先,我們來(lái)證明拋物線中的焦半徑公式,如圖,對(duì)于一個(gè)拋物線,傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與C相交于兩點(diǎn).作準(zhǔn)線的垂線,過(guò)作,則,解得,同理可得,如圖,不妨設(shè)在第一象限,由焦半徑公式得,,則,而,可得,故,故A正確,故選:A8.設(shè),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函數(shù),求導(dǎo)得,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,而,又,因此,所以.故選:B二、選擇題9.已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為2,現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1,組成一組新數(shù)據(jù),則()A.這組新數(shù)據(jù)平均數(shù)為3 B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C.這組新數(shù)據(jù)的方差為 D.這組新數(shù)據(jù)的方差為〖答案〗BC〖解析〗依題意,這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.故選:BC.10.已知為空間中三條不同的直線,為空間中三個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法中正確的是()A.若,則B.若,則與為異面直線C.若,且,則D.若,則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,顯然,又,則,A正確;對(duì)于B,由,得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由,,知點(diǎn)在平面內(nèi),即為平面的公共點(diǎn),而,因此,C正確;對(duì)于D,由,得,而,因此,D正確故選:ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足,且,若,則()A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.是周期函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗由,得,則,即,因此是周期為4的周期函數(shù),C正確;令,得,則,因此,A錯(cuò)誤;由,得,則,因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),B正確;由,得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),因此直線及均為圖象的對(duì)稱(chēng)軸,從而,令,得,即,則,故,D正確.故〖答案〗為:BCD.三、填空題12.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則________.〖答案〗1〖解析〗顯然恒成立,則雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,于是,所以.故〖答案〗為:1.13.已知函數(shù),若存在,使得,則的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗函數(shù),由,得,由存在,使得,得,解得,所以的最小值為.故〖答案〗為:.14.如圖,在扇形中,半徑,,在半徑上,在半徑上,是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)),則平行四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗設(shè),則,由,得,顯然,連接,由,,得,,因此的周長(zhǎng)顯然,當(dāng),即時(shí),,而時(shí),,所以的周長(zhǎng)的取值范圍是.故〖答案〗為:四、解答題15.已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切,證明:.(1)解:因?yàn)?,所以,令,得,?dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值.(2)證明:設(shè)切點(diǎn)為,則切線的方程為,則,整理得,由過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切,可得方程有兩個(gè)不相等的正根.令,則,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,則方程最多只有一個(gè)正根,不符合題意,當(dāng)時(shí),若,則在上單調(diào)遞增,若,則在上單調(diào)遞減,則,故要使得方程有兩個(gè)不相等的正根,則.16.如圖,在四面體中,分別為的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,因?yàn)?,所以,且,又,所以,≌,則,有,因?yàn)?,所以,則,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)解:由(1)知,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè),則,因?yàn)?,分別為,的中點(diǎn),所以,則,設(shè)平面的法向量為,則,令,得,設(shè)平面的法向量為,則,令,得,,所以平面與平面夾角的余弦值為.17.甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球,其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球,乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球.(1)若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球,求這2個(gè)球顏色相同的概率;(2)若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中,再?gòu)囊掖须S機(jī)地取出2個(gè)球,記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為,求的分布列與期望.解:(1)記這2個(gè)球顏色相同為事件,則;(2)依題意的可能取值為、、,則,,,所以的分布列為:所以18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是,橢圓的焦距是2,(異于)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),直線與的斜率之積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),是內(nèi)切圓的圓心,試問(wèn)平面上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求出該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)設(shè),則,即,顯然點(diǎn),依題意,,解得,由橢圓的焦距是2,得,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),因?yàn)?,則,由(1)知,則直線的方程為,即,從而點(diǎn)到直線的距離,即,即.因?yàn)椋?,所以,所以,即,因?yàn)?,?/p>

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